Figurierte oder geometrische Zahlen

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1 Figurierte Zahle mag. georg wegler Figurierte oder geometrische Zahle Figuriert heiße Zahle, die sich auf eie geometrische Figur, wie z.b. Dreiecke oder Vierecke allgemei Polygoe, daher Polygoalzahle - aber auch Körper, wie Tetraeder, Würfel oder Oktaeder usw. allgemei Polyeder, daher Polyederzahle - beziehe. Alle Folge der figurierte Zahle sid Reihe, sid doch die Folgeglieder immer Summe vo Zahle eier bestimmte Folge. Zur Bestimmug der explizite Formel der Folge vo figurierte Zahle utersucht ma die Differeze zwische beachbarte Folgeglieder, die selber wiederum eie Folge, die Differezefolge, bilde. Auch davo ka ma wieder die Differeze bestimme usw. Ist keie adere Möglichkeit ersichtlich, so lässt sich die explizite Gesetzmäßigkeit jeder dieser Folge mit dem sogeate Polyomasatz algebraisch bestimme (siehe Vorlesug). Scho die griechische Mathematikerie ud Mathematiker habe sich mit figurierte Zahle beschäftigt ud ware fasziiert vo de dabei etdeckte Gesetzmäßigkeite ud Zusammehäge. Polygoalzahle. Polygoalzahle mit dezetralem Aufbau... Dreieckszahle mit dezetralem Aufbau dre Dreieckszahle mit dezetralem Aufbau sid im Prizip die «Mutterfolge» aller figurierte Zahle, da sich alle Polygo- ud Polyederzahle letztlich wieder auf sie zurückführe lasse. Dreieckszahle mit dezetralem Aufbau erhält ma, idem ma aufeiaderfolgede Natürliche Zahle addiert. Sie heiße so, weil wir die Pukte (Steiche, Ecke,...) i Dreiecksform auslege köe. dre = dre =+=3 dre 3 = ++3= dre 4 =++3+4=0 dre 5 = =5 rekursive Berechug: Die Folgeglieder etstehe durch Additio der Natürliche Zahle: vgl.: S e i t e

2 Figurierte Zahle mag. georg wegler dre = dre = + = 3 dre 3 = ++3 = = dre dre = = dre (-) + explizite Berechug: Vom bedeutede Mathematiker Karl Friedrich Gauß ( ) erzählt ma sich die folgede Geschichte: Er sollte als Schüler i der Schule die Zahle vo bis 00 zusammezähle. Der Lehrer ahm a, dass er damit eie Weile beschäftigt war. Scho ach kurzer Zeit fad er die Summe Erklärug: Statt stur die Zahle vo bis 00 der Reihe ach zu addiere, bildete er Zahlepaare mit deselbe Summewerte ud kote multipliziere: = (+00) + (+99) (50+5) = 50*0 = 5050 Falls die Geschichte icht wahr ist, so ist sie gut erfude. Damit ist auch scho die explizite Form der Berechug der Dreickszahle gefude: *dre = (-) (-) + (-) = *(+) ( ) dre Verschiedee Eigeschafte vo Dreieckszahle Die erste hudert Dreieckszahle, die mit diesem Aufbau etstehe sid: S e i t e

3 Figurierte Zahle mag. georg wegler Ma sieht:. Auf zwei ugerade Dreieckszahle (rot) folge immer gerade Dreieckszahle (schwarz). Beweis: Aahme: Die -te Dreieckszahl dre ist eie gerade Zahl Fall : Ma addiert eie gerade Zahl dazu die (+)-te Dreieckszahl dre (+) ist wieder eie gerade Zahl. (*)Die ächste Zahl, die u dazugezählt wird, ist sicher eie ugerade Zahl die (+)-te Dreieckszahl dre (+) ist sicher ugerade. Zu dieser wird wieder eie gerade Zahl addiert; dre (+3) ist deshalb ugerade. dre (+4) ist wieder die Summe vo dre (+3) mit eier ugerade Zahl ud ist deshalb gerade. Fall : Ma addiert eie ugerade Zahl ud begit mit der Überlegug erst bei (*) aaloge Überlegug zum Begi mit eier ugerade Zahl q.e.d.. Die Summe der Kehrwerte aller Dreieckszahle ist : lim i i( i) Beweis 3 : i i i i i ( i ) i ( i ) i ( i ) i ( i ) i i i i ( i ) ( i ) i ( i ) i i ( i ) i i i i ( ) ( ) ( ) Es bleibt ur lim q.e.d. übrig. 3. Bei alle Dreieckszahle > 3 hadelt es sich um zusammegesetzte Zahle. Zusammegesetzte Zahle sid atürliche Zahle, die sich als Produkt darstelle lasse, die also keie Primzahle sid. 4 Dass die Dreieckszahle > 3 keie Primzahle, sid folgt aus der explizite Formel: ( ) dre 3 vgl.: 4 vgl.: S e i t e 3

4 Figurierte Zahle mag. georg wegler Ist gerade, da ist eie atürliche Zahl ud dre somit als Produkt zweier atürlicher Zahle darstellbar. Ist ugerade, da ist Zahle. q.e.d. gazzahlig ud damit dre wieder das Produkt zweier atürlicher 4. Zusammehag der Dreieckszahle (mit zetralem Aufbau) mit Vollkommee Zahle Eie Zahl, dere Summe ihrer Teiler (kleier als die Zahl selbst) gleich der Zahl ist, heißt vollkommee Zahl. Die erste vollkommee Zahle sid, 8 ud 49. Sie sid Dreieckszahle wie jede vollkommee gerade Zahl (Es ist bis heute ubekat, ob es auch ugerade vollkommee Zahle gibt). 5 Beweis: Nach Leohard Euler lässt sich eie gerade vollkommee Zahl durch die Formel ( ) darstelle, wobei ( ) eie Primzahl sei muss. We ma die Formel ( ) Formel, die Dreieckszahle repräsetiert: mit multiplikativ erweitert, ud durch m substituiert, kommt ma auf die ( ) ( ) ( ) m m ( ) q.e.d. 5. Zusammehag der Dreieckszahle (mit zetralem Aufbau)mit dem Pascal`sche Dreieck Die Lage im Pascal'sche Dreieck: Wie so oft i der Zahletheorie bietet auch hier das Pascal sche Dreieck eie Beitrag. Die rot gekezeichete Zahle sid Dreieckszahle. Ma ka im Dreieck auch die Summe der Dreieckszahle ablese ud erhält damit die Tetraederzahle. Beispiel: =35 Damit lasse sich Dreieckszahle ud Tetraederzahle (siehe Kapitel..) auch als Biomialkoeffiziete darstelle. 7 5 vgl.: vgl.: 7 vgl.: S e i t e 4

5 Figurierte Zahle mag. georg wegler! k k! k! Stelle. fidet ma im Pascal sche Dreieck i der (+)-te Reihe a der (k+)-te Daher ka ma die Dreickszahle auch wie folgt schreibe: dre 3 4 5,,,,. Die Summe zweier aufeiader folgeder Dreieckszahle ergibt eie Quadratzahl: siehe Kapitel... Die Doppeltreppe 7. Die Differez der Quadrate zweier aufeiader folgeder Dreieckszahle ergibt eie Kubikzahl. 8 Dies lässt sich aus der darüber stehede Eigeschaft ableite. We das Quadrat der -te Dreieckszahl aus der Summe der erste Kubikzahle gebildet wird, ud das Quadrat der (+)- te Dreieckszahl aus der Summe der erste + Kubikzahle gebildet wird, muss als Differez die (+)-te Kubikzahl herauskomme. 8. Das Achtfache eier Dreieckszahl addiert mit ergibt immer eie Quadratzahl 9 Diese Aussage ist gleichbedeuted mit: Alle ugerade Quadratzahle sid kogruet mod dre dre( ) dre 0. 3dre dre( ) dre( ) 8 vgl. ebeda 9 vgl. ebeda S e i t e 5

6 Figurierte Zahle mag. georg wegler. Jede Natürliche Zahl lässt sich als Summe vo höchstes drei Dreieckszahle ausdrücke 0 Diese Etdeckug stammt vo Carl Friedrich Gauß. Seie vielleicht berühmteste Tagebucheitragug machte er am 0. Juli 79. Sie lautete: EYPHKA: um = Δ + Δ + Δ (Heureka! Jede Zahl ist die Summe vo 3 Dreieckszahle) Allgemeier (Fermat): Jede atürliche Zahl lässt sich als Summe vo höchstes -Eckzahle darstelle.... Die Treppe Zeichet ma de dezetrale Aufbau vo Dreieckszahle etwas verädert auf, so lässt sich das Bild eier Treppe erkee:... Die Doppeltreppe Ebeso lasse sich atürlich Doppeltreppe aufbaue: rekursive Berechug: Mathematisch gesehe hadelt es sich hier um eie Additio der ugerade Zahle: dotr = = dotr = +3 = 4 dotr 3 = +3+5 = 9 dotr 4 = = dotr = (-) = dotr (-) +(-)... explizite Berechug: Vermutug: (-) = Beweis: 0 vgl. ebeda S e i t e

7 Figurierte Zahle mag. georg wegler Prizipiell lasse sich Doppeltreppe als zwei Treppe deute, wobei die eie eie Stufe weiger hat als die adere: Diese Treppe lasse sich auch wie folged aorde, womit gleichzeitig die Vermutug bewiese ist: Bei de Doppeltreppezahle hadelt es sich folglich um die Quadratzahle mit dezetralem Aufbau. Diese werde deshalb i de weitere Ausführuge mit qua bezeichet Ebeso kommt ma atürlich durch Umformug der Summe der aufeiader folgede Dreieckszahle auf : ( ) ( ) ( )... Quadratzahle mit dezetralem Aufbau qua +3=4 +3+5= = =5 Quadratzahle ergebe sich durch die Additio der ugerade Zahle Sie köe auf Dreieckszahle mit dezetralem Aufbau zurückgeführt werde ud wurde daher bereits im Kapitel Dreieckszahle mit dezetralem Aufbau: Die Doppeltreppe behadelt. rekursives Bildugsgesetz: qua qua( ) ( ) qua( ) ( ) explizites Bildugsgesetz: qua S e i t e 7

8 Figurierte Zahle mag. georg wegler..3. Petagoalzahle mit dezetralem Aufbau pe +4=5 +4+7= = =35 rekursives Bildugsgesetz: pe 5 pe pe 4 pe 3 pe pe 7 pe 3 3 pe pe 0 pe pe pe( ) ( ) 3 explizites Bildugsgesetz: Auch diese Zahle köe auf Dreieckszahle zurückgeführt werde. Wie ma uschwer erkee ka gilt: pe =dre + *dre (-) oder pe = qua + dre (-) pe dre dre( ) ( ) ( ) 3 (3 )..4. Hexagoalzahle mit dezetralem Aufbau hex +5= +5+9= = =45 S e i t e 8

9 Figurierte Zahle mag. georg wegler rekursives Bildugsgesetz: hex hex hex 5 hex 4 5 hex hex 9 hex hex hex 3 hex hex hex( ) ( ) 4 explizites Bildugsgesetz: Bei der Rückführug auf die Dreieckszahle erket ma: ( ) ( ) ( ) hex dre 3dre( ) 3 ( ) Eigeschafte: Wie ma aus der Tabelle i Kapitel.. erkee ka, sid alle Hexagoalzahle auch Dreieckszahle ud zwar jeweils die., 3., 5.,... d.h.: die (-)-te Dreieckszahl ist die -te Hexagoalzahl: () ( ) w.a.!..5. Heptagoalzahle mit dezetralem Aufbau hep +=7 ++=8 +++=34 S e i t e 9

10 Figurierte Zahle mag. georg wegler rekursives Bildugsgesetz: hep 7 hep hep hep 5 8 hep hep hep hep hep hep hep hep( ) ( ) 5 explizites Bildugsgesetz: Bei der Rückführug auf die Dreieckszahle erket ma: hep dre 4dre( ) 4 ( ) ( ) (5 3) S e i t e 0

11 Figurierte Zahle mag. georg wegler... Allgemeies Formuliere vo Polygoalzahle mit dezetralem Aufbau: Nummer Figur Dreieck (Additio vo N) Quadrat Additio der uger. Zahle rekursive Formel dre dre ( ) dre( ) ( ) qua qua( ) ( ) qua dre dre( ) dre dre( ) Petago 5 35 pe pe( ) ( ) 3 pe qua dre( ) dre dre( ) Hexago hex hex( ) ( ) 4 hex pe dre( ) dre 3 dre( ) Heptago hep hep( ) ( ) 5 hep hex dre( ) dre 4 dre( ) p-eck p p eck p eck( ) ( ) ( p ) p eck ( p ) eck dre( ) dre ( p 3) dre( ) Nummer Figur Dreieck (Additio vo N) Quadrat Additio der uger. Zahle dre ( ) ( ( )) (0) qua Petago (3) pe Hexago (4) hex Heptago (53) hep p-eck (( p ) ( p 4)) p eck explizite Formel dre ( ) (Herleitug siehe ächste Seite) ( ) qua ( ) pe 3 ( ) hex 4 ( ) hep 5 ( ) p eck ( p ) S e i t e

12 Figurierte Zahle mag. georg wegler Explizites Bildugsgesetz der Polygoalzahle mit dezetralem Aufbau über die Dreieckszahle: ( ) dre dre( ) ( ) qua dre dre( ) dre( ) ( ) pe dre dre( ) 3dre( ) 3 ( ) hex dre 3dre( ) 4dre( ) 4 ( ) hep dre 4dre( ) 5dre( ) 5 ( ) p eck ( p ) dre( ) ( p ) Beweis für die Gleichheit der Formel für ei p-eck: (( p ) ( p 4)) ( p p 4) p p 4 p p 4 ( p )( ) ( ) ( p ) S e i t e

13 Figurierte Zahle mag. georg wegler. Zetrierte Polygoalzahle... Zetrierte Dreieckszahle drez drez = drez =+3=4 drez 3 =+3+=0 drez 4 =+3++9=9 drez 5 =+3++9+=3 Wie ma sieht, werde hier jeweils die Vielfache vo 3 zur ursprügliche addiert. Auch das ka ma sehr schö bildlich darstelle: drez = drez =+3* drez 3 =+3*+3* drez 4 =+3*+3*+3*3 drez 5 =+3*+3*+3*3+3*4 rekursive Berechug: Für die -te Dreieckszahl drez gilt deshalb: drez ( ) drez 3 ( ) ( ) explizite Berechug: drez ( ) ( ) 3 ( 3 ) ( ) 3 Ma sieht: Die Dreieckszahle lasse sich auch mittels Dreieckszahle mit dezetralem Aufbau bereche: ( ) drez 3 3dre( ) Eigeschaft: Die zetrierte Dreieckszahle sid kogruet mod 3 S e i t e 3

14 Figurierte Zahle mag. georg wegler... Zetrierte Quadratzahle quaz quaz = quaz =+4=5 quaz 3 =+4+8=3 quaz 4 =+4+8+=5 quaz 5 =+4+8++=4 Aalog zum zetrale Aufbau vo Dreieckszahle köe Gruppe gebildet werde, sodass für die -te Quadratzahl quaz gilt: quaz ( ) 4 rekursive Berechug: Für die -te Quadratzahl quaz gilt deshalb: quaz ( ) quaz 4 ( ) explizite Berechug: quaz ( ) 4 4( ) 4( 3 ( )) 4 4 ( ) 4 ( ) ( ) Eigeschafte : Die Quadratzahle mit zetralem Aufbau sid kogruet mod 4 Die zetrierte Quadratzahle sid die Summe zweier aufeiaderfolgeder Quadrate, vo dee eies ugerade ud eies gerade ist. = + quaz ( ) ( ) ( ) vgl.: Coway.H. u. Guy R., Zahlezauber. Vo atürliche ud imagiäre ud adere Zahle, Basel-Bosto-Berli 997, S. 5 S e i t e 4

15 Figurierte Zahle mag. georg wegler..3. Zetrierte Petagoalzahle pez pez = pez =+5= pez 3 =+5+0= pez 4 =+5+0+5=3 pez 5 = =5 rekursive Berechug: Aalog zu de Dreiecks- ud Quadratzahle mit zetralem Aufbau gilt für die -te Petagoalzahl pez : pez ( ) pez 5 ( ) ( ) explizite Berechug: Aalog zum zetrale Aufbau vo Dreieckszahle köe wieder Gruppe gebildet werde, sodass für die -te Petagoalzahl pez gilt: pez ( ).5 5( ) 5 5 ( ) 5( 3 ( )) 5 Eigeschaft: Die Petagoalzahle mit zetralem Aufbau sid kogruet mod Zetrierte Hexagoalzahle hexz hexz,7,9,37,,... rekursive Berechug (aaloge Herleitug): hexz 3 ( ) hexz ( ) ( ) explizite Berechug (aaloge Herleitug): ( ) ( ) hexz ( 3 ( )) 3 ( ) Hexagoalzahle mit zetralem Aufbau sid kogruet mod vgl.: ebeda S. 50f. S e i t e 5

16 p+p+3p+ p+p+ p+ Figurierte Zahle mag. georg wegler..5. Allgemeies Formuliere vo zetrierte Polygoalzahle Nummer Figur rekursive Formel explizite Formel Dreieck drez 3drez( ) drez drez( ) 3 ( ) ( ) drez 3 Quadrat quaz 4drez( ) quaz drez drez( ) quaz quaz( ) 4 ( ) ( ) quaz 4 Petago 3 5 pez 5drez( ) Hexago hexz drez( ) pez quaz drez( ) pez pez( ) 5 ( ) ( ) pez 5 hexz pez drez( ) hexz hexz( ) ( ) ( ) hexz p-eck... p eckz pdrez( ) p eckz ( p ) eckz drez ( ) p eckz p eckz ( ) p( ) ( ) p eckz p (siehe dezetrierte Variate) ( ) Da dre( ) köe alle Polygoalzahle mit zetralem Aufbau auch als ei Vielfaches vo Dreieckszahle mit dezetralem Aufbau plus gesehe werde, bzw.: Polygoalzahle mit zetralem Aufbau ud p Ecke sid kogruet mod p. S e i t e

17 Figurierte Zahle mag. georg wegler Polyederzahle Figurierte Zahle gibt es atürlich auch im mehrdimesioale Raum. Auch im R 3 lasse sie sich schö darstelle.. Pyramidalzahle, die durch Übereiaderschichte vo Polygoalzahle mit dezetralem Aufbau etstehe:... Tetraederzahle tet 3 Tetraederzahle etstehe durch ei Übereiaderschichte vo Dreieckszahle mit dezetralem Aufbau. tet = tet =+3=4 tet 3 =+3+=0 tet 4 =+3++0=0 rekursive Berechug: Die Folgeglieder etstehe durch Additio der Dreieckszahle mit dezetralem Aufbau: tet = dre + dre + dre dre tet = + ( + ) + ( + + 3) ( ) ( ) tet tet( ) dre tet( ) explizite Berechug: Durch de Zusammehag mit dem Pascal sche Dreieck lässt sich eie Formel für die explizite Berechug fide:! k k! k! fidet ma im Pascal sche Dreieck i der (+)-te Reihe a der (k+)-te Stelle. Damit ka ma die Tetraederzahle auch wie folgt schreibe: tet,,,,, daher gilt: ( ) ( ) tet ( ) ( ) vgl.: ebeda S. 53f. S e i t e 7

18 Figurierte Zahle mag. georg wegler... Quadratische Pyramidalzahle 4-pyr 4 rekursive Berechug: 4-pyr = pyr = 4-pyr (-) + explizite Berechug: I Kapitel... wurde gezeigt, dass die Summe vo aufeiader folgede Dreieckszahle mit dezetralem Aufbau eie Quadratzahl ergebe. ( ) ( ) ( ) Mit dem Wisse über de Aufbau der Tetraederzahle durch Übereiaderschichte vo Dreieckszahle gilt daher : 4 pyr tet tet( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )..3. Petagoale Pyramidalzahle 5-pyr rekursive Berechug: (3) 5 pyr (3) 5 pyr 5 pyr( ) explizite Berechug: Da sich die dezetrale Petagoalzahle aber auch durch die Dreieckszahle darstelle lasse, (siehe Kapitel..3) lasse sich die dezetrale Pyramidalzahle auch i Tetraederzahle teile. Daher gilt: 5 pyr tet tet( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 vgl.: ebeda S. 5f. S e i t e 8

19 (p-)*0 4p- p+ Figurierte Zahle mag. georg wegler..4. Allgemeies Formuliere vo Pyramidalzahle, die durch Übereiaderschichte vo Polygoalzahle mit dezetralem Aufbau etstehe: Nummer Figur 3 4 rekursive Formel explizite Formel Tetraeder tet tet( ) dre tet ( ) ( ) quadratische Pyramide pyr 4 pyr( ) qua 4 pyr tet tet ( ) 4 pyr ( ) ( ) petagoale Pyramide pyr 5 pyr( ) pe 5 pyr tet tet( ) 5 pyr ( ) 3 hexagoale Pyramide 7 50 pyr pyr( ) hex pyr tet 3 tet ( ) pyr ( ) (4 ) p-eckige Pyramide p pyr p pyr p eck ( ) p pyr tet ( p 3) tet( ) p pyr ( ) (( p ) 5 p) S e i t e 9

20 Figurierte Zahle mag. georg wegler. Pyramidalzahle, die durch Übereiaderschichte vo Polygoalzahle mit zetralem Aufbau etstehe:... Dreiseitige Pyramidalzahle 3-pyrz Durch ei Übereiaderschichte der zetrierte Dreieckszahle erhält ma dreiseitige Pyramide. rekursive Berechug: 3 pyrz 3 pyrz drez ( ) Da sich aber die zetrale Dreieckszahle i dezetrale Dreieckszahle plus teile lasse, drez 3dre( ) lasse sich aalog die zetrierte Pyramidalzahle i 3 Tetraederzahle plus teile. 3 pyrz 3tet ( ) explizite Berechug: 3 pyrz 3tet( ) tet 3 ( ) ( ) ( )... Quadratische Pyramidalzahle 4-pyrz rekursive Berechug: 4 pyrz 4 pyrz quaz ( ) oder aalog zu 3-pyrz: Weil quaz 4dre( ) gilt auch 4 pyrz 4tet( ) S e i t e 0

21 Figurierte Zahle mag. georg wegler explizite Berechug: 4 pyrz 4tet( ) tet 4 ( ) ( ) ( ) Petagoale Pyramidalzahle 5-pyrz rekursive Berechug: 5 pyrz 5 pyrz pez ( ) oder aalog zu 3-pyrz: 5 pyrz 5tet 5 ( ) ( ) explizite Berechug: 5 pyrz 5tet( ) tet 5 ( ) ( )..4. Hexpyramidalzahle Kubikzahle kub 5 Hexpyramidalzahle sid Pyramidalzahle bei dee Hexagoe mit zetralem Aufbau übereiader geschichtet werde. Hier soll gezeigt werde, dass sie gleich groß sid wie die etsprechede Kubikzahle mit dezetralem Aufbau. -pyr = -pyr =+7=8 -pyr 3 =+7+9=7 -pyr 4 = =4 Baut ma die Sechsecke mit de dukle Pukte als Achse im Raum auf, so etsteht jeweils ei Nest i dem die zuvor erhaltee Nester wieder Platz hat. kub = kub =+7=8 kub 3 =+7+9=7 kub 4 = =4 Ma sieht: Die Hexpyramidalzahle etspreche de Kubikzahle: pyr kub 3 5 vgl. ebeda S. 5f. S e i t e

22 0p+4 4p+3 p+ Figurierte Zahle mag. georg wegler..5. Allgemeies Formuliere vo Pyramidalzahle, die durch Übereiaderschichte vo Polygoalzahle mit zetralem Aufbau etstehe: Nummer Figur 3 4 rekursive Formel explizite Formel dreiseitige Pyramide pyrz 3 pyrz( ) drez 3 pyrz 3tet( ) 3 3 pyrz ( ) quadratische Pyramide petagoale Pyramide pyrz 4 pyrz( ) quaz pyrz 5 pyrz( ) pez 4 pyrz 4tet( ) 4 4 pyrz ( ) 5 pyrz 5tet ( ) 5 pyrz 5 ( ) hexagoale Pyramide kub kub( ) hexz kub tet( ) ( ) 3 kub p-eckige Pyramide p pyrz p pyrz p eckz ( ) p pyrz ptet( ) p p pyrz ( ) S e i t e

23 Figurierte Zahle mag. georg wegler.3 Weitere Polyederzahle.3.. Oktaederzahle oct Oktaederzahle köe auch als doppelte quadratische Pyramidalzahle, die aus dezetrale Quadrate aufgebaut sid, aufgefasst werde: oct pyr pyr( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ) ( ) (4 ) ( 3 ) 3 Vermutug: Die Oktaederzahle etspreche de 4-pyrz -Zahle. Beweis: 3 4 ( ) ( ) w.a Ikosaederzahle iko rekursive Berechug: Ei Ikosaeder hat Ecke ud 30 Kate. Die Folgeglieder sid daher: iko = iko = += iko 3 = iko = + 3 = 48 iko 4 = iko * = = 4... iko = iko (-) + (5 5+)/ vgl.: ebeda S. 59 S e i t e 3

24 Figurierte Zahle mag. georg wegler explizite Berechug: iko = iko = + iko 3 = = + * + 5 = 48 iko 4 = = + 3* + 3*5 + 5 =4... iko = Petagododekaederzahle dod Die Azahl der Pukte ist im Bild ur agedeutet. rekursive Berechug: Ei Petagododekaeder hat 0 Ecke ud 30 Kate. Die Folgeglieder sid daher: dod = dod = +9 =0 dod 3 = dod = = 84 dod 4 = dod = = 0... dod = dod (-) + (7²-45+0)/ explizite Berechug: dod = dod = +9 dod 3 = = + *9 +*45 = 84 dod 4 = = + 3*9 + 3* = dod (3 )(3 ) S e i t e 4

25 Figurierte Zahle mag. georg wegler.3.4. Zusammefassug: Körperzahle vo Platoische Körper (dezetral) Nummer Figur 3 4 rekursive Formel explizite Formel Tetraeder tet tet( ) dre tet ( ) ( ) Oktaeder 9 44 oct pyr pyr( ) 3 oct 4 pyrz ( ) 3 Würfel kub kub( ) hexz tet ( ) kub 3 Ikosaeder 48 4 iko iko (5 5 ) iko (5 5 ) Petagododekaeder dod dod( ) dod (3 )(3 ) Ebeso köte ma atürlich die platoische Körper zetral aufbaue. Rekursiv müsse immer die Azahl der Ecke plus (-) mal die Azahl der Kate zur vorhergehede Zahl dazugezählt werde. Aus diesem Asatz ka da wieder die explizite Form hergeleitet werde. S e i t e 5

26 Figurierte Zahle mag. georg wegler 3 Allgemeie Regel vo Folge, die auf geometrische Spielereie beruhe Selbstverstädlich würde sich dieses Spiel immer weiter spiele lasse mit kompliziertere Körper aber auch i höhere Dimesioe. Immer wieder stößt ma dabei auf überraschede Regelmäßigkeite ud Formel zur Berechug vo Folge ud Reihe. So lässt sich z. B. auch zeige, dass die Summe der erste Kubikzahle gleich dem Quadrat der -te Dreickszahl ist dre 7 Trotzdem ist Vorsicht gebote. Ma darf icht immer aus scheibarer Regelmäßigkeit eier Zahlefolge auf die eifache Berechug des ächste Gliedes schließe. Ei Beispiel dafür ist das folgede: Der -te Kreis hat Pukte auf seier Umfagsliie. Diese Pukte werde auf alle mögliche Weise miteiader verbude. Die Pukte sid dabei so gewählt, dass sich höchstes zwei Verbidugsliie i eiem Pukt scheide. Wie viele Bereiche gibt es u ierhalb des Kreises? 8 f = f = f 3 =4 f 4 =8 f 5 = Scheibar werde die Bereiche immer wieder verdoppelt. Doch die Formel für das -te Folgeglied: f ist falsch. Wie ma im folgede Bild sieht, hat das. Folgeglied bzw. der. Kreis ur 3 Bereiche: f =+3*+7=3 7 vgl.: ebeda S. 7f. 8 vgl.: ebeda S S e i t e

27 Figurierte Zahle mag. georg wegler 4 Bibliographie Coway.H. u. Guy R., Zahlezauber. Vo atürliche ud imagiäre ud adere Zahle, Basel-Bosto-Berli vom vom vom vom vom vom S e i t e 7