1. Aufgabenblatt zur Vorlesung Monte Carlo-Algorithmen

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1 Aufgabeblatt zur Vorlesug 1. Mache Sie sich mit der Beutzug des Mersee Twisters ud ggf. weiterer Geeratore aus Ihrer Stadard-Software vertraut. 2. Welche Eigeschafte erwarte Sie vo Zufallszahle? Nutze Sie Ihre Vorketisse aus der Stochastik. Mache Sie Experimete. Besprechug:

2 Aufgabeblatt zur Vorlesug 1. Für N ud eie auf [0,1] gleichverteilte Zufallsvariable U defiiere wir A i = [(2i 1)/2,2i/2 [ sowie 2 1 X = 1 Ai (U). a) Zeige Sie, daß die Zufallsvariable X eie uabhägige Folge bilde ud jeweils gleichverteilt auf {0,1} sid. b) Betrachte Sie umgekehrt eie uabhägige Folge vo Zufallsvariable X, die jeweils auf {0,1} gleichverteilt sid, ud zeige Sie, daß die durch U = defiierte Zufallsvariable gleichverteilt auf [0,1] ist. X /2 =1 2. Für N ud uabhägige, jeweils auf [0, 1] gleichverteilte Zufallsvariable U ud V defiiere wir Y = U + V U + V [0,1[. Beweise Sie, daß die Zufallsvariable Y gleichverteilt auf [0,1] ud paarweise uabhägig sid. 3. Ei Kasio bietet folgedes Spiel a: I jeder Spielrude erhalte Sie mit Wahrscheilichkeit p de verdoppelte Eisatz oder verliere mit Wahrscheilichkeit 1 p Ihre Eisatz. Dabei ist 0 < p 1/2, beim Roulette-Spiel gilt beispielsweise p = 18/37. Sie betrete das Kasio mit Startkapital x > 0 ud verlasse das Kasio etweder, we Ihr Kapital eie vorgegebee Wert z > x erreicht oder überschritte hat, oder, we Sie bakrott sid. Etwickel, simuliere ud vergleiche Sie verschiedee Spielstrategie. Betrachte Sie etwa die relative Erfolgshäufigkeit i Abhägigkeit vo x, z ud der gewählte Strategie, beispielsweise für x = 100 ud z = 150 oder z = 300. Nahelieged sid folgede Forderuge: ma ka höchstes soviel eisetze, wie ma gegewärtig besitzt, ud alle Größe (z, x, Eisätze) sid atürliche Zahle. 4. Gegebe sei eie große atürliche Zahl k, etwa k = Bereche Sie äherugsweise de Ateil der Paare (a,b) {1,...,k} 2 vo teilerfremde Zahle a ud b. Abgabe ud Besprechug:

3 Aufgabeblatt zur Vorlesug 1. Für Zufallsvariable X,Y L 2 sowie a,b R sei Ŷ a,b = a + bx, ud es gelte σ(x) > 0 sowie σ(y ) > 0. Zeige Sie, daß if E(Y Ŷ a,b ) 2 = E(Y Ŷ a a,b R,b )2 = σ 2 (Y ) (1 ρ 2 (X,Y ) ) mit gilt. a = E(Y ) b E(X), b = Cov(X,Y ) σ 2 (X) 2. Betrachte Sie für das Zählproblem aus Abschitt 2.3 de durch M ( f ) = 1 f (X i ) defiierte radomisierte Algorithmus, der eie uabhägige Folge vo jeweils auf {1,..., N} gleichverteilte Zufallsvariable X 1,...,X verwedet. a) Zeige Sie, daß M erwartugstreu ist ud für alle f F de Fehler besitzt. ( S( f ) (1 S( f )) (M, f ) = σ(m ( f )) = b) Es gelte N = k mit k N. Betrachte Sie de ebefalls erwartugstreue radomisierte Algorithmus M aus Abschitt 2.3 ud zeige Sie, daß ) 1/2 σ 2 ( M ( f )) = σ 2 (M ( f )) 1 2 (v i ( f ) S( f )) 2 für alle f F gilt. 3. Gegebe seie N, K, N mit K N ud N. Eie reellwertige Zufallsvariable X heißt hypergeometrisch verteilt mit de Parameter N, K, ud, falls ( )( )/( ) K N K N P({X = k}) = k k für k N mit max(0, N + K) k mi(,k) gilt. a) Sei G = {1,...,N} ud f : G {0,1}. Für A G setze wir f [A] = f (x). x A

4 Sei Y eie auf G = {A G A = } gleichverteilte Zufallsvariable. Zeige Sie, daß die Zufallsvariable f [Y ] hypergeometrisch mit de Parameter N, K = f [G] ud verteilt ist. b) Zeige Sie E(X) = K N, σ 2 (X) = (N )(N K)K N 2 (N 1) für de Erwartugswert ud die Variaz eier hypergeometrisch mit de Parameter N, K ud verteilte Zufallsvariable X. 4. Uter Verwedug der Notatio aus Aufgabe 2.2 a) defiiere wir Algorithme für das Zählproblem aus Abschitt 2.3 durch wobei wir c R ud 0 < < N aehme. M c, ( f ) = 1/2 + c( f [Y ] /2), a) Zeige Sie, daß M c, geau da erwartugstreu ist, we c = 1/ gilt. b) Zeige Sie, daß M c, für f F de Fehler (M c,, f ) = ( (1 c) 2 (S( f ) 1/2) 2 2 (N ) + c N 1 (1 S( f )) S( f )) 1/2 besitzt. Bestimme Sie de maximale Fehler sup f F (M c,, f ) vo M c, auf F. c) Zeige Sie für die Wahl daß c = ( + ((N )/(N 1)) 1/2) 1, sup (M c,, f ) = if sup (M c,, f ) = 1/2 (1 + ((N 1)/(N )) 1/2) 1 f F c R f F gilt. Was bedeutet dies für große Werte vo N? Abgabe ud Besprechug:

5 Aufgabeblatt zur Vorlesug 1. Gegebe seie α,β ]0,1[ sowie die edliche Mege E = {1,...,K}. Betrachte Sie das durch Q({k}) = c α k, k E, mit geeigeter Kostate c > 0 festgelegte Wahrscheilichkeitsmaß Q auf E sowie die Fuktio f : E R mit f (k) = β k für k E. a) Bestimme Sie c ud de Erwartugswert a = K k=1 f (k) Q({k}) der Zufallsvariable f. b) Sei U gleichverteilt auf [0, 1] ud g: [0, 1] [0, K] defiiert durch g(u) = (lα) 1 l(1 u (1 α K )), u [0,1]. Zeige Sie, daß die Zufallsvariable Z = g(u) die Verteilug Q besitzt. c) Betrachte Sie für die direkte Simulatio zur äherugsweise Berechug vo a die Basisexperimete Y (1) = f (Z) ud Y (2) = K f (X) Q({X}) mit eier auf E gleichverteilte Zufallsvariable X. Vergleiche Sie die beide Basisexperimete hisichtlich Variaz, Koste ud dem Produkt aus Koste ud Variaz, ud führe Sie Experimete durch. 2. Betrachte Sie die erste der beide Mote Carlo-Methode zur Berechug vo π, die i Abschitt vorgestellt wurde. Zeige Sie, daß die Approximatio des Viertelkreises B durch ei eibeschriebees Dreieck ud die Vermiderug des Quadrates G um ei geeigetes Dreieck zu eier Methode mit reduzierter Variaz führt. Wie läßt sich die eue Methode implemetiere, so daß der Vorteil reduzierter Variaz erhalte bleibt? 3. Implemetiere Sie die i Abschitt beschriebee Mote Carlo-Methode zur umerische Itegratio für G = [0,1] d ud führe Sie uter aderem Experimete mit de Gez-Fuktioe i verschiedee Dimesioe d durch. Stelle Sie Ihre Ergebisse auch graphisch dar. 4. Betrachte Sie die Trapezregel T +1 ( f ) = 1 ( ) 1 f (0)/2 + f (i/) + f (1)/2 zur Approximatio des Itegrals vo Fuktioe f : [0,1] R. a) Zeige Sie, daß 1 f (x)dx T +1 ( f ) L für Lipschitz-stetige Fuktioe f mit Lipschitz-Kostate L gilt. b) Leite Sie für Fuktioe f C 2 ([0,1]) eie asymptotisch bessere Abschätzug her. Abgabe ud Besprechug:

6 Aufgabeblatt zur Vorlesug 1. Bereche Sie äherugsweise de Erwartugswert der Fläche eies Dreiecks, desse Eckpukte drei zufällige Pukte aus dem Eiheitsquadrat sid. Nach dem i Abschitt Gesagte ist V (Quadrat) = 11/144 der gesuchte Wert. Verwede Sie, daß f (x) = 1 2 x 1y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 x 1 y 3 x 2 y 1 x 3 y 2 die Fläche des Dreiecks mit de Ecke (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ) ud (x 3,y 3 ) ist. Zu bereche ist also V (Quadrat) = f (x)dx. [0,1] 6 2. Sei Ω die Mege aller Permutatioe vo {1,...,}, P ei Wahrscheilichkeitsmaß auf der Potezmege vo Ω ud X i (ω) = ω i für ω Ω ud i = 1,...,. a) Zeige Sie, daß P geau da die Gleichverteilug auf Ω ist, we ud P({X 1 = x}) = 1/ P({X i = x} {X 1 = x 1 } {X i 1 = x i 1 }) = 1/( i + 1) für i = 2,..., ud alle paarweise verschiedee x,x 1,...,x i 1 {1,...,} gilt. b) Etwerfe Sie eie Algorithmus, der zufällige Permutatioe vo {1,...,} gemäß der Gleichverteilug erzeugt. Aalysiere Sie die Koste Ihres Algorithmus. 3. Bestimme sie äherugsweise die Azahl aller fixpuktfreie Permutatioe vo {1,..., } mit = Betrachte Sie ei Cox-Ross-Rubistei-Modell mit X 0 = 1, T = 1000, u = 1.01, d = 0.99, r = Bewerte Sie eie Europäische Call mit Ausübugspreis K = 0.5 ud die etsprechede up-ad-out Optio mit Barriere L = 2. Bestimme Sie eie Barriere, so daß der zugehörige up-ad-out Call etwa halb so teuer wie der Call ist. Abgabe ud Besprechug:

7 Aufgabeblatt zur Vorlesug 1. Sei Y eie Zufallsvariable mit 0 Y 1. Zeige Sie, daß σ 2 (Y ) 1/4 ud daß Gleichheit geau da vorliegt, we Y die Werte 0 ud 1 jeweils mit Wahrscheilichkeit 1/2 aimmt. 2. Sei f : G R eie beschräkte meßbare Fuktio auf eier Mege G R d mit 0 < λ d (G) <. Bekat sei die Schrake sup x G f (x) c. Betrachte Sie die klassische Mote Carlo-Methode D zur Approximatio vo a = G f (x)dx, ud bestimme Sie für ε > 0 ud 0 < δ < 1 eie (möglichst kleie) Azahl vo Wiederholuge, so daß gilt. P({ D a ε}) δ Bereche Sie für kokrete Fuktioe f ud ε = 10 2 sowie δ = 1/20 durch direkte Simulatio die etsprechede Wahrscheilichkeit P({ D a ε}) ud vergleiche Sie diese mit δ. 3. Sei N ugerade ud α ]0,1/2[. Betrachte Sie die -malige Wiederholug eies Basisexperimets, das mit Wahrscheilichkeit 1/2 + α eie gesuchte Wert a liefert. Beweise Sie: die Wahrscheilichkeit, i mehr als der Hälfte der Wiederholuge des Basisexperimets de Wert a zu erhalte, beträgt midestes 1 exp( 2α 2 ). 4. Zeige Sie folgede Verallgemeierug der Hoeffdig-Ugleichug. Sei X 1,...,X eie uabhägige Folge vo Zufallsvariable, die 0 X i 1 sowie 0 < E(X i ) < 1 erfülle. Wir defiiere M = 1 Da gilt für alle ε ]0,1 a[ ud N wobei H(ε,a) wie i Satz 3.10 defiiert ist. X i, a = 1 E(X i ). P({M a ε}) exp( H(ε,a)), Abgabe ud Besprechug:

8 Aufgabeblatt zur Vorlesug 1. Ergäze Sie eie Auswahl Ihrer bisher durchgeführte Experimete um die Agabe vo (asymptotische) Kofidezitervalle. Bereche Sie bei der direkte Simulatio immer auch die empirische Variaz ud damit eie Schätzug des Fehlers der Methode. 2. Etwerfe ud implemetiere Sie eie Algorithmus zur Simulatio der Arkussius-Verteilug, die durch die Dichte { 1/π (x (1 x)) 1/2, falls 0 < x < 1, h(x) = 0, sost, gegebe ist. 3. Gegebe sei eie Zufallsvariable X ud reelle Zahle a < b mit P({X ]a, b]}) > 0. Betrachte Sie die durch Q(A) = P({X A} {X ]a,b]}) für meßbare Mege A R defiierte sogeate bedigte Verteilug vo X gegebe {X ]a, b]}. Modifiziere Sie die Iversiosmethode zur Simulatio vo P X, so daß Sie eie Methode zur Simulatio vo Q erhalte. 4. a) Stelle Sie Berechuge zur Neutroediffusio durch eie Platte aus Blei a ud vergleiche Sie Ihre Recheergebisse mit de Abbilduge 4.1 bis 4.3. Was ergebe aaloge Rechuge, we ma Blei durch das Kalium-Isotop 41 K ersetzt? Der Absorptiosquerschitt ist da σ ab = 1, cm 2, der Streuquerschitt ist σ st = 1, cm 2. b) Es scheit plausibel, daß bei große Waddicke h für die etsprechede Durchgagswahrscheilichkeite p (+) (h) α h mit α ]0,1[ gilt. Bestimme Sie uter dieser Aahme eie Näherugswert für α auf Basis Ihrer Simulatiosergebisse. Abgabe ud Besprechug:

9 Aufgabeblatt zur Vorlesug I de folgede beide Aufgabe betrachte wir das Ruiproblem mit seier Modellierug gemäß Beispiel Für t,x N sei f (x,t) = P({T t} {X T = z}) die Wahrscheilichkeit dafür, daß der Spieler mit Startkapital x bis zur Zeit t sei Zielkapital z erreicht hat. a) Beweise Sie für t 2 die Rekursiosformel f (x,t) = p f (x + 1,t 1) + (1 p) f (x 1,t 1). b) Etwickel ud implemetiere Sie eie Algorithmus zur Berechug ud graphische Darstellug der Fuktio x f (x,t). 2. Zeige Sie, daß durch S = if{t N V t = V t+1 } keie Stoppzeit bezüglich (V t ) t N defiiert wird. 3. Wir betrachte eie Variate des Ruiproblems: der Spieler spielt mit Startkapital x = 1 bis zum Bakrott. Utersuche Sie per direkter Simulatio für p = 1/2 die mittlere Spieldauer. 4. Seie S,T : Ω N Stoppzeite bezüglich eier Folge (V t ) t N vo reellwertige Zufallsvariable. a) Zeige Sie, daß A T eie σ-algebra ist. b) Zeige Sie A S A T, falls S(ω) T (ω) für alle ω Ω. Abgabe ud Besprechug:

10 Aufgabeblatt zur Vorlesug 1. Sei T : Ω N eie Stoppzeit bezüglich eier uabhägige Folge (V t ) t N vo reellwertige Zufallsvariable, ud gelte P({T < }) = 1. Beweise oder widerlege Sie folgede Verallgemeierug vo Satz 3.24: P(A A ) = P(A) P(A ), A A T, A A T. 2. Die Gammaverteilug mit Parameter α,β > 0 besitzt die Quasi-Dichte { x α 1 exp( βx), falls x > 0, h(x) = 0, sost. a) Etwerfe ud implemetiere Sie eie auf der Verwerfugsmethode beruhede Algorithmus zur Simulatio der Gammaverteilug im Falle α 1. Bestimme Sie die Akzeptazwahrscheilichkeit Ihres Algorithmus. b) Etwerfe ud implemetiere Sie eie Algorithmus zur Simulatio der Gammaverteilug im Falle 0 < α < 1. Hiweis: Kombiiere Sie die Verwerfugsmethode mit der Kompositiosmethode, siehe Müller-Grobach, Novak, Ritter (2012, p. 128). 3. Betrachte Sie uabhägige Zufallsvariable U 1,...,U d, die jeweils auf [0,1] gleichverteilt sid. Die zugehörige Ordugs-Statistik (U (1),...,U (d) ) ergibt sich durch Aorde der Werte vo U 1,..., U d i aufsteigeder Reihefolge. a) Zeige Sie, daß (U (1),...,U (d) ) gleichverteilt auf dem Simplex {x [0,1] d x 1 x d } ist. b) Sei X i = U (i) U (i 1) mit U (0) = 0. Zeige Sie, daß (X 1,...,X d ) gleichverteilt auf dem Simplex S = {x [0,1] d d x i 1} ist. 4. Etwerfe ud implemetiere Sie Algorithme zur Simulatio der Gleichverteilug auf folgede Mege: a) Ellipse i R 2, b) Trapeze i R 2, c) Dreiecke i R 2, d) Eiheitskugel i R d. Diskutiere Sie auch die Koste Ihrer Algorithme. Bei d) sollte die Koste proportioal zur Dimesio d sei. Abgabe ud Besprechug:

11 Aufgabeblatt zur Vorlesug 1. Zeige Sie, daß (X t ) t {0,...,T } geau da eie zeit-diskrete eidimesioale Browsche Bewegug mit Startwert ull ud Zeithorizot T ist, we (X 0,...,X T ) ormalverteilt mit Erwartugswert ull ud Kovariazmatrix Σ = (mi(s,t)) 0 s,t T ist. 2. Für 0 < β < 1 ud s,t 0 sei Ferer sei mit fest gewählte Pukte 0 < t 1 < < t d. K(s,t) = 1/2 (s 2β +t 2β s t 2β ). Σ = (K(t i,t j )) 1 i, j d a) Zeige Sie, daß Σ im Falle β = 1/2 positiv defiit ist. Ergäzug: die positive Defiitheit gilt auch für β 1/2. b) Simuliere Sie eie d-dimesioale Zufallsvektor X, der ormalverteilt mit Erwartugswert ull ud Kovariazmatrix Σ ist. Wähle Sie etwa d = 100 oder d = 1000, t i = i/d ud β = 0.1,...,0.9. Plotte Sie für verschiedee Realisieruge vo X die stückweise lieare Iterpolatio der Date (t i,x i (ω)), wobei t 0 = X 0 = 0 gesetzt sei. 3. Gegebe sei eie uabhägige Familie vo jeweils stadard-ormalverteilte Zufallsvariable Z 0,Z 1,1,Z 2,1,Z 2,3,...,Z m,1,z m,3,...,z m,2 m 1. Wir defiiere X 0 = 0, X 2 m = 2 m/2 Z 0 ud rekursiv für l = 1,...,m ud i = 1,3,...,2 l 1. X i 2 m l = (X (i 1) 2 m l + X (i+1) 2 m l)/2 + 2 (m l)/2 Z l,i a) Zeige Sie, daß (X t ) t {0,...,2 m } eie zeit-diskrete eidimesioale Browsche Bewegug mit Startwert ull ud Zeithorizot 2 m ist. b) Implemetiere Sie eie etsprechede Algorithmus für die Simulatio der Browsche Bewegug. 4. Betrachte Sie ei Black-Scholes-Modell mit zwei Aktie, dere Afagspreise x (1) 0 = 100 ud x (2) 0 = 120 betrage. Ferer seie r = 0.06 ud ( ) L = die auf ei Jahr bezogee Zisrate bzw. Volatilitätsmatrix. Bewerte Sie eie Basket-Optio mit Aktieateile α 1 = 1 ud α 2 = 2, mit Ausübugspreis K = 350 ud Ausübugszeitpukt i eiem Jahr. Abgabe ud Besprechug:

12 Aufgabeblatt zur Vorlesug 1. Die Zufallsvariable X besitze eie Pareto-Verteilug mit Parameter α ud κ. a) Sei γ > 0. Zeige Sie, daß X γ geau da itegrierbar ist, we γ < α erfüllt ist. b) Bestimme Sie die Lebesgue-Dichte der Verteilug vo X ud zeige Sie E(X) = κ/(α 1) im Falle α > 1 sowie σ 2 κ 2 α (X) = (α 1) 2 (α 2), für α > Betrachte Sie das Cramér-Ludberg-Modell mit dem Zeithorizot T > 0. a) Etwickel ud implemetiere Sie eie Algorithmus zur Berechug der Wahrscheilichkeit, daß der Gesamtschade zur Zeit T eie Schrake s > 0 übersteigt. b) Etwickel ud implemetiere Sie eie Algorithmus zur Simulatio ud graphische Darstellug vo Pfade des Risikoreserveprozesses (R t ) t [0,T ]. c) Etwickel ud implemetiere Sie eie Algorithmus zur Berechug der Ruiwahrscheilichkeit. Stelle Sie i a), b), c) die Pareto-Verteilug, die Logormalverteilug ud die Gammaverteilug als Schadeshöheverteilug zur Verfügug ud führe Sie Vergleiche durch. 3. Sei G = ]0,1[ 2. Etwickel ud implemetiere Sie eie Algorithmus zur Visualisierug des harmoische Maßes auf G zu eiem frei wählbare Startwert x G. 4. Für Pukte (z 1,y 1 ),...,(z,y ) R 2, die {z 1...,z } > 1 erfülle, setze wir ud b = y i z i 1/ y i z i z2 i 1/ ( z i) 2 g(t) = 1 y i + b ( t 1 z i ), t R. Die Fuktio g defiiert die sogeate Regressiosgerade zu de Pukte (y i,z i ). Zeige Sie mit Hilfe des Ergebisses aus Aufgabe 3.1, daß für jede affi-lieare Fuktio h gilt. (y i g(z i )) 2 (y i h(z i )) 2 Abgabe ud Besprechug:

13 Aufgabeblatt zur Vorlesug 1. a) Betrachte Sie eie d-dimesioale Zufallsvektor X, der symmetrisch verteilt bezüglich µ R d ist, ud eie Fuktio f : R d R, so daß f (X) quadratisch itegrierbar ist. Zeige Sie σ 2 (Ỹ ) < 1 2 σ 2 (Y ) Cov( f (X), f (2µ X)) < 0 für die Zufallsvariable Y = f (X) ud Ỹ = f g (X). b) Zeige Sie ferer, daß im Falle d = 1 die strege Mootoie vo f hireiched für σ 2 (Ỹ ) < 1 2 σ 2 (Y ) ist. 2. Sei h eie stetige positive Lebesgue-Dichte auf R ud bezeiche H die zugehörige Verteilugsfuktio. Zeige Sie 1 f (x) h(x)dx = f (H 1 (x))dx R für f : R R, falls das Lebesgue-Itegral vo f h über R existiert. 3. Betrachte Sie die Bewertug eies asiatische Calls mit Ausübugspreis K ud Ausübugszeitpukt T N i eiem eidimesioale zeitdiskrete Black-Scholes-Modell X = (X 0,...,X T ) mit Afagswert x 0 > 0, Volatilität σ > 0 ud Zisrate r > 0 uter Verwedug der Zufallsvariable (( T ) 1/T ) + c(x) = t K t=1x 0 als cotrol variate, siehe Beispiel Implemetiere Sie die direkte Simulatio D,b mit Basisexperimet Ỹ b ud die Methode M gemäß (5.5) sowie die zugehörige asymptotische Kofidezitervalle. Wähle Sie die Parametereistelluge aus Beispiel 4.25, ud führe Sie umerische Experimete zum Vergleich der Methode D 2 = D 2,0 mit de Verfahre D,b ud M durch. Abgabe ud Besprechug:

14 Aufgabeblatt zur Vorlesug 1. Im folgede werde die Bezeichuge aus Abschitt 5.3 verwedet. Bei der praktische Durchführug der Methode M prop des stratified samplig mit proportioale Wiederholugsazahle betrachte wir das Verfahre M prop m ( = f ( X ( j) ) ) i mit j = p j für j = 1,...,m. a) Zeige Sie, daß die Zufallsvariable asymptotisch stadard-ormalverteilt sid. j=1 1/2 p j 1 j j ( m j=1 p j σ 2 (Mprop a) j )1/2 b) Kostruiere Sie asymptotische Kofidezitervalle der Form zum Niveau 1 δ für a. [M prop L,M prop + L ] 2. Etwerfe ud implemetiere Sie eie Algorithmus zum stratified samplig im Cox-Ross- Rubistei-Modell, wobei die Schichte durch die mögliche Edpreise der Aktie defiiert sid. 3. Wir vergleiche das Verhalte der Methode D, ud M aus Abschitt 5.5 für quadratisch itegrierbare Fuktioe f : [0,1] R, die weig Glattheit besitze. a) Zeige Sie (M, f ) f 2 1/2. b) Kostruiere Sie eie Fuktio f mit lim (D,, f ) =. c) Fomuliere Sie Bediguge a f, die hireiched für die Kovergez vo (D,, f ) gege ull sid. d) Utersuche Sie aalytisch oder durch umerische Experimete das Kovergezverhalte vo D, für die Fuktio { x α 1, für x ]0,1], f (x) = 0, für x = 0, wobei α ]1/2,1[. 4. Zeige Sie, daß die Methode M der zufällige Riema-Summe für Hölder-stetige Fuktioe mit Expoet β midestes die Kovergezordug β + 1/2 besitzt. Abgabe ud Besprechug:

15 Aufgabeblatt zur Vorlesug 1. a) Sei δ > 0. Kostruiere Sie stetig differezierbare Approximatioe g der Betragsfuktio auf R, die sup x R x g(x) δ, sup x R g (x) = 1 ud g(0) = 0 bzw. g(x) = x für x δ erfülle. b) Beutze Sie Teil a), um die i de Beweise der Sätze 7.8 ud 7.36 verwedete Fuktioe f 1 bzw. g i zu kostruiere. 2. Betrachte Sie die klassische direkte Simulatio D auf F 1 d. a) Zeige Sie (D, f ) = d/(12) für f (x) = d (x i 1/2). b) Sei X gleichverteilt auf [0,1] d. Zeige Sie σ 2 ( f (X)) d/12 für f Fd 1, ud folger Sie, daß (D,F 1 d ) = d/(12). 3. Betrachte Sie das Itegratiosproblem für die Mege F der mootoe Fuktioe f : [0, 1] [0, 1] mit f (0) = 0 ud f (1) = 1, ud beweise Sie folgede Aussage. a) Die Quadraturformel besitzt de Fehler (Q,F) = 1/(2 + 2). Q ( f ) = ( ) i + 1 f + 1 b) Mit beliebige determiistische Algorithme läßt sich kei kleierer Fehler erreiche, de es gilt ẽ det (F) = 1/(2 + 2). c) Mit adaptive Mote Carlo-Methode erreicht ma die Kovergezordug 3/2. Kostruiere Sie etsprechede Verfahre durch stratified samplig mit de Teilitervalle A j = [( j 1)/m, j/m] ud Kotezahle j, die vom Zuwachs f ( j/m) f (( j 1)/m) des Itegrade f auf A j abhäge. Abgabe ud Besprechug: