Mathe für QM Fokus. Zusammenfassung.

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1 Mathe für QM Fokus. Zusammefassug. I) Der Hilbertraum. Vollstädiger, uitärer Raum. a) Volstädiges Orthoormalsystem (VONS). b) Lieares Fuktioal, dualer Raum, Dirac Notatio. c) Lieare Operatore im Hilbertraum. d) Direkte Summe ud Tesor Produkt zwei Hilberträume. II) Distributioe III) Fourier Trasformatioe. Faltug ud bedeutug. IV) Klassische Mechaik. Lagrage-Hamilto.

2 I. Defiitioe. Def: Körper K. Mege M mit zwei Operatioe + : K K K ud : K K K xyz,, Kgilt K) x+ y y+ x, xiy yix K2) ( x+ y) + z x+ ( y+ z), ( xiy) iz xi( yiz) K3) xi( y+ z) x iy + x iz K4) 0, K mit 0 x K x+ 0 x, xi x K5) x K y K x+ y 0, y x x K y K xiy, y / x Kommutativität Assoziativität Distributivität Beisp.,

3 Def: Vektorraum V: Mege M vo Vektore ud Körper K mit folgede Eigeschafte. fgh,, M α, β K gilt Additio: + M M M f + g g+ f ( f + g) + h g+ ( f + h) 0 M f M f + 0 f f M, h M f + h 0 Multiplikatio: K M M α ( f + h) α f + α h ( α + β) f α f + β f ( α β) f α ( β f) K f M f f Beispiele: { f f } ) M ( z, z z ), z, K 2 Additio: ( z, z, z ) + ( x, x, x ) ( z + x, z + x, z + x ) Multiplikatio: α ( z, z z ) ( α z, α z, α z ) i 2 2 f f f( x) Komplexwertige stetige Fuktio 2) M C( a, b) mit Defiitiosbereich [ a,b] K Additio: f(x) + g(x) h(x), Multiplicatio α f( x)

4 Def: Uitärer Raum Vektorraum V über heißt uitär falls es mit eiem Skalarprodukt, V V : f, g V f g, versehe ist. Dabei gelte folgede Axiome: f, g, h V, α + { } S) ff, 0, ff 0 f 0 S2) f g+ h f g + f h S3) f αg α f g S4) f g f g g h Folgerug: α * f g α f g Def: Orthogoale Vektore. Zwei Vektore heiße zu eiader Orthogoal falls, f g 0

5 : V Def: Normierter Vektorraum: Vektorraum über mit Abbildug mit: g fg, V, α N) g 0 N2) g 0 g 0 N3) f + g f + g N4) αg α g Satz: Sei V ei Uitärer Vektorraum Da gilt: g g g Satz: Schwarzsche Ugleichug. fg f g Uschärferelatio Bem: Uitärer Raum Normierter Raum

6 Beispiel: { f f } ) M ( z, z z ), z, K 2 * 2 2 i i i f ( z, z, z ) g ( x, x, x ), f g z x i f f f( x) Komplexwertige stetige Fuktio 2) M C( a, b), K mit Defiitiosbereich [a,b] b * ( ), ( ), ( ) ( ) f f x g gx f g dx f xgx a 3) f,g C(,) 2 3 f( x) x, g( x) x fg dx x 0 f ud g sid zu eiader orthogoal.

7 Kovergez, Vollstädigkeit. Def: Sei V ei Normierter Vektorraum. Eie folge { f }, f V heißt Koverget falls: f V lim f f 0 d.h. ε > 0 N f f < ε > N Def: Cauchy Folge. { f } heißt Cauchy Folge falls: Bem: ε > 0 N f f < ε, m> N Kovergete Folge Cauchy folge. m Def: Vollstädigkeit. Ei ormierter Raum heißt Vollstädig we i ihm jede Cauchy folge Koverget ist. Beisp a) ist icht vollstädig.

8 b) [ ] f f f( x), x a, b, f( x):stetig, fg dx f *( x) g( x), f ff < a 2 b C ( a, b): M, K Ist icht vollstädig da z.b. f x x C 2 ( ) tah( ) (,) aber für x > 0 für x < 0 2 lim f( x) C (,) Satz: Jeder icht vollstädig uitärer Raum, V, ka zu eiem vollstädige uitäre Raum V V V erweitert werde so dass, i dicht liegt. Bem: V liegt i V dicht: f V f V limf f Beisp. 2 2 C a b L a b (, ) (, )

9 Def: Ei vollstädig uitärer Raum heißt Hilbertraum. Beisp. L 2 ( a, b) { f f } M ( z, z z ), z, K 2 * 2 2 i i i f ( z, z, z ) g ( x, x, x ), f g z x i

10 I a) Volstädiges Orthoormalsystem (VONS). Def: Sei H ei Hilbertraum. Eie Mege a H heißt orthoormal falls a a i j i, j falls ij δ 0 falls i j { } i Def: VONS (Basis) Sei H ei Hilbertraum. Ei orthoormalsystem M a H heißt vollstädig we es kei H 0 gibt so dass, fa 0 a f { } { } i i i M Folgeruge: Sei { } a i VONS vo H f H f a a f i i i f, g H g f g a a f a g a f i i i i i i * 2 * f H f f f a f a f a f i i i i i 2

11 Beisp. 2 a) 0 : a, a2 0 b) 2 k 2π i kx L L ( a, b): a ( x) e, k L 2π b 2π i kx i kx L L ak f ak f L a f ( x) e, dx e f ( x) L k Fourier Trasformatio. (Vollstädigkeit beweis, siehe später)

12 I b) Lieares Fuktioal, dualer Raum, Dirac Notatio. Def. Sei H ei Hilbertraum. Ei lieare Abbildug L: H heißt lieares fuktioal. Liear: f, g H, α, β L( αf + βg) αl( f ) + βl( g) Def. Norm vo L L sup f, f L() f Def. L heißt stetig falls { f } H mit lim f f H gilt lim L( f ) L( f) Satz: L stetig L < Satz vo Riesz Sei H ei Hilbertraum. Zu jedem lieare stetige Fuktioal L geau g L H so dass: L() f gl f f H

13 H Def: Dualer Raum. Es sei ei Hilbert Raum. Die mege,,der lieare stetige L: H H Fuktioale, heißt der zu duale Raum. H Bem: { :, stetig } isopmorph { gl, ( f) gl f stetig } H L H L H L H d.h. eis zu eis Abbildug zwische H ud H Dirac Notatio. Sei: () L f g g f Lg g H Bra f f H Ket Eigeschafte: a) αg * α g b) { a } ˆ VONS a a Sei

14 Bem: Eis Operator: : ˆ H H f H ˆ f f I der alte Notatio a a L () f a a f f f H a L ˆ f H f f a a f c) ˆ a 2 f H f a f a a f f f ka ma immer als Vektor darstelle

15 c) Lieare Operatore im Hilbertraum Def: Aˆ : H H, Aˆ f g, et ma Operator i H Beisp: a) (, ), ˆ d H L a b P idx 2 b) Projektios-Operator ˆP f f f c) Eis-Operator Sei { a } ˆ VONS a a A ˆ : H H Def: Lieare Operatore. heißt liear falls ( ) f, g H, αβ,, Aˆ αf + βg αaˆ f + βaˆ g (, ), ˆ d H L a b P idx 2 Beisp: ist liear.

16 Multiplikatio vo Operatore: AB ˆ ˆ f Aˆ Bˆ f Es gilt: ( AB ˆ ˆ) Cˆ Aˆ( BC ˆ ˆ) Def: Kommutator vo Operatore. Aˆ, Bˆ AB ˆ ˆ BA ˆ ˆ Beisp. 2 H L ( a, b), Pˆ d, Xˆ x, Xˆ, Pˆ iˆ idx Matrix Darstellug vo Operatore. { a } ˆ VONS a a Sei ak  a a f ak g A f gk k, A ˆ f g a Aˆ f a g a A ˆ ˆ f a g k k k k

17 Def: Norm eies Lieare Operator. Aˆ sup f H, f Aˆ f Axiome der Norm sid erfüllt! N: Aˆ > 0 N2: Aˆ 0 Aˆ 0ˆ N3: Aˆ + Bˆ Aˆ + Bˆ Aˆ 0 f 0, Aˆ f 0 Aˆ f 0. Aˆist liear Aˆ 0 0 f H Aˆ f 0 Aˆ + Bˆ sup Aˆ f + Bˆ f sup Aˆ f + Bˆ f f, f f, f sup Aˆ f + sup Bˆ f Aˆ + Bˆ f, f f, f

18 Def: Biesp:  heißt beschräkt a) P ˆ f f f  < Schwarz sche Ugleichug. ˆ sup f f g sup f g f Pf g H, g g H, g sup g H, g f g f f 2 b) L ( ): X x 2 ˆ /2 2 2 ( x ) /2 f( x) dxe 2π ist icht beschräkt da: aber /4 f( x) e 2π 2 ( x ) /4 / ( x ) /2 2 Xf ˆ ( x) dxx e 2π Bem: AB ˆ, ˆ ˆ ˆ oder ˆ i A B ist icht beschräkt

19 Iverse, Hermitesche, ud Uitäre Operatore.  Def: Sei Operator i H. Der zu iverse Operator, ist durch ˆ ˆ ˆ ˆ A A f A A f f H   defiiert. Aˆ Bˆ Es gilt: ( ) Bˆ Aˆ Adjugiert Operator.   Def: Sei Operator i H. Der zu adjugiert Operator, ist durch  ˆ ˆ, g Af A g f f g H defiiert. Äquivalete Defiitio ( ) * g Aˆ f f Aˆ g f, g H

20 Folgeruge a) b) c)  ist liear. ( ˆ ˆ) ˆ ˆ A B B A ( A B ) * B * B α ˆ + β ˆ α ˆ + β ˆ, α, β d) Matrix Darstellug vo  Sei { a } ˆ VONS a a Aˆ ˆAˆ ˆ ˆ a a A am a Aˆ ˆAˆˆ ˆ m a a A a a m, m, A A m, m, ( ˆ ) * A Aˆ A A m a a a a * m m m,, A A *T m m

21 Beisp: 2 ˆ d L ( ): P i dx f + + ˆ * d * d * g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i dx i dx 0 P dx f x g x f x g x dx f x g x + * * d dx g x f x Pˆ ( ) ( ) idx ( g f ) * I L ( ) ist Pˆ Pˆ 2 Def: Â heißt selbstadjugiert oder Hermitesch falls Aˆ Aˆ

22 Eigevektore, Eigewerte.  a 0 Def. Sei ei Li. Operator i H. Ei Vektor heißt Eigevektor mit eigewert α falls.  a α a Def: Die Mege alle Eigewerte heißt Spektrum vo  Satz:  ˆ ˆ A A Sei ei Li. Operator i H mit. Da gilt für Bew: Aˆ a α a, α, ud a a 0 für α α i i i i i j i j ( ) ( ) * * ( * ) a Aˆ a a Aˆ a a Aˆ a a Aˆ a α α a a 0 j i i j j i i j i j j i i j α α α α α a) ( ) b) ( * ) * * 0 i i ai ai i i i i j 0 α α a a a a 0 da α α i j j i j i i j

23 ˆ ˆ Bem. Für A A, Aˆ ai αi ai ud ai a j δi, j da ist { a j} Kosequez (Defiitios-bereich vo  sei H ). Aˆ Aˆˆ Aˆ a a α a a Def: Uitäre Operatore. Ei Li. Operator, Uˆ, i H heißt Uitär falls. Uˆg Uˆ f g f f, g H VONS Folgerug. ˆ ˆ, UUgf gf f g H ˆ ˆ ˆ UU Fuktio vo Operatore ist durch die Taylor Etwicklug defiiert. Sei ˆ x A f x f x f A f x!! ( ) ˆ ( ) ( ) ( ) da ist ( ) ( ) x 0 x 0 0 0

24 Beispiele a) ˆ ˆ Sei A A ud α. Da ist Uˆ e, uitär da Uˆ Uˆ iα Aˆ ˆ Es gilt für Baker-Hausdorf. A 0 i iα A cos( α) si( α) e i 0 si( α) cos( α) Sei AB ˆ, ˆ, Aˆ AB ˆ, ˆ, Bˆ 0 da gilt: Bew: ˆ, ˆ Aˆ B ˆ Aˆ+ B ˆ AB /2 e e e e ˆ ˆ Sei ˆ () ta tb Ut e e, t so dass: d ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ U ˆ() t e ta Ae ˆ tb e ta e tb B ˆ e ta e tb e tb Ae ˆ tb e ta e tb B ˆ U ˆ tb () t e Ae ˆ tb U ˆ() t B ˆ dt Aber: d ˆ ˆ ˆ ˆ e tb Ae ˆ tb e tb ˆ ˆ tb A B e A ˆ B ˆ A ˆ B ˆ B ˆ,, da,, 0 dt tbˆ ˆ ˆ tb e Ae Aˆ, Bˆ t + Aˆ d Ut ˆ() Ut ˆ() ( ABt ˆ, ˆ + A ˆ + B ˆ ) Ut ˆ() e dt Für t ist der Satz bewiese. ˆ ˆ 2 AB, t /2 ( Aˆ Bt ˆ + + )

25 Tesorprodukt Zwei Hilberträume. Sei { ai } H { b j } VONS vo ud VONS vo i: M 2 j: N H a b Da ist { i j } 2 i: M, j: N VONS vo H H so dass: Skalarprodukt. f H H f α a b 2, i, j i j i: M, j: N f α a b ud g β a b i, j i j i, j i j i: M, j: N i: M, j: N M N M N fg αi, j* ai b j βk, l ak bl i j k l M N M N i j k l ( a b )( a b ) α * β i, j k, l i j k l M N M N M N α * β a a b b α * β i, j k, l i k j l i, j i, j i j k l i j Skalarprodukt i H Skalarprodukt i H 2

26 Es gilt: dim( H H ) dim( H ) dim( H ) 2 2 Ort. Spi Beisp: a) Spi ½ Teilche i ei Dimesio. H L ( ) 2 2 Spi b) Spi ½ Teilche i drei Dimesioe H L ( ) L ( ) L ( ) x- y- z -Kompoete c) Zwei Spi ½ : H { } { } Basis vo :, 2 2 Basis vo :,,, H

27 Li. Operatore auf Tesorprodukt Hilberträume { ai } { b j } Sei H H H mit VONS vo H ud VONS vo H 2 2 Ei Li. Operator Aˆ : H H ist durch Aˆ Aˆ Aˆ mit Aˆ : H H 2 ud Aˆ : H H gegebe Es gilt: Beisp: a) f H f α a b, Aˆ f α Aˆ a Aˆ b i, j i j i, j i 2 j i, j i, j ˆ ˆ ˆ a a b b a a b b 2 i i j j i i j j i j i j i j ( ai b j )( ai b j ) Letzte schritt folgt aus der Tatsache dass, ai b j ei Basis vo H H 2 ist. b) H L ( ) 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ d S S 0 i A P S, P, idx Sˆ Sˆ i 0

28 Distributioe, Dirac δ-fuktio. Def. Schwartz sche Raum. β α d S( ) ϕ( x) ϕ( x) ( ), max x ϕ( x) < α, β β x dx Beisp. e x 2 S( ) aber S( ) 2 + x Bem. S( ) Liegt dicht i 2 ( ). d.h 2 L VONS L { a } vo ( ),, a S( ) i i Def: Bem: Die Lieare, stetige Fuktioale über S( ) et ma Distributioe. Die Mege der Distributioe bilde der zu S( ) dualer Raum: L S ( ): L : S( ), L( ϕ) S ( ) L( ϕ) L ai ai ϕ L( ai) ai ϕ L( ai)* ai ϕ g* ϕ i i i g* dx g( x) ϕ( x) L ( ϕ) g

29 Beisp: Dirac δ-fuktio. Lδ ( ϕ) dx δ( x) ϕ( x) ϕ(0) Heaviside Fuktio. L ( ϕ) dx Θ( x) ϕ( x) dx ϕ( x) Θ 0 δ-folge. Satz: Sei g ( x) mit dx g ( x) Sei g ( ) ( ) x g x Da gilt: lim g( x) δ ( x) d.h. lim dxϕ( x) g ( x) dxϕ( x) δ( x) ϕ(0) ϕ( x) S( )

30 Beisp: ikx si( x) g( x) dke g( x), mit g( x) 2π π x Da dx g ( x) gilt 2π ikx dk e δ ( x) Kosequez: Fourier Trasform. ( ) ( ) ( ) ikx ikx f x dk e f k mit f k dx e f( x) 2π 2π Bew: ikx ikx iky ik ( x y) dk e f ( k) dke dy e f ( y) dy dk e f ( y) 2π 2π 2π dy δ ( x y) f ( y) f ( x) δ ( x y)

31 Die Fourier Trasformatio ist eie Uitäre Trasformatio i L 2 ( ) Bew: Sei: ˆ ikx ( Uf ) ( k) dx e f ( x) f ( k) 2π ˆ ˆ * ikx iky Uf Ug dk f ( k) g( k) dk dx e f *( x) dy e g( y) 2π ik ( x y) dx dy dke f*( xgy ) ( ) dx dyδ ( x y) f*( xgy ) ( ) dxf*( xgx ) ( ) f g 2π

32 Bemerkug. Jede Fuktio ka ma als Distributio auffasse. d.h. f ( x ) ist durch Ketis vo dx ϕ( x) f ( x) ϕ( x) S( ) eideutig bestimmt Bew: Sei f ( x) f( x) mit dx ϕ( x) f( x) dx ϕ( x) f ( x) ϕ( x) S( ) gk ( ) 0 [ ] dx ϕ( x) f ( x) f ( x) 0 ϕ( x) S( ) [ ] ikx gx ( ) dke gk ( ) 0 2π ( ikx) dx ϕ( x) [ f ( x) f( x) ] 0, k! gx ( ) ikx dx e ϕ( x) f ( x) f ( x) 0 [ ] ϕ( x) f( x) f ( x) 0 ϕ( x) S( ) f( x) f ( x) Widerspruch

33 Ableitug vo Distributioe. 2 Sei f( x) L ( ), f ka ma als Distributio auffasse: L ( ϕ) dx f( x) ϕ( x), f ' f d d Lf '( ϕ) dx f '( x) ϕ( x) dx f( x) ϕ( x) Lf ϕ dx dx ka ma auch als Distributio auffasse d Def: L ( ϕ) ( ) L d f ϕ f dx dx Eigeschafte vo Dirac δ-fuktio xδ ( x) 0 δ( x) δ( x) δα ( x) δ( x) α d x > 0 Θ ( x) δ ( x), Θ ( x) dx 0 x < 0