( n) Abkürzungen und Symbole

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1 Abkürzuge ud Symbole A Allgemeie Symbole Negatio Kojuktio (ud) Disjuktio (oder) für alle es gibt ei ( ) Implikatio (hat zur Folge) ( ) Äquivalez vo Aussage (ist gleichbedeuted mit) Allzeiche (für alle) Existezquator (es existiert) := ist Bezeichug für =: wird bezeichet als = ist gleich Idetität (ist idetisch) (a; b), ]a; b[ offees Itervall [a; b] abgeschlossees Itervall Megelehre ist Elemet vo ist icht Elemet vo ist Teilmege vo ist icht Teilmege vo ist Übermege vo {} = Ø leere Mege {x M: E(x)} Mege aller Elemete x aus M, welche die Eigeschaft E besitze} Vereiigug A B := {x : x A oder x B} Durchschitt A B := {x : x A ud x B} A\B := {x A : x B} Differez Komplemetmege A x B := {(a, b) : a A, b B) kartesisches Produkt P(M) Potezmege vo M Mege aller Teilmege vo M A Geometrie kogruet ~ ählich Wikel ist sekrecht zu ist parallel zu Dreieck a b Skalares (ieres) Produkt vo Vektore a b Vektorprodukt, äusseres Produkt (Kreuzprodukt) vo Vektore Arithmetik, Algebra, N Mege der atürliche Zahle N 0 Mege der ichtegative gaze Zahle Z Mege der gaze Zahle Z + Mege der positive gaze Zahle Z - Mege der egative gaze Zahle Z + 0 Z + {0} Z - 0 Z - {0} Q Mege der ratioale Zahle Q +, Q -, Q + 0, Q - 0 R Mege der reelle Zahle R +, R -, R + 0, R - 0 C Mege der komplexe Zahle + Additio - Subtraktio. ( ) Multiplikatio : Divisio a b a ist Teiler vo b a absoluter Betrag <, > kleier, grösser, kleier oder gleich, grösser oder gleich a << b a ist wesetlich kleier als b m ( ) Biomialkoeffiziet! -Fakultät,! = sg sigum, Vorzeiche Summezeiche Produktzeiche Aalysis lim Limes, Grezwert dy dx y x 1 δ Differetialquotiet partielle Ableitug Itegral Grezwert: geht ach Variatio uedlich Nabla-Operator Differez, Laplace-Operator by Herma Koll ver. 4.0 /

2 Griechisches Alphabet C Alpha α Α Beta β Β Gamma γ Γ Delta δ Epsilo ε Ε Zeta ζ Ζ Eta η Η Theta ϑ, θ Θ Jota ι Ι Kappa κ Κ Lambda λ Λ My µ Μ Ny ν Ν Xi ξ Ξ Omikro ο Ο Pi π Π Rho ρ Ρ Sigma σ Σ Tau τ Τ Ypsilo υ Υ Phi ϕ, φ Φ Chi χ Χ Psi ψ Ψ Omega ω Ω by Herma Koll ver. 4.0 /

3 Fakultäte ud Biomialkoeffiziete E Fakultäte! = (-1) (-2) (-3) (lies: " Fakultät") 1! = 1 0! = 1 Beispiel: 5! = = 120 Biomialkoeffiziete ( k ) =! k!(-k)! Beispiel: ( 7 2 ) = Es gilt: ( k ) = ( -k) 7! 2! 5! = = 21 (lies: " über k") Die Biomialkoeffiziete gebe auch die Azahl der Kombiatioe (ohe Wiederholug) vo Elemete zur Klasse k a. Biomscher Lehrsatz a + b = ( 0) a + ( 1) a -1 b + ( 2) a -2 b 2 + ( 3) a -3 b ( k) ( ) a -k b k ( -2) a 2 b -2 + ( -1) ab -1 + ( ) ( a - b ) = ( 0) a ( 1) a -1 b + ( 2) a -2 b 2 ( 3) a -3 b (-1) k ( k) a -k b k ( -2) a 2 b -2 ( -1) ab -1 + ( ) b = k=0 ( k ) b = ( ) k=0 a -k b k -1 k ( k) a -k b k Pascal'sches Dreieck Die Biomialkoeffiziete ka ma auch aus dem Pascal'sche Dreieck ablese: by Herma Koll ver. 4.0 /

4 Kombiatorik F Kombiatorik Variatio vo Elemete zur Klasse k ohe Wiederholug Beispiel: Aus eier Ure mit de Zahle 1, 2, 3, 4,, 8, 9 werde hitereiader 4 Elemete ohe zurücklege gezoge ud i der Reihefolge der Ziehug zu eier Zahl zusammegesetzt. Wieviele verschiedee Aorduge sid dabei möglich? V(9,4) = = 9! 5! allgemei: V(,k) = Permutatio vo Elemete! ( - k)! Die Reihefolge ist wesetlich. Ei Soderfall der Variatio ist die Permutatio, es ist die Aordug vo Elemete zur Klasse. Somit gilt für die Permutatio P(): P( ) = V(,) =! Variatio vo Elemete zur Klasse k mit Wiederholug Gegeüber der dem vorherige Beispiel ist jetzt eie wiederholug der Elemete möglich (Ziehe mit Zurücklege). Es ergebe sich bei 9 Elemete zur Klasse 4 V (9,4) = 9 4 Möglichkeite. allgemei: V (,k) = k Die Reihefolge ist wesetlich. Kombiatio vo Elemete zur Klasse k ohe Wiederholug Beispiel: Aus eier Ure mit eu verschiedee Farbtube werde vier Tube gezoge. Es wird jeweils ei Streife ausgedrückt, die vier Streife werde zu eier Mischfarbe verrührt. Wieviele verschiedee Farbe erhält ma? K(9,4) = V(9,4) 4! = allgemei: K(,k) = 9! 4! (9-4)! = ( 9 4)! k! ( - k)! = ( k) Die Reihefolge ist uwesetlich. Kombiatio vo Elemete zur Klasse k mit Wiederholug + k 1 + k 1 K (,k) = ( k ) = ( ) 1 = (+1)(+2) (+k 1) k Die Reihefolge ist uwesetlich by Herma Koll ver. 4.0 /

5 Dreieck G Allgemeies Dreieck: Wikelsumme α + β + γ = 180 Wichtige Pukte im Dreieck: Höheschittpukt H: Schwerpukt S: Umkreismittelpukt M u : Ikreismittelpukt M i : Rechtwikeliges Dreieck: Schittpukt der Höhe Schittpukt der Seitehalbierede (S teilt die Seitehalbierede im Verhältis 1:2) Schittpukt der Mittelsekrechte Schittpukt der Wikelhalbierede C Satz vo Pythagoras: c 2 = a 2 + b 2 A b q c h a p B Höhesatz (vo Euklid): Kathetesatz (vo Euklid): Fläche: h 2 = p q a 2 = p c b 2 = q c F = c h 2 = a b 2 Gleichseitiges Dreieck: Alle Seite sid gleich lag, alle Wikel sid gleich gross (α = 60 ). Höheschittpukt, Schwerpukt, Umkreismittelpukt ud Ikreismittelpukt falle zusamme. Es gibt 3 Symmetrieachse. Gleichschekeliges Dreieck: Zwei Seite (Schekel) sid gleich lag. Die Wikel a der Basis sid gleich gross. Kogruezsätze beim Dreieck Zwei Dreiecke sid kogruet, 1) we sie i alle drei Seite übereistimme. 2) we sie i zwei Seite ud im eigeschlossee Wikel übereistimme. 3) we sie i eier Seite ud i zwei gleichliegede Wikel übereistimme. 4) we sie i zwei Seite ud im Wikel, der der grössere Seite gegeüberliegt, übereistimme. Ählichkeitssätze beim Dreieck Zwei Dreiecke sid ählich, 1) we sie im Verhältis aller drei Seite übereistimme. 2) we sie im Verhältis vo zwei Seite ud im eigeschlossee Wikel übereistimme. 3) we sie i zwei Wikel übereistimme. 4) we sie im Verhältis vo zwei Seite ud im Wikel, der der grössere Seite gegeüberliegt, übereistimme by Herma Koll ver. 4.0 /

6 Kogruez- ud Ählichkeitsabbilduge H Geradespiegelug: S g Eie Geradespiegelug a der Gerade g ist eie Abbildug der Ebee auf sich selbst ach folgede Regel: Jedem Pukt P ist eideutig ei Bildpukt P' zugeordet. P ud P' liege auf derselbe Sekrechte zu g, sie habe de gleiche Abstad vo g ud liege auf verschiedee Seite vo g. Drehug: D O,α Eie Drehug um de Pukt O um de Wikel α ist eie Abbildug der Ebee auf sich selbst ach folgede Regel: Jedem Pukt P ist eideutig ei Bildpukt P' zugeordet. P ud P' liege auf demselbe Kreis um O. Die Strecke OP ud OP' schliesse de Drehwikel α ei. Ist α positiv, so erfolgt die Drehug gege de Uhrzeigersi, ist α egativ, so erfolgt die Drehug im Uhrzeigersi. Puktspiegelug: S Z Eie Puktspiegelug am Zetrum Z ist eie Abbildug der Ebee auf sich selbst ach folgede Regel: Jedem Pukt P ist eideutig ei Bildpukt P' zugeordet. P ud P' liege auf derselbe Gerade durch Z, sie habe de gleiche Abstad vo Z ud sie liege auf verschiedee Seite vo Z. Parallelverschiebug: V a Eie Parallelverschiebug um de Vektor a ist eie Abbildug der Ebee auf sich selbst ach folgede Regel: Jedem Pukt P ist eideutig ei Bildpukt P' zugeordet. Setzt ma de Verschiebugsvektor a i P a, so liegt P' i der Pfeilspitze Zetrische Streckug: Z Z,k Eie zetrische Streckug mit dem Zetrum Z ud dem Streckfaktor k ist eie Abbildug der Ebee auf sich selbst ach folgede Regel: Jedem Pukt P ist eideutig ei Bildpukt P' zugeordet. P ud P' liege auf derselbe Gerade durch Z. Der Abstad des Puktes P' vo Z ist das k -fache des Abstades des Puktes P vo Z. Ist k positiv, so liege P ud P' auf der gleiche Seite vo Z, ist k egativ, so liege P ud P' auf verschiedee Seite vo Z. Eigeschafte S g D O,α S Z V a Z Z,k geradetreu ja ja ja ja ja paralleletreu ja ja ja ja ja wikeltreu ja ja ja ja ja verhältistreu ja ja ja ja ja lägetreu ja ja ja ja ei flächetreu ja ja ja ja ei Umlaufsi gegesiig gleichsiig gleichsiig gleichsiig gleichsiig Origial- ud Bildfigur sid: kogruet kogruet kogruet kogruet ählich idetische Abbildug S g S g D O,0 S Z S Z V o Z Z,1 Umkehrabbildug S g D O,-α S Z V -a Z Z,1/k Fixpukte P g O Z Z Fixpuktgerade g Fixgerade h g g, (Z g) g, (Z g) Fixkreise k(o,r) by Herma Koll ver. 4.0 /