Mathematik 2 für Naturwissenschaften

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1 Has Walser Mathematik für Naturwisseschafte Modul 0 Regressiosgerade ud Korrelatio

2 Has Walser: Modul 0, Regressiosgerade ud Korrelatio ii Ihalt Die Regressiosgerade.... Problemstellug.... Berechug der Regressiosgerade....3 Relative Koordiate Tredliie Empirische Variaz ud Kovariaz Carl Friedrich Gauß... 4 Korrelatiosrechug Empirischer Korrelatioskoeffiziet Eie geometrische Idee Beispiel Grafische Darstellug Tabellarisches Vorgehe Ragkorrelatio Zusammefassug Regressiosgerade Empirische Variaz ud Kovariaz Korrelatiosrechug Empirischer Korrelatioskoeffiziet Ragkorrelatio... Modul 0 für die Lehrverastaltug Mathematik für Naturwisseschafte Sommer 006 Probeausgabe Sommer 007 MathType. Kleie Erweiterug Frühjahr 008 Geädertes Layout Frühjahr 009 Keie Äderug Frühjahr 00 Keie Äderug Frühjahr 0 Äderug bei Ragkorrelatio Frühjahr 04 Überarbeitug last modified: 0. Februar 04 Has Walser Mathematisches Istitut, Rheisprug, 405 Basel

3 Has Walser: Modul 0, Regressiosgerade ud Korrelatio Die Regressiosgerade. Problemstellug Es ist eie Serie vo Messwertpaare x i, y i ei liearer Zusammehag y = f (x) = ax + b vermutet wird. y ( ) ; i =,..., gegebe, zwische dee Serie vo Messwertpaare Gesucht ist eie Fuktio y = f (x) = ax + b (effektiv gesucht sid die beide Koeffiziete a ud b), so dass die Summe der Quadrate der Abweichuge ( y i ( ax i + b) ) miimal wird. Der Graph dieser Fuktio heißt Regressiosgerade. i=. Berechug der Regressiosgerade Wir habe de Wert ( ) = y i ( ax i + b) Φ a,b i= zu miimiere. Dazu muss der Gradiet Null werde: Also: ( ) = y i ax i b Φ a = Φ b = grad( Φ( a,b) ) = i= i= Φ a Φ b i= x ( ) =! 0 ( y i ax i b) ( x i ) = 0 ( y i ax i b) ( ) = 0

4 Has Walser: Modul 0, Regressiosgerade ud Korrelatio Daraus ergebe sich die beide Gleichuge x i y i a x i x i b x i = 0 i= y i i= i= x i i= i= a b = 0 Aus der zweite Gleichug folgt ach Multiplikatio mit : y ax b = 0 wobei x = x i ud y = y i gesetzt wird; x ud y sid also die arithmetische i= i= Mittel der Messwerte x i beziehugsweise y i. Für die gesuchte Koeffiziete a ud b gilt also: y = ax + b Die Regressiosgerade verläuft durch de Schwerpukt der Messwerte..3 Relative Koordiate Wir führe u eue Koordiate mit dem Ursprug im Schwerpukt, so geate relative Koordiate, zum Schwerpukt, ei: ξ = x x ud η = y y y (x, y) x Koordiate relativ zum Schwerpukt I diese Koordiate bleibt für die Regressiosgerade der Restasatz η = aξ. Das Absolutglied b verschwidet. Die Miimierugsbedigug verlagt u och die Miimierug vo: Aus ergibt sich dψ da = ( ) = ( η i aξ i ) Ψ a i= ( )( ξ i ) η i aξ i = 0 i= ξ i η i a ξ i = 0 i= i=

5 Has Walser: Modul 0, Regressiosgerade ud Korrelatio 3 ud damit a = oder, i de ursprügliche Koordiate: a = i= ξ i η i i= ξ i i= ( x i x ) y i y i= ( ) ( x i x ).3. Tredliie I Excel wird die Regressiosgerade als (lieare) Tredliie bezeichet. Beispiel: x i y i y = x Regressiosgerade oder lieare Tredliie

6 Has Walser: Modul 0, Regressiosgerade ud Korrelatio 4.4 Empirische Variaz ud Kovariaz Der Neer im Ausdruck für die Steigug der Regressiosgerade eriert a die empirische Variaz; da aber i userem Fall ebe de x i auch y i vorkomme, schreibe wir für die empirische Variaz der x i präziser: s x = ( x i x ) s y = i= Etspreched defiiere wir: i= ( y i y ) Empirische Kovariaz: c x,y = i= ( x i x ) y i y ( ) Natürlich geht der Rechetrick auch hier: c x,y = i= x i y i x y Damit ka die Steigug der Regressiosgerade wie folgt geschriebe werde: a = c x,y s x Dieser Ausdruck wird auch als erster Regressioskoeffiziet oder Regressioskoeffiziet bezüglich x bezeichet..5 Carl Friedrich Gauß Die hier agewadte Methode der kleiste Quadrate wurde vo GAUSS etwickelt. Joha Carl Friedrich GAUSS,

7 Has Walser: Modul 0, Regressiosgerade ud Korrelatio 5 Korrelatiosrechug. Empirischer Korrelatioskoeffiziet Der Regressioskoeffiziet bezüglich x ist asymmetrisch, idem die x aders behadelt werde als die y. Da die Symmetrie die schöste aller Schöheite ist, führe wir de so geate Korrelatioskoeffiziete ei: Empirischer Korrelatioskoeffiziet: Ausgeschriebe heißt das: r x,y = Ma beachte die Wurzel im Keller. Awedug des Rechetricks: r x,y = r x,y = c x,y s x s y i= x i i= ( x i x ) y i y i= ( x i x ) ( ) i= x i y i x y i= ( y i y ) x y i y Der Korrelatioskoeffiziet geht auf de Egläder Karl Pearso ( ) zurück. i= Karl Pearso,

8 Has Walser: Modul 0, Regressiosgerade ud Korrelatio 6. Eie geometrische Idee Der Ausdruck r x,y = i= ( x i x ) y i y i= ( x i x ) ( ) i= ( y i y ) motiviert folgede geometrische Iterpretatio: Wir defiiere die beide Vektore: x x x x x = ud x x Das sid Vektore im -dimesioale Raum. y y y y y = y y y x Vektore ud Zwischewikel Für die Berechug des Zwischewikels γ zweier Vektore gilt die Formel: I userem Fall heiß das: cos( γ ) = x y x y = cos( γ ) = i= x y x y ( x i x ) y i y i= ( x i x ) ( ) i= ( y i y ) = r x,y Der Korrelatioskoeffiziet ist also der Kosius des Wikels zwische de beide auf ihre Mittelwerte bezogee Messreihe. Aus de Eigeschafte des Kosius folgt für de Korrelatioskoeffiziet: Es ist r x,y Falls r x,y i der Nähe vo + liegt, spricht ma vo eier starke positive Korrelatio. Geometrisch heißt das, dass der Zwischewikel i der Nähe vo 0 ist. Falls r x,y i der Nähe vo liegt, spricht ma vo eier starke egative Korrelatio. Geometrisch heißt das, dass der Zwischewikel i der Nähe vo 80 ist. Falls r x,y i der Nähe vo 0 liegt, sagt ma, dass die beide Messreihe praktisch icht korreliere. Geometrisch heißt das, dass der Zwischewikel i der Nähe vo 90 ist. Die beide Messreihe liege also quer zueiader.

9 Has Walser: Modul 0, Regressiosgerade ud Korrelatio 7.3 Beispiel Wir bearbeite die Messwertpaare: i x i y i Grafische Darstellug y x Messwertpaare als Pukte

10 Has Walser: Modul 0, Regressiosgerade ud Korrelatio 8.3. Tabellarisches Vorgehe Summe i x i y i x i x y i y ( x i x )( y i y ) ( x i x ) ( y i y ) Wir erhalte der Reihe ach: Mittelwerte: Empirische Kovariaz: Empirische Variaze: Steigug der Regressiosgerade: Regressiosgerade:

11 Has Walser: Modul 0, Regressiosgerade ud Korrelatio 9 Somit erhalte wir für die Regressiosgerade: y =.5x + 9 Diese köe wir atürlich auch grafisch darstelle. Schließlich och der Korrelatioskoeffiziet: Es ist also: r x,y = Das ist ahe a der utere Greze ; wir habe eie starke egative Korrelatio ach dem Muster je mehr desto weiger. Gemäß der geometrische Iterpretatio ist der Zwischewikel zwische de beide Vektore sehr groß: x = 0 γ = arccos r x,y ud y = ( ) = arccos 5 4 ( 0 6 ) 58.48

12 Has Walser: Modul 0, Regressiosgerade ud Korrelatio 0.4 Ragkorrelatio Bei eier kleie Azahl vo Messwertpaare ist der Korrelatioskoeffiziet icht immer optimal. Ebeso darf der Korrelatioskoeffiziet icht agewedet werde, we die zugeordete Zahlepaare eier Ordialskala, aber icht eier Itervallskala etstamme. I solche Fälle hilft der Ragkorrelatioskoeffiziet. Der Größe ach geordet Beispiel Mäer werde der Größe (Körperläge) ach geordet ud da gewoge. Die Ragreihefolge der Körperläge ist also scho gegebe, die Messwerte der Körperläge sid icht bekat. Wir habe bezüglich Körpergröße lediglich eie Ordialskala. Größe (Rag) Gewicht [kg] Räge Ragdifferez r Größe r Gewicht d i = r Gr r Ge d i

13 Has Walser: Modul 0, Regressiosgerade ud Korrelatio Wir lege u auch für das Gewicht eie Ragreihefolge fest. Dabei werde die Räge gleicher Werte (so geater Ties) gemittelt. Charles Edward Spearma, Schließlich bereche wir die Ragdiffereze d i = r Gr r Ge. Da wede wir de Ragkorrelatioskoeffiziete vo Spearma a: Dies ergibt i userem Fall: r Spearma = 6 3 d i i= = r Spearma = 6 3 d i i= r Spearma = 6 3 d i i= 3 Zusammefassug 3. Regressiosgerade Geht durch Schwerpukt =

14 Has Walser: Modul 0, Regressiosgerade ud Korrelatio Steigug a = i= ( x i x ) y i y i= Excel: lieare Tredliie ( ) ( x i x ) = c x,y s x 3. Empirische Variaz ud Kovariaz Empirische Variaz: s x = ( x i x ) ud s y = i= i= ( y i y ) Empirische Kovariaz: c x,y = 3.3 Korrelatiosrechug ( x i x )( y i y ) = i= 3.3. Empirischer Korrelatioskoeffiziet Pearso r x,y = c x,y s x s y = ( x i x ) y i y i= ( x i x ) i= - Es ist r x,y ( ) ( y i y ) i= = x i i= x i y i x y i= i= x y i y - r x,y i der Nähe vo +: starke positive Korrelatio - r x,y i der Nähe vo : starke egative Korrelatio - r x,y i der Nähe vo 0 : praktisch keie Korrelatio i= x i y i x y Bei eier kleie Azahl vo Messwertpaare ist der Korrelatioskoeffiziet icht immer optimal. Ebeso darf der Korrelatioskoeffiziet icht agewedet werde, we die zugeordete Zahlepaare eier Ordialskala, aber icht eier Itervallskala etstamme. I solche Fälle hilft der Ragkorrelatioskoeffiziet Ragkorrelatio Spearma Vorgehe: - Die beide Messwertreihe mit Ragummer versehe - Ragdiffereze d i bereche - r Spearma = 6 3 d i i=