2. Mathematikschulaufgabe

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1 1.0 Gegebe ist die Parabel p: y = 0,5x - 4x + 13 G< x 1.1 Bestimme durch Rechug die Koordiate des Scheitels S. 1. Tabellarisiere die Fuktio p für x [0; 8] mit Χx = 1. Zeiche die Parabel p i ei Koordiatesystem ei. Platzbedarf: - 4 x 10; - y Die Gerade g: y = 0,5x + 6 scheidet die Parabel p i de Pukte C ud D. Zeiche die Gerade g i das Koordiatesystem ei ud bereche die Koordiate der Pukte C ud D. 1.4 Der Pukt C bildet zusamme mit de Pukte A(-/1) ud B(8/) das Dreieck ABC. Zeiche das Dreieck i das Koordiatesystem ei ud überprüfe recherisch, ob das Dreieck ABC bei C rechtwiklig ist. 1.5 Der Pukt C wadert auf der Parabel p. Gib die Fläche der Dreiecke ABC i Abhägigkeit vom x-wert des Puktes C a. 1.6 Bereche de x-wert, für de die Fläche der Dreiecke ABC eie Extremwert aimmt. 1.7 Weise recherisch ach, dass die Gerade h: y = - x + 11 Tagete a p ist ud bestimme die Koordiate des Berührpuktes E. Zeiche h i das Koordiatesystem ei.. Löse folgede Ugleichug algebraisch: 0,5x - x -,5 < 0 RM_A0013 **** Lösuge 4 Seite (RM_L0013)

2 1.0 Die Pukte A(-1/-5) ud B(6/) sid Eckpukte vo Dreiecke ABC. Die Pukte C liege auf der Parabel p mit der Gleichug y = 0,5x Zeiche die Parabel p sowie das Dreieck ABC 1 mit C 1 ( - 3 / y C1 ) i ei Koordiatesystem ( y C1 bereche! ). Für die Parabel p: x [ - 4; + 4 ]; Χx = 1 Für die Zeichug: - 4 x 6; - 6 y 10; 1 LE = 1cm Bereche da de Flächeihalt des Dreiecks ABC Ermittle de Flächeihalt A(x) der Dreiecke ABC i Abhägigkeit vom x-wert der Pukte C. ( Ergebis: A(x) = 1,75x - 3,5x + 17,5 FE ) 1.3 Bereche die Koordiate der Pukte C ud C 3 so, daß die Dreiecke ABC ud ABC 3 jeweils die Fläche 31,5 FE besitze. Zeiche beide Dreiecke i das Koordiatesystem zu 1.1 ei. 1.4 Zeige durch Rechug, daß es uter de Dreiecke ABC keies mit 7 FE gibt. 1.5 Uter de Dreiecke ABC gibt es ei Dreieck ABC 0 mit miimalem Flächeihalt. Bereche diese sowie die Koordiate des Eckpuktes C Für welche x-werte der Pukte C ist der Flächeihalt der Dreiecke ABC kleier als 8 FE? 1.7 Zeige durch Rechug, daß die Gerade t mit y = x + 0,5 die Parabel p berührt. Bereche die Koordiate des Berührpuktes B 0. Zeiche die Gerade t i das Koordiatesystem zu 1.1 ei. 1.8 Bereche de Abstad d des Puktes C 1 vo der Gerade AB. 1.9 Die Gerade BC 1 scheidet die Parabel p i de Pukte C 1 ud C 4. Bereche die Koordiate des Puktes C 4. ( Teilergebis: BC 1 : y <, 7x 4 1 ) Überprüfe recherisch, ob das Dreieck ABC 4 bei C 4 rechtwiklig ist Die Gerade h ist eie Sekrechte zu AB ud berührt die Parabel. Ermittle die Koordiate des Berührpuktes H. 1.1 Bereche die Koordiate des Puktes C 5 t, für de sich ei gleichschekliges Dreieck ABC 5 mit [AB] als Basis ergibt. Zeiche das Dreieck ABC 5 i das Koordiatesystem zu 1.1 ei. (Hiweis: AC5 < CB 5 ) Fortsetzug siehe Seite RM_A0049 **** Lösuge 10 Seite (RM_L0049) 1 ()

3 .0 N 1 ( - 4 / 0 ) ud N ( 0 / 0 ) sid die Nullstelle vo Parabel p N 3 ( - 3 / 0 ) ud N 4 ( 4 / 0 ) sid die Nullstelle vo Parabel p*.1 Gib die Gleichuge der beide Gerade a, auf dee die Scheitelpukte aller Parabel p bzw. p* mit de obe agegebee Nullstelle liege.. Bestimme durch Rechug die Gleichug der ach obe geöffete Normalparabel p 0 mit de Nullstelle N 1 ud N sowie der ach ute geöffete Normalparabel p 0 * mit de Nullstelle N 3 ud N 4. ( Ergebis: p 0 : y = x + 4x; p 0 *: y = - x + x + 1 ).3 Zeiche beide Parabel i ei Koordiatesystem ud gib für beide Fuktioe Defiitios- ud Wertemege a. G = R x R Für die Zeichug: - 6 x 6; - 6 y 14; 1 LE = 1cm.4 Bereche die Koordiate der Schittpukte P ud Q der beide Parabel. (Ergebis auf zwei Stelle ach dem Komma rude) 3.0 Bereche de Flächeihalt der schraffierte Figur 3.1 für a = 6 cm 3. allgemei i Abhägigkeit vo a. Vereifache möglichst weit ohe Tascherecher. RM_A0049 **** Lösuge 10 Seite (RM_L0049) ()

4 1.0 Gegebe ist die Parabel p:y <, x 6x, 4sowie die Gerade g: y <, 4x Zeige durch Rechug: die Gerade g ist Tagete a die Parabel p; Bereche die Koordiate des Berührpuktes B! (Ergebis: B(5/1)) 1. Zeiche p sowie g i ei Koordiatesystem [1 LE 1cm] (Platzbedarf: -1 x 7-5 y 6) 1.3 Zeige algebraisch: A(0/-4) p 1.4 Ei Pukt C wadert auf dem Parabelboge vo A ach B. Zeiche das Dreieck ABC 1 für xc1 < Stelle de Flächeihalt aller Dreiecke ABC i Abhägigkeit der Abszisse x des Puktes C dar. (Ergebis: A(x) = -,5x +1,5x [FE]) 1.6 Bestimme die Abszisse x eies Puktes C o, sodass das ABC 0 mit dem größte Flächeihalt etsteht. 1.7 Zeiche de Graph des Flächeihalts aller Dreiecke ABC. Für die Wertetabelle gilt: 0 x 5; x = 0,5 A(x) auf zwei Kommastelle rude Für die Zeichug gilt: x-achse: 1LE 1cm, A(x)-Achse 1LE 0,5cm 1.8 Etimm dem Graphe das Itervall für x, damit gilt A(x) 1[FE]. Zeiche das Itervall ud seie Greze ei ud überprüfe die Werte durch Rechug. (auf eie Kommastelle rude).0 Gegebe ist die Gerade g: y = -x + 6 sowie die Pukte P(-3/-1) ud Q(4/3)..1 Zeiche g, P, Q i ei Koordiatesystem (1 LE 1cm; Platzbedarf: -5 x 7-4 y 8). Auf der Gerade g gibt es Pukte R, sodaß Dreiecke PQR etstehe. Zeiche PQR 1 für xr1 < 1 ud gib für die Abszisse x des Puktes R de Defiitiosbereich a. Etimm de Wertebereich aus der Zeichug ud überprüfe ih durch Rechug. (Ergebis auf eie Kommastelle rude)..3 Bestimme die Abszisse x des Puktes R, sodaß PQR gleichscheklig ist mit der Basis [R Q] (auf zwei Kommastelle rude) ud zeiche es ei..4 Bestimme die Koordiate des Puktes R 3, sodass ei rechtwikliges Dreieck PQR 3 mit der Hypotheuse [PQ] etsteht ud zeiche das PQR 3 ei. RM_A0051 **** Lösuge 6 Seite (RM_L0051)

5 1.0 Gegebe ist die Fuktio f 1 mit y < x - 6x 5. f ist eie ach ute geöffete Normalparabel durch die Pukte A( 1 /8) ud B ( 4 /5). 1.1 Ermittle de Scheitel S 1 vo f 1 ud die Gleichug vo f. (Zwischeergebis: S 1 (3/-4) ud f : y <, x 4x 5). 1. Bereche die Schittpukte der Parabel f 1 ud f. (Zwischeergebis: P ( 0 / 5 ) Q ( 5 / 0 ) ) 1.3 Die Pukte C liege auf dem Parabelboge vo f zwische P ud Q. Zeiche die Parabel ud das Dreieck PQC 1 für x 1 = 3. Stelle de Flächeihalt A(x) der Dreiecke PQC i Abhägigkeit vo x dar. (Zwischeergebis: A(x) = (-,5x + 1,5x) FE) 1.4 Bereche dasjeige x, sodaß der Flächeihalt eie Extremwert aimmt. (Mit quadratischer Ergäzug) 1.5 Bereche die Koordiate der Pukte C ud C 3, we die Dreiecke PQC ud PQC 3 jeweils de Flächeihalt 10 FE besitze. 1.6 Bereche de Abstad der Pukte C ud C 3 zur Gerade PQ. 1.7 Für welche x ist A(x) größer als 1,5 FE? 1.8 Bestimme recherisch eie Pukt C 4, sodass das Dreieck PQC 4 bei P eie rechte Wikel besitzt..0 Gegebe ist die Fuktio f: y = x + x Bestimme die Wertemege der Fuktio ud zeiche de Graphe p i ei KOS. Platzbedarf: -6 < x < 5; -8 < y < 3. Ei Pukt P wadert auf dem Graphe p ud ei Pukt Q liegt auf der Gerade g y = x mit der Bedigug PQ ] x-achse. Zeiche g ud die Strecke [PQ] für x P {-4; 1} i das KOS ei ud gib die Koordiate vo P ud Q i Abhägigkeit vo x P a (x P ist x-koordiate vo P)..3 Bereche die Läge der Strecke [PQ] i Abhägigkeit vo x P ud stelle PQ grafisch dar. Platzbedarf: -5 < x < 5; -7 < y < 8.4 Ermittle mit Hilfe des Graphe aus.3 für welche Werte vo x P die Läge der Strecke [PQ] kleier als 6 LE ist..5 Auf der Gerade aus. liegt außerdem och ei Pukt R. Die x-koordiate dieses Puktes ist stets um größer als die x-koordiate vo Q. Gib die Koordiate vo R i Abhägigkeit vo x P a. Zeiche das Dreieck mit de Eckpukte P, Q ud R für x P = -4 ei ud bereche de Flächeihalt dieses Dreiecks. RM_A005 **** Lösuge 7 Seite (RM_L005)

6 1.0 Die Parabel p ist der Graph der Fuktio f mit y <, 0,5x² 3x Bestimme recherisch die Koordiate des Scheitelpukts vo p. Tabellarisiere die Fuktio f für, 1 x 1 i Schritte vo Χ x < 1, ud zeiche die Parabel i ei Koordiatesystem. Für die Zeichug: 1LE 1cm ;, x 14 ;, 3 y Die Pukte B ud C liege auf der Parabel p ud sid zusamme mit A ( 5 /1) ABC. Dabei ist die Abszisse x der Pukte C jeweils Eckpukte vo Dreiecke um 4 kleier als die Abszisse x der Pukte x = 13 sowie das Dreieck B. Zeiche das Dreieck ABC 1 1 für ABC für x = 3,5 i das Koordiatesystem zu 1.1 ei. 1.3 Ermittle recherisch die Koordiate der Pukte C i Abhägigkeit vo der Abszisse x der Pukte B. 1.4 Stelle de Flächeihalt A(x) der Dreiecke ABC i Abhägigkeit vo der Abszisse x der Pukte B dar, ud utersuche A(x) auf eie Extremwert..0 Gegebe ist eie Dreieckschar ABC mit gemeisamem Umkreis ud der Seiteläge AB < 8,5 cm..1 Zeiche das Dreieck ABC 1 mit AC1 Maße der Iewikel. < 9 cm ud BC1 < 7,5 cm ud bereche die. Das Dreieck ABC ist gleichscheklig mit [AB] als Basis. Zeiche es i die Zeichug zu.1 ei ud bereche die Läge der Schekel!.3 Uter de Dreiecke ABC gibt es zwei Dreiecke ABC 3 ud ABC 4 mit de Seiteläge BC3 < BC4 < 9,5 cm. Zeiche die Dreiecke i die Zeichug zu.1 ei ud bereche das Maß 3 des Wikels BAC 3 sowie das Maß 4 des Wikels BAC 4. RM_A0196 **** Lösuge 4 Seite (RM_L0196)

7 1.0 I der ebestehede Zeichug ist das gleichscheklig-rechtwiklige Dreieck ABC die Grudfläche eier Pyramide ABCS, dere Spitze S sekrecht über dem Mittelpukt M der Hypoteuse [AB] liegt. Es gilt: AB < 10 cm ; MS < 0 cm 3 Die Seitekate [CS] der Pyramide schließt mit der Grudfläche de Wikel MCS mit dem Maß ι ei. I der Zeichug ist CM die Schrägbildachse. 1.1 Zeige Sie, dass CM < 5 cm gilt ud bestätige Sie durch Rechug, dass das Maß ι des Wikels MCS 53,13 beträgt. 1. Auf der Seitekate [CS] liege die Pukte P. Bestätige Sie recherisch, dass P1M < 4 cm die kleiste aller Läge PM ist. 1.3 Bereche Sie de Flächeihalt des Dreiecks CMP 1 ud das Maß α des Wikels SMP 1..0 Die Parabel p hat die Gleichug Gleichug y <, 1 x,,5; es gilt G< x. 6 y <, 0,5x x 5,5 ud die Gerade g hat die Der Pukt A, 3, ( ist eier der beide Schittpukte der Parabel p mit g..1 Zeiche Sie de Pukt A, die Parabel p ud die Gerade g i ei Koordiatesystem. Für die Zeichug: Lägeeiheit 1 cm;, 6; x ; 6;, 4; y ; 7. Die Pukte B 1 x, x,,5 6 D x, 0,5x x 5,5 auf der Parabel p habe jeweils dieselbe Abszisse x. Zusamme mit de Pukte A ud auf der Gerade g ud die Pukte ( C 4 1,5 ( auf der Parabel p sid sie für, 3; x ; 4 die Eckpukte vo Vierecke ABCD. Zeiche Sie die Vierecke AB1CD 1 für x <, 1 ud ABCD für x < i das Koordiatesystem zu.1 ei. Die Wikel DBA habe stets das gleiche Maß δ. Bereche Sie δ auf zwei Stelle ach dem Komma gerudet. [Teilergebis: δ < 80,54 ] Blatt beachte RM_A030 **** Lösuge 5 Seite (RM_L030) 1 ()

8 .3 Im Viereck AB3CD 3 hat der Wikel CBA 3 das Maß α< 90. Zeiche Sie das Viereck AB3CD 3 i das Koordiatesystem zu.1 ei, ud bereche Sie die x- Koordiate des Puktes B 3 auf zwei Stelle ach dem Komma gerudet..4 I de Vierecke AB4CD 4 ud AB5CD 5, sid beide Diagoale jeweils gleich lag. Bereche Sie die x- Koordiate der Eckpukte B 4 ud B 5. (Auf zwei Stelle ach dem Komma rude.) 3.0 Uter gleich bleibede Bediguge ka das Wachstum eier Pilzkultur vo der 0,5x Masse 1 g durch die Fuktio f mit der Gleichug y < beschriebe werde. Es gilt: G< 0 x. Dabei steht x für die Azahl der Tage ud y für die Maßzahl der Masse i g der ach x Tage vorhadee Pilzsubstaz. 3.1 Zeiche Sie de Graphe vo f für x Ζ 0; 1 mit Χ x < i ei Koordiatesystem. Für die Zeichug: Auf der x- Achse: 1 cm für 1 Tag Auf der y- Achse: 1 cm für 1 g 3. Bereche Sie die Masse ach 5 Tage. Wie viele Tage müsse vergage sei, damit die Masse 7 g beträgt? RM_A030 **** Lösuge 5 Seite (RM_L030) ()

9 1.0 Gegebe ist ei gleichseitiges Dreieck ABC mit der Seiteläge a = 5 cm ud ei Boge BC. (siehe Zeichug) 1.1 Bereche Sie de Flächeihalt der schraffierte Fläche..0 Gegebe sid die Parabel p mit y <, 0,5x, x 5 ud die Gerade g mit y <, 0,5x 4..1 Der Scheitelpukt der Parabel p hat die Koordiate S, 1 5,5(. Zeiche Sie die Graphe vo p ud g i ei Koordiatesystem. Für die Zeichug: 1 LE = 1 cm;, 6 x 8;, 4 y 7. Ermittel Sie recherisch die Schittpukte A ud B der Gerade g mit der Parabel p..3 Die Pukte P 0 0 ( ud Q x, 0,5x 4( sid Edpukte vo Strecke ΖPQ die Pukte Q auf der Gerade g liege. Zu jeder Strecke ΖPQ gibt es eie Kreis k ud d < PQ als Durchmesser. Zeiche Sie die Kreise 1 Koordiatesystem. k für Q1 y1(, ud.4 Ermittel Sie recherisch PQ i Abhägigkeit vo x. [Ergebis: PQ < 1,5x, 4x 16 LE] Q 6 y i das k für (, wobei.5 Stelle Sie de Flächeihalt A(x) der Kreise k i Abhägigkeit vo der Abszisse x der Pukte Q dar. 5 [Ergebis: ( ( A x < ο x, 3, x 1,8 FE ] 16.6 Es gibt eie Kreis k 0 mit kleistem Flächeihalt. Bereche Sie A mi ud de zugehörige Wert x 0. (Auf zwei Stelle ach dem Komma rude.).7 Es gibt zwei Kreise 3 k ud 4 k mit dem Flächeihalt vo 5ο FE. Bereche Sie die zugehörige Werte für x. RM_A031 **** Lösuge 3 Seite (RM_L031)

10 Arbeitszeit 90 mi 1. Fritz Meyer ist Hadelsvertreter ud will sich ei eues Auto kaufe. Er hat Fabrikate zur Auswahl. Moreo Verbrauch / 100km Astro Verbrauch / 100km Stadt 9,8 l Stadt 9,4 l Ladstraße 8,6 l Ladstraße 8,8 l Autobah 7,3 l Autobah 7,6 l 1.1 Bestimme zuächst jeweils de durchschittliche Verbrauch auf 100 km. 1. Warum fällt Herr Meyer icht auf Grud des durchschittliche Verbrauchs seie Kaufetscheidug? 1.3 Sei täglicher Weg zur Arbeit führt zu 15% durch die Stadt, 45% über die Autobah ud de Rest über die Ladstraße. Welches Fahrzeug ist wege der Bezikoste am güstigste? 1.4 Herr Meyer kauft sich de Moreo ud besucht damit eie Freud. Er fährt zu 45% Ladstraße, zu % Autobah ud de Rest durch die Stadt. Er verbrauchte 18, l Bezi. Wie viel km ist er gefahre?. Vo Schülerie ud Schüler eier Realschule wird die Körpergröße gemesse. Bestimme die erforderliche Tabellewerte (Blatt) ud zeiche ei Histogramm. Klasseummer i Größe [m] absolute Häufigkeit i relative Häufigkeit [%] h i Klassemitte [m] x i Klassebreite [cm] b i Säulehöhe [cm] i / b i 1 1,4 1,8 3 1,9 1, ,34 1, ,39 1, ,44 1, ,49 1,53 7 1,54 1, ,65 1,81 6 Summe 148 Aleitug zum Histogramm x- Achse 1LE 4 cm Klassebreite y - Achse 1LE 1cm Säulehöhe Blatt beachte RM_A03 **** Lösuge 8 Seite (RM_L03) 1 (3)

11 Arbeitszeit 90 mi 3. Verschiedee Firme biete Maschie a, die Probe für Parfümhersteller abfülle köe. Das Ziel ist, geau 10 ml eizufülle. Jeweils 10 Probe werde getestet. Probe Maschie Maschie Maschie Bestimme die statistische Kewerte wie Mittelwert, Zetralwert, Spaweite ud mittlere Abweichug. 3. Welche der drei Maschie ist deier Meiug ach am zuverlässigste? Begrüde. 3.3 Welche der drei Maschie ist deier Meiug ach am weigste zuverlässig? 4. Aus eier Ure mit 5 weiße ud rote Kugel wird 3 mal ohe Zurücklege gezoge. Zeiche eie Ereigisbaum ud bestimme die Wahrscheilichkeite für die Ziehfolge. a) E1 < W,W,W( b) E < W,R,W( c) E3 < R,W,W( d) E < R, R, W ( 4 5. Ei Würfel wird 3mal hitereiader geworfe. Mit welcher Wahrscheilichkeit falle a) drei Füfer? b) beim 1. ud beim. Wurf eie Drei? c) beim 1. Wurf geau eie Eis? 6. Ei Loskorb ethält isgesamt 100 Lose. Davo sid 75 Niete, der Rest sid Gewilose. a) Wie hoch ist die Wahrscheilichkeit, dass beim zufällige Ziehe eies Loses ei Gewi gezoge wird? b) Es werde zwei Lose gezoge. Fertige ei Baumdiagramm a ud trage die etsprechede Wahrscheilichkeite ei. c) Bereche die Wahrscheilichkeit für de Fall, dass beim Ziehe vo Lose geau ei Gewi dabei ist. 7. Max erhält zu seiem 18. Geburtstag vo seier Patetate ei Sparbuch mit dem Kommetar: Ich habe bei deier Geburt eie Geldbetrag so agelegt, dass sich dieser Betrag izwische verdoppelt hat. Welche Verzisug hatte sie ausgehadelt? RM_A03 **** Lösuge 8 Seite (RM_L03) (3)

12 Arbeitszeit 90 mi 8. Die Abbildug skizziert die Mügsteer Brücke über die Wupper. Der utere Brückeboge hat die Form eier Parabel mit der Spaweite w = 180 m ud der Höhe h = 7 m. Beschreibe die Parabel durch eie Gleichug der Form y < ax mit a; 0. Wie würde sich die Spaweite äder, we die Brücke iedriger wäre ud eie Bogehöhe vo ur och 60 m hätte (Parabel bleibt gleich)? Bereche. RM_A03 **** Lösuge 8 Seite (RM_L03) 3 (3)

13 1.0 Gegebe sid die Parabel p mit y < 0,5 x, 3( 1 sowie die Gerade g mit y <, 1,5x 7,5 1.1 Zeiche p ud g i ei Koordiatesystem. x, ; 8, y 0; 11 Platzbedarf: Ζ Ζ 1. p ud g scheide sich i de Pukte A ud B. Bereche die Koordiate der beide Schittpukte. (Ergebis: A, 1 9 (, B 4 1,5( ) 1.3 Auf dem Parabelboge mit x = 4 liege Pukte C. Zeiche das Dreieck ABC 1 mit C1 6 y 1(. Bereche de Flächeihalt der Dreiecke ABC i Abhägigkeit vo x. (Ergebis: A x( < 1,5x, 3,75x, 5( FE ) 1.4 Für welche x-wert erhält ma ei Dreieck ABC mit eiem Flächeihalt vo 3,8 FE? (Ergebis: x < 7,) Bereche die y- Koordiate des Puktes C..0 Ei gleichschekliges Dreieck ABC mit AB < 6 cm ud der Höhe h < MC < 4 cm ist Grudfläche eies gerade Prismas mit der Seitekate (Höhe) AD < BE < CF < 5 cm..1 Zeiche das Dreieck ABC ud aschließed das Raumbild des Prismas ( q < 0,5; ϖ< 45 ). Bereche das Volume ud de Oberflächeihalt des Prismas..3 Bereche die Streckeläge AF. RM_A0304 **** Lösuge 3 Seite (RM_L0304)