Elementare Primzahlverteilung

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1 Elemetare Primzahlverteilug Ausarbeitug zum Semiar Fuktioetheorie Vortrag Sara Bohma

2 Elemetare Primzahlverteilug Eileitug Eileitug Ziel des erste Blocks des Semiars zur Fuktioetheorie ist der sogeate Primzahlsatz. Dieser erlaubt eie edliche Abschätzug der Verteilug der Primzahle mittels Logarithme. Der Zusammehag zwische Primzahle ud Logarithme wurde bereits im Jahre 793 vo dem damals 5-jährige Carl Friedrich Gauß ud uabhägig vo ihm im Jahre 798 durch Adrie-Marie Legedre vermutet, aber erst 896 vo Jacques Salomo Hadamard ud Charles-Jea de La Vallée Poussi bewiese. Geauer zitiert, besagt der Primzahlsatz, dass die Azahl der Primzahle kleier gleich eier Zahl x (bez. mit π(x durch Mathematisch exakt: π(x (gesroche "x ud x l(x x l(x x l(x sid asymtotisch gleich" mit ageähert werde ka. (. Defiitio Seie f, g, h : [a, C Fuktioe. Ma schreibt we es ei C > 0 gibt, sodass Die Gleichug f (x = O(h(x (für x a, f (x C h(x (für alle x a. f (x = g(x + O(h(x ist gleichbedeuted mit f (x g(x = O(h(x. Ma et O das Ladausche Oh-Symbol. Gilt so schreibt ma lim x f (x g(x =, f (x g(x (für x ud et f (x ud g(x asymtotisch gleich.

3 Elemetare Primzahlverteilug Eileitug Bildlich lässt sich der Primzahlsatz folgedermaße verdeutliche: I dieser Ausarbeitug solle zuächst grudlegede Begriffe defiiert werde ud erste Aussage über die Verteilug vo Primzahle gemacht werde, die zum Beweis des Primzahlsatzes führe. Die gägige Defiitio eier Primzahl lautet: N, > ist eie Primzahl, we gilt:, Z {±, ±}. Äquivalet zu dieser Defiitio ist auch die folgede: N ist eie Primzahl, we > ud m, m, Z m oder gilt. Dabei verwedet wurde auch der bereits bekate Teilbarkeitsbegriff: a, b Z, a b c Z : ac = b. Verwede wolle wir auch folgede (.2 Bezeichug Mit P bezeiche wir die Mege der Primzahle, P = {2, 3, 5, 7,,...} Mit ( bezeiche wir die streg mooto wachsede Folge aller Primzahle, also = 2, 2 = 3, 3 = 5, 4 = 7, 5 =,... Die Primzahlzählfuktio defiiere wir als π(x := { P; x}, x R. 2

4 Elemetare Primzahlverteilug 2 Elemetare Primzahlverteilug 2 Elemetare Primzahlverteilug Ohe Beweis otiere wir de (.3 Fudametalsatz der Arithmetik Jedes N besitzt eie eideutige Darstellug der Form = ν(, ν ( N 0, ν ( = 0 für fast alle. P Diese Darstellug der Zahl N bezeiche wir als Primfaktorzerlegug vo. ν ( heißt die Vielfachheit vo i. Bekat ist der (.4 Satz vo EUCLID Es gibt uedlich viele Primzahle. Ageomme, es gibt ur edlich viele Primzahle. Diese seie mit q,..., q r bezeichet. q = 2 kee wir bereits. Defiiere u := q... q r +. Da ist >. Außerdem gilt für alle i r: q i q... q r =, also q i. Gemäß dem Fudametalsatz der Arithmetik (.3 gibt es für eie Darstellug = ν( mit ν ( N 0 ud ν ( = 0 für fast alle. Es gibt also midestes P eie Primzahl, die teilt. Sei q r+ diese Primzahl. Da gilt q r+ = q i, i =,..., r, da diese icht teile. Somit habe wir zusätzlich zu q,..., q r eie weitere Primzahl q r+ gefude. Dies ist ei Widersruch zur Aahme ud somit ist die Aussage gezeigt. Betrachte wir die im Beweis vo (.4 kostruierte Folge: Bekatlich gilt q = 2. Defiiere u := q + = 2 + = 3. Da gilt = 3 P, also q 2 = 3. Setze jetzt := q q 2 + = = 7. Da gilt = 7 P, also q 3 = 7. Geauso etsteht q 4 = 43. Defiiere u := q q 2 q 3 q 4 + = = 807 = Nu gilt / P, wobei 3 die kleiste Primzahl ist, die teilt. Es ergibt sich also q 5 = 3. So ka ma atürlich beliebig lag fortfahre. Es ist eie offee Frage, ob auf diese Weise alle Primzahle etstehe. 3

5 Elemetare Primzahlverteilug 2 Elemetare Primzahlverteilug Zusätzlich zu der Uedlichkeit der Mege der Primzahle kee wir auch och das (.5 Korollar Es gibt uedlich viele Primzahle der Form 4k + 3, k N 0. Ageomme, es gibt ur edlich viele Primzahle der Form 4k + 3, k N 0. Diese seie mit,..., bezeichet. Defiiere z := Da hat z die Form z = 4k + 3 mit k =... N 0. Isbesodere ist z ugerade, da z = 2l + mit l = 2k + N 0. Sei z = q... q m die Primfaktorzerlegug vo z gemäß (.3. Da z ugerade ist, gilt q i = 2 für alle i {,..., m}. Somit habe die q i die Form q i = 4r i + mit r i N 0 ( q i (mod 4 oder q i = 4s i + 3 mit s i N 0 ( q i 3 (mod 4. Ageomme, alle q i hätte die Form q i = 4r i +. Da gilt q i (mod 4, i =,..., m z = q... q m (mod 4. Dies ist ei Widersruch. D.h. es gibt ei î {,..., m} mit qî = 4sî + 3 für ei sî N 0. Da gilt qî {,..., }, z.b. qî = j. Es folgt der Widersruch j = qî q... q m = z = Auch hieraus folgt atürlich die Uedlichkeit der Mege der Primzahle. Eie Modifikatio der Beweisidee vo (.4 liefert das (.6 Lemma Die Reihe divergiert. = P k= Wir führe eie Widersruchsbeweis ud ehme dazu a, dass die Reihe kovergiert. Da gibt es für jedes ε > 0 ei N N, sodass = = < ε für alle N. k= k= k= k= k=+ k k= Da > 0 für jedes k, existiert somit ei N N, sodass k>n < 2. ( 4

6 Elemetare Primzahlverteilug 2 Elemetare Primzahlverteilug Sei u q :=... N. Da teilt keis der i, i =,..., N, eie der Zahle + q, N. D.h., dass die Primfaktorzerlegug dieser + q, N, ur aus Primfaktore q i mit i > N besteht. Also gilt für alle N ud somit + q M := {m = Für t N gilt mit dem Cauchy-Produkt für Reihe m N,m= i... it, N<i... i t m ν k k ; ν k N 0, ν k = 0 für fast alle k}. k=n+ { + q, N} M. (2 m = m N,m= i... it = i {N+,...} = i =N+ = ( i 2 =N+ i =N+ i = ( k=n+ k Daraus ergibt sich für ei r N r = + q (2 m M i 2 {N+,...}... i t =N+ ( t ( = m = t= (i,...,i t {N+,...} t i... it... i 2 =N+ i2 k>n i t {N+,...} i... it... ( i... it i t =N+ it... t (3 m N,m= i... it, N<i... i t ( 2 m (3 ( t= k>n ( ( t t = 2 = t= t=0 = 2 ( r Das heißt, die Folge der Partialsumme (S r r := wachsed ud ach obe durch beschräkt. Somit folgt lim S r. r = +q r t ist (mooto 5

7 Elemetare Primzahlverteilug 2 Elemetare Primzahlverteilug Adererseits: Für, q N gilt, q q 2q + q 2q + q ud somit mit der Divergez der harmoische Reihe r = r + q lim S r = lim r r = r = 2q = 2q r = + q 2q lim r r = =. Dies ist ei Widersruch ud somit folgt die Divergez der Reihe. Auch hieraus ka ma atürlich folger, dass es uedlich viele Prizahle gibt. Außerdem ka ma aus der Kovergez der Reihe Primzahle als Quadratzahle gibt. Zum Beweis des ächste Lemmas beötige wir zuächst folgede = 2 schließe, dass es mehr (.7 Bezeichug Für x R bezeichet x := max{ Z, x} die utere Gauss-Klammer. Aschaulich ka ma sich uter b a mit a, b N die Azahl vorstelle, wie oft a vo b geteilt wird. Vergleiche ka ma das auch mit der bekate Divisio mit Rest: Für a, b N existiere geau ei c ud ei r N mit a = c b + r ud r < b, ämlich c = a b ud r = a c b. Mit Hilfe der utere Gaußklammer wolle wir u die Größeordug der k-te Primzahl geauer abschätze. Dazu zuächst folgedes (.8 Lemma Für alle N, 0 j ud P gilt: l( l( a ν (! = k= k b ν (( l( j l( c ν (( j d ( j π( e 2 ( 2 < 4 6

8 Elemetare Primzahlverteilug 2 Elemetare Primzahlverteilug a Beachte: Die Vielfachheit ν ( der Primzahl i der Primfaktorzerlegug vo N ka auch als Fuktio betrachtet werde, durch die die Azahl zugeordet wird, wie oft vo geteilt wird. Sei u zuächst > : Da gilt für alle k N die Abschätzug > ud somit 0 < <. Also gilt = 0 ud damit l( l( k= = 0. Geauso folgt aus > auch,..., ud somit!, also ν (! = 0 ud somit die Behautug für >. Sei u : Die Zahl ν (! beschreibt die Azahl, wie oft! vo geteilt wird. Wege! =... ist dies die Azahl, wie oft die Zahle,..., vo geteilt werde. Wir mache also eie Abzählbeweis. Uter de Zahle,..., trete die Vielfache vo i der Form, 2, 3,..., m mit m =, 2, 2 2, 3 2,..., m 2 2 mit m 2 = 2, 3, 2 3, 3 3,..., m 3 3 mit m 3 = 3,..., 2, 3,..., m k mit m k = auf, de: Tritt m l l, l k, uter de Zahle,..., auf, muss m l l m l l gelte, ud ist m k N 0 maximal mit m k m k, so gilt ach der Defiitio der utere Gauss-Klammer m k =max{z Z; z } =. Nu gilt ν (! = m k =. k k k Außerdem gilt:, N 0 ud damit = 0 Somit ist die Summe edlich ud es gilt: ν (! = k < k > k > l( l(. l( l( = k=. 7

9 Elemetare Primzahlverteilug 2 Elemetare Primzahlverteilug b Nach (.3 gilt für m, N m = ν (m ν( = ν (m+ν ( P P P mit geeigete ν (m, ν ( N 0, ν (m = 0, ν ( = 0 für fast alle. Somit gilt ν (m = ν (m + ν (. (4 Behadel wir zuächst die Fälle j = 0 ud j =. Es gilt ( ( ν ( = ν ( = ν ( = 0 l( 0 l( für alle N, P. Sei u j {,..., }. Mit Teil a gilt: (! ν ( = ν ( j j! ( j! (4 = ν (! ν (j! ν (( j! l( a = k= l( ( j j Zwischebehautug: Für x, y R gilt x + y x y. Beweis: Für a R, z Z gilt (5. a = a + r a mit eiem 0 r a <, 2. a + z = max{ Z; a + z} = max{ Z; a} + z = a + z. Seie u x, y R, x = x + r x, y = y + r y mit 0 r x, r y <. Da gilt 0 r x + r y < 2.. Fall: 0 r x + r y < : Da gilt r x + r y = 0 ud somit x + y = x + r x + y + r y = x + y + r x + r y = x + y x + y + 2. Fall: r x + r y < 2: Da gilt r x + r y = ud somit x + y = x + r x + y + r y = x + y + r x + r y = x + y + 8

10 Elemetare Primzahlverteilug 2 Elemetare Primzahlverteilug Isgesamt gilt also die gewüschte Abschätzug: x + y x + y + x + y x y Setzt ma u x := j ud y := j i diese Zwischebehautug ei ud wedet dies auf Gleichug (5 a, ergibt sich: ( ν ( j l( (5 l( = k= ( j j c Sei j {0,..., }. Mit Teilaussage b folgt direkt: d Sei j {0,..., }, P. Da gilt: ν (( b j l( l( = e l( l( l( = e l( = >! ( = j l( l(! j!( j!. D.h., dass für jede Primzahl P, die eie Biomialkoeffiziee ( j, j = 0,...,, teilt, gilt. Zusamme mit dem Fudametalsatz der Arithmetik folgt daraus: ( (.3 = j ν (( j = P e Für a, N, a gilt ud somit 2 k=0 ν (( c j P, + a a = + a 2 = { P, } = π( P, 2 ( + ( + 2 ( + ( +... (2 = =! 2...! = (2! ( ( (! 2 = (2! 2 2 ( 2 2 ( 2 (!(2! = < + + k k k=0 k=+ ( ( 2 2 = = k 2 k = ( + 2 = 4. k k 2 k=0 9

11 Elemetare Primzahlverteilug 2 Elemetare Primzahlverteilug Als direkte Folgerug otiere wir das (.9 Lemma Für alle N, 2, gilt Es gilt π(2 π( < l(4 l(. π(2 π( = { P; 2} { P; } Sei u P mit < 2. Da gilt: Wege! folgt auch (! 2, de = { P; 2} \ { P; } = { P; < 2}. (6 2! =... 2 ud! =... (! 2 =!! Def.P! (oder! Das heißt, dass jede dieser Primzahle im Zähler, aber icht im Neer (ud somit i der Primfaktorzerlegug vo ( 2 = (2! N auftaucht. Damit gilt (! 2 Zusamme mit (.8 e folgt da: P, < 2 ( 2 π(2 π( (6 = { P ; < 2} = < P, < 2 Logarithmiere ergibt: P, < 2 ( 2 (.8 e < 4 (π(2 π( l( < l(4 = l(4 π(2 π( < l(4 l(. 0

12 Elemetare Primzahlverteilug 2 Elemetare Primzahlverteilug Eie utere Abschätzug für π( liefert das (.0 Lemma Für alle N, 3 gilt π( > 2 3 l( Für N gilt ( 0 = ( = ud ach (.8 d gilt ( j π( für alle 0 j. Damit ergibt sich: 2 = ( + = = ( + 0 Wege 3, also > 2 gilt j= j=0 ( j ( j j = j ( + j=0 ( 0 ( j + j= π( }{{} uabh. vo j = + ( π( + = π( + 2 π( π( > 2 2 π( < 0 π( + 2 π( < π( + ( Beide Ugleichuge zusammegefasst ergebe da 2 < π(. Logarithmiere liefert l(2 = l(2 < l( π( = l( + π( l( = l( ( + π( π( > l(2 l(. Für x > e gilt l(x > l(e =. Die Abbildug f : x x l(x ist somit auf [e, streg mooto wachsed, da für die Ableitug der Fuktio auf (e, stets f (x = l(x (l(x 2 > 0 gilt. Damit gilt für N, > 200: l( 20 l(20 37, 90 > 37, 76 l(2 2 3 l( l(2 2 3 l(2 l( 2 3 l(2 l( 2 3 l(

13 Elemetare Primzahlverteilug 2 Elemetare Primzahlverteilug ud somit die Behautug π( > 2 3 l( für > 200. Für N, verifiziert ma die Behautug mit Hilfe der Primzahltabelle im Ahag. Eie obere Abschätzug liefert das (. Lemma Für alle N, 2 gilt π( < 2 l( Für die Zahle 2 8 = 256 zeige wir die Aussage ahad der Primzahltabelle im Ahag. Sei im Folgede > 2 8. Für diese Zahle verifiziere wir die Behautug er Iduktio ach. (IA = 257: Es gilt π(257 = 55 < 92, l(257. (IV Für ei beliebiges aber festes 257 gelte π(m < 2 m l(m für alle m <. (IS :. Fall: Sei zuächst = 2m gerade. Nach Lemma (.9 gilt π(2m π(m < l(4 m l(m π(2m < π(m + l(4 m l(m (7 ud mit der Iduktiosvoraussetzug folgt π( = π(2m (7 < π(m + l(4 (IV < 2 m l(m + l(4 = 2m l(m + 2 l(2 m l(m m l(m = m l(m = 2m l(m + l(22 2m l(2m l(2 + m l(m 2m l(2 l(2m l(2 = l( l(2 + l(2 l( l(2 = ( + l(2 l( l(2 (8 2

14 Elemetare Primzahlverteilug 2 Elemetare Primzahlverteilug Außerdem gilt: 2 8 l( l(2 8 = 8 l(2 l( l(2 8 l( 8 l( = 7 l( l( l(2 8 l( l(2 8 7 l( (9 Kombiiere der Gleichuge (8 ud (9 ergibt: π( < ( + l(2 8 7 l( Wege ( + l(2 87 < 2 folgt die Behautug für gerade. 2. Fall: Sei u = 2m + ugerade. Wie im Beweis zu Lemma (.0 bereits gezeigt, ist die Abbildug x x streg mooto steiged für x e. Mit dem bereits l(x bewiesee Teil folgt da π( = π(2m + π(2m +. Fall < ( + l( m l(2m + < ( + l(2 8 7 l( + ( = ( + l( l( l( Da x l(x x für x e mooto falled ist, ergibt sich weiter ( + l( l( >2 8 ( + l( l( = ( + l( l(2 256 = ( l(2 < 2 Damit folgt die Behautug π( < 2 l(. 3

15 Elemetare Primzahlverteilug 2 Elemetare Primzahlverteilug Die gerade bewiesee obere ud utere Abschätzuge für π( gehe auf Chebyshev ( zurück. Zusamme liefer sie 2 3 < π( l( < 2. Damit folgt das (.2 Korollar Es gilt l(π(x lim x l(x = Sei x > 0. Da ist klar: π(x = { P; x} x. Also gilt für x > 0: l(π(x l(x l(x l(x =. Außerdem gilt ach Lemma (.0 für N, 3, die Abschätzug Damit ergibt sich π( > 2 3 l( l(π( l( l( l( 2 3 l( = + l( 2 3 l(l( l( = l( l( l(l( l( wobei ud somit Isgesamt: l( 2 3 lim l(l( l( lim ( L Hosital = lim l( + l( 2 3 l(l( l( + l( 3 2 l(l( l(π( l( l( }{{} Mit dem Sadwich-Lemma folgt die Behautug. = lim l( = 0 = 4

16 Elemetare Primzahlverteilug 2 Elemetare Primzahlverteilug Eie Umformug usere elemetarer Aussage liefert auch eie Abschätzug für die -te Primzahl. (.3 Korollar Ist 2, so gilt für die -te Primzahl die Abschätzug 2 l( < < 3 l(. Ist N, 2, so gilt 3 ud π( =. Aus Lemma (. folgt = π( < 2 l( > l( 2 l( 2 Aderseits gilt = π( (.0 > 2 3 l( < 3 2 l( (0 Für 9 gilt 9 = 23. Für x 23 ist x l(x x mooto falled ( l(x (da x = l(x 2 < 0 für x 23 ud somit gilt l( x 3 l( , also l( 3 2 für 9. Eigesetzt i Ugleichug (0 ergibt sich für 9 < < 2 2 < 2 l( < l( 2 = 2 l(. Setzt ma diese Ugleichug wiederum i (0 ei, ergibt das die Behautug für 9. Für 2 8 utzt ma die Primzahltabelle im Ahag. Ma ka diese grobe Abschätzug och verwede, um die lagsame Divergez der uedliche Reihe k= i (.6 achzuweise. Dazu zuächst eie Vorbemerkug: Seie, q Z mit < q ud f : [, q] [0, eie mooto fallede Fuktio. Da gilt auf jedem Itervall [, + ] für ei N (mit, + q f ( + f (x f (. 5

17 Elemetare Primzahlverteilug 2 Elemetare Primzahlverteilug Daraus folgt für das Itegral q f (xdx,q Z = + f (xdx + +2 f (xdx q f (xdx + q eimal die folgede Abschätzug ach obe q f (xdx f ( + f ( f (q = q ( q f (k f (k k= k= ( ud adererseits die Abschätzug ach ute q f (xdx f ( + + f ( f (q = q f (k. (2 k=+ Nu zur lagsame Divergez der Reihe Eierseits gilt N = Adererseits: N = = 2 + N =2 N =2 k= (.3 3 : N =2 l( ( N 3 x l(x dx 2 = 3 l(l(x N 2 = 3 (l(l(n l(l(2 3 l(l(n. = 2 + N 3 + =3 ( N =2 ( N =3 l( x l(x dx = 5 + 2(l(l(N l(l(2. 6 Dabei ist l(l(x ist die Stammfuktio vo x. D.h. die Reihe N x l(x eigeschachtelt durch die zwei Fuktioe 3 l(l(n ud + 2(l(l(N l(l(2, die beide sehr lagsam gege divergiere. 5 6 Für N 2 gilt 3 = 3 l(l(n l(l(n N l(n N = (l(l(N l(l(2 l(l(n = ist 6

18 Elemetare Primzahlverteilug 2 Elemetare Primzahlverteilug ud somit ist die Folge beschräkt, da ( l(l(n (l(l(N l(l(2 lim l(l(n N = N 2 = lim l(l(2 l(l(n = 2 Mit Korollar (.3 ka ma auch och folgedes zeige: (.4 Korollar Die Reihe kovergiert. P l( Nach Korollar (.3 gilt für N, 2 die Abschätzug > 2 l(. Damit folgt P l( = = < l( = 2 l(2 + =2 l( 2 l(2 + =2 2 l( l( 2 l( Für 8 gilt l( 2 ud sowie 2 l( als auch l( 2 l( l(. Also folgt =8 2 l( l( 2 l( =8 = 2 2 (l(2 =8 (l( 2 Wir wolle u das Itegralvergleichskriterium awede, das besagt: Ist Z, f : [, [0, eie mooto fallede Fuktio, da gilt: f ( kovergiert f (xdx ex. = Wir wähle i userem Fall = 8 ud f (x :=. Da gilt x(l(x 2 f (x = (l(x2 +2 l(x < 0 für x 8. Also ist f auf [8, mooto falled. x 2 (l(x 4 7

19 Elemetare Primzahlverteilug 2 Elemetare Primzahlverteilug Außerdem ist f (x 0 für alle x [8,. Die Voraussetzuge für das Itegralvergleichskriterium sid also erfüllt. Zu zeige bleibt also Dazu: 8 dx <. x(l(x 2 8 x(l(x 2 dx = l(x 8 = lim l(x }{{} =0 x + l(8 = l(8 < (.5 Korollar Für jedes N liegt im Itervall (, 4] midestes eie Primzahl ud es gilt Es gilt lim (P (, 4] =. (P (, 4] = { P; < 4} = { P; 4} \ { P; } = π(4 π( (.0 > ( l(4 2 l( = ( 8 l( 3 l( l( + l(4 2 Für 64 verifiziert ma mit der Primzahltabelle im Ahag, dass (P (, 4] > 0 gilt. Für > 64 utze wir die Ugleichuge Die zweite Ugleichug erhält ma durch l( > 64 > 64 l( > l(64 = l(4 3 = 3 l(4 8 l( > 6 l( + 6 l(4 8 l( 3 l( + l(4 > 2. Also ist (P (, 4] > 0 für alle N gezeigt. l( (3 l(64 > 0 ud 8 3 l(+l(4 2 > 0. 8

20 Elemetare Primzahlverteilug 2 Elemetare Primzahlverteilug Bleibt och lim (P (, 4] = zu zeige. Betrachte dazu Weiter gilt 8 l( 3 l( + l( = 8 l( 3 l( + l(4 8 3 = 8 ( l( 3 l( + l(4 = 8 l(4 3 l( + l(4 0 l( lim 3 l( + l(4 2 = lim l( = lim = lim = Zusamme: ( (3 8 l( lim (P (, 4] = lim l( 3 l( + l(4 2 =. Mit etwas mehr Aufwad ka ma sogar das Bertradsche Postulat zeige. (P (, 2] > 0 für alle N Das ächste Lemma macht deutlich, dass der Abstad zwische zwei aufeiaderfolgede Primzahle beliebig groß werde ka: (.6 Lemma Zu jedem N gibt es aufeiaderfolgede atürliche Zahle, die keie Primzahle sid. Wir zeige die Aussage durch eie Kostruktiosbeweis. Sei a j := ( +! + j für j = 2,..., +. Da sid die a j aufeiaderfolgede atürliche Zahle. Es gilt j + j ( +! ud atürlich j j. Somit gilt j a j für alle j = 2,..., +. Wege N, also > 0, gilt a j > j. D.h. j ist ei echter Teiler vo a j ud somit gilt a j / P für j = 2,..., +. Somit sid die a j aufeiaderfolgede atürliche Zahle, die keie Primzahle sid. Aders ausgedrückt besagt (.6 su{ + ; N} = 9

21 Elemetare Primzahlverteilug 3 Ahag 3 Ahag Primzahltabelle