Auszüge der nichtparametrischen Statisik

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1 Empirische Wirtschaftsforschug Auszüge der ichtparametrische Statisik Kapitel 1: Räge ud lieare Ragstatistike Aahme, Defiitioe ud Eigeschafte (1.1) Aahme: (a) (b) Die Date x 1,, x sid midestes ordial. x 1,, x sid Realisatioe vo stochastisch uabhägige (stu) Zufallsvariable (ZV e) X 1,, X. (c) Die X i sid idetisch ud stetig verteilt mit Verteilugsfuktio F. (1.2) Defiitio: Seie X 1,, X ZV e mit (1.1), da bezeichet R i de Rag der ZV e X i ( Rag(X i ) = R(X i ) ). (1.3) Beispiel: Zeite vo 5 Kider beim Zusammesetze eies Puzzles: Kid i Zeit x i r i

2 Empirische Wirtschaftsforschug (1.4) Bemerkug: Seie X 1,, X ZV e mit (1.1), da ist R i eie diskrete ZV e mit mögliche Realisatioe 1, 2,,. (1.5) Satz: Seie X 1,, X u.i.v. mit Verteilugsfuktio F (stetig) ud Räge R i, da gilt: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (1.6) Bemerkug: (1.1) (c) P( X i = X j ) = 0 für i j, aber i der Praxis köe durchaus gebudee Beobachtuge (Biduge) auftrete. Übergag zu Durchschittsräge

3 Empirische Wirtschaftsforschug (1.7) Beispiel: x i r i (1.8) Defiitio (Lieare Ragstatistik): Seie X 1,, X u.i.v. ZV e mit Verteilugsfuktio F stetig. Da heißt L g( i) V i i1 eifache lieare Ragstatistik. g(i) : scores V i : Regressioskostate

4 Empirische Wirtschaftsforschug Kapitel 2: Lieare Ragtests für das Eistichprobe-Lageproblem (2.1) Voraussetzug: Seie X 1,, X u.i.v. ZV e mit X i F( x ) stetig ud symmetrisch um. D.h. ist ei Lageparameter (z.b. der Media) ud X hägt icht mehr vo ab. Betrachte das Testproblem Bemerkug: H 0 : = 0 vs. H 1 : 0 Wäre F = N(µ,σ 2 ), da wäre der t-test mit der Teststatistik x 0 t s ei geeigeter Test, aber F ist ubekat (!). (2.2) Vorgehesweise im eifache Fall:

5 Empirische Wirtschaftsforschug Damit ist L g( i) V i i1 eie geeigete lieare Ragstatistik, wobei g(i) geeigete Fuktioe (Gewichte) mit Eifluss auf die Güte vo L sid, ud i sid die Räge vo D (i). D.h.: L addiert die ( mit g(i) ) gewichtete Räge der absolute Differeze, dere ZV e größer als 0 sid. (2.3) Beispiel: Ergebisse eies IQ-Tests: x i : TP: H 0 : = 110 vs. H 1 : > 110 (2.4) Satz: 1 1 E ( L ) g( i) ud Var ( L ) ( g( i)) 2 4 i1 i1 2

6 Empirische Wirtschaftsforschug Eistichprobe-Lagetests (2.5) Voraussetzuge: (a) X 1,, X sid u.i.v. mit X i F( x ) stetig ud symmetrisch um. (b) Testproblem: H 0 : = 0 vs. A: H 1 : 0 B: H 1 : > 0 C: H 1 : < 0 (2.6) Defiitio: Es gelte (2.5) ud L sei wie i (1.8) mit V i gemäß (2.2). Mit g(i) = 1 für alle i = 1,, heißt V V i i1 Vorzeichetest (sig-test). (2.7) Bemerkug: (a) V zählt die positive Vorzeiche vo d i = x i 0. (b) Uter H 0 gilt: V B (; 0,5) (c) E( V ) 2 ud Var( V ) (d) 4

7 Empirische Wirtschaftsforschug (2.8) Bemerkug: I der Regel wird das Niveau α icht voll ausgeschöpft, d.h. wähle b * so, dass α icht überschritte wird. (2.9) Beispiel: Fortsetzug vo Beispiel (2.3): TP: H 0 : = 110 vs. H 1 : > 110 Tabelle der B (5; 0,5)-Verteilug (vgl. Büig/Trekler, S.358) k P( X k ) = 5 ; α = 0,1 b 0,9 = 0 0, , ,5 3 0, , ,0 (2.10) Bemerkug: Falls b α = k ist b 1-α = k. (2.11) Bemerkug: (a) Falls D i = X i 0 = 0 Nulldiffereze uberücksichtigt lasse; (b) Auftrete vo Biduge: D k = D l für k l irrelevat, da ur die Vorzeiche vo D k ud D l zähle.

8 Empirische Wirtschaftsforschug (2.12) Satz: Für > 20 gilt uter H 0 : (2.13) Beispiel: Test B (H 1 : > 0 ), = 36 ; α = 0,05 u 0,95 =, Ageomme: V = 24 (2.14) Bemerkug: Ei Kozept zum Vergleich der Güte zweier Tests liefert die sogeate asymptotische relative Effiziez: ARE( T 1 (), T 2 (m) ). Sie gibt grob gesagt das asymptotische Verhältis m der Stichprobeumfäge a, die beötigt werde, damit die Gütefuktioe beider Tests i der Nähe vo H 0 gleich gut sid (Für Details siehe Büig/Trekler, Kap. 10).

9 Empirische Wirtschaftsforschug Vergleich des Vorzeichetests mit dem t-test für verschiedee zugrude liegede Wahrscheilichkeitsverteiluge: Normal Rechteck Logistisch Laplace (Doppel-Expoetial) ARE( V, t ) 0,637 0,333 0,823 2,000 (2.15) Defiitio: Uter de Voraussetzuge vo (2.5) ud V i gemäß (2.2) mit g(i) = i für i = 1,, heißt W i V i i1 Wilcoxo Vorzeiche Ragtest (Wilcoxo-Eistichprobe-Ragsummetest). Der Vorzeichetest zählt ur die Beobachtuge, die größer als 0 sid. W + berücksichtigt auch och, wie weit die Beobachtuge vo 0 etfert sid. Dadurch wird mehr Iformatio aus de Date verarbeitet ud geutzt. (2.16) Bemerkug: (a) Die kritische Werte w ;α sid vertafelt (siehe Tabelle auf der Homepage) (b) ( 1) E( W ) 4 ud Var( W ) ( 1)(2 1) 24

10 Empirische Wirtschaftsforschug (c) Die Wahrscheilichkeitsverteilug vo W + ist symmetrisch um E(W + ). (d) (e) (2.17) Beispiel: Date aus Beispiel (2.3) TP: H 0 : = 110 vs. H 1 : > 110 = 5 ; α = 0,1 w 5;0,9 = (2.18) Bemerkug: Normal Rechteck Logistisch Laplace (Doppel-Expoetial) ARE( W +, t ) 0,995 1,000 1,096 1,500 (2.19) Bemerkug: Falls D k = D l für k l Bildug vo Durchschittsräge.

11 Empirische Wirtschaftsforschug (2.20) Satz: Für > 20 ka W + durch die Normalverteilug approximiert werde: W Z : E( W ) d N Var( W ) d.h. P( W + w ;α ) = P( Z u α ). (0,1) für, (2.21) Beispiel: Test B (H 1 : > 0 ), = 30 ; α = 0,05 u 0,95 = Ageomme: W + = 418 (2.22) Bemerkug: Es gibt och eie Reihe weiterer liearer Ragtests für das Eistichprobe- Lageproblem, die je ach Wahl der scores g(i) lokal optimal für bestimmte, jeweils zugrude liegede Wahrscheilichkeitsverteiluge F sid. So ist z.b. der Va-der-Waerde-Test mit 1 ( ) ( 1 i g i ) 2 2( 1 ) lokal optimal bei Normalverteilug. Logistische Verteilug: Doppel-Expoetial Verteilug: Wilcoxo-Test Vorzeichetest