a ist die nichtnegative Lösung der Gleichung a 0 a, b 0 : a 0 und b > 0 Beispiele:

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1 Zahle. Die Quadratwurzel Die Quadratwurzel a heißt Radikad Beachte: 0 = 0 a ist die ichtegative Lösug der Gleichug = a, wobei a 0. 4 Ei Teil der Quadratwurzel sid ratioale Zahle (bspw. 6, 0, 09, ), adere dagege 7 irratioale Zahle (bspw., 0, 9, ). 9 Die Mege der reelle Zahle R besteht aus alle ratioale ud irratioale Zahle. 9. Reche mit Quadratwurzel ( a ) = a a 0 a falls a 0 a = a = a falls a < 0 a R a b = a b a, b 0 a a a : b = = = a b b b : a 0 ud b > 0 aber: a ± b a ± b a, b 0. Teilweises Radiziere ud uter die Wurzel ziehe Zerlege de Radikade i ei Produkt, so dass ei Faktor eie Quadratzahl ist. Ist bei eiem Produkt ei Faktor eie Wurzel, so lässt sich das Produkt als Wurzel schreibe. Beispiele: 47 = 49 = = = 0 Beispiele: 4 = 4 = = ( + 5) 5 y + = 5 ( y + ).4 Die -te Wurzel Defiitio: Die -te Wurzel aus a ist die icht egative Lösug der Gleichug (Dabei muss a 0 sei!) + = a N; a R 0 = a.

2 Potezschreibweise der -te Wurzel: Beispiel: 7 = a = a = = 7 = 7 = 7.5 Poteze mit ratioale Epoete p q p p q q Für positive Basis a gilt: a a ( a ) = = ( p Z ; q IN ) Reche mit -te Wurzel durch Umforme i Poteze: Beispiel: 8 = ( 8) = = 4 ;.6 Die Biomische Formel (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b 4 ( + 5) = (0, 5 y) = 0, 5 y + y (a + b) (a b) = a b (0,a + 6b) (0,a 6b) = 0,09a 6b.7 Quadratische Gleichuge Eie Gleichug der Form Soderfälle + + = ; et ma quadratische Gleichug. a b c 0 a 0 b = 0 reiquadratische Gleichug I diesem Fall lässt sich die quadratische Gleichug i die Form L d für d 0 L = für d < 0 Dabei gilt: = { ± } ud { } Beispiel: 0 = 0 = 5 / = ± 5 c = 0 Durch Ausklammer lässt sich die quadratische Gleichug i die Form a + b = 0 brige. ( ) Da gilt: = d brige. b L = 0 ; a 4 = 0 4 = 0 = 0 ud =, 75 Beispiel: ( ) Allgemeier Fall Awedug der Lösugsformel Für die Lösuge der quadratische Gleichug gilt: / ± = Der Ausdruck b 4ac wird als Diskrimiate D bezeichet. Falls D > 0 gibt es geau zwei Lösuge. Falls D = 0 gibt es geau eie Lösuge. Falls D < 0 gibt es keie Lösug. b b 4ac a

3 Beispiel: = 0 ± ± / = = = ud = 4 Faktorisiere eies quadratische Terms Hat die quadratische Gleichug + + = ; die Lösuge ud, so gilt: a b c 0 a 0 Beispiel: = ( + ) ( + 4) ( ) ( ) a + b + c = a Fuktioe. Quadratische Fuktioe Der Graph der Fuktio y mit y = heißt Parabel. y = a + b + c (a 0, R ) y = (-) = ist die Gleichug der y Quadratfuktio. y =. Scheitelgleichug Die Gleichug ( ) et ma Scheitelgleichug eier Parabel. Scheitel S( s s ) y = a s + s mit a 0 Wertemege a > 0 W = s ; Parabel ach obe geöffet [ [ ] ; ] a < 0 W = s Parabel ach ute geöffet Für a = + oder a = ist die Parabel eie Normalparabel. Für 0 < a < ist die Parabel breiter als die Normalparabel. Für a > ist sie schlaker als die Normalparabel.

4 Geometrie. Die Satzgruppe des Pythagoras Satz des Pythagoras: I jedem rechtwiklige Dreieck ist das Quadrat über der Hypoteuse flächegleich der Summe der Quadrate über de Kathete. C a + b = c b a Auch die Umkehrug ist richtig: We i eiem Dreieck gilt a + b = c, da ist es rechtwiklig. A q c p B Höhesatz: I jedem rechtwiklige Dreieck ist das Quadrat über der Höhe flächegleich dem Rechteck aus de beide Hypoteuseabschitte. h = p q Kathetesatz I jedem rechtwiklige Dreieck ist jedes Kathetequadrat flächegleich dem Rechteck aus der Hypoteuse ud dem der Kathete aliegede Hypoteuseabschitt. a = c p ud b = c q Damit gilt: Die Diagoale eies Quadrates hat die Läge a Die Höhe im gleichseitige Dreieck hat die Läge a. Sius, Kosius ud Tages Im rechtwiklige Dreieck (0 o < α <90 o ) wird defiiert: Sius: Kosius: Tages: Gegekathete vo α si α = Hypoteuse Akathete vo α cos α = Hypoteuse Gegekathete vo α ta α = Akathete vo α Außerdem gelte folgede Beziehuge: si (90 o α) = cos α cos (90 o α) = si α si α ta α = cos α ud si α + cos α = mit si α : = ( si α ) 4

5 Wichtige Sius- Kosius- ud Tageswerte α siα 0 cosα 0 taα 0 icht defiiert. Die Pyramide Die Pyramide hat ei Vieleck (hier: Viereck) als Grudfläche. Spitze Die Seitefläche sid Dreiecke. Das Lot vo der Spitze auf die Grudebee bezeichet ma als Höhe. Eie Pyramide mit der Grudfläche G ud der Höhe h hat de Raumihalt Seitefläche Höhe V = G h Eie dreiseitige Pyramide, dere Kate alle gleich lag sid, heißt Tetraeder. Grudfläche.4 Zylider ud Kegel Zylider: Volume: Matelfläche: V = Gh = r π h M = ukreis h = rπ h h Kegel: Volume: V = Gh = r π h Die Matelfläche ist ei Kreissektor mit dem Radius m (Matelliie) ud der Bogeläge rπ. Daraus lässt sich ableite: M = rπm 5

6 4 Stochastik Mehrstufige Zufallseperimete I eier Ure befide sich 4 weiße ud 6 schwarze Kugel. Ma zieht zwei Kugel mit Zurücklege: P( ww ) = 0,4 0,4 = 0,6 P( ws ) = 0,4 0,6 = 0,4 P( sw ) = 0,6 0,4 = 0,4 P( ss ) = 0,6 0,6 = 0,6 Die Summe der Wahrscheilichkeite a de Äste, die vo eier Verzweigug ausgehe, ist immer.. Pfadregel: Die Wahrscheilichkeit eies Elemetarereigisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheilichkeite auf dem Pfad zu diesem Ereigis.. Pfadregel: Die Wahrscheilichkeit eies Ereigisses ist gleich der Summe der Pfadwahrscheilichkeite, die zu diesem Ereigis gehöre. Beispiel: P( zwei gleichfarbige Kugel ) = P( ww ) + P( ss ) = 0,6 + 0,6 = 0,5 6