Übung 11. Stochastische Signale Prof. Dr.-Ing. Georg Schmitz

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1 Übug Aufgabe : Ukorrelierte, statistisch uabhägige Prozesse Es sid zwei stochastische Prozesse gegebe mit X = cos(z ), Y = cos(z φ). Hierbei sei Z auf [ π, π] gleichverteiltes weißes Rausche mit E{Z } = 0.. Bestimme Sie die Kreuzmometfuktio r X,Y (, k) ud die Kreuzkovariazfuktio c X,Y (, k).. Überprüfe Sie, ob die Prozesse orthogoal bzw. ukorreliert sid i Abhägigkeit vo φ.. Sid die Prozesse bei geeigeter Wahl vo φ stochastisch uabhägig? Aufgabe : Statioarität Es wird zu jedem Zeitpukt Z ei fairer Würfel geworfe. Die gewürfelte Augezahle werde als stochastischer Prozess X aufgefasst (vergl. Abb. ).. Bestimme Sie de determiistische Ateil μ X () des Prozesses X.. Bestimme Sie die Autokovariazfuktio c X,X (, k) des Prozesses X.. Utersuche Sie de Prozess X auf: Statioarität i. w. S. Statioarität. Nu wird der faire Würfel ur ei eiziges Mal geworfe. Der stochastische Prozess Y sei dadurch gegebe, dass er für alle Zeite Z kostat das Würfelergebis aimmt (vergl. Abb. ).. Bestimme Sie de determiistische Ateil μ Y () des Prozesses Y.. Bestimme Sie die Autokovariazfuktio c Y,Y (, k) des Prozesses Y.. Utersuche Sie de Prozess Y auf: Statioarität i. w. S. Statioarität. Aufgabe : Komplexwertiger stochastischer Prozess Gegebe sei der stochastische Prozess Z(t) = (A k + jb k )e jω kt, der aus de erwartugswertfreie, reellwertige Prozesse A k ud B k gewoe wird. Es gelte c A,A (k, i) = c B,B (k, i) = σ k δ k,i. Zudem seie A k ud B k ukorrelierte stochastische Prozesse.. Bestimme Sie Real- ud Imagiärteil des Prozesses Z(t).

2 . Bestimme Sie de Erwartugswert vo Z(t).. Bestimme Sie die Autokovariazfuktio vo Z(t) Abb. Ausschitt aus vier Realisieruge des stochastische Prozesses X Abb. Ausschitt aus vier Realisieruge des stochastische Prozesses Y

3 Musterlösug Aufgabe. Für die Kreuzmometfuktio r X,Y (, k) gilt r X,Y (, k) = E{X Y k } = E{cos(Z )cos(z k φ)}. Im Fall k sid Z ud Z k wege der Defiitio vo weißem Rausche stochastisch uabhägig. I Folge desse gilt r X,Y (, k) = E{cos(Z )}E{cos(Z k φ)}, k. Mit der zeituabhägige Dichte des weiße Rausches ergebe sich die Erwartugswerte zu f z (z) = { π π z π, 0 sost, μ X () = E{X } = cos(z) f z (z)dz = π cos(z) dz = 0, μ Y () = E{Y } = cos(z φ) f z (z)dz = cos(z φ) dz = 0, π da die Itegratioe jeweils über eie vollstädige Periode eier siusförmige Fuktio erfolge. Damit ist r X,Y (, k) = 0, k. Im Fall π π π k ergibt sich uter Awedug des Additiostheorems die Kreuzmometfuktio r X,Y (, ) zu Dabei ist π cos(a)cos(b) = [cos(a + b) + cos(a b)] r X,Y (, ) = [E{cos(Z φ)} + cos(φ)]. E{cos(Z φ)} = cos(z φ) f z (z)dz = cos(z φ) dz = 0, π da wieder über zwei vollstädige Periode eier siusförmige Fuktio itegriert wird. Die Kreuzmometfuktio r X,Y (, ) ergibt sich damit zu r X,Y (, ) = cos(φ). π π

4 Isgesamt ka geschriebe werde r X,Y (, k) = cos(φ)δ,k, wobei δ,k das Kroecker-Delta mit δ,k = { = k, 0 k, ist. Die Kreuzkovariazfuktio lässt sich u leicht über de Zusammehag zu bestimme. Aufgabe. c X,Y (, k) = r X,Y (, k) μ X ()μ Y (k) c X,Y (, k) = r X,Y (, k) Zwei auf dem gleiche Wahrscheilichkeitsraum defiierte reellwertige stoch. Prozesse X(t) ud Y(t) heiße ukorreliert, we für beliebige Idizes t I X ud t I Y gilt r X,Y (t, t ) = E{X(t )Y(t )} = E{X(t )}E{Y(t )} = μ X (t )μ Y (t ). Im vorliegede zeitdiskrete Fall ist μ X ()μ Y (k) = 0. Die Kreuzmometfuktio r X,Y (, k) ka ur für = k vo ull verschiedee Werte aehme. Es gilt: r X,Y (, ) = cos(φ) = 0 φ = π + lπ, mit l Z. Die stoch. Prozesse X ud Y sid ukorreliert für de Fall φ = π + lπ, l Z. Zwei auf dem gleiche Wahrscheilichkeitsraum defiierte reellwertige stoch. Prozesse X(t) ud Y(t) heiße orthogoal, we für beliebige Idizes t I X ud t I Y gilt r X,Y (t, t ) = E{X(t )Y(t )} = 0. Wie zuvor ka die Kreuzmometfuktio r X,Y (, k) ur für = k vo ull verschiedee Werte aehme. Da sid die stoch. Prozesse X ud Y für de Fall φ = π + lπ, l Z orthogoal. Aufgabe. Zwei auf dem gleiche Wahrscheilichkeitsraum defiierte stoch. Prozesse X(t) ud Y(t) heiße stochastisch uabhägig, we für beliebige Zeite t,, t k I X ud t,, t j I Y gilt F X,Y (x,, x k ; y,, y j ; t,, t k ; t,, t j ) = F X (x,, x k ; t,, t k )F Y (y,, y j ; t,, t j ). (Die Idetität gilt auch für die etsprechede Dichtefuktioe, sofer sie existiere.) Isbesodere sid stoch. uabhägige Prozesse stets ukorreliert. Dies ist also eie otwedige Bedigug für stoch. Uabhägigkeit. Im vorliegede zeitdiskrete Fall sid X ud Y ur für φ = π + lπ ukorreliert. Da gilt aber Y = cos (Z π lπ) = si(z )( ) l.

5 Folglich ist X + Y = cos (Z ) + si (Z ) = stets erfüllt. Damit gilt der feste determiistische Zusammehag zwische X ud Y Y = ± X. Ist X bekat, so ka Y höchstes och zwei verschiedee, vo X abhägige Werte aehme. Damit sid die Prozesse X ud Y stochastisch abhägig. Aufgabe. Der determiistische Ateil μ X () des Prozesses X ergibt sich zu Aufgabe. μ X () = E X = kp{x = k} = k = =, = μ X. Für die Autokovariazfuktio c X,X (, k) gilt c X,X (, k) = r X,X (, k) μ X ()μ X (k) = r X,X (, k) μ X. Die Mometfuktio zweiter Ordug ist Im Fall k gilt Damit ist P{X = i, X k = j} = P{X = i} Im Fall = k gilt r X,X (, k) = E{X X k }. P{X k = j X = i} =P{X k =j} (stat. Uabhägigkeit) r X,X (, k) = E{X X k } = E{X }E{X k } = μ X, k. r X,X (, ) = E{X } = k P(X = k) = k Isgesamt ergibt sich also 0 k c XX (, k) = { 9 μ X = k } = δ,k, = k, wobei k, das Kroecker-Delta mit δ,k = { 0 k, ist. = P{X = i}p{x k = j} =. = 7 = 9 =,. Aufgabe. Da μ X () = μ X = cost. ud c X,X (, k) = c X,X (u) mit u = k gilt, ist der Prozess X i. w. S. statioär.

6 Da der Prozess X für alle Z idetisch verteilt ist ud X sowie X k für k stochastisch uabhägig sid (es hadelt sich um eie sog. iid-prozess (idepedet idetically distributed)) ist der Prozess X statioär. Jede beliebige Wahrscheilichkeitsverteilug ka aus der zeituabhägige Verteilugsfuktio P(X = k) = P(X = k) kostruiert werde. Diese sid da uabhägig vo der Wahl des Zeitullpuktes. Z. B. gilt wege der stoch. Uabhägigkeit vo X, X ud X P(X = l, X = k, X = m) = P(X = l)p(x = k)p(x = m). Wege der Zeituabhägigkeit vo P(X = k) = P(X = k) ist aber auch P(X +τ = l, X +τ = k, X +τ = m) = P(X = l)p(x = k)p(x = m). Dies erfüllt die Defiitio vo statioäre Zufallsprozesse. Aufgabe. Das Ergebis aus Teil gilt hier uverädert: μ Y () = μ X () = =, = μ Y. Aufgabe. Wie zuvor gilt für die Autokovariazfuktio c Y,Y (, k) c Y,Y (, k) = r Y,Y (, k) μ Y ()μ Y (k) = r Y,Y (, k) μ Y. Die Mometfuktio zweiter Ordug ist r YY (, k) = E{Y Y k }. Für alle, k Z gilt P{Y = i, Y k = j} = P{Y = i} P{Y k = j Y = i} = { für i = j, 0 für i j } = δ i,j. keie stat. Uabhägigkeit! ={ i=j 0 sost Damit ist ud somit Aufgabe. r Y,Y (, k) = E{Y Y k } = ijp{y = i, Y k = j} = i = 9 =, i= j= c Y,Y (, k) = 9 ( ) i= = = σ X (). Wie der Prozess X ist auch der Prozess Y statioär i. w. S. ud statioär. Die Begrüdug der Statioarität ist vom Prizip idetisch: Beliebige, vo der Wahl des Zeitullpuktes uabhägige Wahrscheilichkeitsverteiluge köe aus P(Y = k) = P(Y = k) kostruiert werde.

7 Aufgabe. Re{Z(t)} = Re { (A k + jb k )e jω kt} = Re{(A k + jb k )[cos(ω k t) jsi(ω k t)]} = [A k cos(ω k t) + B k si(ω k t)] Im{Z(t)} = [B k cos(ω k t) A k si(ω k t)] Aufgabe. E{Z(t)} = E { (A k + jb k )e jω kt} = (E{A k } + je{b k })e jω kt = 0 Aufgabe. c Z,Z (t + τ, t) = E{Z(t + τ)z (t)} E{Z(t + τ)} E{Z (t)} = E {( (A k + jb k )e jω k(t+τ) ) ( (A i jb i )e jω it)} =0 i= = E{(A i jb i )(A k + jb k )}e jω it e jω k(t+τ) i= = [E{A i A k } je{b i A k } + je{a i B k } + E{B i B k }]e jω it e jω k(t+τ) i= Nach de Agabe i der Aufgabestellug gilt:. A k, B k ukorreliert, d.h c A,B (k, i) = E{[A k μ A (k)][b i μ B (i)]} = E{A k B i } = E{B i A k } = 0 für alle k, i Z. c A,A (k, i) = E{[A k μ A (k)][a i μ A (i)]} = E{A k A i } = σ k δ k i. c B,B (k, i) = E{[B k μ B (k)][b i μ B (i)]} = E{B k B i } = σ k δ k i 7

8 Daraus folgt: c Z,Z (t + τ, t) = E{A i A k } i= =σ k δ k i j E{B i A k } =0 = σ k δ k i e jω it e jω k(t+τ) i= + j E{A i B k } = σ k e jωkt e jω k(t+τ) = σ k e jω kτ =0 + E{B i B k } =σ k δ k i e jω it e jω k(t+τ) 8