Formelsammlung MATHEMATIK Oberstufe

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1 Formelsmmlug MATHEMATIK Oerstufe Diese Formelsmmlug erhet keie Aspruch uf Vollstädigkeit ud Richtigkeit. Sie wird ei Bedrf durch weitere Kpitel ergäzt..poteze Fktorezerleguge, R r,s R k Z m, N r s r+ s : ( ) r s r s r s r s (. ) r + * r r r 0 k m k k ( ) k r r m m k m k ( ± ) ± + ( ) ( ) ± ± + ± + + c + + c + + c + c ( )( ). + ( )(. + + ) + ( + )(. + ) ( ) gerde ( + )( ) ugerde + ( + )( ) Formelsmmlug A. Lider Seite

2 .Logrithmus Umrechuge, R + + * \{}, u, v R, r R, N, R u log u log log log 0 log( u v) logu + log v u log logu log v v log u r log u r log u log u log lg 0 e log ld log l e lim +, e log u log u log log u log l Formelsmmlug A. Lider Seite

3 .Qudrtische Gleichuge + p + q 0 4.Komplee Zhle p p ± q + + c 0 0 4c ± + p ( )( ) + p + q q ( )( ) + + c i. z +. i C, R ud i ( )( ) mit > 0 + i i + z r rg z ϕ tϕ r cos ϕ + [ O ;60 ] r siϕ z r cosϕ + i siϕ ( ) ( r; ϕ) ( r ; ϕ) ( r ; ϕ ) ( r r ; ϕ + ϕ ) ( r ; ϕ) r ; ϕ ϕ ( r ; ϕ ) r ( r; ϕ) ( r ; ϕ) ϕ 60 ( r; ϕ) r ; + k k 0,..., - - Formel vo Moivre N ( cos + i si ) cos( ) i si( ) : ϕ ϕ ϕ + ϕ Formelsmmlug A. Lider Seite

4 5. Eee Figure Dreieck Rechtwikeliges Dreieck A...Flächeihlt u...umfg A h h c h c A Stz des Pythgors + c Höhestz h p q Kthetestz Gleichseitiges Dreieck Formel vo Hero Umkreisrdius Ikreisrdius p c, q c A A 4 h s.( s ).( s ).( s c) c r 4A A p s + c h A Trpez ( ) Deltoid A e f Prllelogrmm A. h h Rhomus (Rute) e f A h Rechteck A Qudrt A d Kreis A r π u r π Kreissektor A r r πα 60 Kreisoge rπα rπα mit + + c s Formelsmmlug A. Lider Seite 4

5 6.Körper G...Ihlt der Grudfläche M...Ihlt der Mtelfläche O...Ihlt der Oerfläche A...Flächeihlt V...Volume h...höhe r...rdius Prism O G + M V G h Quder O ( + c + c) V c Würfel Zylider Pyrmide Pyrmidestumpf Kegel Kegelstumpf Kugel Kugelklotte A rπ h Kugelzoe A rπ h Kugelsektor Kugelsegmet Kugelschichte + O 6 Rumdigole: d V O r π + rπh M rπh V r πh O G + M V G h ( ) O G + G + M V h G + G G + G O r r s r s V r + h π π π M π O r π + r π + ( r + r ) πs M ( r + r ) πs ( ) V h π r + r r + r O 4r π V 4 r π O rπ h + ρπr r π V h h O rπ. h + ρ π V ( r h) hπ O rπ. h + ρ + ρ π V ρ + ρ + h 6 π ( ) Formelsmmlug A. Lider Seite 5

6 7.Wikelfuktioe - Trigoometrie Trigoometrische Grudeziehuge Werte spezieller Wikel siα Gegekthete Hypoteuse Akthete cos α Hypoteuse tα Gegekthete Akthete cotα Akthete Gegekthete si α + cos α siα tα cotα siα tα α siα 0 tα 0 cotα Qudrteregel α Qudrt I Qudrt II Qudrt III Qudrt IV siα tα cotα Reduktiosformel siα si (80 α) si (80 + α) si (60 α) si (60 + α) cos (80 α) cos (80 + α) cos (60 α) cos (60 + α) tα t (80 α) t (80 + α) t (60 α) t (60 + α) si( α ) siα ugerdefuktio siα cos(90 α) cos(90 + α) cos( α ) gerdefuktio si (90 α) si (90 + α) t ( α) tα Formelsmmlug A. Lider Seite 6

7 Umrechuge Summesätze Siusstz siα tα si siα si α α cos cos si( α ± β ) siα.cos β ±.si β cos( α ± β ).cos β siα.si β siα siα α α tα + t + t cos α si α tα ± β t( α ± β) tα tβ tα tα t α α + β α β siα + si β si cos α + β α β + cosβ cos cos α + β α β siα si β cos si α + β α β cosβ si si c R ; : : c siα : siβ : siγ siα si β siγ α α Kosiusstz + c c Flächeihlt des Dreiecks Umkreisrdius Bogemß ud Grdmß + c c cosβ c + cosγ c c A siα siβ si γ c r siα siβ si γ rd π π π π rd rd Formelsmmlug A. Lider Seite 7

8 8. Vektore ; ; Sklres Produkt Eiheitsvektore zu ϕ (, )... Wikelmß vo ud... Normlprojektio vo uf Vektorielles Produkt (Kreuzprodukt) R : ± A ± B ± ± R : ± A ± B ± ± ± r r A r r mit r R r r A r r mit r R r : R A B + : R A B + + R R A A A A : A + : A ± cosϕ 0 cosϕ 0 ; woei d c c d siϕ Formelsmmlug A. Lider Seite 8

9 9. Alytische Geometrie Drstellugsform ) A,B,C...Koorditevektore der Pukte A,B,C ) Vektor AB mit Afgspukt A ud Edpukt B,, c...ortsvektore der Pukt A, B,C g...gerde g...richtugsvektor vo g...normlvektor vo g... Eiheitsvektor zu 0 X, A, B... Koorditevektore der Pukte X, A, B g,,... Ortsvektore der Pukte X, X, X g AB B A A + AB B Astd AB der Pukte A,B AB AB B A ( B A) AB AB Mittelpukt M der Strecke AB ( ) ( ) M A + B A + AB m ( + ) S A + B + C zw. s + + c A... T A λ B woei λ λ cos ϕ V X A+ t g (mit t R) ; + t g (mit t R) Schwerpukt S des Dreiecks ABC ( ) ( ) Vektorielle Flächeformel des Dreiecks ( ) Teilugspukt T der Strecke AB eim Teilugsverhältis λ ( ) Wikelmß Volume Prllelepiped ( ) c Prmeterdrstellug Gleichug eier Gerde i der Eee Hessesche Normlform (HNF) X A + t AB (mit t R) ; X A ( X A) 0 Gleichug: + y +c 0 + t ( )(mit t R) + y +c HNF: 0 + Formelsmmlug A. Lider Seite 9

10 0.Mtrize λ λ λ λ λ + + ( λ R ) Differetil- ud Itegrlrechug Fuktio ud Aleitugsfuktio; Stmmfuktio y f() k y' f'() 0 F() y y' F() y y' k d k + C f ( ) q f '( ) q mit q Formelsmmlug A. Lider Seite 0 q q+ q d + C q + f ( ) f '( ) q mit q q F() d I + C y f ( ) e y' f '( ) e F( ) e d e + C y f ( ) y' f' ( ) l F() d + C l y f ( ) l q y' f' ( ) :, lso f() F( ) l d l + C y f ( ) log y' f' ( ) log e l F( ) log d ( l ) + C l ;

11 y f ( ) si y' f' ( ) cos F( ) si d cos + C y f ( ) cos y' f' ( ) si F( ) cosd si + C y f ( ) t y' f' ( ) cos F( ) td l cos + C y f ( ) cot y' f' ( ) si F( ) cot d l si + C Aleitugsregel ( f ± g)' f ' ± g' Aleitugsregel ( k f)' k f' k R Aleitugsregel ( f g)' f' g + f' g' Aleitugsregel f f g f g g ' ' g Ketteregel h( ) g( f ( )) h'() g'(f()) f'() Reziprokregel Itegrtiosregel Prtielle Itegrtio Itegrtio durch Sustitutio Newtosches Verfhre ' ' f '( ) f( ) f ( ) ( f ± g) f ± g k f k f (k R ) f g F g F g' f ( y) dy f( g( )) g' ( ) d f ( ) d F( ) F( ) f( ) + f '( ) e d e + C Formelsmmlug A. Lider Seite

12 . Zhlefolge Arithmetische Folge Arithmetische Folge Geometrische Folge Geometrische Folge Geometrische Folge Ziseerechug K 0... Afgskpitl K... Kpitl ch Jhre ei gzjähriger Kpitlisierug p...zisfuß rekursive Drstellug : eplizite Drstellug : s + ( + ). rekursivedrstellug : eplizitedrstellug : s + speziell ei lims K : s + + d + ( ) d q mit q < q p K q [ + ( ) d] c q woeic q q q + q + q, q mit q 0 mit q q q i 0 q i Formelsmmlug A. Lider Seite