Multivariate Analysemethoden und Multivariates Testen
|
|
- Hilko Glöckner
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Multivariate Aalysemethode ud Multivariates Teste Stude im Mai Güter Meihardt Johaes Guteberg Uiversität Maiz
2 Priziie des statistische Schliesses Samlig - Modellvorstellug Poulatio Samlig Stichrobe Kewerte Theoretische Statistik Welche Verteilug vo Kewerte wird sich ergebe, We ma de Samlig Vorgag uedlich oft wiederholt? Herleitug der Kewerte-Verteilug (Samlig Distributio) ud Beschreibug ihrer Parameter. Methode zur Schätzug der Parameter aus Stichrobedate sowohl für uivariate, als auch für multivariate Kewerteverteiluge
3 Samlig Distributio (D) Uivariate - Verteilug der Stichrobemittelwerte Samlig - Modellvorstellug Poulatio Stichrobe des Umfags Bilde Mittelwert. - mal:. - mal: k. - mal: k k k- maliges Samle vo Stichrobe derselbe Größe ud Bereche der Stichrobemittelwerte führt auf eie Verteilug vo Stichrobemittelwerte (Samlig Distributio)
4 Mittelwerte Uivariate - Verteilug der Stichrobemittelwerte Samlig - Modellvorstellug Poulatio k - Stichrobe des Umfags Verteilug vo Stichrobemittel k Samlig Distributio Erwartugswert E Erwartugswert E Erwartugstreue Die Samlig Distributio hat deselbe Erwartugswert wie die Poulatio, aus der die Stichrobe gezoge wurde. Schätzstatistike, die deselbe Erwartugswert habe wie die Poulatio, heisse erwartugstreu. Stichrobemittelwerte sid erwartugstreue Schätzuge des Poulatiosarameters
5 Variaz Uivariate - Verteilug der Stichrobemittelwerte Samlig - Modellvorstellug Poulatio k - Stichrobe des Umfags Verteilug vo Stichrobevariaze s s s sk Variaz Bias E s E s Erwartugstreue: Die Stichrobevariaz uterschätzt die Poulatiosvariaz tedeziell: Stichrobevariaze sid keie erwartugstreue Schätzuge des Poulatiosvariaz s
6 Uivariate - Verteilug der Stichrobemittelwerte Samlig - Modellvorstellug Bias-Faktor E s Der Bias bei der Schätzug der Po.Variaz aus der Stichrobevariaz ist die Variaz der Stichrobemittelwerte. ˆ E s s i i Erwartugstreue: Die Stichrobevariaz berechet aus korrigiertem Umfag - ist eie erwartugstreue Schätzug der Poulatiosvariaz
7 Wahrscheilichkeitsdichte Methode der Uivariate - Verteilug der Stichrobemittelwerte Cetral Limit Theorem Die Verteilug vo Samlig-Mittelwerte äher sich mit wachsedem Umfag der Samle-Stichrobe eier Normalverteilug a. Für > 3 ist die Aroimatio scho gut. f..5 Es gilt:.. E o E. m-s m-s m+s m+s Theoretische Samlig Distributio Die theoretische Samlig Distributio ist die Grudlage des statistische Schliesses. Aussage über de Zusammehag vo Stichrobemittelwerte ud Poulatioe werde mithilfe dieser Verteilug gewoe (Iferezstatistischer Schluss).
8 Uivariate - Verteilug der Stichrobemittelwerte Kofidez- Itervalle.. Awedug P z z / / P z z / / WK- Aussage. Ma habe eie Mittelwert aus eier Stichrobe der Größe vorliege. I welchem Bereich um de Mittelwert ka ma de Poulatiosarameter mit der Wahrscheilichkeit - erwarte?. Der Poulatiosarameter sei bekat. I welchem Bereich um ih liege Mittelwerte mit der Wahrscheilichkeit -? z- Verteilug z Pz z z Mit Y der Verteilugsfuktio der Stadardormalverteilug. Für < 5 sollte die t- Verteilug mit df = verwedet werde.
9 Uivariate - Verteilug der Stichrobemittelwerte Hyothese t - ud F-Test t F- Äquivalez t H : H : P t t t; df t ˆ / Es gilt t df F ; df Äquivalez vo t- ud F- Test mit df Test- Äquivalez: Eie zweiseitige Wahrscheilichkeitsbestimmug auf der t Verteilug ist der (grudsätzlich eiseitige) Wahrscheilichkeitsbestimmug auf der F - Verteilug äquivalet. ˆ / Bemerke: t ˆ
10 Multivariate - Verteilug der Stichrobemittelwerte Multivariates t Vektore ei Mittelwertevektor μ ei Mittelwertevektor Hotellig s T Defiitio T ˆ ˆ μ Σ μ μ Σ μ mit ˆΣ die Samle Variaz-Covariaz Matri mit Korrektur - der Date-Zetroid μ ageommeer Zetroid ˆ Σ i i i i i Verteilug T T [JW-Beisiel-5.] ist verteilt wie F ; we die Stichrobe eier multivariat ormalverteilte Grudgesamtheit etomme ist.
11 Multivariate - Verteilug der Stichrobemittelwerte Verteilug T Sei,,, ei Samle aus eier N μσ, so gilt ˆ P μ Σ μ F Poulatio ; für jedes ageommee μ egal, wie das wahre μ ud Σ sid. F- Test Kofidez- Ellisoide [Beisiele] Ma leht die H : daher auf Sigifikaziveau ab, we ˆ T μ Σ μ F ; Gleichzeitig defiiert die Distazbedigug ˆ μ Σ μ F ; i eiem -variat ormalverteilte Ellisoid Kofidezregioe, die ma für jedes ageommee um für ei sae ka.
12 Multivariate Cetral Limit Theorem Multivariate - Verteilug der Stichrobemittelwerte Sei,,, eie Stichrobe aus eier Poulatio mit Da gilt ud we Erwartugsvektor μ ud Variaz-Covariaz Matri μ ist aroimativ ˆ N, Σ μ Σ μ ist aroimativ groß ist. c verteilt Σ Regel Für < 5 ist die Voraussetzug der multivariate Normalverteilug i der Stichrobe jedem Falle zu rüfe, ud die T Statistik herazuziehe. Bei grössere Stichrobe ka direkt die c Statistik agewedet werde. I jedem Fall sollte eie Ausreißerbehadlug durchgeführt werde.
13 Simultae uivariate Kofidezregioe um Mittelwert uivariat [ ] multivariat (=) ˆ i i e i Σe Läge = c Läge = c Kofidezregio im Ellisoid [Beisiele] ˆ μ Σ μ c F ; (-) Kofidezregio für i der bivariat ormalverteilte Samlig- Distributio, die um gesat ist.
14 Uivariates CI Simultae uivariate Kofidezitervalle Ei (-) Kofidezitervall für eie Variablekomoete wird im Kotet aller uivariate Kofidezaussage betrachtet. Das uivariate Kofidezitervall (CI) j ˆ j t ˆ ˆ / ; j jj das jj-te Elemet vo führt im Kotet aller - mögliche Vergleiche zu eiem iflatioierte - Fehler ud damit zu falsche, rogressive Etscheiduge. ˆΣ Simultae Kofidez Itervalle Kofidezitervalle ro Variablekomoete, die alle mögliche Vergleiche auf eiem (overall) -Niveau absicher, laute ˆ j CI j F ; j ˆ j c Simultae CIs defiiere die Boudig-Bo der CI-Ellise.
15 Simultae CIs Overall Boferroi Aroimatio CI Simultae uivariate Kofidezitervalle Die simultae CIs sid koservativ, ud köe durch eie Aroimatio für uabhägige Variableachse ersetzt werde. Im simultae Kotet ka die - Fehler Iflatio durch Wahl eies eue Niveaus für jede Eizeltest für ei gewüschtes overall ˆ komesiert werde. Es gilt für ei vorgegebees overall P all comarisos true / Kofidezitervalle ro Variablekomoete werde durch Wahl eies eue -Niveaus alle auf eiem (overall) -Niveau abgesichert. ˆ ˆ ˆ j CI j t a /( );
16 Uivariate - Multivariate Kofidezregioe Vergleich der CIs.7.65 alha-ce DataCetroid ProbeCetroid.6 Simultaes CI.55 Boferroi D (falsch) CI-Aussage D Kofidezregioe ud D Kofidezitervalle ermögliche verschiedee Etscheiduge, je achdem, ob Paaruge vo Mittelwerte (Cetroide) oder eizele Mittelwerte iteressiere. Zu beachte ist, dass im multivariate Kotet Aussage für eie Achse streggeomme ie ohe Berücksichtigug des Wertes auf de adere Variableachse gemacht werde köe (Boudig- Bo ud Boferroi-Bo hat immer mehr Fläche als die CI-Ellise)
17 Uivariate ud multivariate Mittelwertevergleiche Samle uivariat multivariat Meßeiheite uabhägig abhägig uabhägig abhägig Samlig- Distributio Differeze vo Mittelwerte geoolte Variaze Mittelwerte vo Differeze Differezvektor vo Cetroide Geoolte Var-Covar Mat. Cetroide vo Differezvektore Test-Statistik t t T T Multivariate Mittelwertsvergleiche sid die direkte Etsrechug zu uivariate Vergleiche. Es gelte dieselbe Priziie, lediglich agewedet auf Cetroid-Vektor ud Variaz-Covariaz Matri.
18 Wahrscheilichkeitsdichte Methode der Uivariate Mittelwertevergleiche t- Test für uabhägige Stichrobe Hyothese H H : : (ugerichtet) H: Der Erwartugswert der Differeze vo Mittelwerte ist Null Samlig Distributio f. Es gilt:.. wird geschätzt aus beide Stichrobe 3. ist t- verteilt..5 [t-test ausführlich?].
19 Uivariate Mittelwertevergleiche t- Test für uabhägige Stichrobe Statistik t ˆ ooled Etscheidug: a) Krit. t-wert b) Überschreitugs-WK Prüfgrösse t- verteilt mit + Freiheitsgrade t t Ablehug vo H, df ; / sost Beibehaltug oder P t t Ablehug vo H, sost Beibehaltug Voraussetzug. Für + < 5 ormalverteilte Stichrobedate. Homogee Stichrobevariaze 3. Uabhägige Messeiheite ierhalb ud zwische de Samles.
20 Wahrscheilichkeitsdichte Methode der Uivariate Mittelwertevergleiche t- Test für abhägige Stichrobe Hyothese H : H : (ugerichtet) H: Der Erwartugswert der Mittelwerte vo Differeze ist Null Samlig Distributio f. Es gilt:.. wird geschätzt aus Differezestichrobe 3. ist t- verteilt..5.
21 Uivariate Mittelwertevergleiche Statistik t t- Test für abhägige Stichrobe s s Cov (, ) Etscheidug: a) Krit. t-wert b) Überschreitugs-WK Voraussetzug Prüfgrösse t- verteilt mit Freiheitsgrade ( = Azahl Paare) t t Ablehug vo H, df ; / sost Beibehaltug oder P t t Ablehug vo H, sost Beibehaltug. Für < 3 ormalverteilte Stichrobedate. Homogee Stichrobevariaze müsse icht vorliege 3. Korrelatio der Meßreihe erhöht die Teststärke.
22 Multivariate Mittelwertevergleiche Hotellig s T - Test für abhägige Stichrobe Hyothese H : μ μ H : μ μ (ugerichtet) δ μ H: Der Erwartugswert des Differezecetroids ist Null Date i i i d i d d d i i i i i i - dimesioaler Differezvektor jeder i- te Perso (Differeze der Zeitukte auf de - Variable)
23 Multivariate Mittelwertevergleiche Hotellig s T - Test für abhägige Stichrobe Kegröße d di i ˆ Σ d d d d d i i i T - Statistik T ˆ d δ Σ d d δ Etscheidug Lehe die H auf Sigifikazlevel ab, we gilt ˆ T dσd d F ; Mit F (-) dem (-) Quatil der F- Verteilug mit Zählerfreiheitsgrade ud - Neerfreiheitsgrade.
24 Multivariate Mittelwertevergleiche Hotellig s T - Test für abhägige Stichrobe Kofidezregioe Komoete Kofidezitervalle d δ Σ d δ ˆ d F defiiert eie (-) Kofidezregio im Ellisoid um d für. We - groß ist, gilt F c ; ; ud die Stichrobe müsse icht multivariat ormalverteilt sei. s j j : dj F ; defiiert uivariate (-) Kofidezitervalle um jede Variable- Differezemittelwert. Aalog sid Boferroi-Itervalle defiiert.
25 Multivariate Mittelwertevergleiche Hotellig s T - Test für uabhägige Stichrobe Hyothese H : μ μ H : μ μ (ugerichtet) μ μ H: Die Differez der Erwartugs-Cetroide ist Null Date i i i i i i i i - dimesioaler Messvektor jeder i- te Perso aus jeder Grue
26 Multivariate Mittelwertevergleiche Hotellig s T - Test für uabhägige Stichrobe Kegröße i i i i ˆ Σ i i i ˆ Σ i i i Mittelwertevektore ud Variaz-Covariaz Matrize für jede Grue. Geoolte Var-Covar- Matri Σˆ ooled Σˆ Σˆ
27 Multivariate Mittelwertevergleiche Hotellig s T - Test für uabhägige Stichrobe Kegröße Σ ˆ ooled T - Statistik T ˆ ooled Σ Etscheidug Lehe die H auf Sigifikazlevel ab, we gilt T F ; Mit F (-) dem (-) Quatil der F- Verteilug mit Zählerfreiheitsgrade ud + -- Neerfreiheitsgrade.
28 Multivariate Mittelwertevergleiche Hotellig s T - Test für uabhägige Stichrobe Kofidezregioe T δ defiiert eie (-) Kofidezregio im Ellisoid um für Distaze. d F ; Komoete Kofidezitervalle Mit c defiiert F ; c s j j jj, ooled uivariate (-) Kofidezitervalle um jede Gruedifferez vo Variablemittelwerte. S jj,ooled ist das jj-te Elemet der geoolte Variaz-Covariaz Matri. Boferroi-Itervalle sid aalog defiiert.
29 Multivariate Normalverteilug D-Normal Verteilug Beisiel D Die Ellise der Form t Σ c c sid zetriert i ud habe Hautachse mit Eigewertbedigug Σe i e i c e Eie Eigewertzerlegug der Variaz-Kovariaz Matri liefert somit die Hautachse des - variate Ellisoids der multivariate Normalverteilug i Läge = i c Läge = c
Multivariate Analysemethoden und Multivariates Testen
Multivariate Aalysemethode ud Multivariates Teste 23.4.27 & 3.4.27 & 7.5.27 Güter Meihardt Johaes Guteberg Uiversität Maiz Weisst du, wieviel Sterlei stehe A dem blaue Himmelszelt? Weisst du, wieviel Wolke
MehrEvaluation & Forschungsstrategien
Evaluatio & Forschugsstrategie WS2/2 Prof. Dr. G. Meihardt Johaes Guteberg Uiversität Maiz Prizipie des statistische Schliesses Samplig - Modellvorstellug Populatio Samplig Stichprobe Kewerte x Theoretische
MehrKapitel 5: Schließende Statistik
Kapitel 5: Schließede Statistik Statistik, Prof. Dr. Kari Melzer 5. Schließede Statistik: Typische Fragestellug ahad vo Beispiele Beispiel Aus 5 Messwerte ergebe sich für die Reißfestigkeit eier Garsorte
Mehr4 Schwankungsintervalle Schwankungsintervalle 4.2
4 Schwakugsitervalle Schwakugsitervalle 4. Bemerkuge Die bekate Symmetrieeigeschaft Φ(x) = 1 Φ( x) bzw. Φ( x) = 1 Φ(x) für alle x R überträgt sich auf die Quatile N p der Stadardormalverteilug i der Form
Mehr3 Vergleich zweier unverbundener Stichproben
3 Vergleich zweier uverbudeer Stichprobe 3. Der Zweistichprobe t-test Es wird vorausgesetzt, dass die beide Teilstichprobe x, x,..., x ud y, y,..., y jeweils aus (voeiader uabhägige) ormalverteilte Grudgesamtheite
MehrSchätzen von Populationswerten
Schätze vo Populatioswerte SS00 7.Sitzug vom.06.00 Schätze vo Populatioswerte Ziel: Ermöglichug vo Aussage über die Grudgesamtheit ahad vo Stichprobedate Logische Methode: Iduktiosschluß Grudlage des Iduktiosschlusses:
MehrStatistik. 5. Schließende Statistik: Typische Fragestellung anhand von Beispielen. Kapitel 5: Schließende Statistik
Statistik Kapitel 5: Schließede Statistik 5. Schließede Statistik: Typische Fragestellug ahad vo Beispiele Beispiel 1» Aus 5 Messwerte ergebe sich für die Reißfestigkeit eier Garsorte der arithmetische
Mehr,,, xn. 3. Intervallschätzungen Zufallsstichproben und Stichprobenfunktionen Zufallsstichproben. Zufallsvariablen mit
3. Itervallschätzuge 3.1. Zufallsstichprobe ud Stichprobefuktioe 3.1.1 Zufallsstichprobe 1 Sei eie Zufallsvariable ud seie gemeisamer Verteilug,,,, Zufallsvariable mit - da heiße 1,,, Zufallsstichprobe
MehrVl Statistische Prozess- und Qualitätskontrolle und Versuchsplanung Übung 5
Vl Statistische Prozess- ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug 5 Aufgabe ) Sei p = P(A) die Wahrscheilichkeit für ei Ereigis A, dh., es gilt 0 p. Bereche Sie das Maximum der Fuktio f(p) = p(-p). Aufgabe
MehrVl Statistische Prozess und Qualitätskontrolle und Versuchsplanung Übung 3
Vl Statistische Prozess ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug 3 Aufgabe ) Die Schichtdicke X bei eier galvaische Beschichtug vo Autoteile sei ormalverteilt N(μ,σ ). 4 Teile werde galvaisch beschichtet.
MehrSchätzen von Populationswerten
Schätze vo Populatioswerte 7.Sitzug 35 Seite, SoSe 003 Schätze vo Populatioswerte Ziel: Ermöglichug vo Aussage über die Grudgesamtheit ahad vo Stichprobedate Logische Methode: Iduktiosschluss Grudlage
MehrX X Schätzen von Vertrauensintervallen Schwankungsintervall
.. Schätze vo Vertrauesitervalle..1. Schwakugsitervall Beispiel: X = Betrag vo Geldüberweisuge, ormalverteilt, µ = 5000, = 1000 Zufallsstichprobe mit = 100, Schätzer für µ: X X Gesucht: Itervall, i dem
MehrLehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss Statistik II: Schließende Statistik SS 2007
Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschug ud Ökoometrie Dr. Rolad Füss Statistik II: Schließede Statistik SS 2007 6. Grezwertsätze Der wichtigste Grud für die Häufigkeit des Auftretes der Normalverteilug
MehrAnwendung für Mittelwerte
Awedug für Mittelwerte Grudgesamtheit Stichprobeziehug Zufalls- Stichprobe... "wahre", ubekate Mittelwert der Grudgesamtheit icht zufällig?... beobachtete Mittelwert zufällig Statistik für SoziologIe 1
Mehr2. Repetition relevanter Teilbereiche der Statistik
. Repetitio Statistik Ökoometrie I - Peter Stalder. Repetitio relevater Teilbereiche der Statistik (Maddala Kapitel ) Zufallsvariable ud Wahrscheilichkeitsverteiluge Zufallsvariable X (stochastische Variable)
MehrDie notwendigen Verteilungstabellen finden Sie z.b. hier:
Fakultät für Mathematik Istitute IAG ud IMO Prof. Dr. G. Kyureghya/Dr. M. Hödig Schätz- ud Prüfverfahre Die otwedige Verteilugstabelle fide Sie z.b. hier: http://www.ivwl.ui-kassel.de/kosfeld/lehre/zeitreihe/verteilugstabelle.pdf
MehrTests statistischer Hypothesen
KAPITEL 0 Tests statistischer Hypothese I der Statistik muss ma oft Hypothese teste, z.b. muss ma ahad eier Stichprobe etscheide, ob ei ubekater Parameter eie vorgegebee Wert aimmt. Zuerst betrachte wir
MehrKovarianz und Korrelation
Kapitel 2 Kovariaz ud Korrelatio Josef Leydold c 2006 Mathematische Methode II Kovariaz ud Korrelatio 1 / 41 Lerziele Mathematische ud statistische Grudlage der Portfoliotheorie Kovariaz ud Korrelatio
MehrÜbungen mit dem Applet erwartungstreu
Übuge mit dem Applet erwartugstreu Visualisierug vo erwartugstreu Begriffe ud statischer Hitergrud. Visualisieruge mit dem Applet..3. Zufallsstreuug der Eizelwerte...3. Mittelwerte 3.3 Variaz. 4.4 Variaz
MehrKapitel 6 : Punkt und Intervallschätzer
7 Kapitel 6 : Pukt ud Itervallschätzer Puktschätzuge. I der Statistik wolle wir Rückschlüsse auf das Wahrscheilichkeitsgesetz ziehe, ach dem ei vo us beobachtetes Zufallsexperimet abläuft. Hierzu beobachte
MehrMaschinelle Sprachverarbeitung: Mathematische Grundlagen
HUMOLDT-UNIVERSITÄT ZU ERLIN Istitut für Iformatik Lehrstuhl Wissesmaagemet Maschielle Sprachverarbeitug: Mathematische Grudlage Tobias Scheffer Ulf refeld Literatur Huag, cero, Ho: Spoke Laguage rocessig,
MehrFormelsammlung Statistik 29. Januar 2019
Formelsammlug Statistik Seite 1 Formelsammlug Statistik 9. Jauar 019 Witersemester 018/19 Adreas Löpker, HTW Dresde 1. Deskriptive Statistik (F1) Stichprobe x vom Umfag, Stichprobe y vom Umfag m x = (x
MehrWirksamkeit, Effizienz
3 Parameterpuktschätzer Eigeschafte vo Schätzfuktioe 3.3 Wirksamkeit, Effiziez Defiitio 3.5 (Wirksamkeit, Effiziez Sei W eie parametrische Verteilugsaahme mit Parameterraum Θ. 1 Seie θ ud θ erwartugstreue
MehrStatistische Tests zu ausgewählten Problemen
Eiführug i die statistische Testtheorie Statistische Tests zu ausgewählte Probleme Teil : Tests für Erwartugswerte Statistische Testtheorie I Eiführug Beschräkug auf parametrische Testverfahre Beschräkug
MehrForschungsstatistik I
Prof. Dr. G. Meihardt 6. Stock, Taubertsberg R. 06-06 (Persike) R. 06-31 (Meihardt) Sprechstude jederzeit ach Vereibarug Forschugsstatistik I Dr. Malte Persike persike@ui-maiz.de http://psymet03.sowi.ui-maiz.de/
MehrEmpirische Verteilungsfunktion
KAPITEL 3 Empirische Verteilugsfuktio 3.1. Empirische Verteilugsfuktio Seie X 1,..., X uabhägige ud idetisch verteilte Zufallsvariable mit theoretischer Verteilugsfuktio F (t) = P[X i t]. Es sei (x 1,...,
Mehr6 Vergleich mehrerer unverbundener Stichproben
6 Vergleich mehrerer uverbudeer Stichprobe 6.1 Die eifaktorielle Variazaalyse Die eifaktorielle Variazaalyse diet der Utersuchug des Eiflusses eier kategorieller (bzw. ichtmetrischer) Variable, die die
MehrMusterlösung für die Klausur zur Vorlesung Stochastik I im WiSe 2014/2015
Musterlösug für die Klausur zur Vorlesug Stochastik I im WiSe 204/205 Teil I wahr falsch Aussage Gilt E[XY ] = E[X]E[Y ] für zwei Zufallsvariable X ud Y mit edlicher Variaz, so sid X ud Y uabhägig. Für
MehrMathematik 2 für Naturwissenschaften
Has Walser Mathematik 2 für Naturwisseschafte 2 3 3 4 6 4 5 0 0 5 6 5 20 5 6 Modul 209 Tabelle Has Walser: Modul 209, Tabelle ii Ihalt Fakultäte... 2 Biomialkoeffiziete... 2 3 Biomische Verteilug... 3
MehrProf. Dr. Roland Füss Statistik II SS 2008
1. Grezwertsätze Der wichtigste Grud für die Häufigkeit des Auftretes der Normalverteilug ergibt sich aus de Grezwertsätze. Grezwertsätze sid Aussage über eie Zufallsvariable für de Fall, dass die Azahl
MehrStatistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Dr. Joche Köhler Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Testatprüfug am Doerstag 5.Mai Wa? Doerstag, 5. Mai, 8:00 Uhr Dauer der
MehrStochastik - Lösung (BSc D-MAVT / BSc D-MATH / BSc D-MATL)
Prof. Dr. M. Schweizer ETH Zürich Sommer 8 Stochastik - Lösug (BSc D-MAVT / BSc D-MATH / BSc D-MATL). (6 Pukte) a) (.5 Pukte) Wir defiiere die Ereigisse D = die ähmaschie bekommt eie kleie Defekt} ud U
MehrGrundlagen der Biostatistik und Informatik
Vergleich vo mehrere Stichprobe Grudlage der Biostatisti ud Iformati Hypotheseprüfuge III., Nichtparametrische Methode dr László Smeller Semmelweis Uiversität 0 Vergleich vo mehrere Stichprobe Boferroi
Mehr1) Wahrscheinlichkeitsbegriff und Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten. P A = lim r N LI: ={ 1 LII: LIII: P A =1 P A
FORMELSAMMLUNG V03 Alle Formel ohe Gewähr auf Korrektheit Grudlage der Wahrscheilichkeitstheorie 1) Wahrscheilichkeitsbegriff ud Reche mit Wahrscheilichkeite Relative Häufigkeit r N A = h N A N = Abs.
MehrÜbungen Abgabetermin: Freitag, , 10 Uhr THEMEN: Testtheorie
Uiversität Müster Istitut für Mathematische Statistik Stochastik WS 203/204, Blatt Löwe/Heusel Aufgabe (4 Pukte) Übuge Abgabetermi: Freitag, 24.0.204, 0 Uhr THEMEN: Testtheorie Die Sollstärke der Rohrwäde
MehrWirksamkeit, Effizienz. Beispiel: Effizienz. Mittlerer quadratischer Fehler (MSE) Konsistenz im quadratischen Mittel
3 arameterpuktschätzer Eigeschafte vo Schätzfuktioe 3.3 Wirksamkeit, Effiziez 3 arameterpuktschätzer Eigeschafte vo Schätzfuktioe 3.3 Beispiel: Effiziez Defiitio 3.5 (Wirksamkeit, Effiziez Sei W eie parametrische
Mehr2. Schätzverfahren 2.1 Punktschätzung wirtschaftlicher Kennzahlen. Allgemein: Punktschätzung eines Parameters:
. Schätzverfahre. Puktschätzug wirtschaftlicher Kezahle Allgemei: Puktschätzug eies Parameters: Ermittlug eies Schätzwertes für eie ubekate Parameter eier Zufallsvariable i der Grudgesamtheit mit Hilfe
MehrWirksamkeit, Effizienz
3 Parameterpuktschätzer Eigeschafte vo Schätzfuktioe 3.3 Wirksamkeit, Effiziez Defiitio 3.5 (Wirksamkeit, Effiziez Sei W eie parametrische Verteilugsaahme mit Parameterraum Θ. 1 Seie θ ud θ erwartugstreue
MehrParameterschätzung. Numero, pondere et mensura Deus omnia condidit
Parameterschätzug Numero, podere et mesura Deus omia codidit Populatio, Zufallsvariable, Stichprobe Populatio Zufallsvariable X Stichprobe x eie"realisierug vo X (Beobachtug) alle mäliche Rekrute der US
MehrEinführung in die induktive Statistik. Inferenzstatistik. Konfidenzintervalle. Friedrich Leisch
Spiel Körpergröße Zahl: Azahl weiblich Eiführug i die iduktive Statistik Friedrich Leisch Istitut für Statistik Ludwig-Maximilias-Uiversität Müche Tafelgruppe 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 9.0 9.1 4 5 3 2 1 0 1
MehrLösungsvorschlag Probeklausur zur Elementaren Wahrscheinlichkeitsrechnung
Prof. Dr. V. Schmidt WS 200/20 G. Gaiselma, A. Spettl 7.02.20 Lösugsvorschlag Probeklausur zur Elemetare Wahrscheilichkeitsrechug Hiweis: Der Umfag ud Schwierigkeitsgrad dieser Probeklausur muss icht dem
Mehr1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6
Ihaltsverzeichis 1 Vorbemerkuge 1 Zufallsexperimete - grudlegede Begriffe ud Eigeschafte 3 Wahrscheilichkeitsaxiome 4 4 Laplace-Experimete 6 5 Hilfsmittel aus der Kombiatorik 7 6 Bedigte Wahrscheilichkeite
MehrParameterschätzung. Kapitel Schätzfunktionen
Kapitel 8 Parameterschätzug 8.1 Schätzfuktioe Def. 8.1.1: Es seie X 1,X,...,X uabhägige ZV, die alle die gleiche Verteilug besitze. θ sei ei ubekater Parameter dieser Verteilug. X 1,X,...,X ist als eie
MehrKonfidenzintervalle. Praktische Übung Stochastik SS 2017 Lektion 10 1
Kofidezitervalle Praktische Übug Stochastik SS 017 Lektio 10 1 Kofidezitervalle Geerelle Aahme: Parametrisches Modell (P ϑ ) ϑ Θ Beobachtuge X 1,..., X u.i.v. ach P ϑ mit ubekatem ϑ Θ Grudidee: Schätzer
MehrEmpirische Ökonomie 1 Sommersemester Formelsammlung. Statistische Grundlagen. Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariable.
Empirische Ökoomie 1 Sommersemester 2013 Formelsammlug Hiweis: Alle Variable, Parameter ud Symbole sid wie i de Vorlesugsuterlage defiiert. Statistische Grudlage Erwartugswert Erwartugswert ud Variaz eier
MehrStatistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Übug 6 3.03.20 Ihalt der heutige Übug Aufgabe D.7: Reche mit Zufallsvariable Erwartugswert- ud Variazoperator Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug
MehrGütefunktion und Fehlerwahrscheinlichkeiten Rechtsseitiger Test (µ 0 = 500) zum Signifikanzniveau α = Interpretation von Testergebnissen I
6 Hypothesetests Gauß-Test für de Mittelwert bei bekater Variaz 6.3 Gütefuktio ud Fehlerwahrscheilichkeite Rechtsseitiger Test (µ 0 = 500) zum Sigifikaziveau α = 0.30 6 Hypothesetests Gauß-Test für de
MehrEinführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Lösungen zum Wiederholungsblatt
TUM, Zetrum Mathematik Lehrstuhl für Mathematische Physik WS 23/4 Prof. Dr. Silke Rolles Thomas Höfelsauer Felizitas Weider Eiführug i die Wahrscheilichkeitstheorie Lösuge zum Wiederholugsblatt Aufgabe
MehrDr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK. Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren
Dr. Jürge Seger INDUKTIVE STATISTIK Wahrscheilichkeitstheorie, Schätz- ud Testverfahre ÜBUNG. - LÖSUNGEN. ypothesetest für die Dicke vo Plättche Die Dicke X vo Plättche, die auf eier bestimmte Maschie
Mehr2 Induktive Statistik
Kapitel 2 Iduktive Statistik Seite 19 2 Iduktive Statistik 2.1 Grudprizipie der iduktive Statistik 2.2 Puktschätzug 2.2.1 Schätzfuktioe Defiitio 2.1 Sei X 1,...,X i.i.d. Stichprobe. Eie Fuktio heißt Schätzer
MehrEingangsprüfung Stochastik,
Eigagsprüfug Stochastik, 5.5. Wir gehe stets vo eiem Wahrscheilichkeitsraum (Ω, A, P aus. Die Borel σ-algebra auf wird mit B bezeichet, das Lebesgue Maß auf wird mit λ bezeichet. Aufgabe ( Pukte Sei x
MehrRepräsentativität und Unabhängigkeit
Repräsetativität ud Uabhägigkeit Ziel: Bestmögliche Erassug der Eigeschate der Grudgesamtheit Problem: Beurteilug der Repräsetativität ist ur durch umassede Iormatio über die Grudgesamtheit möglich Asatz:
MehrStatistische Modelle und Parameterschätzung
Kapitel 2 Statistische Modelle ud Parameterschätzug 2. Statistisches Modell Die bisher betrachtete Modellierug eies Zufallsexperimetes erforderte isbesodere die Festlegug eier W-Verteilug. Oft besteht
MehrKonfidenzbereiche die auf Runden Normaldaten Basiert Sind
Kofidezbereiche die auf Rude Normaldate Basiert Sid Steve Vardema C-S (Johso) Lee (JQT 001, Comm Stat 00, (003)) Iliaa Vaca (M.S. laufed) 1 Gerudete/Digitale Date Kei eues Problem z. B. gibt es: Sheppard,
MehrStochastik - Lösung (BSc D-MAVT / BSc D-MATH / BSc D-MATL)
Prof. Dr. M. Schweizer ETH Zürich Witer 28 Stochastik - Lösug (BSc D-MAVT / BSc D-MATH / BSc D-MATL). (6 Pukte) a) (2 Pukte) Wir defiiere die Ereigisse K {die Perso ist krak} ud T {der Test ist positiv}.
Mehr6. Grenzwertsätze. 6.1 Tschebyscheffsche Ungleichung
6. Grezwertsätze 6.1 Tschebyscheffsche Ugleichug Sofer für eie Zufallsvariable X die Verteilug bekat ist, lässt sich die Wahrscheilichkeit dafür bestimme, dass X i eiem bestimmte Itervall liegt. Wie ist
MehrKapitel 2: Stochastische Prozesse. Copyright M. Gross, ETH Zürich 2006, 2007
Kaitel 2: Coyright M. Gross, ETH Zürich 2006, 2007 Bedigte Verteiluge Ebeso a die Verbudwahrscheilicheit vo Zufallsvariable über bedigte Wahrscheilicheite ausgedrüct werde i i,, i,, Wiederum ommt eie Produtregel
MehrBeispiel: p-wert bei Chi-Quadrat-Anpassungstest (Grafik) Auftragseingangsbeispiel, realisierte Teststatistik χ 2 = , p-wert: 0.
8 Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Apassugstest 8.1 Beispiel: p-wert bei Chi-Quadrat-Apassugstest (Grafik) Auftragseigagsbeispiel, realisierte Teststatistik χ 2 = 12.075, p-wert: 0.0168 f χ
MehrWissenschaftliches Arbeiten Studiengang Energiewirtschaft
Wisseschaftliches Arbeite Studiegag Eergiewirtschaft - Auswerte vo Date - Prof. Dr. Ulrich Hah WS 01/013 icht umerische Date Tet-Date: Datebak: Name, Eigeschafte, Matri-Tabelleform Spalte: übliche Aordug:
Mehr3.2 Wilcoxon Rangsummentest
3. Wilcoxo Ragsummetest Wir gehe davo aus, dass zwei Teilstichprobe x 1, x,..., x 1 ud y1, y,..., y vorliege, wobei die erste Teilstichprobe aus Realisieruge vo uabhägig ud idetisch stetig verteilte Zufallsvariable
MehrGrundsätzlich sollen Varianz bzw. Standardabweichung Maße dafür sein, wie stark eine Verteilung um ihren Erwartungswert streut.
Eie Iterpretatiosfrage habe ich zu eiem Beispiel das i der der letzte Vorlesug behadelt wurde: Auf Folie.7 zur Variaz. Dort wird ei Beispiel eier stetige Zufallsvariable geat (Warte a eier S-Bah-Haltestelle).
Mehr3. Grundbegrie der Schätztheorie
Statistik, Abschitt 3. 3. Grudbegrie der Schätztheorie I der kormatorische Statistik will ma uter aderem auf Grud eier Stichprobe vom Umfag Iformatioe über ubekate Parameter θ der Verteilug F der zugrudeliegede
MehrIntervallschätzung II 2
Itervallschätzug Kofidezitervall für die Variaz Kofidezitervall für de Ateilswerte Kofidezitervall für die Differez zweier Ateile Bestimmug des Stichrobeumfags Itervallschätzug II Bibliografie Bleymüller
MehrZufallsvariable. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung p (probability function) ist definiert durch: p(x i ) := P (X = x i ),
ETHZ 90-683 Dr. M. Müller Statistische Methode WS 00/0 Zufallsvariable Zusammehag: Wirklichkeit Modell Wirklichkeit Stichprobe Date diskret stetig rel. Häufigkeit Häufigkeitstabelle Stabdiagramm Histogramm
MehrStatistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug 9. Vorlesug Joche Köhler 1 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Testatprüfug am Doerstag 5.Mai Wa? Doerstag, 5. Mai, 8:00 Uhr
MehrTests für beliebige Zufallsvariable
Kapitel 10 Tests für beliebige Zufallsvariable 10.1 Der Chi-Quadrat-Apassugstest Sei x eie gaz beliebige Zufallsvariable, dere Dichtefuktio icht oder icht geau bekat ist. Beispiel: Es seie z.b. mittels
Mehr2 ISO/BIPM-Leitfaden Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, GUM (2008 überarbeitet, die deutsche Fassung ist [3])
I- Messusicherheite: Lit.: Prof. Dr. Gerz Wahrscheilichkeitsrechug ud Usicherheitsberechug IO/BIPM-Leitfade Guide to the Epressio of Ucertaity i Measuremet, GUM (008 überarbeitet, die deutsche Fassug ist
MehrKapitel VI. Einige spezielle diskrete Verteilungen
Kapitel VI Eiige spezielle diskrete Verteiluge D 6 (Hypergeometrische Verteilug) Eie Zufallsvariable X heißt hypergeometrisch verteilt, we sie folgede Wahrscheilichkeitsfuktio besitzt: M N M P ( X ) p
MehrEinführung in die Stochastik 10. Übungsblatt
Eiführug i die Stochastik. Übugsblatt Fachbereich Mathematik SS M. Kohler.7. A. Fromkorth D. Furer Gruppe ud Hausübug Aufgabe 37 (4 Pukte) Ei Eremit am Südpol hat sich für die eibrechede polare Nacht mit
MehrStreukreisberechnungen bei ballistischen Versuchen unter der zweidimensionalen Normalverteilungsannahme
Streukreisberechuge bei ballistische Versuche uter der zweidimesioale Normalverteilugsaahme Prof. Dr. Adreas Rudolph Uiversität der Budeswehr Müche WE Mathematik ud Iformatik FB BW Werer-Heiseberg-Weg
MehrStatistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Dr. Joche Köhler 9.04.008 Äderug Übugsstude Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Die Gruppe vo Markus trifft sich am Doerstag statt im HCI D zusamme mit der Gruppe
MehrMusterlösung. Prüfung Statistik Herbstsemester 2011
Prüfug Statistik Herbstsemester 2011 Musterlösug 1. 9 Pukte Lukas ud Markus habe bisher immer Feiste Mii-Brezel 100g des Herstellers Gammelbrot ud Söhe zum Züi gegesse. Vom städige Hugerklage vo Markus
MehrWahrscheinlichkeit & Statistik Musterlösung Serie 13
ETH Zürich FS 2013 D-MATH Has Rudolf Küsch Koordiator Blaka Horvath Wahrscheilichkeit & Statistik Musterlösug Serie 13 1. a) Die Nullhypothese lautet dass das echte Medikamet höchstes gleich gut ist wie
MehrUmrechnung einer tatsächlichen Häufigkeitsverteilung in eine prozentuale Häufigkeitsverteilung
.3. Prozetuale Häufigkeitsverteilug (HV) Die prozetuale Häufigkeitsverteilug erlaubt de Vergleich vo Auswertuge, dee uterschiedliche Stichprobegröße zugrude liege. Es köe auch uterschiedliche Stichprobegröße
MehrTesten statistischer Hypothesen
Kapitel 9 Teste statistischer Hypothese 9.1 Eiführug, Sigifiaztests Sigifiaztest für µ bei der ormalverteilug bei beatem σ = : X i seie uabhägig ud µ, ) verteilt, µ sei ubeat. Stelle eie Hypothese über
MehrKapitel XI - Korrelationsrechnung
Istitut für Volkswirtschaftslehre (ECON) Lehrstuhl für Ökoometrie ud Statistik Kapitel XI - Korrelatiosrechug Deskriptive Statistik Prof. Dr. W.-D. Heller Hartwig Seska Carlo Siebeschuh Aufgabe der Korrelatiosrechug
MehrStatistik, Abschnitt (1) Gegeben sei der Stichprobenvektor (X 1,..., X n ). Die Stichprobenfunktion. ˆµ k := 1 n. Xi k (1) i=1.
Statistik, Abschitt.. Schätzmethode.. Mometemethode Für Parameter, die sich i bekater Weise aus de Momete zusammesetze, erhält ma Schätzuge, idem ma die theoretische Momete durch die sogeate empirische
MehrStatistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Übug 9 1 Ihalt der heutige Übug Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Iformatioe zur Testatprüfug Besprechug der der Hausübug
Mehr2 Einführung in die mathematische Statistik
2 Eiführug i die mathematische Statistik Die Hauptaufgabe der mathematische Statistik ist es, ahad der Eigeschafte eies Teils eier Mege vo Objekte auf die Eigeschafte aller Objekte i dieser Mege zu schließe.
MehrLösungen ausgewählter Übungsaufgaben zum Buch. Elementare Stochastik (Springer Spektrum, 2012) Teil 4: Aufgaben zu den Kapiteln 7 und 8
1 Lösuge ausgewählter Übugsaufgabe zum Buch Elemetare Stochastik (Spriger Spektrum, 2012) Teil 4: Aufgabe zu de Kapitel 7 ud 8 Aufgabe zu Kapitel 7 Zu Abschitt 7.1 Ü7.1.1 Ω sei höchstes abzählbar, ud X,
MehrPraktikum Vorbereitung Fertigungsmesstechnik Statistische Qualitätskontrolle
Praktikum Vorbereitug Fertigugsmesstechik Statistische Qualitätskotrolle Bei viele Erzeugisse ist es icht möglich jedes Werkstück zu prüfe, z.b.: bei Massefertigug. Hier ist es aus ökoomische Grüde icht
Mehr3. Einführung in die Statistik
3. Eiführug i die Statistik Grudlegedes Modell zu Date: uabhägige Zufallsgröße ; : : : ; mit Verteilugsfuktio F bzw. Eizelwahrscheilichkeite p ; : : : ; p r i de Aweduge: kokrete reale Auspräguge ; : :
MehrDr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK. Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren
Dr. Jürge Seger INDUKTIVE STATISTIK Wahrscheilichkeitstheorie, Schätz- ud Testverfahre ÜBUNG 9 - LÖSUNGEN. Ziehug vo Kugel aus eier Ure a. Die Zahl der Permutatio der Kugel, die aus Klasse utereiader gleicher
Mehr3 Kritischer Bereich zum Niveau α = 0.10: K = (χ 2 k 1;1 α, + ) = (χ2 5;0.90, + ) = (9.236, + ) 4 Berechnung der realisierten Teststatistik:
8 Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Apassugstest 81 Beispiel: p-wert bei Chi-Quadrat-Apassugstest (Grafik) Auftragseigagsbeispiel, realisierte Teststatistik χ 2 1275, p-wert: 168 8 Apassugs-
MehrBeispiel: p-wert bei Chi-Quadrat-Anpassungstest (Grafik) Auftragseingangsbeispiel, realisierte Teststatistik χ 2 = , p-wert: 0.
8 Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Apassugstest 81 Beispiel: p-wert bei Chi-Quadrat-Apassugstest (Grafik) Auftragseigagsbeispiel, realisierte Teststatistik χ 2 = 12075, p-wert: 00168 f χ 2 (4)
MehrAnwendungen der Wahrscheinlichkeit II. Markovketten
Aweduge der Wahrscheilichkeit II 1. Fragestelluge Markovkette Markovkette sid ei häufig verwedetes Modell zur Beschreibug vo Systeme, dere Verhalte durch eie zufällige Übergag vo eiem Systemzustad zu eiem
Mehr1. Wahrscheinlichkeitsrechnung. 2. Diskrete Zufallsvariable. 3. Stetige Zufallsvariable. 4. Grenzwertsätze. 5. Mehrdimensionale Zufallsvariable
1. Wahrscheilichkeitsrechug. Diskrete Zufallsvariable 3. Stetige Zufallsvariable 4. Grezwertsätze 5. Mehrdimesioale Zufallsvariable Stetige Zufallsvariable Eie Zufallsvariable X : Ω R heißt stetig, we
MehrEvaluierung einer Schulungsmaßnahme: Punktezahl vor der Schulung Punktezahl nach der Schulung. Autoritarismusscore vor/nach Projekt
2.4.5 Gauss-Test ud t-test für verbudee Stichprobe 2.4.5.8 Zum Begriff der verbudee Stichprobe Verbudee Stichprobe: Vergleich zweier Merkmale X ud Y, die jetzt a deselbe Persoe erhobe werde. Vorsicht:
MehrMathematik 2 für Naturwissenschaften
Has Walser Mathematik für Naturwisseschafte 00 180 160 Fraue 140 10 100 80 80 100 10 140 160 180 00 Mäer Modul 08 Teste vo Hypothese Has Walser: Modul 08, Teste vo Hypothese ii Ihalt 1 Ma-Whitey-U-Test
MehrDer χ 2 Test. Bei Verteilungen Beantwortung der Frage, ob eine gemessene Verteilung Gauß- oder Poisson-verteilt ist oder nicht?
Der χ Test Es gibt verschiedee Arte vo Sigifikaztests Nebe Sigifikaztests, die sich mit dem Mittelwert beschäftige, gibt es auch Testverfahre für Verteiluge Bei Verteiluge Beatwortug der Frage, ob eie
MehrX in einer Grundgesamtheit vollständig beschreiben.
Prof. Dr. Rolad Füss Statistik II SS 008. Puktschätzug vo Parameter eier Grudgesamtheit Nur durch eie Totalerhebug ka ma die Verteilug eier Zufallsvariable X i eier Grudgesamtheit vollstädig beschreibe.
MehrVorkurs Mathematik für Informatiker Folgen
Vorkurs Mathematik für Iformatiker -- 9 Folge -- 6.1.215 1 Folge: Defiitio Eie (uedliche) Folge im herkömmliche Sie etsteht durch Hitereiaderschreibe vo Zahle 1,2,3,4,5, Dabei ist die Reihefolge wichtig,
MehrTeil II Zählstatistik
Teil II Zählstatistik. Aufgabestellug. Vergleiche Sie experimetelle Zählverteiluge mit statistische Modelle (POISSON-Verteilug ud Normalverteilug) 2. Theoretische Grudlage Stichworte zur Vorbereitug: Impulszahl,
MehrDr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK. Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren
Dr. Jürge Seger INDUKTIVE STATISTIK Wahrheilihkeittheorie, Shätz- ud Tetverfahre ÜBUNG 0 - LÖSUNGEN. Kofidezitervall für de Mittelwert eier ormalverteilte Grudgeamtheit bei gegebeer Variaz a. Gegebe id
MehrUlrich Stein Fehlerrechnung
Fehlerrechug Verteilug vo Messwerte Mittelwert Stadardabweichug Stadardfehler Rude vo Messwerte Darstellug vo Messwerte (Stellezahl) Fehlerfortpflazug Messergebisse Messug physikalische Realität Messgerät,
Mehr10. Grundlagen der linearen Regressionsanalyse 10.1 Formulierung linearer Regressionsmodelle
10. Grudlage der lieare Regressiosaalyse 10.1 Formulierug liearer Regressiosmodelle Eifaches lieares Regressiosmodell: Das eifache lieare Regressiosmodell ist die simpelste Form eies ökoometrische Modells
MehrStreuungsmaße. Prof. Dr. Paul Reuber. Institut für Geographie. Seminar Methoden der empirischen Humangeographie
Streuugsmaße Istitut für Geographie Streuugswerte (Streuugsmaße) Die Diskussio um die Mittelwerte hat die Vorteile dieser statistische Kewerte gezeigt, aber bereits, isbesodere beim arithmetische Mittel,
Mehr