k = 5050 (1) Abb. 1: Summe der Zahlen von 1 bis 10

Transkript

1 Has Walser, [ ] Joas zerlegt Gauß 1 Die Aekdote Vom kleie Gauß geht die Aekdote, er habe i der Schule die Zahle vo 1 bis zusammezähle müsse. Die Aekdote existiert i drei Variate, ämlich für die Obergreze 40, 60 ud 100: 40 k = 820, 60 k = 1830, 100 k = 5050 (1) I der Schule wird meistes die dritte Variate kolportiert. Vielleicht habe die Schulmeister eie professioelle Affiität zum Dezimalsystem, obwohl dies im Kotext der Aufgabe keie Rolle spielt. 2 Die übliche Visualisierug Es wird mit kreisrude Pukte (Humaistisch agehauchte Lehrpersoe rede vo Calculi, Kieselsteie also, die adere vo Zählpfeige) gearbeitet, die i eiem Quadratraster ageordet werde. Weil 100 da ab er doch eie gar große Zahl ist, macht ma es mit 10 (Abb. 1). Abb. 1: Summe der Zahle vo 1 bis 10

2 Has Walser: Joas zerlegt Gauß 2 / 7 Ud da wird mit eiem der übliche Tricks (Dreiecksfläche mit Korrekture, Ergäzug zu Rechteck oder Quadrat) die Formel hergeleitet. Die Summe der Zahle vo 1 bis 10 ist allerdigs och überschaubar ud ka im Kopf berechet werde. Wir brauche die Formel icht. Ich komme auf Die Idee vo Joas Wir ehme zehmal die Treppe der Abbildug 1. Das ist aber ur die Feiabstimmug. Als Uterbau fahre wir ei gröberes Kaliber auf (Abb. 2). Abb. 2: Idee vo Joas Ei blauer Pukt etspricht 10 2 = 100 rote Pukte. Die blaue Pukte bilde ihrerseits eie Treppe, allerdigs mit ur 9 Stufe. Die Summe der Zahle vo 1 bis 9 ist 45. Wir habe also 45 blaue Pukte. Das ist och überschaubar ud ka ohe Formel berechet werde. Nu köe wir fröhlich weiterreche: 100 k = = 5050 (2)

3 Has Walser: Joas zerlegt Gauß 3 / 7 4 Loslösug vom Dezimalsystem Die obige Darstellug ist offesichtlich am Dezimalsystem orietiert. Dies ist aber icht zwiged. Als Gegebeispiel bereche wir die Summe der Zahle vo 1 bis 40, wobei wir 40 i die Faktore 5 ud 8 zerlege. Die Summe der Zahle vo 1 bis 5 ist 15 (Kopfrechug) (Abb. 3). Abb. 3: Die Summe der Zahle vo 1 bis 5 Die Idee vo Joas führt auf die Darstellug der Abbildug 4. Ei blauer Pukt etspricht 5 2 = 25 rote Pukte. Die Treppe der blaue Pukte ist (8 1) = 7 Stufe hoch. Somit ist die Azahl der blaue Pukte die Summe der Zahle vo 1 bis 7, also 28.

4 Has Walser: Joas zerlegt Gauß 4 / 7 Abb. 4: Idee vo Joas Daher erhalte wir: 40 k = = 820 (3) 5 Allgemei Es soll die Summe der atürliche Zahle vo 1 bis berechet werde, wobei die Zahl keie Primzahl ist, soder i zwei Faktore = pq zerlegt werde ka. Die beide Faktore p ud q brauche keie Primzahle zu sei. Natürlich müsse wir jetzt mit der Formel arbeite. Für feie rote Treppe, also die Summe der Zahle vo 1 bis p gilt: p k = 1 2 p p +1 ( ) (4) Ei blauer Pukt des Uterbaues etspricht p 2 rote Pukte.

5 Has Walser: Joas zerlegt Gauß 5 / 7 Die blaue Treppe hat (q 1) Stufe. Damit erhalte wir für die Azahl der blaue Pukte: q 1 k = 1 2 ( q 1 )q (5) Für die Summe der Zahle vo 1 bis ergibt sich u: k = q 1 2 p p +1 ( ) + p2 1 2 q 1 ( )q = 1 2 qp2 + qp! +! p2 q 2 p2 q = ( ) = ( ) (6) Damit habe wir die übliche Formel wieder erhalte. 6 Didaktischer Kommetar Wir sid hier mit der Kirche ums Dorf gefahre. Wir habe im Kreis herum gerechet. Die Formel (6) wurde bei (4) ud (5) bereits eigesetzt. Es geht hier aber icht darum, diese Formel herzuleite. Wir wolle vielmehr zeige, dass die Idee vo Joas i sich stimmig ist. Natürlich geht es auch für eie Zerlegug der Obergreze i drei Faktore = pqr. Es ist: k = rq 1 2 p p +1 ( ) + r 1 2 q( q 1) p r( r 1) pq ( )2 ( ) = 1 2 rqp2 + rqp + rq 2 p 2 rqp 2 + r 2 p 2 q 2 rp 2 q 2 ( ) = 1 2 ( + ) 2 = = 1 2 rqp + r2 p 2 q 2 ( ) (7) 7 Herleitug der Formel Tatsächlich ka aber sehr wohl die Formel für die Summe der erste atürliche Zahle aus der Idee vo Joas hergeleitet werde. Das geht wie folgt. Wir gehe davo aus, dass wir die Formel icht kee ud führe eie vorerst ubekate Fuktio f ei: ( ) = k f (8) k=0 Wir verwede lediglich:

6 Has Walser: Joas zerlegt Gauß 6 / 7 f ( 1) = 1 (9) Aus der Idee vo Joas ergibt sich für die ubekate Fuktio f die Fuktioalgleichug: f ( pq) = q f ( p) + p 2 f ( q 1) (10) 7.1 Rekursives Vorgehe Aus (10) erhalte wir zuächst: f ( ) = f ( 1 ) = f ( 1) +1 2 f ( 1) (11) Wege (9) ergibt sich die Rekursiosformel: f ( ) = + f ( 1) (12) Zusamme mit dem Startwert (9) ka u f ( ) rekursiv berechet werde. Wir habe das Zähle eu erfude. 7.2 Potezreihe-Asatz Für f mache wir eie formale Potezreihe-Asatz: ( ) = a j j f (13) Aus (10) ergibt sich damit: a j p j q j = q a j p j + p 2 a j ( q 1) j (14) Wir schreibe die beide Seite detailliert. Like Seite = a 0 + a 1 pq + a 2 p 2 q 2 + a 3 p 3 q 3 +! (14)

7 Has Walser: Joas zerlegt Gauß 7 / 7 Rechte Seite = a 0 q + a 1 pq + a 2 p 2 q + a 3 p 3 q +! +a 0 p 2 + a 1 p 2 q a 1 p 2 + a 2 p 2 q 2 2a 2 p 2 q + a 2 p 2 +a 3 p 2 q 3 3a 3 p 2 q 2 + 3a 3 p 2 q a 3 p 2 +! (15) Ud u ei gezielter Koeffizietevergleich. Das Absolutglied kommt ur liks vor: a 0 = 0 (16) Der Koeffiziet vo p 2 kommt ur rechts vor: 0 = a 0 a 1 + a 2 a 3 + a 4 a 5 +! (17) Der Koeffiziet vo p j q, j > 2, kommt ur rechts vor: 0 = a j, j > 2 (18) Wege (16) ud (18) verschwide alle a j außer a 1 ud a 2. Wege (17) ist da: a 1 = a 2 (19) Es bleibt der Restasatz: f ( ) = a 1 ( + 2 ) (20) Aus (9) ergibt sich schließlich a 1 = 1. Somit erhalte wir: 2 f ( ) = 1 2 ( + ) 2 (21) Das war s.