Klausur zu Stochastische Risikomodellierung und statistische Methoden (Mai 2014)

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1 Klauur zu Stochatiche Riiomodellierug ud tatitiche Methode (Mai 04) Aufgabe (30 Pute): Sie id Veratwortlicher Atuar eier Lebevericherug ud müe die Agemeeheit der biometriche Rechuggrudlage für Mäer i eiem Betad vo Todefallvericheruge i eiem Tarif beurteile. Für die Decugrüctellug wird die DAV- Sterbetafel 008 T verwedet. Die beobachtete Todefälle owie die erforderliche Werte au der DAV-Tafel id: Sterbewahrcheilicheite ach DAV 008 T Alter Betad beobachtete Todefälle Baitafel. Ordug Baitafel. Ordug = Baitafel. Ordug icl. Schwaugzuchlag () () (3) ,0097 0, ,0036 0, , , , , , , ,0048 0, Tabelle 70 Azahl der Todefälle beobachtete Todefälle () Baitafel. Ordug () Alter Baitafel. Ordug = Baitafel. Ordug icl. Schwaugzuchlag (3)

2 Klauur zu Stochatiche Riiomodellierug ud tatitiche Methode (Mai 04) a) Überprüfe Sie, ob die Awedug der biometriche Rechuggrudlage gerechtfertigt it. i) Begrüde Sie, mit welche erwartete Todefälle die beobachtete Todefälle vergliche werde. ii) Führe Sie die Überprüfug mit Hilfe dreier uterchiedlicher Tetverfahre durch ud iterpretiere Sie Ihr Ergebi. (Sigifiaziveau a = 5% ) b) Die biometriche Rechuggrudlage ethalte eie Sicherheitzuchlag zur Berücichtigug de Schwaugriio. i) Stelle Sie eie Aatz zur Herleitug de Schwaugzuchlag dar ud ermittel Sie de Schwaugzuchlag formelmäßig. ii) Welche Auage id möglich, we Sie de Schwaugzuchlag i die Überprüfug eibeziehe? iii) Zu welche Ergebie führe die Tet i dieem Fall? (Sigifiaziveau a = 5% ) Löughiweie: Verteilugfutioe F() der Biomialverteilug: Bi(4;0,5) Bi(5;0,5) Bi(6;0,5) F() F() F() 0 0, , ,0563 0,4750 0,8750 0,0938 0,8080 0, , , , ,6565 4, , , , , ,00000 Quatile der -Verteilug: Freiheitgrade 90% 9,5% 95% 97,5% 99% 99,5%, ,7005 3,8446 5,0389 6, , ,6057 5,8053 5,9946 7, ,034 0, ,539 6, ,8473 9,34840,34487, , ,4968 9,48773,439 3,7670 4, ,3636 0,0083,07050,8350 5,0867 6, ,64464,46595,5959 4, ,889 8, ,0704, ,0674 6,076 8,4753 0, ,3657 4,6974 5,5073 7, ,0904, , , ,9898 9,077, , ,9878 6,9737 8, ,4838 3,095 5,888 Die Tettatitie für de -Tet betrage für die Spalte () ud (3) der Tabelle : () (3) 3,6,

3 Klauur zu Stochatiche Riiomodellierug ud tatitiche Methode (Mai 04) Löug: a) i) Zur Überprüfug, ob die Awedug der Rechuggrudlage icht mehr gerechtfertigt it, tehe verchiedee tatitiche Tetverfahre zur Verfügug. Hierbei werde die beobachtete Todefälle mit de ach de verwedete Rechuggrudlage erwartete Todefälle im Beobachtugzeitrum miteiader vergliche. Der Vergleich der beobachtete Todefälle it zuächt mit de erwartete Todefälle, die ich uter Verwedug der Baitafel. Ordug ergebe, durchzuführe, da ur diee ach uerer Aahme die tatächliche Sterblicheite im Beobachtugzeitraum (d.h. ohe Sicherheite bez. auf da tatitiche Schwaug- ud Irrtumriio) dartelle. Die Nullhypothee H 0 lautet alo: Die tatächliche Sterbewahrcheilicheite timme mit dee der Baitafel. Ordug überei. ii) Die Überprüfug wird mittel drei verchiedeer Tetverfahre durchgeführt:. Vorzeichetet. Iteratiotet 3. -Tet Vorzeichetet: Die Tettatiti T ergibt ich au der Azahl der poitive Differeze zwiche de beobachtete ud de erwartete Todefälle, d.h. T = 5. Uter Gültigeit der Nullhypothee it T biomialverteilt mit Wahrcheilicheit ½ für jede Vorzeiche, d.h. T it æ Bç 6, ö çè ø -verteilt. Damit it für da Sigifiaziveau vo 5 % der Ablehugbereich gegebe durch die Mege { 0,6 } wege P ({ 0,6 }) = 0,036 < 0,05 ud ({ 0,,5,6 }) = 0,876 > 0,05. P Der Wert der Tettatiti it mit T = 5 icht im Ablehugbereich, d.h. e gilt T Ï { 0,6 }. Bei eiem Sigifiaziveau vo 5 % wird die Nullhypothee daher icht abgeleht, die rechugmäßige Sterblicheit utercheidet ich icht igifiat vo der tatächliche. Iteratiotet: Die Tettatiti ergibt ich au der Azahl der Vorzeichewechel, die ich bei de Differeze zwiche de beobachtete ud de rechugmäßig erwartete Todefälle ergebe, d.h. e it T =. Uter Gültigeit der Nullhypothee it T biomialverteilt mit Wahrcheilicheit ½ für jede æ ö Vorzeiche, d.h. T it Bç 5, çè -verteilt. ø Damit folgt PT ( ) = 0,875 > 5% = 0,05. 3

4 Klauur zu Stochatiche Riiomodellierug ud tatitiche Methode (Mai 04) Bei eiem Sigifiaziveau vo 5 % wird die Nullhypothee daher icht abgeleht, die rechugmäßige Sterblicheit utercheidet ich icht igifiat vo der tatächliche. -Tet: Die Tettatiti lautet T 55 = = 50 ( Z - E ) E, wobei Z die Azahl der beobachtete Todefälle ud E die Azahl der rechugmäßig erwartete Todefälle bezeiche. Der Wert der Tettatiti it i der Aufgabetellug agegebe mit 3,6. Die Tettatiti it uter der Nullhypothee äherugweie c -verteilt mit 6 Freiheitgrade. Da 95%-Quatil der c -Verteilug mit 6 Freiheitgrade it,59 (vgl. Tabelle). Da der Wert der Tettatiti da 95%-Quatil überchreitet, wird die Nullhypothee ach dieem Tet abgeleht. Iterpretatio der Ergebie: Der Vorzeichetet ud der c -Tet lehe die Nullhypothee bei eiem Sigifiaziveau vo 5% ab. Die heißt aber icht zwiged, da die verwedete Rechuggrudlage icht der Realität etpreche, da diee Etcheidug ur mit eier Fehlerwahrcheilicheit vo 5% gilt. Vielmehr a diee Ergebi auch Folge eier zufallbedigte Schwaug ei. b) i) Bei Todefallvericheruge wird im Todefall eie Leitug augezahlt, die größer al da zu dieem Zeitput vorhadee Decugapital it. Da Vericheruguterehme trägt ei Todefallriio. Ziel it e, eie prozetuale Schwaugzuchlag auf die Sterbewahrcheilicheit o zu ermittel, da der uter Eihaltug de Sicherheitiveau - a maimal q zuläige Schade, der durch eie größere Azahl vo Todefälle al rechugmäßig erwartet etteht, augegliche werde a. a E bezeiche M L M T die Azahl der im Modellbetad vorhadee Lebede de Alter die Azahl der im Modellbetad erwartete Tote de Alter Wird mit eier Sterbewahrcheilicheit q aluliert, o geht ma davo au, da im M Durchchitt q L Todefälle eitrete. Der Schwaugzuchlag mu alo o gewählt werde, da mit Wahrcheilicheit - a die erwartete Todefälle im Modellbetad 4

5 Klauur zu Stochatiche Riiomodellierug ud tatitiche Methode (Mai 04) T M höchte o groß wie die mit de Sterbewahrcheilicheite erwartete Todefälle id, d.h. e mu gelte: q + a berechete æ ö! ç M a M P. çt ( + ) q L = -a è ø Wir öe ach dem Zetrale Grezwertatz aehme, da äherugweie eie ormalverteilte Zufallvariable it mit Erwartugwert Variaz Var( Z) = q (-q ) M. L Z:= E( Z) = T M M ql a a a Mit diee Bezeichuge owie der Vorgabe = q mit 0 < < ergibt ich au obiger Bedigug aalog die äquivalete Dartellug! a + )E( ) = -a P (Z ( Z ) ud æ ö! Z- E( Z) a E( Z) P ç = - a çè Var( Z) Var( Z) ø Var( Z) E( Z) a = u -a = u -a q (- q ) L q L M M. ii) iii) Habe die Tet gege die Baitafel. Ordug ergebe, da die Nullhypothee zu dem vorgegebee Niveau abgeleht wird, a och überprüft werde, ob ich bei Tet gege die Baitafel. Ordug mit Schwaugzuchlag da gleiche Ergebi eitellt. Ergibt ich auch hier eie Ablehug der Nullhypothee, a die ei Hiwei darauf ei, da die i de Rechuggrudlage ethaltee Sicherheite aufgebraucht wurde. I dieem Fall it evetuell eie Apaug der Rechuggrudlage gebote. Vorzeichetet: Die Tettatiti T ergibt ich au der Azahl der poitive Differeze zwiche de beobachtete ud de erwartete Todefälle, d.h. T =. Uter Gültigeit der Nullhypothee it T biomialverteilt mit Wahrcheilicheit ½ für jede Vorzeiche, d.h. T it æ Bç 6, ö çè -verteilt. Damit it für da Sigifiaziveau vo 5 % der ø Ablehugbereich gegebe durch die Mege { 0,6 } wege P ({ 0,6 }) =0,036 < 0,05 ud 5

6 Klauur zu Stochatiche Riiomodellierug ud tatitiche Methode (Mai 04) ({ 0,,5,6 }) = 0,876 > 0,05. T Ï { 0,6 }. P Der Wert der Tettatiti it mit T = icht im Ablehugbereich, d.h. e gilt Bei eiem Sigifiaziveau vo 5 % a die Nullhypothee daher icht abgeleht werde. Iteratiotet: Die Tettatiti ergibt ich au der Azahl der Vorzeichewechel, die ich bei de Differeze zwiche de beobachtete ud de rechugmäßig erwartete Todefälle ergebe, d.h. e it T = 4. Uter Gültigeit der Nullhypothee it T biomialverteilt mit Wahrcheilicheit ½ für jede æ ö Vorzeiche, d.h. T it Bç 5, çè ø -verteilt. Damit folgt PT ( 4) = 0,96875, d.h. PT ( 4) > 5% = 0,05. Bei eiem Sigifiaziveau vo 5 % a die Nullhypothee daher icht abgeleht werde. c -Tet: Die Tettatiti lautet T 55 = = 50 ( Z - E ) E, wobei Z die Azahl der beobachtete Todefälle ud E die Azahl der rechugmäßig erwartete Todefälle bezeiche. Der Wert der Tettatiti it i der Aufgabetellug agegebe mit,. Die Tettatiti it uter der Nullhypothee äherugweie c -verteilt mit 6 Freiheitgrade. Da 95%-Quatil der c -Verteilug mit 6 Freiheitgrade it,59 (vgl. Tabelle). Da der Wert der Tettatiti diee Quatil icht überchreitet, wird die Nullhypothee auch ach dieem Tet icht abgeleht. Alle drei durchgeführte Tet lehe die Nullhypothee icht ab. E ergibt ich dehalb ei Hiwei darauf, da die Baitafel. Ordug icht mehr awedbar wäre. Allerdig bedeutet die icht, da die urprüglich beabichtigte Sicherheit i de biometriche Rechuggrudlage och ethalte it. 6

7 Klauur zu Stochatiche Riiomodellierug ud tatitiche Methode (Mai 04) Aufgabe (30 Pute): Der Atuar eie Schadevericherer möchte uteruche, ob die Schadehöhe eie Haftpflicht-Segmete eier Gamma-Verteilug G ( al ; ) geüge. Dazu ermittelt er die Jahregeamtchäde der letzte 0 Jahre (i Mio. ) ud erhält folgede Q-Q- Plot, bei dem die empiriche Quatile gege die Quatile eier G( ;) -verteilte Referezvariable Z geplottet id: a) Ertelle Sie ei Hitogramm der Schadehöhe mit de Klaegreze 0, 0,, 0,, 0,4 ud 0,6. b) Warum tützt der Q-Q-Plot die Hypothee eier Gamma-Verteilug? c) Der Parameter a ei u bereit durch Epertemeiug fetgelegt worde. Da ML- Verfahre ergab für l de Schätzer l ˆ = 5. Pat dieer Wert zum Q-Q-Plot? Erläuter Sie Ihre Vorgeheweie. Für eie evtl. otwedige Zeichug verwede Sie bitte die obige Graphi. (Hiwei: Welche Eigechaft hat die Familie der Gamma-Verteiluge bei fetem a?) d) E ei u a ˆ = ud lˆ wie i (c). Betimme Sie damit Schätzer für de Value at Ri ud de Epected Shortfall (ES) de Jahrechade zum Riio-Niveau 0,5%. Welche achauliche Bedeutug hat der ES-Wert? Welche Beziehug beteht zum Tail Value at Ri? (Hiwei: Welche pezielle Verteilug it G( ; l )?) e) Für de obige Q-Q-Plot wurde i EXCEL Zufallzahle mit folgeder Formel erzeugt: /5 * LN( ZUFALLSZAHL()) Dabei liefert ZUFALLSZAHL() auf [0;] gleichverteilte Zufallzahle. Erläuter Sie diee Vorgehe. 7

8 Klauur zu Stochatiche Riiomodellierug ud tatitiche Methode (Mai 04) Löug: a) Die Kegröße de Hitogramm id Klae [ 0; 0, ] ( 0,; 0, ] ( 0,; 0,4 ] [ 0,4; 0,6 ] Itervallbreite 0, 0, 0, 0, rel. Häufigeit 8/0 6/0 3/0 3/0 Höhe Rechtec 4 3 0,75 0,75 Die relative Häufigeite liet ma a der Lage der y-kompoete der Pute im Plot ab. Da Hitogramm ieht da wie folgt au: b) Die Pute liege aäherd auf eier Gerade, o da die Aahme eier Gamma-Vertei- lug durch de Plot utertützt wird. c) Bei fetem a it die Familie der Gamma-Verteiluge eie reie Salefamilie. Bei eier olche it die Quatil-Quatil-Futio eie Urpruggerade. Die Steigug der Gerade it i dieem Fall der Kehrwert de Parameter l. Zeichet ma eie Urpruggerade mit Steigug /5 ei, erhält ma Diee Gerade it ach Augemaß eie gute Aäherug a die Regreiogerade durch de Nullput. Daher pat der ML-Schätzer zum Q-Q-Plot. 8

9 Klauur zu Stochatiche Riiomodellierug ud tatitiche Methode (Mai 04) d) Eie Gamma-Verteilug G ( al ; ) mit a = it eie Epoetialverteilug ( l) mit Parameter F (0,995) =- l(-0,99 5) =, hat. Mit 99,5% Wahrcheilicheit wird alo ei Jahrechade vo,0597 Mio. icht überchritte. Der ES eier Epoetialverteilug mit Parameter l berechet ich ach der Formel ES a( X) = E( X X > VaR a( X) ) = VaR a( X ) + =, =,597. l 5 Der erwartete Jahrechade im Fall eier Überchreitug de VaR it alo,597 Mio.. Der ES ud der TVaR id hier idetich, da e ich um eie tetige Verteilugfutio hadelt. e) E wurde damit zufällige Zahle erzeugt, die eier (5) -Verteilug geüge. Eie Methode zur Erzeugug vo Zufallzahle mit vorgegebeer Verteilug F it die Iveriomethode. Sie baiert auf der Tatache, da die Zufallvariable F - ( X ) die Verteilugfutio F hat, we X U [0; ] verteilt ud F ivertierbar it. Für die Epoetial-Verteilug gilt (wie i (d)) - F ( ) =- l( -) für 0< <. l gleichver- Damit wird da Problem reduziert auf die Erzeugug vo auf dem Itervall teilte Zufallzahle. Die leitet aber die Ecel-Futio ZUFALLSZAHL(). [0; ] l. Diee hat die Verteilugfutio F ( ) = -ep( -l ) für ³ 0. Der VaR zum Riio- Niveau 0,5% it da 99,5%-Quatil, da hier de Wert 9

10 Klauur zu Stochatiche Riiomodellierug ud tatitiche Methode (Mai 04) Aufgabe 3 (30 Pute): Da Riio X ei ( m ) a : = EX) ( ud b : = Var( X). a) Betimme Sie die Fiher-Iformatio ( m, ) I vo X. b) Für eie tochatich uabhägige ( m ) aˆ = X i= i gechätzt. i) Betimme Sie Erwartugwert ud Variaz vo â., -logormalverteilt, mit de Momete, -verteilte Stichprobe X, ¼, X wird a mit ii) Welche aymptotiche Verteilug beitzt â ach dem zetrale Grezwertatz? Im Folgede ei > 0 fet, e it ur der Parameter m ubeat. Ohe Bewei öe Sie verwede, da da I ( m) = die Iformatiomatri vo X it ud mˆ = l( X i ) ei ML-Schätzer vo m it. i= c) Begrüde Sie, da ( ) æ ö m, ç die eate Verteilug vo mˆ it. çè ø d) Begrüde Sie, da a ˆ ML 0, die aymptotiche Verteilug vo ( mˆ - m) it ud da ogar : = e mˆ + / ei ML Schätzer vo a it. e) Betimme Sie die aymptotiche Verteilug vo ( aˆ ML - a). f) Ohe Bewei öe Sie verwede: e - > für alle > 0. Vergleiche Sie die aymptotiche Verteiluge vo aˆ au b) ud â ML au d). Welchem Schätzer würde Sie de Vorrag gebe? 0

11 Klauur zu Stochatiche Riiomodellierug ud tatitiche Methode (Mai 04) Löug: a) Die Dichte f vo X it gegebe durch ( ) f = æ mö j l - ç > çè, 0 ø wobei j( ) y æ ö = ep ç - p çè ø, y y Î die Dichte der Stadardormalverteilug it. E gilt ( m, ) = lf l- l - l p - l m m( m, ) = ( l - m ) ( m, ) =- + ( l -m) 4 mm( m, ) =- ( m, ) =- ( l - m) m 4 ( m, ) = - ( l -m) 4 6 Nach Defiitio gilt (, ) ( ) E ( ) = - ( ) ( - ) I m = E -H, wobei H die Heematri vo it. Somit folgt au ( l X - m) = E( l X) -m =0 ud ( m) E a = i = a= a, Var b) i) ( ˆ) E( X ) i= ( - ) = ( l ) E l X Var X = chließlich æ ö 0 I ( m, ) =. ç 0 çè 4 ø b = =. i ( aˆ ) Var ( X ) ii) Nach dem ZGWS it ( aˆ - a) aymptotich ( 0, b) ( e -) æ m+ ö ç m+ / e, e ç -verteilt. çè ø i= -verteilt, alo it a ˆ äherugweie

12 Klauur zu Stochatiche Riiomodellierug ud tatitiche Methode (Mai 04) d c) E gilt ach Folieript ( ˆ - ) ¾¾ 0, I( ) eat, de die l ( ) m m m - ( ) = ( ) 0,. Die Verteilug it auch Xi id tochatich uabhägig ud idetich ( m ) i =, ¼,. Somit it mˆ al Summe ormalverteilter Zufallvariable ormalverteilt it ud Var m =, aalog zu b) i). ( ˆ) + d) Die Futio ( ) = / h : e it wege '( ) = ( ) > alo it aˆ ML h( m), -verteilt fü r m E ( mˆ ) = m h h 0 offeichtlich treg mooto teiged, = ˆ al Traformatio eie ML-Schätzer ei ML-Schätzer vo h. ( m) e) Für die Parametertraformatio a ( m) e folgt ML d m+ ( aˆ -a) ¾¾ ( 0, ) e. = h it I( m) = h ( m) h ( m) die Iformatiomatri ud m > m + f) Wege ( -) e e e + it die aymptotiche Variaz vo â größer al die aymptotiche Variaz vo â ML, dehalb würde ma wege der leiere Variaz â ML de Vorzug gebe.

13 Klauur zu Stochatiche Riiomodellierug ud tatitiche Methode (Mai 04) Aufgabe 4 (30 Pute): Der Struturparameter Q i eiem Credibility-Modell folge eier direte Verteilug mit ( Q= ) = j bei gegebeem Struturparameter Q= j gemäß P j p für j =,,,. De Weitere ei jeder Eizelchade X ( l j ) epoetialverteilt (l j > 0 ei beat). a) Bereche Sie auf Bai der (bei gegebeem Q bedigt uabhägige) Beobachtuge der Eizelchäde X,, X die a-poteriori-verteilug vo Q bei gegebee Schadebeobachtuge. Zeige Sie dabei, da e für die Berechug der a-poteriori-verteilug geügt, atelle der eizele X i ur dere empiriche Mittelwert X i = X i= zu ee. b) Zeige Sie, da für die Credibility-Prämie c) Folgede Werte eie u gegebe: H* = j= j= j j j j j j ( l X) - p l ep - ( l X) p l ep - gilt. j P( Q= j) = p j 80% 0% l j 0, 0,05 i) Zeige Sie, da ich mit diee Werte EX ( ) = ud EV ( ar[ X Q ]) = 60 ergibt. ii) Außerdem liege = 4 Schadebeobachtuge mit eiem empiriche Mittel vo X = 5 vor. Welche Werte ergebe ich für de "Credibility-Fator" z ud die zugehörige lieariierte Credibility-Prämie H ** = z X + (-z ) E( X ) (ohe achzureche öe Sie dabei verwede, da Var( E[ X Q ]) =6 gilt)? 3

14 Klauur zu Stochatiche Riiomodellierug ud tatitiche Methode (Mai 04) Löug: a) Nach Lemma au Kapitel 8 gilt mit dem Vetor der Schadebeobachtuge X bzw. dere Realiieruge = (,..., ) = ( X,..., X ) Dari it P( Q= j) f( i Q= j) pj f( i Q= j) i= i= P( Q= j X= ) = =. P( Q= j) f( Q= j) p f( Q= j) i j i j= i= j= i= æ ö l l l l f( i Q= j) = j ep( - ji) = j epç - j i = lj ep -l çè ø i= i= i= ( j ) mit dem empiriche Mittel. Damit ergibt ich für die a-poteriori-verteilug ( l ) pj lj ep - j P( Q= j X= ) =, p l ep - j= j j j ( l ) welche hiichtlich der Schadebeobachtuge lediglich vo abhägt. b) Für die Credibility-Prämie H* gilt H* = E[ H( Q ) X] = H( j) P( Q= j X ) mit H() j = E[ X Q= j ] = / lj. Darau ergibt ich - pj lj ep( -lj X) l -l = l pj j ep j X j j j= H* = = p l ep -l X p l ep -l X ( ) j= j j j j j j j= j= ( ) ( ) c) E gilt EX ( ) = EEX ( [ Q ]) = P( Q= j) EX ( Q= j) = p j = 80% 0 + 0% 0 = l ud j= j= j E( Var [ X Q ]) = P( Q= j) Var( X Q= j) = p j = + = l 80% 00 0% Mit dem Hiwei ergibt ich z j= j= j Var( E[ X Q]) 6 6 = = = = 0,857. Var( E[ X Q ]) + E( Var[ X Q ]) Damit ergibt ich eie lieariierte Credibility-Prämie vo H ** = z X + (-z ) E( X ) = 0, ,743 =,86.. 4

15 Aufgabe : (a) - 8 Pute (b) - Aufgabe : (a) - 6 Pute (b) - (c) - 7 (d) - 0 (e) 5 Aufgabe 3: (a) - Pute (b) (i) 3 (ii) 3 (c) - 3 (d) - 3 (e) 3 (f) 3 Aufgabe 4: (a) - 0 (b) - 5 (c) - 5