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1 STATISTIK Eiführug Statistik kommt vom italieische Wort statistica, was so viel wie Staatsma bedeutet. Früher verwedete ma de Begriff ur für eie Auswertug vo Date (Klima, Bevölkerug, Bräuche,...) eies Staates. Grudlage der Statistik sid Date. Ma uterscheidet i der Statistik zwische qualitative ud quatitative Variable. Eie qualitative Variable ist zum Beispiel das Geschlecht. Hierbei ist keie Zahl die Atwort, soder etweder mälich oder weiblich. Eie quatitative Variable ist zum Beispiel die Körpergröße, de hierbei ist eie Zahl (z.b. 182cm) die Atwort. Bei quatitative Variable ka ma gaz eifach de Mittelwert erreche. Bei qualitative geht das auch, jedoch kommt da ei Wert heraus, der icht real vorkommt (z.b. ¾ Ma). Ma hört auch oft die Begriffe stetig ud diskret. Diskret bedeutet, eie Variable ist edlich oder abzählbar, bei eier stetige Variable ka diese jede beliebige Wert (also auch Werte mit uedlich viele Nachkommastelle) aehme. Beispiele: We ma würfelt oder zählt, wie viele Studierede a eier Ui sid, so hadelt es sich um diskrete Zahle (es ka icht 2, herauskomme). We ma die Größe eier Perso betrachtet, so hadelt es sich um eie stetige Variable, weil es irgedetwas zwische eiem ud drei Meter sei ka. Auch das Alter ist eie stetige Variable, weil ma zu jedem Zeitpukt aders alt ist, also zum Beispiel jetzt gerade 34 Jahre, 3 Moate, 5 Tage, 4 Stude, 1 Miute, 55 Sekude, 33 Hudertstel, Diese Variable wird aber diskret agegebe (also ma ist etweder 34 oder 35, ma rechet icht mit Nachkommastelle beim Alter) Sid Sie mit userem Agebot zufriede? ja ei weiß icht gibt och viele weitere Möglichkeite, Dia-gramme zu verfälsche. Statistische Kegröße 1. Häufigkeite Diese Date werde oft mithilfe vo Diagramme dargestellt. Hierbei muss ma wisse, dass ma mit Diagramme eiiges beschöige/verfälsche ka. Lässt ma z.b. die Achse icht bei Null begie, so werde kleie Uterschiede viel dramatischer dargestellt (Bild). Ma ka zum Beispiel auch kleie Jahres- Umsatzeibuße bei Firme wegkaschiere idem ma ur jedes zweite Jahr am Diagramm darstellt. Es Uter Häufigkeit versteht ma die Azahl vo Ereigisse/Werte/Objekte i eiem Zeitraum oder i eier Liste. Wir uterscheide hier drei verschiedee Häufigkeite: Absolute Häufigkeit Relative Häufigkeit Prozetuelle Häufigkeit Sid Sie mit userem Agebot zufriede? ja ei weiß icht

2 Absolute Häufigkeit: Diese Wert bekommt ma z.b. durch das Abzähle der Striche eier Strichliste. Relative Häufigkeit: Diese Wert errechet ma, idem ma de Wert der absolute Häufigkeit durch die gesamte Werte dividiert. Prozetuelle Häufigkeit: Ist die relative Häufigkeit i Prozet ausgedrückt. Beispiel: Welche Haarfarbe komme i der Schulklasse mit 30 Schülerie ud Schüler vor? Zuerst werde alle Schülerie ud Schüler ach ihrer Haarfarbe befragt, ud aschließed wird eie Tabelle erstellt. Haarfarbe absolute Häufigkeit relative Häufigkeit prozetuelle Häufigkeit schwarz 8 0,27 27 % dukelbrau 3 0,1 10 % brau 6 0,2 2 % dukelblod 5 0,17 17 % blod 7 0,23 23 % rot 1 0,03 3 % 2. Zetralmaße Die Zetralmaße versuche, die Date durch eie "mittlere Wert" zu beschreibe. Hierbei gibt es aber ebe dem klassische Mittelwert auch och de Modus ud de Media. a. Mittelwert (=arithmetisches Mittel) x = x 1+x 2 +x x bzw. x = 1 i=1 x i Der Mittelwert ist die am häufigste verwedete Variable i der Statistik. Er errechet sich aus der Summe der Werte, dividiert durch die Azahl der Werte. Bsp.: Note eies Tests: 2, 4, 5, 3, 4, 1, 1, 4 => Mittelwert: 24 (Summe der Werte) / 8 (Azahl) = 3 Allerdigs ist ei Mittelwert sehr empfidlich für so geate Ausreißer, also Werte die besoders hoch oder tief sid. Ei Beispiel wäre das Durchschittseikomme. Hierbei ka es auch i der ausgewertete Gruppe ei paar Ausreißer gebe, die besoders viel verdiee ud damit de Durchschitt extrem ahebe (9 Persoe verdiee 1.000, die zehte => Mittelwert über ). We es Werte gibt, die sehr große Uterschiede zu de restliche aufweise, hat der Mittelwert keie Aussagekraft mehr. Ma muss also vor der Berechug des Mittelwertes überprüfe, ob dieser auch eie Si macht. Es gibt aber auch eie adere Kewert, der icht so sesibel auf Ausreißer reagiert. Dieser heißt Media. b. Media Der Media ist derjeige Wert, der bei eier geordete Liste (auf- oder absteiged) geau i der Mitte liegt. Bsp.: Alter eier Fußballmaschaft (bereits geordet): 15, 16, 17, 17, 21, 22, 22, 23, 24, 24, 26, 48 Der Mittelwert würde hier das Ergebis verfälsche, weil es mit 48 eie Ausreißer gibt. Der Media ist der Wert, der i der Mitte der geordete Liste liegt, i dem Fall 22. Liege zwei Werte i der Mitte, so wird aus diese der Mittelwert gebildet. Bsp.: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Die zwei Werte die geau i der Mitte liege sid 3 ud 4 => Media: 3,5

3 c. Modus Der Modus oder auch Modalwert geat, ist bei eier Liste vo Messwerte, jeer Wert, der am öfteste vorkommt. Beispiel mit eiem häufigste Wert: {1, 1, 1, 3, 3, 5, 5, 5, 5} Der Modus i diesem Fall ist der Wert 5 mit eier Häufigkeit vo 4. (d.h. die Zahl 5 kommt vier Mal i der Liste vor). Beispiel mit mehrere häufige Werte: {1, 1, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6} Die Häufigkeitsverteilug hat zwei Modi, 3 ud 6, mit der Häufigkeit 3 (die Zahle komme jeweils drei Mal vor). Beispiel ohe Modus: {1, 4, 7, 9, 15} Da jeder Wert der Liste gleich oft vorkommt, gibt es i diesem Fall keie Modus/ keie Häufigste Wert. 3. Streuugsmaße Die Streuugsmaße liefer ei Maß dafür, wie sehr die gemessee Werte vom Mittelwert abweiche. Ma uterscheidet hierbei die Variaz/Stadardabweichug, die Spaweite ud die Quartile. a. Stadardabweichug We ma alle Date hat: s = 1 i=1 (x i x )² We ma ur eie Stichprobe hat: s = 1 1 i=1 (x i x )² Oft hört ma auch de Begriff der Stadardabweichug. Diese gibt die Streuug der Date a ud wird meist zusätzlich zum Mittelwert berechet. De trotz gleicher Mittelwerte köe die Verteiluge gaz uterschiedlich ausfalle. Beispiel: I eier Klasse sid gaz viele große ud gaz viele kleie Persoe. I der Parallelklasse sid die Persoe alle ugefähr gleich groß. Die Mittelwerte der beide Klasse köe gleich ausfalle, obwohl die Streuug verschiede ist. Bei der Stadardabweichug gibt es zwei verschiedee Formel. Eie, we ma alle Date hat ud eie, we ma aus der Grudgesamtheit ur eie Stichprobe hat. We ma zum Beispiel eie Meiugsumfrage zu de Parteie macht, so werde icht immer alle Mesche i eiem Lad befragt, soder ur eie repräsetative Stichprobe. Ma muss aber bei der Auswahl der Stichprobe aufpasse, dass ma eie repräsetative Gruppe hat, d.h. die Befragte solle i Alter, Beruf ud adere Eigeschafte die Gesamtheit der Wähler repräsetiere. Es wäre also falsch, ur Persoe vor eier Ui zu befrage. Als Variaz wird die Stadardabweichug² bezeichet. Je größer u der Wert der Variaz ud demach auch der Stadardabweichug ist, desto breiter getreut sid die Date. Sid die beide Kegröße klei, so bedeutet das, dass die eizele Werte sehr ahe am Mittelwert liege ud demach sid die Date icht so weit gestreut. b. Miimum, Maximum Das Maximum ist der größte Wert i eier Liste, das Miimum ist der kleiste Wert i eier Liste. Beispiel: {5, 8, 2, 14, 3, 7, 26, 9} => Zuerst Liste orde: {2, 3, 5, 7, 8, 9, 14, 26}

4 Quelle Quartile: statistics4u.ifo, Has Lohiger c. Spaweite Formel: Maximum - Miimum = Spaweite Um die Spaweite zu erhalte, berechet ma die Differez zwische dem größte ud dem kleiste Wert eier Liste vo Werte. Ma Subtrahiert also de kleiste Wert vom größte. Ausreißer habe Eifluss auf die Spaweite. Beispiel (geordete Liste): {1, 2, 3, 4, 5, 70} Nu ist hier die Zahl 70 der Ausreißer. We ma u de kleiste Wert vom größte abzieht erhält ma eie Spaweite vo 69. Wie ma sieht wirkt sie dieser Ausreißer sehr auf die Spaweite aus. d. Quartile Quartile teile die Verteilug i vier Viertel. Ei bestimmtes Quartil ist die Greze zwische zwei bestimmte Viertel der Verteilug. Die Berechug vo Quartile ist machmal (vor allem bei Stichprobe dere Umfag icht durch vier teilbar ist) uklar. Darum im Folgede eie exakte Aleitug zur Berechug vo Quartile, die allerdigs ur eie vo mehrere mögliche Variate ist. Für eie Stichprobe vo N Beobachtuge gilt: 1. Quartil = (0.25*(N+1)) => Zahl rude 2. Quartil: Das zweite Quartil ist der Media, also der Wert i der Mitte bei eier geordete Liste. Sid 2 Werte i der Mitte, so wird der Durchschittswert dieser beide ermittelt. 3. Quartil = (0.75*(N+1)) => Zahl rude Beispiel: Ageomme ma hat folgede 20 Beobachtuge gemacht: 2, 4, 7, -20, 22, -1, 0, -1, 7, 15, 8, 4, -4, 11, 11, 12, 3, 12, 18, 1 Zur Berechug der Quartile ist die Liste der Beobachtuge zuerst zu sortiere: -20, -4, -1, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 7, 7, 8, 11, 11, 12, 12, 15, 18, 22 Für das 1. Quartil gilt u: (0.25*(20+1)) = 5. Das heißt, Q1 ist der Wert der 5. Stelle i der sortierte Reihefolge, also Q1 = 0. Für Q2 ergibt sich aalog Q2 = 5.5 ud für das 3. Quartil Q3 = 12. Amerkug zur Praxis: Quartile gibt ma üblicherweise erst ab 12 Beobachtuge a (besser wäre aber mehr als 20). Ma ka ebe Quartile auch Quitile (Eiteilug i 5 Bereiche) oder Dezile (i 10 Bereiche) agebe. Ma ka die Werte auch i de TR eigebe ud auf STAT => 1-Var-Stats clicke, damm bekommt ma alle Date ausgerechet heraus.

5 4. Klasseeiteilug Uter eier Klasseeiteilug versteht ma, dass ma Werte/Objekte/Date ach ihre Merkmalsauspräguge zu 'Klasse' zusammeordet. Zum Beispiel sid alle Schülerie ud Schüler eier Schulklasse, die zwische 150 cm ud 160 cm groß sid i eier Klasse (=Gruppe). Durch das Eiteile i Klasse wird eie große Mege a Werte/Objekte/Date auf eie Klasse verkleiert, damit verschiedee Utersuchuge eifacher werde. Nachteil der Klasseeiteilug ist jedoch, dass auch Iformatioe verlore gehe. (Es werde keie Eizelwerte berücksichtigt.) Ma ka Klasse auf 2 verschiedee Arte eiteile. Erste Möglichkeit: Klasse 1 Klasse 2 Klasse 3 Klasse < 145 cm 145 < 170 cm 170 < 180 cm 180 < 195 cm Bei Klasse 1 gehöre 130 cm ud 145 cm icht mehr zur Klasse weil die Klasse echt kleier ist als 145 cm ud echt größer als 130 cm ist. 130,1 cm ud 144,9 cm sid och i der Klasse. Zweite Möglichkeit: Klasse A Klasse B Klasse C Klasse D Klasse E 41 bis 50 kg 51 bis 60 kg 61 bis 70 kg 71 bis 80 kg 81 bis 90 kg Hier sid bei der Klasse A die Werte 41 kg ud 50 kg och i der Klasse. Statt dem "bis" köte ma auch ei größer/kleier-gleich- Zeiche eifüge. Die Afags ud Edwerte der Klasse sid alle immer dabei. 5. Beispiel Zeh Fraue wurde ach ihrer Körpergröße (i cm) gefragt. Urliste: 167, 171, 162, 169, 163, 170, 160, 168, 172, 158 Geordete Urliste: 158, 160, 162, 163, 167, 168, 169, 170, 171, 172 Mittelwert: x = = Media: x = = 167,5 2 Modus: keier, weil kei Wert am häufigste vorkommt (alle ur eimal) Variaz ud Stadardabweichug: V(x) = 1 (x i=1 i x )² = 1 [( )2 + ( ) 2 + ( ) 2 + ] = 24 Miimum: 158; Maximum: 172

6 Quelle: mathe-olie, Taja Hauptma Spaweite: R = = 14 Quartile: Q1 = 0,25*11 = gerudet 3 => dritter Wert => 162 Q2 = 0,50*11 = 5,5 => Werte 5 ud 6 => 167 ud 168 => 167,5 (=Media) Q3 = 0,75*11 = gerudet 8 => achter Wert => 170 Graphische Darstellug vo Datemege We ma eie Reihe vo Date, Messwerte ud ähliches vor sich hat, ka ma erst eimal icht viel damit afage. Um eie solch große Datemege zu veraschauliche gibt es Diagramme. So ka ma auf eie Blick sehe wie eie Verteilug vo Date aussieht. Date ka ma durch verschiedee Diagrammarte darstelle: Säulediagramm Balkediagramm Kreisdiagramm Liiediagramm Es gibt ei weiteres, wichtiges Diagramm, welches die Statistische Kegröße wie Media, Spaweite ud Quartile übersichtlich darstellt. Ei solches Diagramm et ma Boxplot- Diagramm. Ei Boxplot vereit mehrere Merkmale ud kaschell eie gute Überblick über die wichtigste Kegröße vermittel. I eiem Boxplot werde folgede Werte dargestellt: Media, zwei Quartile ud die beide Extremwerte. Das arithmetische Mittel fidet sich icht im Boxplot wieder. Miimum Uteres Quartil Media Uteres Quartil Maximum

7 Azahl Das Säulediagramm eiget sich vor allem zum Darstelle vo absolute Häufigkeite. Ei Säulediagramm oder ei Balkediagramm ist dasselbe, ur umgelegt. Säulediagramm Körpergröße Balkediagramm Körpergröße Azahl < < < < <180 >180 > < < < <150 <140 Kreisdiagramme eige sich zur Darstellug vo relative ud prozetuelle Häufigkeite. Wichtig ist, dass es bei der Darstellug immer 100 % gebe muss. Die Kreissektore eies Kreisdiagramms beziehe sich immer auf eie Gesamtmege (100 %). Kreisdiagramm Körpergröße < < < < <180 >180 Das Liiediagramm wird vor allem verwedet um eie Etwicklug im Zeitverlauf darzustelle.