Kapitel XI - Korrelationsrechnung
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- Klemens Kaiser
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1 Istitut für Volkswirtschaftslehre (ECON) Lehrstuhl für Ökoometrie ud Statistik Kapitel XI - Korrelatiosrechug Deskriptive Statistik Prof. Dr. W.-D. Heller Hartwig Seska Carlo Siebeschuh
2 Aufgabe der Korrelatiosrechug Da es bei quatitative Merkmale icht immer sivoll ist, mittels liearer Regressio eie Zusammehag zwische beide Merkmale zu bereche, erscheit es ützlich, eie Methode zu etwickel, mit dere Hilfe ma Hiweise erhalte ka, ob die Awedug der lieare Regressio berechtigt ist. Ziel der Korrelatiosrechug Messug der Güte eies uterstellte lieare Zusammehags Dazu vergleiche wir die Variaz der Tredwerte mit der Variaz der y-werte. ŷ i = ˆmx i + ˆb Kapitel XI - Korrelatiosrechug 2
3 Aufgabe der Korrelatiosrechug Da es bei quatitative Merkmale icht immer sivoll ist, mittels liearer Regressio eie Zusammehag zwische beide Merkmale zu bereche, erscheit es ützlich, eie Methode zu etwickel, mit dere Hilfe ma Hiweise erhalte ka, ob die Awedug der lieare Regressio berechtigt ist. Ziel der Korrelatiosrechug Messug der Güte eies uterstellte lieare Zusammehags Dazu vergleiche wir die Variaz der Tredwerte mit der Variaz der y-werte. ŷ i = ˆmx i + ˆb Kapitel XI - Korrelatiosrechug 2
4 Aufgabe der Korrelatiosrechug Da es bei quatitative Merkmale icht immer sivoll ist, mittels liearer Regressio eie Zusammehag zwische beide Merkmale zu bereche, erscheit es ützlich, eie Methode zu etwickel, mit dere Hilfe ma Hiweise erhalte ka, ob die Awedug der lieare Regressio berechtigt ist. Ziel der Korrelatiosrechug Messug der Güte eies uterstellte lieare Zusammehags Dazu vergleiche wir die Variaz der Tredwerte mit der Variaz der y-werte. ŷ i = ˆmx i + ˆb Kapitel XI - Korrelatiosrechug 2
5 Bestimmtheitsmaß Das Bestimmtheitsmaß stellt das Verhältis aus der Variaz der ŷ-werte ud der Variaz der y-werte dar. Variaz der Tredwerte ŷ: s 2 ŷ = Var( ˆmx i + ˆb) = ˆm 2 s 2 x Variaz der y-werte s 2 y. Somit ist das Bestimmtheitsmaß defiiert als ˆm 2 s 2 x s 2 y Kapitel XI - Korrelatiosrechug 3
6 Bestimmtheitsmaß Das Bestimmtheitsmaß stellt das Verhältis aus der Variaz der ŷ-werte ud der Variaz der y-werte dar. Variaz der Tredwerte ŷ: s 2 ŷ = Var( ˆmx i + ˆb) = ˆm 2 s 2 x Variaz der y-werte s 2 y. Somit ist das Bestimmtheitsmaß defiiert als ˆm 2 s 2 x s 2 y Kapitel XI - Korrelatiosrechug 3
7 Bestimmtheitsmaß Das Bestimmtheitsmaß stellt das Verhältis aus der Variaz der ŷ-werte ud der Variaz der y-werte dar. Variaz der Tredwerte ŷ: s 2 ŷ = Var( ˆmx i + ˆb) = ˆm 2 s 2 x Variaz der y-werte s 2 y. Somit ist das Bestimmtheitsmaß defiiert als ˆm 2 s 2 x s 2 y Kapitel XI - Korrelatiosrechug 3
8 Bestimmtheitsmaß Das Bestimmtheitsmaß stellt das Verhältis aus der Variaz der ŷ-werte ud der Variaz der y-werte dar. Variaz der Tredwerte ŷ: s 2 ŷ = Var( ˆmx i + ˆb) = ˆm 2 s 2 x Variaz der y-werte s 2 y. Somit ist das Bestimmtheitsmaß defiiert als ˆm 2 s 2 x s 2 y Kapitel XI - Korrelatiosrechug 3
9 Bestimmtheitsmaß Dies ka ma umforme: ˆm 2 s 2 x s 2 y ( = s2 x sy 2 x i y i x ) i y 2 i x i 2 ( x i ) 2 ( = s2 x sy 2 x i y i 1 x ) i y 2 i x i 2 1 ( x i 2) = s2 x s 2 y = s2 x sy 2 ( 1 = s2 x sy 2 x i y i x i x 2 y i y i x i + x i y i i 2 x i x i + ( x i ) 2 ( x i y i x y i ȳ ) x 2 i + x ȳ x i 2 2 x x i + x 2 ) (x 2 ( ) 2 i x)(y i ȳ) 1 (x = 1 1 i x) 2 sx 2 sy 2 (x i x)(y i ȳ). 2 Der Ausdruck i der Klammer stellt die Kovariaz dar (später). Kapitel XI - Korrelatiosrechug 4
10 Bestimmtheitsmaß Dies ka ma umforme: ˆm 2 s 2 x s 2 y ( = s2 x sy 2 x i y i x ) i y 2 i x i 2 ( x i ) 2 ( = s2 x sy 2 x i y i 1 x ) i y 2 i x i 2 1 ( x i 2) = s2 x s 2 y = s2 x sy 2 ( 1 = s2 x sy 2 x i y i x i x 2 y i y i x i + x i y i i 2 x i x i + ( x i ) 2 ( x i y i x y i ȳ ) x 2 i + x ȳ x i 2 2 x x i + x 2 ) (x 2 ( ) 2 i x)(y i ȳ) 1 (x = 1 1 i x) 2 sx 2 sy 2 (x i x)(y i ȳ). 2 Der Ausdruck i der Klammer stellt die Kovariaz dar (später). Kapitel XI - Korrelatiosrechug 4
11 Bestimmtheitsmaß Dies ka ma umforme: ˆm 2 s 2 x s 2 y ( = s2 x sy 2 x i y i x ) i y 2 i x i 2 ( x i ) 2 ( = s2 x sy 2 x i y i 1 x ) i y 2 i x i 2 1 ( x i 2) = s2 x s 2 y = s2 x sy 2 ( 1 = s2 x sy 2 x i y i x i x 2 y i y i x i + x i y i i 2 x i x i + ( x i ) 2 ( x i y i x y i ȳ ) x 2 i + x ȳ x i 2 2 x x i + x 2 ) (x 2 ( ) 2 i x)(y i ȳ) 1 (x = 1 1 i x) 2 sx 2 sy 2 (x i x)(y i ȳ). 2 Der Ausdruck i der Klammer stellt die Kovariaz dar (später). Kapitel XI - Korrelatiosrechug 4
12 Bestimmtheitsmaß Das Bestimmtheitsmaß beschreibt de Ateil a der Variaz der y-werte, der sich bei liearer Regressio aus der Variaz der x-werte begrüde lässt, also de Teil der Variaz, de ma auch erhalte würde, we der lieare Zusammehag exakt eigehalte würde, die Störgröße also alle gleich 0 wäre. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 5
13 Kovariaz De Klammerausdruck aus dem Bestimmtheitsmaß et ma die Kovariaz der beide Merkmale: Cov(x, y) = 1 (x i x)(y i ȳ) Aalog zur Variaz lässt sich dieser Ausdruck umforme: Cov(x, y) = 1 (x i y i xy i x i ȳ + xȳ) = 1 x i y i 1 x( y i ) ( 1 x i )ȳ + xȳ = 1 x i y i xȳ xȳ + xȳ = 1 x i y i xȳ. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 6
14 Kovariaz De Klammerausdruck aus dem Bestimmtheitsmaß et ma die Kovariaz der beide Merkmale: Cov(x, y) = 1 (x i x)(y i ȳ) Aalog zur Variaz lässt sich dieser Ausdruck umforme: Cov(x, y) = 1 (x i y i xy i x i ȳ + xȳ) = 1 x i y i 1 x( y i ) ( 1 x i )ȳ + xȳ = 1 x i y i xȳ xȳ + xȳ = 1 x i y i xȳ. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 6
15 Kovariaz Es werde das Leergewicht ud das maximale Zuladugsgewicht bei PKWs betrachtet. Die Summe dieser beide bildet das zulässige Gesamtgewicht. i = Leergewicht x i Zuladugsgewicht y i zul. Gesamtgewicht z i = x i + y i i = Leergewicht x i Zuladugsgewicht y i zul. Gesamtgewicht z i = x i + y i Kapitel XI - Korrelatiosrechug 7
16 Kovariaz Es werde das Leergewicht ud das maximale Zuladugsgewicht bei PKWs betrachtet. Die Summe dieser beide bildet das zulässige Gesamtgewicht. i = Leergewicht x i Zuladugsgewicht y i zul. Gesamtgewicht z i = x i + y i i = Leergewicht x i Zuladugsgewicht y i zul. Gesamtgewicht z i = x i + y i Kapitel XI - Korrelatiosrechug 7
17 Kovariaz Beispiel 11.1 Arithmetisches Mittel für Eizelwerte ud zulässiges Gesamtgewicht: i = x i y i xi yi x i + y i (x i + y i) i = x i y i xi yi x i + y i (x i + y i) Kapitel XI - Korrelatiosrechug 8
18 Kovariaz Beispiel 11.1 Arithmetisches Mittel für Eizelwerte ud zulässiges Gesamtgewicht: i = x i y i xi yi x i + y i (x i + y i) i = x i y i xi yi x i + y i (x i + y i) Kapitel XI - Korrelatiosrechug 8
19 Kovariaz Beispiel 11.1 Arithmetisches Mittel für Eizelwerte ud zulässiges Gesamtgewicht: i = x i y i xi yi x i + y i (x i + y i) i = x i y i xi yi x i + y i (x i + y i) Kapitel XI - Korrelatiosrechug 8
20 Kovariaz Beispiel 11.1 Aus der Tabelle ermittel wir: s 2 x = ; s 2 y = ; Cov(x, y) = ud s 2 x+y = , also s 2 x+y = s 2 x + s 2 y + 2Cov(x, y). Kapitel XI - Korrelatiosrechug 9
21 Kovariaz Variaz der Summe s 2 x+y = 1 (x i + y i ( x + ȳ)) 2 (x i x + y i ȳ) 2 (x i x) (y i ȳ) = 1 = 1 = s 2 x + s 2 y + 2Cov(x, y). (x i x)(y i ȳ) Bei der Variaz der Summe geht also wesetlich die Beziehug zwische de Merkmale ei, wie sie sich aus der Kovariaz ergibt. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 10
22 Kovariaz Variaz der Summe s 2 x+y = 1 (x i + y i ( x + ȳ)) 2 (x i x + y i ȳ) 2 (x i x) (y i ȳ) = 1 = 1 = s 2 x + s 2 y + 2Cov(x, y). (x i x)(y i ȳ) Bei der Variaz der Summe geht also wesetlich die Beziehug zwische de Merkmale ei, wie sie sich aus der Kovariaz ergibt. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 10
23 Kovariaz Kovariaz bei Verteiluge mit absolute bzw. relative Häufigkeite h(a, b) bzw. p(a, b) für a M 1, b M 2 : Cov(x, y) = 1 (a x)(b ȳ)h(a, b) a M 1 b M 2 = (a x)(b ȳ)p(a, b). b M 2 a M 1 Etspreched gilt: Cov(x, y) = 1 a b h(a, b) xȳ a M 1 b M 2 = a b p(a, b) xȳ. b M 2 a M 1 Kapitel XI - Korrelatiosrechug 11
24 Kovariaz Kovariaz bei Verteiluge mit absolute bzw. relative Häufigkeite h(a, b) bzw. p(a, b) für a M 1, b M 2 : Cov(x, y) = 1 (a x)(b ȳ)h(a, b) a M 1 b M 2 = (a x)(b ȳ)p(a, b). b M 2 a M 1 Etspreched gilt: Cov(x, y) = 1 a b h(a, b) xȳ a M 1 b M 2 = a b p(a, b) xȳ. b M 2 a M 1 Kapitel XI - Korrelatiosrechug 11
25 Kovariaz Sid die beide Merkmale uabhägig, so gilt ach Defiitio: p(a, b) = p(a) p(b) für a M 1, b M 2. Damit ergibt sich i diesem Fall Cov(x, y) = a M 1 ( = b M 2 (a x)(b ȳ)p(a, b) b M 2 ) a M 1 (a x)p(a) (b ȳ)p(b). Kapitel XI - Korrelatiosrechug 12
26 Kovariaz Sid die beide Merkmale uabhägig, so gilt ach Defiitio: p(a, b) = p(a) p(b) für a M 1, b M 2. Damit ergibt sich i diesem Fall Cov(x, y) = a M 1 ( = b M 2 (a x)(b ȳ)p(a, b) b M 2 ) a M 1 (a x)p(a) (b ȳ)p(b). Kapitel XI - Korrelatiosrechug 12
27 Kovariaz Für de Klammerausdruck gilt: (a x)p(a) = a p(a) xp(a) a M 1 a M 1 a M 1 = x x p(a) = x x = 0. a M 1 Damit gilt für uabhägige Merkmale Cov(x, y) = 0. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 13
28 Kovariaz Für de Klammerausdruck gilt: (a x)p(a) = a p(a) xp(a) a M 1 a M 1 a M 1 = x x p(a) = x x = 0. a M 1 Damit gilt für uabhägige Merkmale Cov(x, y) = 0. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 13
29 Kovariaz Beispiel 11.2 Bei der Messug vo Körpergröße ud -gewicht vo 10 Persoe ergab sich folgede Urliste: (186,85), (155,70), (165,70), (186,75), (160,75), (155,50), (165,60), (175,60), (175,70), (160,65). Kapitel XI - Korrelatiosrechug 14
30 Kovariaz Die Kovariaz ka mit Hilfe vo folgedem Arbeitsschema berechet werde: i = x i y i x iy i i = x i y i x iy i Damit erhält ma: Cov(x, y) = = Kapitel XI - Korrelatiosrechug 15
31 Kovariaz Die Kovariaz ka mit Hilfe vo folgedem Arbeitsschema berechet werde: i = x i y i x iy i i = x i y i x iy i Damit erhält ma: Cov(x, y) = = Kapitel XI - Korrelatiosrechug 15
32 Korrelatioskoeffiziet Der (Bravais-Pearso-)Korrelatioskoeffiziet etspricht der Kovariaz zweier Merkmale über eier statistische Masse dividiert durch das Produkt der beide Stadardabweichuge : r = Cov(x, y) s x s y Er ist also ei Maß für de lieare Zusammehag zweier Merkmale. Das Bestimmtheitsmaß ist wege r 2 = ˆm2 s 2 x s 2 y das Quadrat des Korrelatioskoeffiziete. = (Cov(x, y))2. sx 2 sy 2 Kapitel XI - Korrelatiosrechug 16
33 Korrelatioskoeffiziet Der (Bravais-Pearso-)Korrelatioskoeffiziet etspricht der Kovariaz zweier Merkmale über eier statistische Masse dividiert durch das Produkt der beide Stadardabweichuge : r = Cov(x, y) s x s y Er ist also ei Maß für de lieare Zusammehag zweier Merkmale. Das Bestimmtheitsmaß ist wege r 2 = ˆm2 s 2 x s 2 y das Quadrat des Korrelatioskoeffiziete. = (Cov(x, y))2. sx 2 sy 2 Kapitel XI - Korrelatiosrechug 16
34 Korrelatioskoeffiziet Der (Bravais-Pearso-)Korrelatioskoeffiziet etspricht der Kovariaz zweier Merkmale über eier statistische Masse dividiert durch das Produkt der beide Stadardabweichuge : r = Cov(x, y) s x s y Er ist also ei Maß für de lieare Zusammehag zweier Merkmale. Das Bestimmtheitsmaß ist wege r 2 = ˆm2 s 2 x s 2 y das Quadrat des Korrelatioskoeffiziete. = (Cov(x, y))2. sx 2 sy 2 Kapitel XI - Korrelatiosrechug 16
35 Korrelatioskoeffiziet Beispiel 11.3 Mit de Stadardabweichuge s x = ud s y = 9.27 erhält ma de Korrelatioskoeffiziete zu Beispiel 11.2 r = = Kapitel XI - Korrelatiosrechug 17
36 Korrelatioskoeffiziet Bemerkug: Für de Korrelatioskoeffiziete gilt r = ˆm s x s y, Damit erhält ma folgede Beziehuge: (a) Liege alle Beobachtugswerte auf eier steigede Gerade, da ist r > 0 ud r 2 = 1, also r = 1. (b) Liege alle Beobachtugswerte auf eier fallede Gerade, da ist r < 0 ud r 2 = 1, also r = 1. Es gilt für r: 1 r 1. wobei ˆm der Astieg der Regressiosgerade ist. Ist also r < 0, so ist der Astieg der Regressiosgerade egativ, bei r > 0 ist er positiv. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 18
37 Korrelatioskoeffiziet Bemerkug: Für de Korrelatioskoeffiziete gilt r = ˆm s x s y, Damit erhält ma folgede Beziehuge: (a) Liege alle Beobachtugswerte auf eier steigede Gerade, da ist r > 0 ud r 2 = 1, also r = 1. (b) Liege alle Beobachtugswerte auf eier fallede Gerade, da ist r < 0 ud r 2 = 1, also r = 1. Es gilt für r: 1 r 1. wobei ˆm der Astieg der Regressiosgerade ist. Ist also r < 0, so ist der Astieg der Regressiosgerade egativ, bei r > 0 ist er positiv. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 18
38 Korrelatioskoeffiziet Bemerkug: Für de Korrelatioskoeffiziete gilt r = ˆm s x s y, Damit erhält ma folgede Beziehuge: (a) Liege alle Beobachtugswerte auf eier steigede Gerade, da ist r > 0 ud r 2 = 1, also r = 1. (b) Liege alle Beobachtugswerte auf eier fallede Gerade, da ist r < 0 ud r 2 = 1, also r = 1. Es gilt für r: 1 r 1. wobei ˆm der Astieg der Regressiosgerade ist. Ist also r < 0, so ist der Astieg der Regressiosgerade egativ, bei r > 0 ist er positiv. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 18
39 Korrelatioskoeffiziet Bemerkug: Für de Korrelatioskoeffiziete gilt r = ˆm s x s y, Damit erhält ma folgede Beziehuge: (a) Liege alle Beobachtugswerte auf eier steigede Gerade, da ist r > 0 ud r 2 = 1, also r = 1. (b) Liege alle Beobachtugswerte auf eier fallede Gerade, da ist r < 0 ud r 2 = 1, also r = 1. Es gilt für r: 1 r 1. wobei ˆm der Astieg der Regressiosgerade ist. Ist also r < 0, so ist der Astieg der Regressiosgerade egativ, bei r > 0 ist er positiv. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 18
40 Korrelatioskoeffiziet Bezeichuge Gilt r > 0, so heiße die Merkmale positiv korreliert, r = 0, so heiße die Merkmale ukorreliert, r < 0, so heiße die Merkmale egativ korreliert. Wichtig: Sid zwei Merkmale uabhägig, so sid sie also auch ukorreliert, aber die Umkehrug gilt icht. Ukorrelierte Merkmale köe abhägig sei. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 19
41 Korrelatioskoeffiziet Bezeichuge Gilt r > 0, so heiße die Merkmale positiv korreliert, r = 0, so heiße die Merkmale ukorreliert, r < 0, so heiße die Merkmale egativ korreliert. Wichtig: Sid zwei Merkmale uabhägig, so sid sie also auch ukorreliert, aber die Umkehrug gilt icht. Ukorrelierte Merkmale köe abhägig sei. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 19
42 Korrelatioskoeffiziet Bezeichuge Gilt r > 0, so heiße die Merkmale positiv korreliert, r = 0, so heiße die Merkmale ukorreliert, r < 0, so heiße die Merkmale egativ korreliert. Wichtig: Sid zwei Merkmale uabhägig, so sid sie also auch ukorreliert, aber die Umkehrug gilt icht. Ukorrelierte Merkmale köe abhägig sei. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 19
43 Korrelatioskoeffiziet Bezeichuge Gilt r > 0, so heiße die Merkmale positiv korreliert, r = 0, so heiße die Merkmale ukorreliert, r < 0, so heiße die Merkmale egativ korreliert. Wichtig: Sid zwei Merkmale uabhägig, so sid sie also auch ukorreliert, aber die Umkehrug gilt icht. Ukorrelierte Merkmale köe abhägig sei. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 19
44 Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet Bei Ragmerkmale hat die Differez zweier Merkmalswerte keie Aussagekraft. Damit ist auch der Korrelatioskoeffiziet, we er gebildet werde ka (etwa aus skalierte Werte), ohe direkte Bedeutug. Die atürliche Reihefolge lässt sich deoch ausutze. Dazu ordet ma die Merkmalswerte der statistische Reihe i ihrer atürliche Reihefolge ud ersetzt de Merkmalswert durch die etsprechede Ragziffer. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 20
45 Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet Bei Ragmerkmale hat die Differez zweier Merkmalswerte keie Aussagekraft. Damit ist auch der Korrelatioskoeffiziet, we er gebildet werde ka (etwa aus skalierte Werte), ohe direkte Bedeutug. Die atürliche Reihefolge lässt sich deoch ausutze. Dazu ordet ma die Merkmalswerte der statistische Reihe i ihrer atürliche Reihefolge ud ersetzt de Merkmalswert durch die etsprechede Ragziffer. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 20
46 Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet Beispiel 11.4 Seie als Prüfugsergebisse vo 6 Kadidate befriediged, ugeüged, sehr gut, gut, ausreiched, sehr gut bis gut erzielt worde, so erhält ma die geordete Reihe sehr gut, sehr gut bis gut, gut, befriediged, ausreiched, ugeüged. Die Ragziffer laute da: 1 für sehr gut 2 für sehr gut bis gut 3 für gut 4 für befriediged 5 für ausreiched 6 für ugeüged Kapitel XI - Korrelatiosrechug 21
47 Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet Beispiel 11.4 Seie als Prüfugsergebisse vo 6 Kadidate befriediged, ugeüged, sehr gut, gut, ausreiched, sehr gut bis gut erzielt worde, so erhält ma die geordete Reihe sehr gut, sehr gut bis gut, gut, befriediged, ausreiched, ugeüged. Die Ragziffer laute da: 1 für sehr gut 2 für sehr gut bis gut 3 für gut 4 für befriediged 5 für ausreiched 6 für ugeüged Kapitel XI - Korrelatiosrechug 21
48 Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet Beispiel 11.4 Seie als Prüfugsergebisse vo 6 Kadidate befriediged, ugeüged, sehr gut, gut, ausreiched, sehr gut bis gut erzielt worde, so erhält ma die geordete Reihe sehr gut, sehr gut bis gut, gut, befriediged, ausreiched, ugeüged. Die Ragziffer laute da: 1 für sehr gut 2 für sehr gut bis gut 3 für gut 4 für befriediged 5 für ausreiched 6 für ugeüged Kapitel XI - Korrelatiosrechug 21
49 Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet Zusammefassug: Die Merkmalspaare gehe damit bei eiem zweidimesioale Merkmal (gebildet aus Ragmerkmale) i Ragzifferpaare über. Aus de Ragzifferpaare ka da der Korrelatioskoeffiziet bestimmt ud damit festgestellt werde, ob eie Beziehug zwische de Ragfolge der statistische Eiheite bzgl. der beide Merkmale besteht. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 22
50 Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet Beispiel 11.5 Die sechs obe ageführte Kadidate habe (i derselbe Reihefolge wie i der geordete Urliste) i eiem weitere Fach die Bewertuge gut, gut, sehr gut bis gut, befriediged, befriediged, ausreiched }{{}}{{}}{{}}{{} 2;3 1 4;5 6 erhalte. Damit erhalte sie hier die Ragziffer 1 2.5, 2.5, 1, 4.5, 4.5, 6. 1 Sid zwei oder mehr Merkmalswerte gleich, so ordet ma ihe das arithmetische Mittel der zur Verfügug stehede Ragziffer zu. Beispiel: Liege x 3 = x 7 auf de Plätze 3 ud 4, so ist r 3 = r 7 = 3.5. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 23
51 Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet Beispiel 11.5 Die sechs obe ageführte Kadidate habe (i derselbe Reihefolge wie i der geordete Urliste) i eiem weitere Fach die Bewertuge gut, gut, sehr gut bis gut, befriediged, befriediged, ausreiched }{{}}{{}}{{}}{{} 2;3 1 4;5 6 erhalte. Damit erhalte sie hier die Ragziffer 1 2.5, 2.5, 1, 4.5, 4.5, 6. 1 Sid zwei oder mehr Merkmalswerte gleich, so ordet ma ihe das arithmetische Mittel der zur Verfügug stehede Ragziffer zu. Beispiel: Liege x 3 = x 7 auf de Plätze 3 ud 4, so ist r 3 = r 7 = 3.5. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 23
52 Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet Beispiel 11.5 Ragzifferpaare sid also (1, 2.5) (2, 2.5) (3, 1) (4, 4.5) (5, 4.5) (6, 6). Kapitel XI - Korrelatiosrechug 24
53 Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet Allgemei Seie die Merkmalspaare ud (x 1, y 1 ),..., (x, y ) (r 1, s 1 ),..., (r, s ) die zugehörige Ragzifferpaare, so erhält ma als Korrelatioskoeffiziete r S = 1 1 (r i r)(s i s). (r i r) 2 1 (s i s) 2 Kapitel XI - Korrelatiosrechug 25
54 Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet Allgemei Seie die Merkmalspaare ud (x 1, y 1 ),..., (x, y ) (r 1, s 1 ),..., (r, s ) die zugehörige Ragzifferpaare, so erhält ma als Korrelatioskoeffiziete r S = 1 1 (r i r)(s i s). (r i r) 2 1 (s i s) 2 Kapitel XI - Korrelatiosrechug 25
55 Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet Falls kei Merkmalswert doppelt auftritt ud damit die Ragziffer jeweils die Werte 1,..., durchlaufe, lässt sich r S umforme zu 6 (r i s i ) 2 r S = 1 ( 2. 1) r S heißt Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 26
56 Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet Aalog zum Korrelatioskoeffiziete gilt: Ragfolge bei beide Merkmale r S gegeläufig 1 ukorreliert 0 idetisch +1 Etspreched wird ma Zwischewerte iterpretiere: r S 1 gegeläufiger Tred i de Merkmale, r S 0 kei Tred erkebar, r S 1 gleichlaufeder Tred. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 27
57 Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet Aalog zum Korrelatioskoeffiziete gilt: Ragfolge bei beide Merkmale r S gegeläufig 1 ukorreliert 0 idetisch +1 Etspreched wird ma Zwischewerte iterpretiere: r S 1 gegeläufiger Tred i de Merkmale, r S 0 kei Tred erkebar, r S 1 gleichlaufeder Tred. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 27
58 Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet Ragziffer bei quatitative Merkmale Dies ist da sivoll, we zwar ei Tred zwische de Werte, aber kei fuktioaler Zusammehag vermutet wird ud daher isbesodere eie lieare Regressio icht agebracht ist. Kapitel XI - Korrelatiosrechug 28
59 Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet Beispiel Studete der Statistik-Vorlesug wurde befragt, wieviele Stude sie für die Nacharbeitug der Vorlesug im Durchschitt wöchetlich aufgewadt habe ud welche Puktzahle sie i der Klausur erreichte: Studet Stude Pukte Daraus ergebe sich die Ragzifferpaare (r i, s i ): (1,2), (2,1), (3,3.5), (4.5,3.5), (4.5,5), (6,7), (7,6), (8,8) Kapitel XI - Korrelatiosrechug 29
60 Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet Beispiel Studete der Statistik-Vorlesug wurde befragt, wieviele Stude sie für die Nacharbeitug der Vorlesug im Durchschitt wöchetlich aufgewadt habe ud welche Puktzahle sie i der Klausur erreichte: Studet Stude Pukte Daraus ergebe sich die Ragzifferpaare (r i, s i ): (1,2), (2,1), (3,3.5), (4.5,3.5), (4.5,5), (6,7), (7,6), (8,8) Kapitel XI - Korrelatiosrechug 29
61 Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet Beispiel 11.6 Nach der erste Formel für r S ergibt sich r S = Cov(r,s) s 2 r ss 2 = = = Die zweite Formel darf hier wege besteheder Biduge icht verwedet werde ud liefert ei abweichedes Ergebis r S = ( ) = = Kapitel XI - Korrelatiosrechug 30
62 Spearmascher Ragkorrelatioskoeffiziet Beispiel 11.6 Nach der erste Formel für r S ergibt sich r S = Cov(r,s) s 2 r ss 2 = = = Die zweite Formel darf hier wege besteheder Biduge icht verwedet werde ud liefert ei abweichedes Ergebis r S = ( ) = = Kapitel XI - Korrelatiosrechug 30
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Kapitel 9 WAHRSCHEINLICHKEITS-RÄUME Fassug vom 13. Februar 2006 Mathematik für Humabiologe ud Biologe 129 9.1 Stichprobe-Raum 9.1 Stichprobe-Raum Die bisher behadelte Beispiele vo Naturvorgäge oder Experimete
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Innerbetriebliche Leistungsverrechnung
Ierbetriebliche Leistugsverrechug I der Kostestellerechug bzw. im Betriebsabrechugsboge (BAB ist ach der Erfassug der primäre Kostestellekoste das Ziel, die sekudäre Kostestellekoste, also die Koste der
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![Körpergröße x Häufigkeit in [m] 1.50 1.60 1 1.60 1.70 5 1.70 1.80 49 1.80 1.90 53 1.90 2.00 15 2.00 2.10 1](/thumbs/40/21690528.jpg "Körpergröße x Häufigkeit in [m] 1.50 1.60 1 1.60 1.70 5 1.70 1.80 49 1.80 1.90 53 1.90 2.00 15 2.00 2.10 1")
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Dritter Zirkelbrief: Ungleichungen
Matheschülerzirkel Uiversität Augsburg Schuljahr 014/015 Dritter Zirkelbrief: Ugleichuge Ihaltsverzeichis 1 Grudlage vo Ugleichuge 1 Löse vo Ugleichuge 3 3 Mittel 4 4 Mittelugleichuge 5 5 Umordugsugleichug
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Korrelationsanalyse zwischen kategorischen Merkmalen. Kontingenztabellen. Chi-Quadrat-Test
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Lösungen der Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur Mathematik für Informatiker I
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6. Übung - Differenzengleichungen
6. Übug - Differezegleichuge Beispiel 00 Gesucht sid alle Lösuge vo a) x + 3x + = 0 ud b) x + x + 7 = 0, jeweils für 0. Um diese lieare Differezegleichug erster Ordug zu löse, verwede wir die im Buch auf
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Übug Wasserhaltug Lehrstuhl für Grudbau, Bodemechaik, Felsmechaik ud Tuelbau C Wasserhaltug Ihaltsverzeichis C. Allgemeies C.. Bezeichuge C.. Fassugsvermöge ud Zulauf des Eizelbrues C..3 Vollkommeer uvollkommeer
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II. Grundzüge der Stichprobentheorie
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