3. Operatoren. ψm ψ 2. λ m =λ. W(λ) = v H. Die inversen Operatoren spielen die Rolle von Resolventen, als formale Basis der Greenschen Funktionen.

Transkript

1 Die iverse Operatore spiele die Rolle vo Resolvete, als formale Basis der Greesche Fuktioe. 3. Operatore 3.0 Motivatio Um das Grudkozept der Quatemechaik zu vervollstädige, beötige wir jetzt die lieare Operatore auf Hilberträume. Das wird sofort deutlich, we ma sich die grudlegede Axiome der Quatemechaik asieht. I eier Formulierug vo viele laute sie: 1 Der Raum der Zustäde ist ei Hilbertraum H, auf dem ei selbstadjugierter Hamiltooperator Ĥ defiiert ist. Das System wird zu jeder Zeit t durch eie Strahl im Hilbertraum beschriebe; ei Strahl ψt ist die Äquivalezklasse vo ormierte Vektore ψ mit ψ ψ = 1, wobei ψ 1 ψ 2, falls ψ 1 = e iα ψ 2. 2 Die Zeitetwicklug wird durch die Schrödigergleichug beschriebe. i h ψt = Ĥψt t 3 Observable werde durch selbstadjugierte Operatore  beschriebe. 4 Die mögliche Ergebisse eier Messug vo  sid die verschiedee Eigewerte λ vo Â. 5 Die Wahrscheilichkeit, dass als Messergebis λ auftritt, ist Wλ = ψm ψ 2. λ m =λ Der Erwartugswert vo  im Zustad ψ ist ψ  ψ. Us werde die folgede Klasse vo Operatore begege: Die selbstadjugierte Operatore garatiere de Zusammehag mit dem Experimet. 37 Die uitäre Operatore vermittel Trasformatioe vo Basissätze des Hilbertraums ud erweiter damit das Kozept der orthogoale Trasformatioe i edlichdimesioale Vektorräume. Die Projektiosoperatore erlaube es, de Hilbertraum i Teilräume zu segmetiere. Die Zeitetwicklugsoperatore trete auf, we Quatesysteme eie ichttriviale Zeitetwicklug habe. 3.1 Defiitiosbereich Operatore i der Quatemechaik sid i der Regel Homomorphisme  : D A H, wobei H der Hilbertraum des betrachtete Systems ud D A H ei dichter Uterraum vo H ist. Ma sagt vo eier Teilmege, sie liegt dicht i eiem metrische Raum, we ma jede Pukt des Gesamtraums beliebig geau durch eie Pukt der Teilmege approximiere ka. Obwohl es atürlich wüscheswert wäre, Operatore auf gaz H awede zu köe, ist dies für viele praktisch iteressate Operatore icht möglich; damit der Operatorbegriff sivoll bleibt, sollte allerdigs zumidest D A i H dicht sei. Eie Abbildug  : v w :=  v heißt lieare Trasformatio oder liearer Operator, we gilt:  α 1 v 1 + α 2 v 2 = α 1 v 1 + α 2 v 2 Uter de so defiierte Operatore sid zwei spezielle: Nulloperator O : O v = 0 Eisoperator 1 : 1 v = v v H v H Beispiel: Im Fall H = L 2 R lasse sich viele wichtige Operatore ausdrücke als Polyome vo x der Operator, der die Fuktio ψx mit x multipliziert ud x. Ei wichtiges Beispiel ist der Impulsoperator ˆp : ψ i hψ. Fuktioe im Defiitiosbereich müsse icht ur differezierbar sei, soder ihre Abbildug muss außerdem quadratitegrabel sei. Maximaler 38

2 Defiitiosbereich vo ˆp ist daher D p = φ L 2 R } φ differezierbar ud φ L 2 R oder kapper D p = φ L 2 R dx φx } 2 < x uter impliziter Forderug der Existez vo Ableitug ud Itegral. Im Folgede sei  : D A H ei liearer Operator mit Defiitiosbreich D A H; der Defiitiosbereich D A sei ei dichter Uterraum vo H, ud H sei separabel. Zwei Operatore werde als gleich bezeichet  = ˆB, we sie sowohl i ihre Werte wie i ihre Defiitiosbreiche übereistimme: 3.2 Iverser Operator D A = D B ;  v = ˆB v v D A Für eie Operator  : D A H ee wir die Mege R A :  v v DA } das Bild des Operators  R vo Eglisch rage. We D A ei Vektorraum ist, da ist R A auch ei Vektorraum. Iverser Operator: Ist  ijektiv, so existiert eie Umkehrug  1 : R A D A, Für alle w R A, w =  v gilt ud damit  1 = 1 D A  1 w =  1 v =  v = w  1 = 1 RA Der Operator  1 ist stets ei Isomorphismus, ud fall  isometrisch ist, so ist es auch  1. Isbesodere gilt: uitäre Operatore sid stets umkehrbar, ud ihre Umkehrug ist wieder uitär. Im allgemeie müsste ma sogar zwische rechts- ud liksiverse Operatore uterscheide Adjugierter Operator Wir stelle die Defiitio eies symmetrische Operators vora: Der Operator  heißt symmetrisch, we gilt: v 1  v 2 = v 2  v 1 v 1, v 2 D A Bislag habe wir de Operator  als etwas aufgefasst, das ach rechts wirkt, also auf eie Vektor:  : v  v. Für die Wahl des Defiitiosbereichs D A H ist es dabei etscheided, dass die Wirkug vo  sivoll erklärt ist ud das Ergebis wieder i H liegt. Da zu jedem Elemet v des Hilbertraums eie dazu duale Liearform lieares Fuktioal v existiert, dere Wirkug durch das Skalarprodukt v : H C, u v u erklärt ist, ka ma auch die Wirkug des Operators ach liks, also auf Liearforme, utersuche:  : v v  v  Wir defiiere u de adjugierte Operator  mit dem Defiitiosbereich } D A := v H v  ist beschräkt auf D A ud mit der Wirkug  : v  v mit  DA v = v  Ab sofort verwede wir das Symbol dagger für die kaoische eieideutige Abbildug vgl. Kap. 2.2 zwische H ud H H : u = u, u = u Die Schreibweise DA bedeutet eigeschräkt auf D A. Die Dichtheit vo D A i H garatiert dabei die Eideutigkeit dieser Defiitio. Für Operatore, die auf dem gesamte Hilbertraum defiiert sid, also mit D A = H, ist v  für beliebiges v bereits eie wohldefiierte Liearform auf gaz H, ud somit beschräkt; es gilt daher auch D A = H. We wir eie abzählbare orthoormierte Basis e } vo H mit e D A kee, da köe wir de Defiitiosbereich alterativ formuliere. Dazu stelle wir fest, dass v  = v Â1 D A = v  e e DA 40

3 für beliebiges v H eie wohldefiierte Liearform auf D A ist. Ohe die Eischräkug auf D A ist v  e e eie wohldefiierte Liearform auf gaz H, also ei bra, geau da, we v  e 2 <. Folglich gilt: D A := v H v  e } 2 < Auch die Wirkug vo  köe wir mithilfe der Basis e } agebe:  v = Eigeschafte e e  v =  v e e = v  e e 3.1 Defiitio 3.1. Die Norm eies Operators  : V, V W, W ist defiiert durch  v  := sup W = sup v 0 v  v W 3.2 V v V =1 Aus dieser Defiitio folgt sofort  v  v. Defiitio 3.2. Wir betrachte eie Operator  : V, V W, W. Wir ee da de Operator  beschräkt, we ei λ > 0 existiert, sodass gilt  < λ. Wir ee de Operator stetig i v 0 V, we aus v v 0 folgt  v  v 0. Wir ee de Operator stetig, we er i alle Pukte v V stetig ist. Satz 3.1. Es sei ei liearer Operator  : V, V W, W gegebe, da sid die folgede Aussage äquivalet: 1  ist stetig. 2  ist stetig i v 0 V. 3  ist beschräkt. 41 Beweis: 1 2 ist offesichtlich. 2 3: OBdA ehme wir  stetig i v 0 = 0. Ageomme, A ist ubeschräkt, da existiert für jedes N ei v D A, sodass Âv > v. Daraus folgt, dass v 0; obda köe wir aehme, dass v = 1 ; damit gilt v 0 ud Âv > 1 = 1, i Widerspruch zur Stetigkeit i v 0 = 0 3 1: Wir ehme a, dass  beschräkt ist, d.h. Âv λ v für alle v D A. We v D A ist ud v N eie Folge aus D A, sodass v v, da habe wir Âv Âv = Âv v λ v v 0 d.h.  v  v, womit die Stetigkeit vo  bewiese ist. Wege dieses Satzes wird i gägige Darstelluge mal Stetigkeit, mal Beschräktheit vo lieare Operatore diskutiert, wobei es um gleichwertige Eigeschafte geht. Satz 3.2. Es sei ei liearer Operator  : V, V W, W gegebe mit der Dimesio dim V = V <, da ist  beschräkt. Für uedlichdimesioale Räume gilt dieser Satz allerdigs icht, ud i der Quatemechaik sid viele physikalische Operatore icht beschräkt icht stetig. Die Ustetigkeit eies lieare Operators  : D A = V H, der auf eiem Teilraum V des Hilbertraums H defiiert ist, ka wie folgt iterpretiert werde: Es existiert eie Folge vo ormierte Vektore e, sodass die Folge N 0 α, gegebe durch N 0 α :=  e ubeschräkt ist. Beispiel: Wir betrachte de Hamiltooperator H := x 2 + x2 2 auf dem Uterraum U vom Hilbertraum L 2 der quadratitegrable Fuktioe U := f C 2 R L 2 } R x fx = gx c j x j, c j R, N 0, gx = e x j=0

4 We wir da als Folge e N0 die ormierte Hermitefutioe wähle, da gilt α := He = mit N; diese Folge ist offesichtlich icht beschräkt, sodass H kei stetiger Operator ist. Satz 3.3. Für beschräkte oder symmetrische Operatore  gilt stets: D A D A. Defiitio 3.3 selbstadjugierter Operator. Ist  = Â, also isbesodere D A = D A ud D A liegt dicht i H, so heißt  selbstadjugiert. Selbstadjugierte Operatore sid stets symmetrisch. Defiitio 3.4 Hermitezität. Ei beschräkter selbstadjugierter Operator heißt hermitesch. Matrixelemete: Für φ D A ud ψ D A gilt: Für die Matrize gilt da: 3.4 Uitäre Operatore ψ  φ = φ  ψ A = A T Für uitäre Operatore Û mit D U = H ist auch D U = H; ferer gilt für alle v 1, v 2 H: Û Û v 1 v2 Defiitio Û = Û v1 Û v 2 Isometrie = v 1 v2 ud damit Û Û = 1, also Û = Û 1 ud auch ÛÛ = 1. Die Umkehrug gilt ebefalls ud ergibt eie Test auf Uitarität: Sei  : H H ei Operator mit  = 1. Da gilt für alle v 1, v 2 H:  v 1  v 2 = v 1  v 2 = v 1 v 2  ist also isometrisch ud damit isbesodere ijektiv, da ormerhalted. Gilt zusätzlich   = 1, so ist  auch surjektiv, also ei isometrischer Isomorphismuss, also uitär;  muss da ebefalls uitär sei. Es ist wichtig, tatsächlich beide Voraussetzuge,  = 1 ud   = 1, zu prüfe, wie das folgede kaoische Gegebeispiel zeigt: 43 Beispiel: Hilbert s Hotel: Sei H ei separabler Hilbertraum mit orthoormierter Basis e }. Sei  : H H ei Operator mit der Wirkug  e = e +1. Dieser Operator eiget sich als Lösug des Problems: Was tut ma i eiem Hotel mit abzählbar viele Zimmer, we alle Zimmer belegt sid ud ei weiterer Gast eitrifft? Der Operator setzt de Bewoher vo Zimmer 1 ach Zimmer 2 um, de vo Zimmer 2 ach Zimmer 3 usw., ud der eue Gast ka i Zimmer 1 eiziehe; das ist eie Lösug, die i eiem Hotel mit ur edlich viele bereits besetzte Zimmer icht fuktioiert hätte. Der dazu adjugierte Operator  ist da ach Gl. 3.1:  = e  e e = e e +1 e = δ, +1 e = =1 0 falls = 1 =2 δ, e 1 sost = =1 0 falls = 1 e 1 sost Offebar ist   = 1, aber  ist icht uitär, da  1. Der Operator  ist also ijektiv, aber icht surjektiv; adererseits ist  surjektiv, aber icht ijektiv. Eie praktische Awedug uitärer Operatore ist die vielbeutzte uitäre Basistrasformatio. Für die Vektore eies vollstädige diskrete Orthoormalsystems e } gilt bei Eiwirkug eies uitäre Operators: ẽ = Û e = m e m e m Û e 3.3 Die trasformierte Vektore erfülle die Relatioe ẽ ẽ m = e Û Û e m = e e m = δ m, ẽ ẽ = Û e e Û = ÛÛ = Die trasformierte Vektore sid also orthoormal ud vollstädig. Sie stelle ebefalls eie Basis des Hilbertraums dar. Hat ma eie beliebige diskrete Matrixdarstellug e m  e eies Operators Â, so ka ma eie uitäre Basistrasformatio beutze, um eie Eigedarstellug ẽ m  ẽ = a δ m 44

5 zu fide. Das ist für eie uedlichdimesioale Matrixdarstellug im allgemeie icht möglich, aber die Methode der uitäre Basistrasformatioe wird für Näheruge bei der Berechug vo Eergiespektre komplexer Systeme verwedet. 3.5 Grudlage der Spektraltheorie I folgede diskutiere wir wichtige Begriffe der Spektraltheorie, die für die Quatemechaik vo besoderer Bedeutug ist. Defiitio 3.5. Sei H = V, ei Hilbertraum, sowie ei im allgemeie ubeschräkter Operator  : V W gegebe, da ee wir z K de Eigewert vo Â, we ei v D A, v 0 existiert, das die Eigewertgleichug  v = z v erfüllt. I diesem Fall ist der Operator z1  icht ijektiv, da z1  v = 0, ud ma et de Ker, d.h. die Vektore, die vom Operator z1  auf 0 abgebildet werde, Kz1  0} de Eigeraum, ud seie Dimesio dim Kz1  ist die Vielfachheit Etartugsgrad des Eigewertes z. De Vektor v et ma de Eigevektor zum Eigewert z. Nu zum Fall, dass z kei Eigewert vo  ist. We es eie auf eier dichte Teilmege des Raumes H defiierte, beschräkte Operator ˆRz,  gibt mit ˆRz,  λ1  = λ1ˆrz,  = 1 da ist z Elemet der sog. Resolvetemege vo Â, d.h. der Mege ρâ := z K z1  ivertierbar }. De Operator ˆRz,  defiiert durch ρâ LV, z ˆRz,  := z1  1 mit dem ormierte Raum LV, op der lieare Abbilduge V V et ma die Resolvete vo  im Pukt z. Die Mege σâ := K\ρÂ, also das Komplemet der Resolvetemege, heißt das Spektrum vo Â. 45 Das Spektrum ka ma jetzt eiteile, idem ma verschiedee Grüde der Nichtexistez eier beschräkte Resolvete zugrudelegt: a Die Mege der Eigewerte vo  et ma auch das Puktspektrum oder diskretes Spektrum oder Eigewertspektrum σ p  σâ: σ p  := z K z1  icht ijektiv }. Diese Mege ist abzählbar, d.h. im Zusammehag mit Eigewerte trete Summe auf. We H edlichdimesioal ist, da besteht das Spektrum vo  ur aus Eigewerte. b Die Mege σ c  σâ, für die ˆRz,  existiert ud das Bild Bz1  i H dicht ist, ee wir das kotiuierliche Spektrum. Dies etspricht dem Fall, dass der Operator z1  ijektiv, jedoch icht surjektiv ist, aber ei dichtes Bild besitzt, das heißt es existiert ei Iverses, das ur auf eiem dichte Teilraum des Hilbertraumes H defiiert ist: σ c  := z K z1  ijektiv, Bz1  dicht i H}. Dieser kotiuierliche Ateil des Spektrums ist eie i der Regel überabzählbar große Mege, ud es trete statt der Summe beim diskrete Spektrum Lebesgue-Itegrale auf. Das Spektrum selbstadjugierter Operatore auf abzählbar-uedlichdimesioale Hilberträume besteht aus eiem diskrete ud eiem kotiuierliche Ateil, wobei σ p oder σ c leer sei köe, aber icht beide. Eie zusätzliche Komplikatio besteht dari, dass wichtige Operatore der Quatemechaik wie Orts- ud Impuls-Operator ei rei kotiuierliches Spektrum mit verallgemeierte Eigefuktioe besitze, die icht quadratitegrierbar sid. Für die kotiuierliche Eigewerte z σ c  wird die Eigewertgleichug  v = z v durch Distributioe v erfüllt. I der Physik bezeichet ma die Resolvete häufig als Greesche Fuktio. Satz 3.4. Es sei H ei C-Hilbertraum ud  : D A H H ei selbstadjugierter Operator. Falls  Eigewerte besitzt, so sid diese reell. Falls  midestes zwei verschiedee Eigewerte besitzt, so sid die zugehörige Eigevektore paarweise orthogoal: a a m = δ m, a a = δa a 46

6 Beweis: Es seie u, v Eigevektore vo  zu de Eigewerte λ, µ: Da gilt eierseits  u = λ u,  v = µ v u Âv = u µv = µ u v 3.5 ud adererseits wege u, v D A = D A ud w D A  w =  w : u Âv =  u v =  u v = λ u v = λ u v Falls u = v ud λ = µ, da folgt daraus λ = λ, d.h. λ ist reell. Damit wisse wir also, dass es sich bei λ ud µ um reelle Zahle hadelt, ud wir köe astelle der letzte Gleichug schreibe u Âv = λ u v ud durch Substraktio vo Gl. 3.5 folgt λ µ u v = Also muss wege λ µ gelte: u v. Wege dieses Satzes köe wir also die Eigewerte selbstadjugierter Operatore mit Messwerte idetifiziere. Der selbstadjugierte Operator selbst repräsetiert die Messgröße ud wird Obervable geat. Der Zustad des Systems währed der Messug wird mit eiem Vektor des Hilbertraums idetifiziert, der im Defiitiosbereich des Operatores liegt. Zugäglich sid im Prizip ur Erwartugswerte eies Operators Â, gegebe durch <  >:= v  v Der folgede Satz garatiert, dass die Eigevektore eies selbstadjugierte Operators  de gaze Hilbertraum aufspae: Satz 3.5. Die Eigevektore eies selbstadjugierte Operators  auf eiem edlichdimesioale Hilbertraum sid vollstädig. Die Verallgemeierug dieses Satzes auf uedlich viele Dimesioe mache de eigetliche Ker der Hilbertraumtheorie aus. Wir erhalte damit 47 eie Spektralzerlegug der Eis, d.h. eie Zerlegug der Eis i der Eigebasis des Operators Â: 1 = a a + da a a 3.7 a σ σ c p Wir schreibe für die Eis auch 1 = 1 A, um zu betoe, dass es sich um die Zerlegug i der Eigebasis des Operators  hadelt. Mit de Eigewertgleichuge  a = a a ud  a = a a erklärt ma aus Gl. 3.7 die Spektralzerlegug vo Â, d.h. die Darstellug des Operators  i der Eigebasis:  = Â1 A = a a a + da a a a 3.8 Kompoetedarstellug vo kets Mit der Vollstädigkeitsrelatio erhält ma auch die Spektralzerlegug jedes Hilbertraumvektors ψ : ψ = 1 A ψ = ψ a + da ψa a 3.9 mit de Kompoete ψ := a ψ ud ψa := a ψ. We ma de Vektor ψ i der Eigebasis als Tupel ψ 1 a 1 ψ ψ = ψ 2... = a 2 ψ... ψa a ψ schreibt, sieht ma besoders deutlich, dass kets basisuabhägig sid, währed Tupel ud Fuktioe vo der Basis abhäge. Matrixdarstellug vo Operatore Mit der Vollstädigkeitsrelatio erhält ma auch die Spektralzerlegug jedes Operators ˆB: B m a a m + da da Ba, a a a 3.10 ˆB = 1 A ˆB1 A = m mit de Matrixelemete B m := a ˆB a m ud Ba, a = a ˆB a. Diese Darstellug des Operators ˆB et ma Matrixdarstellug des Operators ˆB; auch sie ist basisabhägig. 48

7 3.6 Orts- ud Impulsdarstellug Der Ortsoperator hat ei rei kotiuierliches Spektrum ud daher die Spektralzerlegug ˆq = dx x x x Die Spektralzerlegug eies ket ψ i der Ortsbasis lautet da ψ = 1 q ψ = dx ψx x 3.12 mit de Ortskompoete ψx = x ψ. Die Darstellug vo ψ = x ψ et ma Ortsdarstellug vo ψ. Offebar ist x ˆq ψ = x x ψ = xψx, d.h. die Abbildugsvorschrift des Ortsoperators im Ortsbild ist die Multiplikatio der Ortsfuktio mit ihrem Argumet: x ˆq = x x Der Impulsoperator ˆp hat ebefalls ei rei kotiuierliches Spektrum ud lässt sich also schreibe als ˆp = dp p p p Die Spektralzerlegug eies ket ψ i der Impulsbasis lautet da ψ = 1 p ψ = dp ψp p 3.14 mit de Impulskompoete ψp = p ψ. Die Darstellug vo ψ = p ψ et ma Impulsdarstellug vo ψ. Nu braucht ma och eie Vorschrift zum Wechsel vo eier Darstellug zur adere. Das wird durch die Trasformatioselemete x p = 1 e ipx 3.15 geleistet. Damit erhält ma ψp = p ψ = p 1 q ψ = dx p x x ψ = 1 e ipx ψx, 49 d.h. die Impulsdarstellug ist gerade die Fouriertrasformierte der Ortsdarstellug. Umgekehrt gilt: ψx = x ψ = x 1 p ψ = dp x p p ψ = 1 e ipx ψp, d.h. die Ortsdarstellug erhält ma aus der Impulsdarstellug durch iverse Fouriertrasformatio. Die Abbildugsvorschrift für de Impulsoperator im Ortsraum ist x ˆp ψ = dp p x p p ψ = 1 ipx dp pe ψp = i x 1 dp e ipx ψp = i x ψx d.h. die Abbildugsvorschrift des Impulsoperators im Ortsbild ist die Ableitug der Ortsfuktio ach ihrem Argumet: x ˆp = i x x 3.7 Greesche Fuktioe i der Quatemechaik Die Greesche Fuktio zu eiem Hamiltooperator Ĥ wird defiiert als 1 = z1 Ĥ Gz = Gz z1 Ĥ 3.17 wobei wir, wie i der Literatur üblich, i der Schreibweise vo Gz icht ausdrücklich auf de Operator Ĥ verweise, obwohl atürlich Ĥ ud Gz eiader zugeordet sid. Die Spektraldarstellug der Greesche Fuktio ist Gz = ψ i ψ i 3.18 i we E i ud ψ i die Eigewertgleichug Ĥ ψ i = E i ψ i erfülle. Das folgt aus 1 Gz = z1 Ĥ = 1 z1 Ĥ ψ i ψ i = 1 z1 i i Ĥ ψ i ψ i = ψ i ψ i i wobei der letzte Schritt auf die allgemeie Relatio für eie beliebige Fuktio eies Operators F φ = Fλ φ falls  φ = λ φ

8 zurückgreift. I der Ortsdarstellug lautet die Greesche Fuktio Gx, x ; z = x Gz x 3.20 ud damit i Kombiatio mit der Spektraldarstellug x Gz x = i x ψ i ψ i x 3.21 Wir zeige u, dass Gz i der Spektraldarstellug tatsächlich Gl erfüllt: z1 Ĥ Gz = i z1 Ĥ ψ i ψ i = i z E i 1 ψ i ψ i = i ψ i ψ i = 1 wobei wir die Spektralzerlegug der Eis verwedet habe. Aus der Greesche Fuktio ka ma da messbare Größe wie die Spektralfuktio Ax, x ; E = 1 π lim η 0 ImGx, x ; E + iη 3.22 bereche, allerdigs wege der Sigularitäte auf der reelle Achse Imz = 0 ur uter Zuhilfeahme vo fuktioetheoretische Hilfsmittel. Die Spektralfuktio bzw. geauer ihre Fouriertrasformierte A k, E wird i Festkörper durch wikelaufgelöste Photoemissiosspektroskopie ARPES gemesse, die Zustadsdichte NE = dx Ax, x; E 3.23 durch gewöhliche wikelitegrierte Photoemissiosspektroskopie. Die Ladugsdichte ergibt sich als ρx = EF de Ax, x; E, 3.24 ud ka a Oberfläche zum Beispiel durch Rastertuelspektroskopie gemesse werde. Die Greesche Fuktio eiget sich besoders gut für Störugstheorie. Außerdem sid Greesche Fuktioe ützlich, um bei Radwertprobleme bei gewöhliche lieare Differetialgleichuge Lösuge zu kostruiere, die die Radbediguge erfülle. 51 Beispiel: Greesche Fuktio zum Operator Ĥ = 2 x : Dieser Operator erfüllt die Eigewertgleichug Ĥφ x = λ φ x 3.25 mit de Eigefuktioe ud Eigewerte φ x = 1 Ω e i k x, λ = k 2, 3.26 wobei Ω das Volume ist, auf dem x defiiert ist; die Kompoete des Vektors k sid reell. Also ist das Spektrum kotiuierlich ud läuft vo 0 bis. Die Greesche Fuktio erhält ma etweder als Lösug der Gleichug z + 2 x G x, x ; z = δ x x 3.27 oder aus der Spektralzerlegug G x, x ; z = k x k k x z k 2 = mit der Dimesioalität d ud uter Verwedug vo ud der Beziehug Dreidimesioaler Fall d = 3: k x k = 1 Ω e i k x d k e i k x x d z k Ω Ω d d k. Mit r = x x, r = x x, ud ϑ = k, r fide wir für Gl G x, x ; z = 1 4π 2 = 1 4π 2 0 = 1 4π 2 ir dk dk 0 k2 z k 2 π 0 ikr cos ϑ dϑ si ϑe k2 e ikr e ikr z k 2 ikr dk keikr z k 2 52

9 Durch Kotouritegratio i der komplexe Ebee fidet ma dafür außer we z reell ud z > 0 z x x G x, x ; z = ei 4π x x für Im z > Falls z = λ mit λ 0, d.h. we z mit de Eigewerte vo Ĥ = 2 x übereistimmt, da sid ur die Grezwerte G ± x, x ; λ = λ x x lim η 0 + G x, x ; λ ± iη = e±i 4π x x für λ, λ wohldefiiert. Im spezielle Fall z = 0 fide wir G x, x ; 0 = 1 4π x x 3.31 d.h. die Greesche Fuktio der Poissogleichug für eie Puktquelle x G x, x ; 0 = δ x x. 53