Mathematische und statistische Methoden I

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1 Prof. Dr. G. Meihardt 6. Stoc, Wallstr. 3 (Raum ) Sprechstude jederzeit ach Vereibarug ud ach der Vorlesug. Mathematische ud statistische Methode I Dr. Malte Persie persie@ui-maiz.de WS 200/20 Fachbereich Sozialwisseschafte Psychologisches Istitut Johaes Guteberg Uiversität Maiz

2 Grudlage Gleichug Miimierug Normalgleichuge Grudlage Oft werde i psychologische Utersuchuge icht ur ei soder mehrere UV betrachtet, die eie AV beeiflusse. Beispiele: Abhägigeit der Lebeszufriedeheit vo sozialem, öoomischem ud Gesudheitsstatus; Beeiflussug sportlicher Leistug durch Traiigszustad ud Aweseheit vo Zuschauer. Solche Fragestelluge werde auch als multifatoriell bezeichet Problem: Die vieler paarweiser Korrelatioe im multifatorielle Fall verachlässigt mögliche Zusammehäge zwische de Präditore

3 Grudlage Gleichug Miimierug Normalgleichuge Grudgleichug Die vorherzusagede Variable (AV, y-wert) wird als Kriterium bezeichet, die vorhersagede Variable (UV, -Werte) als Präditore. Die Vorhersagegleichug der multiple Regressio mit Präditore wird geschriebe als ˆ = y b b b b Bei stadardisierte Date verwedet ma das Symbol β für die Regressiosparameter (bzw. -gewichte ) ˆ = β + β β y z z z

4 Grudlage Gleichug Miimierug Normalgleichuge Regressio Methode der leiste Quadrate (KQ-Kriterium) Zur Miimierug des Vorhersagefehlers wird oft das Kleiste-Quadrate Kriterium verwedet (KQ; oder Ordiary Least Squares, OLS) Parameter der multiple Regressiosgleichug werde so gewählt, dass das Quadrat der Abweichuge vo gemesseem ud geschätztem Wert miimiert wird Für eie Versuchsperso i aus alle gelte: y = yˆ + e e = y yˆ i i i i i i beobachteter Kriteriumswert = vorhergesagter Wert + Messfehler Da soll für alle Datewerte erreicht werde, dass ( y yˆ ) 2 e2 = i i i i= i= mi Miimierug der Quadratsumme des Vorhersagefehlers

5 Grudlage Gleichug Miimierug Regressio Methode der leiste Quadrate (KQ-Kriterium) Mithilfe der Allgemeie Gleichug der eifache lieare Regressio lässt sich für die Streuug des Vorhersagefehlers QS e also schreibe: 2 2 ( ˆ e i i) ( i 0 i 2 i2 i) i= i= QS = y y = y b b b b mi Normalgleichuge bzw. i der stadardisierte Form ( ˆ ) ( β β2 β ) 2 2 QS = z z = z z z z e y y y i= i= i i i i i2 i mi Die Miimierug der Regressiosparameter erfolgt über partielle Differezierug ach jedem eizele der b- bzw. β-gewichte

6 Grudlage Gleichug Miimierug Normalgleichuge Regressio Normalgleichuge der multiple Regressio Die partielle Differezierug der ichtstadardisierte Gleichug mit Präditore führt immer auf ei System vo + Normalgleichuge, das wie folgt aufgebaut ist: y = b + b + b + + b i= i= i= i= i= 2 y = b0 + b + b b i= i= i= i= i= y 2 2 = b0 2 + b 2 + b b 2 i= i= i= i= i= y = b + b + b + + b i= i= i= i= i= 2

7 Grudlage Gleichug Miimierug Normalgleichuge Regressio Normalgleichuge der multiple Regressio I der stadardisierte Form ergibt sich ei System vo Normalgleichuge: 2 z z y = β z + β 2 z z + + β 2 z z i= i= i= i= 2 z z 2 y = β z z + β 2 2 z + + β 2 z z 2 i= i= i= i= 2 z zy = β z z + β2 z z + + β z i= i= i= i= 2

8 Grudlage Gleichug Miimierug Normalgleichuge Regressio - Die partielle Differezierug eier multiple Regressiosgleichug mit Präditore führt immer auf ei System vo + (bzw. ) Normalgleichuge Prizip: Die summierte Ausgagsgleichug wird acheiader mit Präditor 0 (bzw. z z ) multipliziert Die Normalgleichuge liefer da für + (bzw. ) ubeate Regressiosparameter geau so viele Gleichuge. Dieses Gleichugssystem a u durch Substitutio oder Diagoalisierug für die Parameter gelöst werde

9 der multiple Regressio Wir habe gesehe, dass die Normalgleichuge der multiple Regressio für stadardisierte Date lautete: 2 z z y = β z + β 2 z z + + β 2 z z i= i= i= i= 2 z z 2 y = β z z + β 2 2 z + + β 2 z z 2 i= i= i= i= 2 z zy = β z z + β2 z z + + β z i= i= i= i= 2 Weiterhi ist die Korrelatio zweier Variable p ud q : r = z z i, i, i = p q p q

10 der multiple Regressio Damit reduziert sich das Normalgleichugssystem zu: r = β + β r + β r + + β r y r = β r + β + β r + + β r y r = β r + β r + β + + β r y r = β r + β r + β r + + β y I Matriotatio ist dies: R β = r mit T y R = Z Z

11 der multiple Regressio I Matriotatio ist dies: wobei: R β = R = r y mit R T = Z Z Matri der Präditoriterorrelatioe

12 Eurs: Die Korrelatiosmatri R Aufbau ud Bedeutug Die Korrelatiosmatri R stellt die Korrelatioe zwische Variable i Matrischreibweise dar. Sie ist quadratisch ud ethält Korrelatioe 2 2 r r r r r r Die Hauptdiagoale ethält die Korrelatioe der Variable mit sich selbst (r = ) Die utere ud obere Dreiecsmatri sid symmetrisch

13 der multiple Regressio I Matriotatio ist dies: wobei: R β = r y mit R T = Z Z R = Matri der Präditoriterorrelatioe ry = Vetor der Kriteriumsorrelatioe β = Vetor der Regressiosgewichte Z = Vetor der z-stadardisierte Date Lösug: Iverse Iterorrelatiosmatri vormultipliziere R R β = R r y β = R r y

14 Rücrechug der ustadardisierte Parameter Wurde die β-parameter für die z-stadardisierte Date matrialgebraisch bestimmt, a die der ustadardisierte b-parameter vorgeomme werde über SDy bi = βi mit i =,2,..., SD i Die Kostate b 0 wird da berechet als b0 = y b b22... b

15 der Lösug b- ud β-gewichte Die Größe eies b-gewichtes gibt a, um wieviele Eiheite sich der Wert des ustadardisierte Kriteriums verädert, we der Betrag des ustadardisierte Präditors um steigt. Die Größe des β-gewichtes gibt dasselbe für die stadardisierte Variable a Das b-gewicht beatwortet die Frage: Ich möchte eie der Präditore um erhöhe. Welche sollte ich wähle, damit das Kriterium maimal steigt? Das β-gewicht beatwortet die Frage: Mit welchem Präditor erhöhe ich das Kriterium am effizieteste? Das b-gewicht liefert also eie absolute, das β-gewicht eie relative Iformatio.

16 Regressio Vereifachug bei ur eiem Präditor Bei ur eiem Präditor vereifacht sich die der Regressiosgewichte erheblich. b s = ry s. Steigug: oder y b ŷ = b0 + b = cov( y, ) s 2. y-achseabschitt: b0 = y b

17 Regressio Oft ist i der Psychologie die Vorhersage des Wertes eier bestimmte Variable uter Ketis der Ausprägug aderer Variable gefordert. Die beate Variable wird dabei als Präditore, Uabhägige Variable (UV) oder Erlärede Variable bezeichet Die vorherzusagede Variable wird als Kriterium, Abhägige Variable (AV) oder Respose bezeichet

18 Regressio Drei Hauptfragestelluge der Regressiosrechug:. Gibt es eie statistische Beziehug zwische zwei Variable, die die Vorhersage der AV aus der UV erlaubt? 2. Ka eie möglichst eifache mathematische Regel formuliert werde, die diese Zusammehag beschreibt? ˆ = y b b b b 3. Wie gut ist diese Regel im Hiblic auf die Vorhersage?

19 Regressio Grüde für die Aahme eier lieare Gleichug: Lieare Zusammehäge sid eifach zu verstehe Lieare Zusammehäge sid mathematisch ud statistisch eifach zu behadel Lieare Gleichuge habe sich vielfach als gute Approimatioe für omplee Beziehuge erwiese Achtug: Auch we die Beziehug zwische zwei ZV liear aussieht, muss es sich icht zwagsläufig um eie lieare Zusammehag hadel.

20 Regressio Vorsicht bei der der Regressiosgleichug Bei der Korrelatiosrechug bedeutet ei Zusammehag iemals Kausalität, lediglich Assoziatio Bei der Regressiosrechug gilt zuächst dasselbe Die Kausalitätsvermutug wird (we überhaupt) scho bei der Aufstellug der Regressiosgleichug getroffe, icht erst bei der der Ergebisse. Um tatsächlich Kausalität festzustelle, müsse weitere Radbediguge vorliege (z.b. zeitliche Atezedez vo Ursache vor Wirug).

21 Relevate Ecel Futioe MMULT() MTRANS() MINV()