M 3. Beispiele von Anwendungen in der Physik. a) Systeme von Massenpunkten; kleine Schwingungen, lineare Kette

Transkript

1 M 3 Vorlesug vo B.Baumgarter Wi-Se 008/09 Beispiele vo Aweduge i der Physik a) Systeme vo Massepukte; kleie Schwiguge, lieare Kette Kleie Auslekuge aus de Ruhelage-Pukte x = a, lieare Rückstellkräfte, wie beim Hooksche Gesetz: Bewegugsgleichuge x M m Falls ur edlich viele Massepukte: Lieare Algebra, Vektore (x 1... x N ) Matrix M. Falls uedlich viele: Vektor aus liearem Raum, Operator M. m x b) Schwigede Saite c Uedlich viele Eigeschwiguge; Differetialgleichug mit Radbediguge gibt de Operator. Eigewerte Grudto ud Obertoreihe c)elektrostatik Poisso-Gleichug V(x) E(x) (x) Umkehrug mit Greescher Fuktio 1 0 V(x) 1 4 (x y) 0 3 (y) d y d) Diffusio Im Kotiuum: Dichte (x,t), Diffusiosgleichug D Lösug (4D t) e (xy) 3/ 4Dt Greesche Fuktio Auf der Kette: () D ( ( 1) ( 1) () ) e)quatephysik Die Quatisierug als Eigewertproblem H E i H 1

2 A. Lieare Räume 1. Vektor-Räume 1.1. Def: Ei (komplexer) Vektorraum V ist eie Mege vo Elemete folgedes gilt: {,,...} für die 1) Es ist eie Additio erklärt:, V! V a) Assoziativität b) Nullvektor c) egative Elemete d) Kommutativität ) Es ist eie Multiplikatio mit (komplexe) Zahle erklärt: V a a V a) 1 b) Assoziativität ( a b) a(b) c) a ( ) a a d) ( a b) a b 1.. Beispiele a) b) Lösugsmege eier homogee lieare Dgl. p c), 1 p d) C[a,b]...Stetige Fuktioe auf dem Itervall [a,b] p e) L (M)... Fuktioe f(x) auf eier messbare Mege M, für die itegrierbar ist. f p 1.3. Def. Ei Teilraum T eies Vektorraumes ist eie Teilmege T V, die selbst ei Vektorraum ist Beispiele a) Stetige Fuktioe C[a,b] L [a,b] b) Stetige Fuktioe mit kompaktem Träger C oo () L () c) L [a,b] L ()

3 . Kovergeze.1. Def. Eie Metrik... a) positiv b) positiv defiit c) symmetrisch d) Dreiecksugleichug.. Beispiele a) Komplexe Zahle b) Sphärische Geometrie.3. Defiitio Ei Vektorraum heißt ormiert, we auf ihm eie Norm defiiert ist, d.i.... a) positiv b) Nur Nullvektor hat Norm Null c) Liearität im Vorfaktor d) Dreiecksugleichug.4. Satz Jede Norm defiiert eie Metrik..5. Beispiele a) komplexe Zahle, b) p c), 1 p ; isbesodere mit p=, dieser Raum ist die uedlichdimesioale Verallgemeierug des Beispiels b). p d) L (M); (Dreiecksugleichug für die Norm ist die Mikowski-Ugleichug) e) Stetige Fuktioe mit der Supremums-Norm Norm Metrik Topologie.6. Def.: Kovergez Folge koverget,...kurve stetig Beispiele p a) Diffusio, im x-raum Kovergez gege Null puktweise ud i jedem L mit p > 1. Aber die p=1-norm ist zu jeder Zeit gleich 1. Keie Normkovergez im L. 1 Die Fouriertrasformierte ist immer 1 im Ursprug, sost kovergiert sie puktweise p gege Null, kovergiert gege die Fuktio Null i jedem L mit p <. b) Diffusio im Limes t 0. c) Klassischer Limes der Grudzustads-Wellefuktio des harmoische Oszillators. 3

4 .8. Def. Eie vektorwertige Kurve heißt differezierbar, Beispiele a) L ( ), Fuktio mit Kick wird verschobe, t (x) (x t). Diese Kurve ist diff.bar. b) Obige Kurve ist icht zweifach diff.bar, de Verschiebe eier Fuktio mit Sprug gibt eie icht differezierbare Kurve vo Vektore..10. Def. Mege der Fuktioe, die fast überall gleich Null sid, bilde eie Teilraum des Raumes der itegrierbare Fuktioe. Bilde de Quotieteraum. So etstehe Räume, p z.b. L, dere Elemete geaugeomme icht Fuktioe sid, soder Äquivalezklasse vo Fuktioe..11. Def. Cauchyfolge.1. Satz Jede kovergete Folge ist eie Cauchyfolge..13. Def. Ei Raum, i dem jede Cauchyfolge kovergiert, heißt vollstädig. Ei vollstädiger ormierter Raum heißt Baachraum..14. Bemerkug Aalog zur Vervollstädigug der Mege der ratioale Zahle zur Mege der reelle Zahle ka ma jede ormierte Vektorraum vervollstädige. Ma ka formal jeder Cauchyfolge ei Limeselemet zuorde. So erhält ma durch Vervollstädigug eies Raumes vo Riema-itegrable eie Raum vo Lebesgue-itegrable Fuktioe..15. Def. Ei Teilraum T V heißt dicht, we jedes Elemet vo V Limes eier Folge vo Elemete vo T ist..16. Beispiele a) Der Weierstraßsche Approximatiossatz: Polyome liege dicht im C[a,b] mit der Supremumsorm. b) S() dicht i p L (), für jedes p. S() = f (x).17. Satz T dicht i U ud U dicht i V T dicht i V. p Folgerug: Polyome dicht i jedem L [a,b] sup x x m xf (x) 4

5 3. Hilbert-Räume 3.1. Def: Ieres Produkt a) 0 b) = 0 = 0 c) * d) z = z e) 3.. Def: Orthogoalität = Satz: Die Schwarzsche Ugleichug 3.4. Beispiele a) b) c) L (M) 3.5. Satz: I.P.defiiert Norm = 3.6. Satz: I.P. ist stetig m, m 3.7. Def: Hilbertraum Vektor-Raum mit ierem Produkt, der vollstädig ist 3.8. Def: Basis, VONS Basis = Vollstädiges Orthoormalsystem a) Basisvektore sid ormiert, b) verschiedee sid zueiader orthogoal. c) Jeder Vektor i H ka vollstädig als Liearkombiatio vo Basisvektore zerlegt werde Def: Totale Mege, Lieare Hülle, separabel Totale Mege vo Vektore... Mege der Liearkombiatioe vo Elemete ist ei dichter Teilraum vo H. Lieare Hülle... Abschluss des Teilraums der Liearkombiatioe H heißt separabel, we es eie totale Teilmege gibt, die abzählbar ist. 5

6 3.10. Beispiele a) m = ( m, ) ist abzählbare totale Mege ud Basis b) Poteze x sid total i L [a,b] Satz ud Def: Existez eier Basis. Dimesio. Jeder Hilbertraum besitzt eie Basis. Dere Mächtigkeit (=Azahl der Elemete) ist eideutig; sie heißt Dimesio des Raumes. Es gilt der Satz vo Pythagoras. Fidet Verwedug im Gram-Schmidt-Verfahre zur Orthogoalisierug eier Mege. Ist diese Mege total, da wird i diesem Verfahre eie Basis erzeugt Lemmata: Besselsche Ugl. Kürzugsregel { } ei ONS, (icht otwedigerweise vollstädig), a =, da ist a { } eie totale Mege, = 0 für alle, da ist = Etwicklugssatz Jedes totale ONS { } ist vollstädig. Jeder Vektor eideutig ach dieser Basis zu etwickel. a, a = So wird jeder separable Hilbertraum isomorph zum Parsevalsche Gleichug { } VONS a Kriterie für Vollstädigkeit eies ONS a) Kürzugsregel gilt b) Parseval gilt c) Etwicklug ist möglich d) System ist total e) total i dichter Teilmege Beispiele Legedre-, Hermite-Polyome, Fourier-Reihe Def. ud Lemma: Orthogoaler Teilraum M eie Teilmege, M die Mege aller zu M orthogoale Vektore, bildet eie abgeschlossee Teilraum Satz ud Def: Projektio T ei abgeschlosseer Teilraum, beliebig. Eideutige Zerlegug = Beispiele. Gerade/ugerade Fkt. / Träger auf eier Teilmege, Lokalisierug / Gebudee Zustäde 6

7 4. Strukture: Direkte Summe; Tesor-Produkt 4.1. Zur Motivatio Eiader ausschließede Möglichkeite Direkte Summe Gleichzeitige Möglichkeite Tesor-Produkt 4.. Def: Direkte Summe Paar (,) distributiv: a( ) = (a a) < > = < > + < > 4.3. Kostruktio eier Basis { m }, { } { m }{ } Dimesioe werde addiert 4.4. Beispiele m = m+ L (M) L (N) = L (MN) {gebudee Zustäde} {freie Zustäde} 4.5. Def: Tesorprodukt Paar (,) biliear: a( ) = (a) = (a) < > = < > < > Liearkombiatioe bilde, bi-distributiv, ud vervollstädige 4.6. Kostruktio eier Basis { m }, { } { m } Dimesioe werde multipliziert 4.7. Bemerkuge, Vorsicht! Es gibt, wege der Liearkombiatioe, Elemete die icht vo Produktform sid. Zerleguge sid icht eideutig. Beispiel: (+)(+) + ()() = ( + ) 4.8. Beispiele m = m L (M) L (N) = L (MN), zwei verschiedee Teilche Wellefuktioe Spiore, ei Teilche mit Spi Kugelflächefuktioe 4.9. Kovergeze m, m, m 7

8 5. Dualräume 5.1. Def. Stetiges lieares Fuktioal auf eiem ormierte Vektor-Raum: Abbildug V Â a) liear b) stetig 5.. Satz ud Def. (Topologischer) Dualraum V * 5.3. Satz a) Ei lieares Fukt. geau da stetig, we bei Null stetig ( ) b)... geau da stetig, we sup 5.4. Satz ud Def. Der Dualraum eies ormierte Raumes wird zum Baachraum bei Eiführug der Norm ( ) : sup 5.5. Riesz - Lemma Lieare Fuktioale eies Hilbert-Raums = Iere Produkte 5.6. Beispiele a) ( p ) * 1 1 = q p, 1, ( L (M)) * q 1 1 = L (M), 1, 1p p q p q b) Matrize A, B, : A Tr(A) oder auch A Tr(A); im später folgede auch für Operatore c) Schwartzsche Klasse S, allerdigs uedlich viele Norme Dualraum gibt die temperierte Distributioe 5.7. Def: Schwache Kovergez 5.8. Beispiele Verschiebug is Uedliche Klassischer Limes der H.O.-Grudzustadswellefuktio Diffusio im Limes uedlicher Zeit Diffusio im Limes Zeit gege Null 5.9. Lemma: Normstetigkeit schwache Stetigkeit Lemma a) Normkovergez Kovergez der Norm b) Schwache Kovergez Norm immt icht zu c) Schwache Kovergez ud auch Kovergez der Norm Normkovergez 8

9 6. Itegratio ud Maß 6.1. Motivatio p a) Ausdehug der Itegratio auf vervollstädigte L -Räume b) Maße, die i der Spektralaalysis auftrete. Besoderheit: Quatechaos c) Hilberträume mit Fuktioe auf Maigfaltigkeite 6.. Drei Ziele a) Riema Lebesgue-Itegratio b) Verallgemeierug des Maß-Begriffes ud der Itegratio für Fuktioe auf c) Itegratio für Fuktioe auf Maigfaltigkeite 6.3. Zur Strategie Additivität eies Maßes Liearität der Itegratio Maße Positive Lieare Fuktioale 6.4. Lebesgue-Itegral Fortsetzug der lieare Fuktioale auf vervollstädigte abgeschlossee Raum 6.5. Maße auf [a,b] i Lebesgue-Stieltjes: Defiiere, mit m(x) mooto wachsed, b f f (x)dm(x) als lieares Fuktioal auf C[a,b] a m(x) eideutig zerlegbar i m = m pp + m ac + m sc a) pure poit dm pp (x) = p (x x ) b) absolutely cotiuous dm ac (x) = m ac (x)dx c) sigular cotiuous 6.6. Beispiel: Cator-Fuktio 6.7. Maße auf Maigfaltigkeite Defiiert über Koordiate, Maße im, z.b. Kugeloberfläche 9

10 B. Lieare Operatore 1. Algebra, Norm, Kovergeze, Strukture 1.1. Def: Liearer Operator Lieare Abbildug zwische Vektorräume. Speziell: zwische Baachräume. Noch spezieller: vo eiem Hilbertraum i de selbe Hilbertraum: A B(H) Auch: Trasformatio, z.b. Fourier-Trasformatio 1.. Def: Stetigkeit Jede ormkovergete Folge vo Vektore wird wieder i eie ormkovergete Folge abgebildet Lemma: Stetigkeit geügt bei Null Wie bei de lieare Fuktioale. (Diese sid ja Spezialfälle vo li. Operatore.) 1.4. Algebra: Produkte, Recheregel, Eiheit Algebra = Vektorraum mit Produkt I B(H) gibt es de Eiheits-Operator Es gelte die übliche Recheregel. Aber: Produkte sid i.a. icht kommutativ! 1.5. Beispiele: a) Matrize b) Lieare Fuktioale c) X-Operator, Differeziere im Raum der Testfuktioe (Schwartzsche Klasse S) d) Dyade e) Verschiebug im Ortsraum f) Zeit-Etwicklug g) Fourier-Reihe h) Koordiate-Trasformatio 1.6. Def. ud Lemma: Norm; Baachraum A Operator A heißt beschräkt, we A sup 1.7. Satz: B.L.T. Ei Operator, der auf eiem dichte Teilraum defiiert ud beschräkt ist, läßt sich eideutig ohe Vergrößerug der Norm auf de gaze Raum fortsetze Satz: Beschräkt stetig We auf gazem Baachraum (od. Hilbertraum) defiiert. A B 1.9. Lemma: Norm des Produkts A B 10

11 1.10. Beispiele a) Matrize. Jede mm Matrix ist beschräkt. b) Dyade c) Verschiebug Def: Norm-, stark, schwach koverget a) : A A 0 b) s: : (A A) 0 c) w:, : (A A) 0, i B(H), quadratische Form 1.1. Lemma: Norm stark schwach (Übugsaufgabe) Lemma: Norm im Limes Wie bei de lieare Fuktioale: Norm ka im Limes (s oder w) icht hiauf sprige Verküpfuge +=, w+w=w, s+s=s, = Beispiele a) Multiplikatio mit f (x), f f i Supremumsorm Normkovergez b) Multiplikatio wie obe, aber f verschwide im Uedliche schwache K. c) Verschiebug um x, x x,? Def: Direkte Summe ( A B ) ( ) = A B Lemma: Norm, Kovergez bei direkte Summe A B sup A, B, =...(Das schwächste ist bestimmed) Beispiele a) Traslatioe im Fockraum b) Zeitetwicklug gebudeer ud freier Zustäde Def: Tesorprodukt ( A B) ( ) = ( A) (B) 1.0. Norm, Kovergez beim Tesorprodukt A B A B, ormorm = orm... (Das schwächste ist bestimmed) 1.1. Beispiele a) Spi-Operatore für zwei Teilche mit Spi b) Drehug eies Teilches mit Spi, im Ortsraum 11

12 . Adjugiere, ivertiere; wichtige Type.1. Def: Adjugierter Operator A A für A B(H).. Recheregel kojugiert liear: (A + B) * = * A * + B * (AB) * = B * A * A A A A A.3. Beispiele a) Multiplikatio mit f(x) f * (x) b) Verschiebug T a T -a c) Matrix Adjugierte Matrix.4. Bemerkug: Traspoierter Operator (A) = (A t )().5. Def: Projektor P² = P, P * = P.6. Beispiele a) Multiplikatio mit M (x) b) Gerader Ateil eier Fuktio c) k k, Matrize k.7. Def: Selbstadjugiert A * = A z.b. Differeziere vo Distributioe.8. Lemma: Selbstadjugiert reell Jeder Erwartugswert ist eie reelle Zahl. Vergleich mit Bemerkug zu 1.11.c: Die Erwartugswerte bestimme auch alle adere Matrixelemete..9. Def: Positiver Operator Jeder Erwartugswert ist eie positive reelle Zahl. B 0 B ist selbstadjugiert.10. Beispiele a) Multiplikatio mit reeller Fuktio f(x) = f * (x). Positiv, we auch f(x) 0. b) Selbstadjugierte Matrize. Positiv, we auch mit positiver Spur ud positiver Determiate. c) Projektore d) Reelle, (positive) Liearkombiatioe vo Projektore. 1

13 .11. Def: Iverser Operator A -1 A -1 A = A A -1 = 1.1. Recheregel für Iverse (A) -1 = -1 A -1 (AB) -1 =B -1 A -1 (A -1 ) * = (A * ) Beispiele a) Multiplikatiosoperatore f(x) f -1 (x) b) Verschiebuge, Drehuge Beweguge zurück c) Fourier-Trasformatio Iverse Fourier-Trasformatio.14. Def: Uitär U * = U -1 :.15. Lemma: Uitär isometrisch U.16. Beispiele a) Multiplikatiosoperatore f(x) mit f * = f -1 b) Verschiebuge, Drehuge c) Fourier-Trasformatio.17. Warug Es gibt Isometrie, die icht uitär sid..18. Zerleguge der Eiheit mit eiem VONS. Uedliche Summe... starker Limes der edliche Summe 13

14 3. Zustäde 3.1. Zur Motivatio Nur zur Eiführug i die QM. ist Zustad mehr oder weiger gleichbedeuted mit Wellefuktio oder Spior. I der statistische Physik braucht ma Zustäde mit viele Ugeauigkeite. Ei verschräkter Zustad eies zusammegesetzte Systems gibt für ei kleieres Teilsystem eie gemischte Zustad. 3.. Hypothese ud Lemma: Observable Sid die selbstadjugierte Operatore. Spae de gaze Raum B(H) auf: R = H + ik, H = H*, K = K* 3.3. Def: Zustad Zustad ist ei ormiertes positives lieares Fuktioal über B(H): (1) = 1 H 0 (H) 0 (ah + K) = a(h) + (K) H (H) 3.4. Satz: Zustäde bilde eie kovexe Mege Für Zustäde,, Zahl a(0,1) ist auch = a +(1-a) ei Zustad Def: Zerlegug; Extremalpukte Ei Zustad wie obe heißt gemischt, ud läßt sich zerlege. Pukte eier kovexe Mege, die sich icht als Liearkombiatio aderer Pukte dieser Mege darstelle lasse, heiße Extremalpukte Beispiele a) Dreieck, Tetraeder, Simplices: Jede Zerlegug ist eideutig b) Kugel Keie Zerlegug ist eideutig 3.7. Satz: Reie Zustäde = extremale Zustäde Halber Beweis: Betrachte Erwartugswerte der Observable P 3.8. Bemerkug über klassische Zustäde ud verborgee Parameter Wirklichkeit Gott würfelt icht Reie Zustäde Pukte im Phaseraum Gemischte Zustäde Wahrscheilichkeitsmaße Zerlegug ist eideutig Bemerkug über quatemechaische Zustäde Zerleguge gemischter Zustäde sid auf vielerlei verschiedee Arte möglich. Ma möchte aber eie klare uzweideutige Darstellug, uabhägig vo eier Wahl der Zerlegug. Beispiel mit Liese ud Marcus. 14

15 3.10. Def: Spur ud Spurklasse a) Sei R B(H), R 0, { } ei VONS: Spur vo R : Tr (R) : R b) R ist i der Spurklasse, we die Spur edlich ist. c) Spurklasse: Alle Liearkombiatioe solcher Operatore. T = i k R k Satz: Uabhägigkeit vom VONS Beweis im edlich-dimesioale Raum eifach. Im uedlich-dimesioale Raum, ka ma mit dem Operator R desse Existez später gezeigt werde wird argumetiere Eigeschafte der Spur a) liear b) Tr(A*) = (Tr(A))* c) A 0 Tr(A) 0 d) Tr(RA) = Tr(AR) we R Spurklasse, A beschräkt ist Def: Dichtematrix Positive Matrix, also Operator, mit Spur Eis Satz: Zustad Dichtematrix (H) = Tr {H} Beispiel: Zustäde für Spi 1/ Dichtematrize, bilde eie Kugel Beispiel: Zustäde für zweimal Spi 1/ 4 4 Dichtematrize Def: Reduzierter Zustad, Partialspur Defiiert als Zustad der Operatore H Beispiel: Siglet-Zustad für ei Teilchepaar Ei reier Zustad, aber reduzierter Zustad ist total gemischt Def: Separable versus Verschräkte Zustäde Klassisch-wahrscheiliche Zerlegug i Produktzustäde möglich oder icht möglich Das E.P.R.- Paradoxo Quatesprug wird auch über weite Etferug bewirkt Überraschug Machmal sid Theorie mit verborgee Parameter möglich. 3.. Die Bellsche Ugleichug Für zwei Spi 1/ - Teilche 15

16 3.3. Das G.H.Z. Mermi Experimet Mit drei Spi 1/ Teilche 3.4. Schmidt-Zerlegug eies reie Zustads für zwei Systeme Ei Vektor aus H A H B ka i der Form r k k k dargestellt werde, wobei { k } ud { k } ONS i de Hilberträume H A bzw H B sid, ud k r k. k Beweis: Diagoalisiere die Partialspur A Tr B A r k k k. Mit dem Projektor P k := k k 1 fide k mittels r k k k : Pk. Zeige, durch Utersuchug der Erwartugswerte, dass { k } ei ONS ist Purifikatio Jeder gemischte Zustad vo B(H) ka als reduzierter Zustad eies reie Zustades eies größere Systems dargestellt werde. Beweis-Methode: Verdopplug des Systems ud Umkehrug der Schmidt-Zerlegug. k 16

17 4. Ubeschräkte selbstadjugierte Operatore 4.1. Motivatio Observable hermitescher Operator, quadratische Form mit reelle Erwartugswerte Erzeugede eier Gruppe vo Trasformatioe (z. B. Schrödiger-Gleichug) selbstadjugierter Operator 4.. Def: Bereiche, Graph Defiitiosbereich D(A) (i der Folge immer dicht i H), Rage R(A), Graph (A) 4.3. Def: Quadratische Form, Form-Bereich Erwartugswerte. Q(A) 4.4. Def: Abschluss eies Operators Abschließbar Abschluss des Graphe ist ei Graph; abgeschlosse Graph ist abg Beispiele ud Gegebeispiele a) Beschräkter Operator ist immer abschließbar; siehe B.L.T.-Theorem b) X-Operator zuerst mit D(X) = S c) Delta-Dyade d) Delta- Operator eigetlich Form, mit Q() = C 4.6. Def. ud Lemma: Adjugierter Operator A = A, A* mit größtmöglichem Defiitiosbereich D(A*). Dieser ist geau da dicht im Hilbertraum, we A abschließbar ist Satz: Adjugierte ist abgeschlosse Ifolge des größtmögliche Defiitiosbereiches Beispiele a) Beschräkter Operator b) X-Operator c) Leiter-Operatore des harmoische Oszillators d) Radialer Impuls 4.9. Def: Hermitesch (symmetrisch) / selbstadjugiert A* = A, ud auch Vergleich der Defiitiosbereiche vo A* ud A: D(A*) D(A) / D(A*) = D(A) Äquivalete Charakterisierug als Form Hermitesch Reelle Erwartugswerte, we Q(A) := D(A) 17

18 4.11. Def: Wesetlich selbstadjugiert Abschluss ist selbstadjugiert Beispiele a) X-Operator b) Impuls im ubeschräkte Raum Satz: Kriterie für (wesetliche) Selbstadjugiertheit a) Ker (A* + i) = Ker (A* i) = {0} oder auch b) R(A + i) = R(A i) = H (bzw. dicht i H) (Siehe Reed-Simo I, pp. 56-7) Def: Defektidizes (m, ) := (dim Ker (A* + i), dim Ker (A* i) ) Soweit die Aalyse vo gegebee Operatore. Nu zur Kostruktio vo brauchbare selbstadjugierte Operatore Def: Erweiteruge Über Erweiterug des Graphe, Erweiterug vo D(A) Satz über Existez selbstadjugierter Erweiteruge. We die beide Defektidices gleich sid. (Siehe Reed-Simo II, Thm X, p.140) Friedrichs-Erweiterug positiver Operatore H 0 def. positive, abgeschlossee quadratische Form mit Formbereich Q(H), eideutige selbstadjugierte Erweiterug mit D(H) Q(H) (Siehe Reed-Simo II, Thm. X3, p.177) Satz: A*A defiiert eie selbstadjugierte Operator Voraussetzug: A ist abgeschlosse (bzw. abschließbar). Form A*A ist abgeschlosse. Verwede die Friedrichs-Erweiterug. 18

19 5. Impulse, Drehimpulse, Eergie 5.1. Impuls auf der Gerade Defiiere p zuächst ur für Testfuktioe. Ist abschließbar. Fide die Adjugierte mittels partieller Itegratio. Abschluss vo p ist selbstadjugiert. Adere Techik: Verwedug der Fourier-Trasformatio. 5.. Impuls auf der Halbgerade Die Operatore p ud p* müsse sich durch Radbediguge uterscheide. Mit dem kleiere Defiitiosbereich ist p hermitesch. Es gibt aber keie selbstadjugierte Erweiterug. Defektidizes sid ämlich 1 ud Impuls auf dem beschräkte Itervall Wieder sid verschiedee Radbediguge möglich. Für de symmetrische Impuls- Operator mit dem kleiste Defiitiosbereich, mit Defektidizes (1,1), gibt es eie eiparametrige Schar vo selbstadjugierte Erweiteruge Impuls im dreidimesioale Raum Übertragug der Operatore für jede Kompoete auf das Tesorprodukt Drehimpuls i der Ebee Utersuchug vo x 1 p x p 1 i Polarkoordiate. Hilbertraum als Tesorprodukt vom Raum der Radius-abhägige mit dem Raum der Wikel-abhägige Fuktioe. Fide Aalogie zum Operator für de Impuls auf dem edliche Itervall mit periodische Radbediguge Drehimpuls im dreidimesioale Raum Die eizele Kompoete werde wieder im Tesorprodukt vo der Ebee auf de gaze Raum übertrage. L als Summe vo L k *L k Kietische Eergie auf der Gerade T = p² = p*p 5.8. Kietische Eergie auf der Halbgerade Als Operator T = p*p mit zwei verschiedee Radbediguge: Dirichlet- oder Neumasche Radbediguge. Da gibt es aber och adere, eie eiparametrige Schar Kietische Eergie auf eiem Itervall Der hermitesche Operator mit dem kleiste Defiitiosbereich hat Defektidizes (,) ud hat eie mehr-parametrige Schar vo selbstadjugierte Erweiteruge. Eie eiparametrige Schar, mit Radbediguge wie sie für Elektroe im Kristallgitter gebraucht werde, hat die Form p*p mit selbstadjugiertem Impuls. Da gibt es och weitere Erweiteruge mit der Form p*p, mit Dirichlet- ud/oder Neuma- Radbediguge. 19

20 5.10. Kietische Eergie im dreidimesioale Raum Summe vo p k *p k, etspreched kartesische Koordiate. oder auch, wie bei Berechuge mit Polarkoordiate, p r *p r + (1/r²)L² Kietische Eergie im gekrümmte Raum Der Raum ist eie Riemasche Maigfaltigkeit mit eiem Krümmumgstesor. Mittels kovariatem Gradiete defiiert ma lokale Impulse. Über die quadratische Forme p*p gelagt ma zu eiem Operator für die kietische Eergie, der durch de Laplace-Beltrami- Operator ausgedrückt wird Das Delta-Potetial Mit eier Methode, die i der Supersymmetrische Quatemechaik i Alehug a die Theorie des harmoische Oszillators verwedet wird, schreibt ma de Schrödiger- Operator kietische Eergie plus Delta-Potetial i der Form A*A. 0

21 Details zu 5.11: Kietische Eergie auf Maigfaltigkeite Maigfaltigkeit mit metrischem Tesor g Dieser defiiert ifiitesimale Läge, ds: (ds) g dx 1 ud das ifiitesimale Volumselemet, dv: dv gdx dx... Dabei ist g = det g. Differeziere eier skalare Fuktio gibt ei Vektorfeld: : x Für solche Vektore gibt es a jedem Ort der Maigfaltigkeit ei lokales ieres Produkt: g dx (Dabei ist g zu defiiere über: g g = ) Der Hilbertraum ist u L (, dv) : dv Die Operatore für die Kompoete des Impulses sid - mit passede Kostate - als partielle Ableituge defiiert. Für jede Wellefuktio gebe diese Kompoete zusamme ei Vektorfeld. Kietische Eergie ist zuächst als quadratische Form m Q zu defiiere: Q(, ) g gdx 1 dx... Durch partielles Itegriere gibt das de Laplace-Beltrami Operator : 1 Q(, ) (, ), (g g ) g 1

22 6. Spektrum ud Resolvete 6.1. Motivatio Löse der Schrödigergleichuge, mögliche Messergebisse für Observable, Diagoalisiere vo Dichte-Operatore 6.. Def.: Resolvetemege, Spektrum, Resolvete...Resolvetemege = Mege der komplexe Zahle, für die (-A) eie Bijektio zwische D(A) ud H ist....spektrum = Komplemet der Resolvetemege R (A)...Resolvete = ( A) Beispiele Spi-Matrize Beschräkter Operator X-Operator Selbstadjugierter Operator 6.4. Satz: Die erste Resolvetegleichug R (A) R (A) ( )R (A)R (A) Die Resolvete kommutiere Satz: Die Resolvetemege ist offe. Die Resolvete R (A) ist eie i aalytische operatorwertige Fuktio Def.: Greesche Fuktio We R (A) als Itegratios-Operator mit Ker darstellbar ist, so et ma de Itegratiosker Greesche Fuktio vo A Beispiel Greesche Fuktio vo p auf der Gerade 6.8. Def.: Puktspektrum p... Mege der Eigewerte 6.9. Def.: Normale Operatore Operatore, die mit ihrer Adjugierte vertausche Beispiele ud Gegebeispiele X-Operator ud adere Multiplikatios-Operatore Selbstadjugierte Operatore Uitäre Operatore Radialimpuls Erzeugugs- ud Verichtugsoperatore

23 6.11. Satz Satz über Wertebereich des Spektrums A selbstadjugiert (A) R U uitär (U) Eiheitskreis der komplexe Zahle 7. Fuktioalkalkül ud Spektralsatz 7.1. Stetige Fuktioe beschräkter ormaler Operatore Sei A ei beschräkter ormaler Operator. Jeder beschräkte stetige Fuktio f, die auf dem Spektrum vo A defiiert ist, ist i eideutiger Weise ei beschräkter Operator f(a) zuzuorde, sodass folgede Kriterie a), b), c) gelte: 1 a) Sei (A), R (x), da ist R (A) = (-A) -1 x b) Die Zuordug f(x) f(a) ist ei algebraischer *-Homomorphismus d.h. 1 1, übliche Recheregel für Summe, Produkt; Komplex kojugiere Adjugiere: (f(x))* (f(a))* c) Zuordug ist ormtreu: f(a) sup f(x) x (A) Weiters gilt auch och: d) Positivitätstreue e) Erhaltug vo Eigevektore f) Spektrale Abbildug: (f(a)) = f((a)) g) Erhaltug der Kommutativität: Kommutiert A mit B, so kommutiert auch f(a) mit B. 7.. Beweisidee Betrachte beschräkte selbstadjugierte Operator A. Bilde zuächst Poteze ud Polyome vo A, ud zeige die Eigeschafte. Verwede de Weierstraßsche Approximatiossatz. We N ormal ist, so sid A = (N + N*) ud B = i(n* N) selbstadjugiert ud vertausche miteiader. Wede das scho bewiesee auf A ud B a Satz ud Beweisidee für ubeschräkte ormale Operatore Satz aalog zum Satz für beschräkte Operatore. Wede de obige Satz auf die Resolvete a "Diagoalisierug", Spektraldarstellug Sei A ei ormaler Operator auf H. Es gibt eie Maßraum (M, d) ud eie bijektive Isometrie V: H L (M, d), sodass V -1 AV ei Multiplikatiosoperator ist; d.h. A wird als Multiplikatio mit eier messbare Fuktio dargestellt. Der Wertebereich dieser Fuktio, bzw. der Abschluss davo, ist gleich dem Spektrum des Operators A. 3

24 7.5. Beispiele Selbstadjugierte Matrize Dichte-Operatore Verschiebug am Gitter 7.6. Ustetige ud ubeschräkte Fuktioe vo Operatore Sid über die Spektraldarstellug zu bilde Zerlegug des Hilbertraumes ach Maß-Typ Direkte Summe vo "pure poit", absolutely cotiuous", "sigular cotiuous" 7.8. Vielfachheit Azahl der otwedige Summade i der direkte Summe für eie Spektraldarstellug N der Form HL( (A),d ) N ka auch uedlich sei Beispiele Vielfache Eigewerte vo Matrize. X-operator auf der Gerade ist eifach. Kietische Eergie auf der Gerade: Zweifach Spektrum des Wasserstoffatoms Spektralprojektore Etspreche de charakteristische Fuktioe auf dem Spektrum Erzeugug uitärer Trasformatioe mit selbstadjugierte Operatore als Erzeugeder: U(t) e iht 7.1. Der Satz vo Stoe Zu jeder stark stetige Gruppe uitärer Operatore U(t) gibt es eie selbstadjugierte Operator als Erzeugeder. 4

25 8. Gruppe, Liegruppe, Darstelluge 8.1. Def: Gruppe Gruppeprodukt Assoziativgesetz Eiheitselemet Iverses Elemet Kommutativ (abelsch) Nicht kommutativ Diskret Topologische Gr., Liegruppe 8.. Beispiele Spiegelug,, Puktgruppe ud Raumgruppe der Festkörperphysik, Permutatioe, Galilei-, Loretzgruppe, Matrizegruppe: O(N), SO(N), U(N), SU(N) 8.3. Homomorphisme ud Darstelluge Homomorphismus = Abbildug vo eier Gruppe i eie adere, die mit der Gruppestruktur verträglich ist. Uitäre Darstellug = Homomorphismus i die Gruppe der uitäre Operatore 8.4. (Aus-)Reduziere, irreduzible Darstellug Zerlege de Hilbertraum i Teilräume, die ivariat uter der Wirkug der Gruppe sid, ud selber icht weiter zerlegbar sid Irreduzible Darstelluge Beispiel SO(3) im (³) L 8.6. Utergruppe, Normalteiler, Faktorgruppe Utergruppe = Teilmege H vo G, die scho für sich allei eie Gruppe ist. Normalteiler = Utergruppe H vo G mit der Eigeschaft: Für alle g aus G ud alle h aus H gilt ghg -1 H Faktorgruppe G \H = Mege der Nebeklasse gh mit dem Produkt (g 1 H)(g H) = g 1 g H 8.7. Der Homomorphiesatz Der Ker eies Homomorphismus ist ei Normalteiler. Das Bild ist isomorph zur Faktorgruppe Beispiele Raumgruppe, Gittertraslatioe ud Puktgruppe; SU(), S ud SO(3) 8.9. Def: Treue Darstellug We der Ker trivial ist, also ur das Eis-Elemet ethält. 5

26 8.10. Def: Lie-Gruppe Gruppe mit folgede Eigeschafte a) Parametrisierug eier Teilmege M U vo G, die das Eiheitselemet ethält, mit reelle Zahle, die eie offee Umgebug U des Nullvektors im bilde. Parametrisierug eideutig ud umkehrbar. b) Es gibt eie kleiere offee Umgebug V des Nullvektors, sodass für jedes Paar (g,h) etsprecheder Gruppeelemete aus M V gilt: gh M U.Die etsprechede Abbildug vom Parameter-Paar zu de eue Parameter ist stetig, beliebig oft differezierbar ud als Taylorreihe darstellbar (also reell-aalytisch ). c) Die Elemete aus M U erzeuge die gaze Gruppe G (bzw. die Zusammehagskompoete ). Eie lieare Lie-Gruppe ist eie Lie-Gruppe mit treuer Darstellug durch edlichdimesioale Matrize Beispiele a) SO() b) SO(3), Eulersche Wikel c) SU() d) Euklidische Gruppe, = semidirektes Produkt vo SO(3) mit der Gruppe der Traslatioe Def: Erzeugede Elemete Etstehe durch differeziere. Erzeugede der (uitäre) eiparametrige Utergruppe Beispiele a) SO() ud SO(3) b) SU() Def: Tagetialraum Erzeugede Elemete ka ma addiere..., bilde eie -dimesioale reelle Vektorraum Def: Lie-Klammer Etspricht bei Matrize-Gruppe dem Kommutator. Ist icht gleich Null, we die Gruppe icht kommutativ ist Eigeschafte der Lie-Klammer a) Atisymmetrie b) Jacobi-Idetität Beispiele a) S(O3) b) SU() 6