1) Wahrscheinlichkeitsbegriff und Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten. P A = lim r N LI: ={ 1 LII: LIII: P A =1 P A

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1 FORMELSAMMLUNG V03 Alle Formel ohe Gewähr auf Korrektheit Grudlage der Wahrscheilichkeitstheorie 1) Wahrscheilichkeitsbegriff ud Reche mit Wahrscheilichkeite Relative Häufigkeit r N A = h N A N = Abs. Häufigkeit Az. Versuche Es Existiert kei Grezwert: P A = lim r N A N Wahrscheilichkeit ach Kolmogorov: KI: P A 0 KII: P=1 KIII: P A B=P AP B für A B= Laplace Experimet: LI: ={ 1,..., m } Edliches LII: LIII: P 1 =...=P m Az. güstigete Fälle P A= Az. der möglichste Fälle KIII: für Paarweise disjukte Ereigisse P( Ai ) = P A i Erweiterug vo KIII : P A B=P AP B P A B für A B Gegeereigis: P A=1 P A Weitere Eigeschafte der Wahrscheilichkeit: P A 1 P =0 P A P B für A B(A zieht B ach sich) Bedigte Wahrscheilichkeit : P A B P A/ B= P B Multiplikatiossatz: P A B= P A/ B P B=P B/ A P A Satz der vollstädige Wahrscheilichkeit PB= P B/ A i P A i Satz vo Bayes: P A k / B= P B/ A k P A k P B/ A i P A i ) Stochastisch uabhägige Ereigisse Bediguge zu Stochastische Uabhägigkeit P A/ B=P A/ B P A=P A/ B P A B=P A P B Merke: Ist A uabhägig vo B so ist auch B uabhägig vo A

2 3) Disjukt vs. Stochastisch uabhägig? A,B Disjukt A,B Stochastisch uab. Gilt immer! P A B P APB P AP B P A Pb P APB P A B P A B P A P B P A/ B P B P B/ A P A Merke: Sich achziehede Ereigisse sid ie disjukt ud immer stochastisch abhägig Disjukte Ereigisse sid immer stochastisch abhägig Vollstädig Stochastisch uabhägig: P A A i... A ik =P A P A P A i... P A ik 4) Verbudexperimete Merkmalsmege eies VE: V = 1 Biomialwahrscheilickeitsverteilug: P, k = k P Ak 1 P A k Summe aller Werte: P, k = 1 k=0 HIER KÖNNTE IHRE WERBUNG STEHEN 5) Zufallsvariable Verteilugs ud Dichtefukto Defiitio der Zufallsvariable: Zufallsvariable X : R P X = = 0 P X = = 0 Defiitio der Verteilugsfuktio: x=p X x (die Verteilugsfuktio ist mooto steiged) Eie Zufallsvariable heist: diskret we es edlich / abzählbar uedlich viele Elemete gibt stetig we es überabzählbar uedlich viele Elemete gibt Weitere Eigeschafte der Verteilugsfuktio: =0, P X x=1 x =1 P x q X x = x F x x Defiitio der Dichtefuktio: x= d x dx Eigeschafte der Dichtefuktio: x dx = 1 Aalog: x x= d Weitere Eigeschafte der Dichtefuktio: f x 0 f =0, da F x mooto steiged. f =0

3 6) Momete Erwartugswert ud Stadardabweichug Erwartugswert bei diskreter ZV E X = X = x i P X =x i Zusammehag vo E ud F E X = X = [1 x x]dx Stadardabweichug: X = X Erwartugswert bei stetiger ZV E X = X = x x dx Variaz: X = x X xdx Zusammehag zwische Variaz ud µx: X =Ex X 7) Spezielle Verteiluge: Stetige Gleichverteilug: 1 für x [a,b] b a x={ 0 sost Expotetialverteilug: x= { e x für x 0 mit 0 0 sost X = ab X = b a 1 X = 1 X = 1 Erlagverteilug: e x={ x x 1 1! 0 sost Stadardormalverteilug: x= 1 x e X = 1 X = 1 X =0 X =1 Stadardormalverteilug: x X 1 x = X e X Trasformatio G= G x G

4 8) Spezielle Verteiluge: Defiitio Verbudsverteilugsfuktio: x, y={ X x} {Y y} Kurzschreibweise: x, y= X x,y y Defiitio Verbuddichtefuktio: Y x, y= x, y x y Aalog: x y x, y= Y, d d Eigeschafte der Verbudverteilugsfuktio:, y=0 x,=0,=1 Eigeschafte der Verbuddichtefuktio: Y x, y d x d y = 1 Y x, y 0 Gebietsitegral: P x 1 X x, Y y x = x 1 y Y x, y dx dy Y1 Y X1 G X P x 1 X x, Y y = P X x, Y y P X x 1, Y y X x, Y P X x 1, Y = x, y x 1, y x, x 1, Radverteilug: x,=p X x, Y =P X x= x, y=p X,Y y= PY y=f Y y Falls X ud Y stochastisch uabhägig: x, y = x F Y y Y x, y = x f Y y Raddichtefuktio: x= Y x, ydy f Y y= Y x, y dx Zweidimesioaler Dirac Impuls: x, y= x y 9) Momete Erwartugswert ud Stadardabweichug bei zweidimesioaler ZV Trasformatio: Z=h X,Y Erwartugswert: EZ= Z = h x, y Y x, y dxdy Trasformatio Summe zweier ZV: Z=h X, Y = XY E XY =E X EY Trasformatio Produkt zweier ZV: Z=h X,Y = X Y Für Stochastisch uabhägig gilt: E X Y=E X EY Allgemei: Z=h X 1, X,..., X = X 1 X... X E X 1, X,..., X = E X 1 E X...E X Covariaz: C XY = E XY X Y Vgl Variaz: X =E X X

5 Die Dichtefuktioder Summe zweier stochastisch uabhägiger ZV ist die Faltug: f Z z= z f Y z= z f Y d 10) Mathematische Statistik Stichprobemittelwert: X= 1 X i X X Stichprobevariaz: S = 1 1 X i X S X Stichprobemittelwert: S XY = 1 1 X i X Y i Y Stichprobekorrelatioskoeffiziet: S XY R XY = S X S Y Defiitio Der Wahre Parameter : Wahrer Parameter: Schätzwert: Schätzer: = g X 1, X,..., X = g X Ei Schätzer heisst erwartugstreu falls gilt: E = Eie Folge, 1 heisst asymptotisch erwartugstreu we gilt: E = lim Beispiel a Erlagverteilug X = X = = x X = X = = s = x ud = s Eisetze: x= s x= s = x s =x s 007 Matthias Jug Alle Formel ohe Gewähr auf Korrektheit