Skript für. Mathematik 1

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1 Skript für Mthemtik Erstellt vo : Ostermeier Reihrd Dieses Skript ht keie Aspruch uf Vollstädigkeit! Gedruckt m 4. Jur 003

2 Skript Mthemtik I Seite - - Ihltsverzeichis...Mege. Defiitio: Mege (Ctor) Schreibweise Defiitio: Teilmege Defiitio: Symbole Stz: Vertuschugs- / Klmmerregel Defiitio: krtesisches Produkt Beispiel: krtesisches Produkt Defiitio: Potezmge Defiitio: uedlicher Durchschitt / Vereiigug Abbilduge. Defiitio: Abbildug Defiitio: Bild, Urbild, Grph Defiitio: ijektiv, surjektiv, bijektiv Defiitio: Hitereiderusführug Defiitio: Umkehrbbildug Stz: ijektiv, surjektiv, bijektiv (id) Reltioe / Äquivlezreltioe 3. Defiitio: Reltio, Äquivlezreltio Defiitio: Äquivlezklsse Bemerkug Mächtigkeit vo Mege / Abzählbrkeit 4. Defiitio: Edlichkeit Bemerkug Defiitio: Abzählbrkeit Stz: R ist icht bzählbr Vollstädige Iduktio 5. Stz : kleistes Elemet Stz : Iduktiosprizip Kombitorik 6. Stz: Azhl bijektive Abbilduge zwische edliche Mege Defiitio: Permuttio Defiitio: Biomilkoeffiziet ( über k) Stz Stz Stz: biomischer Lehrstz Zhletheorie 7. Defiitio: teilt b Stz: Divisio mit Rest Defiitio: (größter) gemeismer Teiler Stz: Eideutigkeit vo ggt Hilfsstz Hilfsstz Stz: Euklidscher Algorithmus Primzhle Theorem: Prstellug Theorem: Es gibt uedlich viele Primzhle Reche mit Restklsse 8. Defiitio: kogruet modulo m Stz: Äquivletreltio Stz: kogruet modulo m bei gleichem Rest Defiitio: Rest = mod m Stz: Bestimmug der Äquivlezklsse Defiitio: Restklsse Defiitio: Additio ud Multipliktio bei Restklsse Stz: Additio ud Multipliktio bei Restklsse Theorem: kleier Fermtscher Stz... 0

3 Skript Mthemtik I Seite Algebrische Strukture 9. Defiitio: Gruppe Bemerkug Stz: Gruppe Bemerkug Defiitio: Utergruppe Rige 0. Defiitio: Rig Defiitio: kommuttiver Rig Bemerkug Defiitio ud Stz: Uterrig.... Körper. Defiitio.... Stz: (Z p, +, *).... Körper der Komplexe Zhle. Defiitio.... Stz: Nullelemet / Eiselemet / Iverses Defiitio: Eiselemet / Imgiäre Zhl Defiitio: kojugierte komplexe Zhl / Betrg Iteresste Formel Defiitio: Relteil / Imgiärteil Regel über Absolutbetrg Theorem: Huptstz der Algebr Liere Algebr 3. Defiitio: Vektorrum Defiitio: Abbilduge + ud * im Vektorrum Bemerkug Defiitio: Utervektorrum Bemerkug Dimesio 4. Defiitio: Lierkombitio / Liere Hülle / lier ubhägig Stz: liere Ubhägigkeit Defiitio: Bsis Stz: Eideutigkeit eier Lierkombitio mit fester Bsis Dimesiosbegriff 5. Stz: Bsisergäzugsstz Stz: Austuschlämm Stz: Azhl der Bsisvektore eideutig Defiitio: Dimesio Stz: liere Abhägigkeit vo mehr ls dim(v) Vektore Stz: mximle Dimesio eies Utervektorrumes Defiitio: Summe vo Utervektorräume Stz: Dimesiosformel Liere Abbildue 6. Defiitio: Lierität Bemerkug: Lierität bei Ncheiderusführug Defiitio: Bild / Ker Stz: Bild / Ker Stz: Eideutigkeit eier Abbildug Bemerkug Stz: surjektiv / ijektiv Stz: Im(f) = L(f(v ),..., f(v )) Stz: f bijektiv Bild vo Bsis ist Bsis vo W Folgerug: Isomorphismus Defiitio: Rg Bemerkug Theorem: Dimesiosformel... 7

4 Skript Mthemtik I Seite Liere Gleichugssysteme 7. Defiitio: lieres Gleichugssystem Schreibweise Defiitio: Mtrix Defiitio: Multipliktio, Nme der Mtrix Bezeichuge Schreibweise Beobchtuge: elemetre Zeileumformuge Defiitio: erweiterte Mtrix Stz: Splterg / Zeilerg Defiitio: trspoierte Mtrix Stz: Existez eie Lösug Stz: Drstellug eier Lösug Folgerug: Eideutigkeit eier Lösug Determite 8. Stz: Determite Defiitio: Determite Stz: Berechug Mtrix Stz: Vertusch vo Splte Stz: trspoierte Mtrix Berechug eier 3 3 Mtrix Eigewerte / Eigevektore / chrkteristisches Polyom 9. Defiitio Bemerkug Stz: Nullstelle im ch. Polyom Geometrisch- lgebrische Zusmmehäge 0. Defiitio: übliches Sklrprodukt Stz: Eigeschfte des Sklrproduktes Defiitio: Betrg / Norm Stz: eiige Regel Theorem: Läge / Wikel / Volume Defiitio: sekrecht / Orietierug Erierug: Wurzel us egtiver Zhl Defiitio: Qudrtische Gleichug Theorem: Cuchy Schwrz Ugleichug.... Polyomrige. Defiitio.... Bemerkuk....3 Theorem.... Horerschem. Stz.... Regel...

5 Skript Mthemtik I Seite Mege. Defiitio: (Ctor, ) Eie Mege ist eie Zusmmefssug bestimmter wohluterschiedeer Objekte userer Aschuug oder useres Dekes - welche die Elemete der Mege get werde - zu eiem gze.. Schreibweise: - {...} ufzähle ller Elemete - { x x ht Eigeschft } - {}, Leere Mege - x M x ist Elemet us M - x M x ist icht Elemet us M.3 Defiitio: A ud B seie Mege: we für jedes x A gilt, x B, so schreibt m A B ud sgt A ist Teilmege vo B. A B we A icht Teilmege vo B..4 Defiitio: A ud B seie Mege:. A = B : A B ud B A. A B := { x x A ud x B } 3. A B := { x x A oder x B } 4. A B := { x x A ud X B } 5. A ud B heiße disjukt, we gilt A B = {} 6. Flls A B d heißt A B ds Komplemet vo A i B Flls klr ist ws B ist, so schreibt m uch kurz } := B A.5 Stz: A ud B seie Mege:. A B = B A. A B = B A 3. (A B) C = A (B C) 4. (A B) C = A (B C) 5. A = 6. A = A 7. A = A 8. A (B C) = (A B) (A C) 9. A (B C) = (A B) (A C).6 Defiitio: A ud B seie Mege: A B := { x, y x A, y B } Mege ller geordete Pre (x, y) mit x A ud y B oder krtesisches Produkt vo A ud B.7 Beispiel: A = {, }, B = {b, b, b 3 } A B = {(, b ), (, b ), (, b 3 ), (, b ), (, b ), (, b 3 )}.8 Defiitio: M ist Mege: P(M) := Mege ller Teilmege vo M = { A A M } Potezmege.9 Defiitio: (uedlicher Durchschitt / Vereiigug) Sei I Mege (beliebig) Idexmege Für jedes i I sei eie Mege A i gegebe D: A i := { x x A i für midestes ei i I } i I A i := { x x A i i I }

6 Skript Mthemtik I Seite i I. Abbilduge. Defiitio: Eie Abbildug f vo X ch Y ist eie Vorschrift, die jedem Elemet vo X geu ei Elemet vo Y zuordet. Sttt f ist Abbildug vo X ch Y schreibt m kurz: f : X Y Die Abbildugsvorschrift - welche jedem x X geu ei y Y zuordet - schreibt m: x y =: f(x) kurz ber vollstädig : f : X Y x f(x) X heißt Defiitiosbereich Y heißt Wertebereich. Defiitio: X, Y Mege f : X Y Abbildug A X B Y D heiße die Mege: f(a) := { f(x) x A } Y Bild vo A uter f f - (x) := { x X f(x) B } X Urbild vo B Γ f := { (x, f(x) x X } X Y Grph vo f.3 Defiitio: gegebe: f : X Y f heißt ijektiv, we keie zwei Elemete vo X uf ds selbe Elemet vo Y bgebildet werde. x x f(x ) f(x ) f heißt surjektiv, we jedes Elemet y Y ei f(x) ist. zu jedem y Y existiert ei x X mit y = f(x) f heißt bijektiv, we f ijektiv ud surjektiv ist..4 Defiitio: f : X Y ud g : Y Z sid Abbilduge D heißt die Abbildug g f : X Z Hitereiderusführug vo g ch f x g(f(x)).5 Defiitio: f - : Y X y x y heißt Umkehrbbildug oder Iverse vo f

7 Skript Mthemtik I Seite Stz: f : A B sei Abbildug, d gilt: f ist ijektiv es gibt eie Abbildug g : B A mit g f = id A f ist surjektiv es gibt eie Abbildug h : B A mit f h = id B f ist bijektiv g ud h wie i ) ud b) d ist g = h = f - 3. Reltioe / Äquivlezreltioe 3. Defiitio: M ud N sid Mege. Eie Teilmege R M N heißt Reltio zwische de Elemete vo M ud N. Asttt (x, y) R schreibt m uch xry. Sei M Mege ud R M M eie Reltio zwische de Elemete vo M. R heißt Äquivlezreltio uf M, flls folgedes gilt: (Ä) (, ) R M (reflexiv) (Ä) (, b) R (b, ) R (symetrisch) (Ä3) (, b) R ud (b, c) R, c) R (trsitiv) Ist R eie Äquivlezreltio uf M so schreibt m sttt (, b) R M M uch ~ R b oder kurz ~ b flls klr ist, um welche Äquivlezreltio es sich hdelt. M sgt ist äquivlet zu b we ~ b. 3. Defiitio: M Mege, ~ Äquivlezreltio uf M A M heißt Äquivlezklsse vo M bezüglich ~ flls gilt: A, b A ~ b A, m M, ~ m m A 3.3 Bemerkug: M Mege, ~ Äquivlezreltio uf M d: Jedes Elemet M gehört zu eier Äquivlezklsse [] := M() := { x M x ~ } A, A Äquivlezklsse, d gilt: etweder A = A oder A A = Die Bemerkug besgt: M läßt sich ls disjukte Vereiigug vo Äquivlezklsse drstelle. oder: ~ ist eie disjukte Zerlegug vo M i Äquivlezklsse. 4. Mächtigkeit vo Mege / Abzählbrkeit 4. Defiitio: <, > := { x N x } = {,,... } eie Mege M heißt edlich, we es eie bijektive Abbildug f : <, > M gibt 4. Bemerkug: We es eie bijektive Abbildug f : <, > M gibt, so ist eideutig bestimmt. =: crd(m) =: M 4.3 Defiitio: Eie Mege M heißt bzählbr, we es eie surjektive Abbildug f : N M gibt. 4.4 Stz: R ist icht bzählbr.

8 Skript Mthemtik I Seite Vollstädige Iduktio Wir werde sehe, dß R eie Aordug besitzt. Dmit uch N R. 5. Stz : Jede icht leere Teilmege M vo N ht ei kleistes Elemet. 5. Stz : (Iduktiosprizip) Sei M N mit folgede Eigeschfte: M we k M k+ M D M = N 6. Kombitorik 6. Stz: M ud N edliche Mege mit := M = N D gibt es *(x-)*(-)*... * =:! verschiedee bijektive Abbilduge f : M N 6. Defiitio: Sei M = N edliche Mege, d et m die bijektive Abbildug M N uch Permuttio. Also es gibt M! verschiedee Permuttioe. 6.3 Defiitio: M edliche Mege mit M = Sei 0 k d gibt es edlich viele verschiedee Teilmege us M mit k Elemete. Diese Azhl wird mit bezeichet. k Also ist zhl der k-elemetige Teilmege us eier Mege mit Elemete. k 6.4 Stz : Es gilt 0 k = k k 6.5 Stz :..! = k k!( k)! = + k k k 6.6 Stz: (Biomischer Lehrstz) x, y R N 0 d gilt: k k ( x y) x y k= k + = * * 0

9 Skript Mthemtik I Seite Zhletheorie 7. Defiitio: A, b Z b 0 heißt durch b teilbr oder b teilt geschriebe b \, we es eie gze Zhl q gibt, so dß = b * q Teilbrkeitsregel:.) c \ b ud b \ c \.) b \ ud b \ b * b \ * 3.) b \ ud b \ b \ (α + α ) mit α, α Z 4.) b \ ud \ b = b oder = -b 7. Stz: (Divisio mit Rest) Für zwei gze Zhle, b ud b 0 gibt es eie Drstellug der Form = b * q +r mit q, r Z ud 0 r b q heißt Quotiet, r heißt Rest 7.3 Defiitio:, b Z ud es gelte d \ ud d \ b. So heißt d ei gemeismer Teiler vo ud b We gilt: d gemeismer Teiler vo ud b ud für jede weitere Teiler c vo ud b gilt c \ d so heißt d größter gemeismer Teiler vo ud b. 7.4 Stz: We es eie ggt gibt, so ist er bis ufs Vorzeiche eideutig. de: d, e seie gemeisme größte Teiler vo, b e \ d ud d \ e d = e oder d = -e 7.5 Hilfsstz :, b,q Z D: d = ggt(, b) d = ggt(b, qb) 7.6 Hilfsstz : ist = bq, so ist b = ggt(, b) 7.7 Stz: (Euklidscher Algorithmus) seie, b Z 0 b 0 d gibt es geu eie positive größte gemeisme Teiler d = ggt(, b) Weiterhi gibt es gze Zhle α, β mit d = α + βb 7.8 Primzhle: p N heißt Primzhl we p ud ud p die eizige Teiler vo p sid. 7.9 Theorem: Jede türliche Zhl läßt sich ls Produkt vo Primzhle drstelle. Diese Prstellug ist (bis uf die Reihefolge) eideutig. 7.0 Theorem: Es gibt uedlich viele Primzhle. 8. Reche mit Restklsse 8. Defiitio: Zwei gze Zhle, b Z heiße kogruet modulo m, we die Differez b durch m teilbr ist. geschriebe: b mod m

10 Skript Mthemtik I Seite Stz: Zu festem m N heißt b mod m eie Reltio uf Z Z R = {(, b) Z Z b mod m} Diese ist eie Äquivlezreltio 8.3 Stz:, b Z sid geu d kogruet modulo m, we sie bei divisio durch m de gleiche Rest besitze. 8.4 Defiitio: Ist Z, m N so wird der Rest bei Divisio durch m mit mod m bezeichet (icht verwechsel: b mod m whr / flsch mod m Zhl) Die Aussge des letzte Stzes lutet: b mod m mod m = b mod m Erierug: Zwei Äquivlezklsse sid etweder gleich oder disjukt: v : = Z r mod m [] { } 8.5 Stz: Die Äquivlezklsse der Reltio mod m sid geu die Äquivlezklsse vo 0,,... m- d.h. Z = [0] []... [m ] 8.6 Defiitio: Die Äquivlezklsse bezüglich mod m heiße uch Restklsse.,,... m- sid Repräsette der m verschiedee Restklsse. Mit Restklsse k m reche ddiere ud multipliziere wie i Z 8.7 Defiitio:, b seie Repräsette zweier Restklsse (m N) ([], [b]) d setzt m: b := [] [b] := [ + b] = [ + b mod m] b := [] [b] := [ * b] = [ * b mod m] 8.8 Stz: ( mod m) + (b mod m) ( + b) mod m ( mod m) * (b mod m) ( * b) mod m 8.9 Theorem: (kleier Fermtscher Stz) p N fest, p Primzhl [] [0] [] p- = [] Ws besgt er: p Primzhl, icht durch p teilbr d gilt: p \ ( p- ) 9. Algebrische Strukture 9. Defiitio: Eie Gruppe ist ei Pr (G,*) mit eier Mege G ud eier Verküpfug * uf G d.h. eie Abbildug * : G G G (, b) * b mit folgede Eigeschfte: (G) ( * b) * c = * (b * c) (G) es gibt ei Elemet e i G (eutrles Elemet) mit (G) e * = G (Gb) zu jedem G gibt es ei G mit * = e (iverses Elemet) Eie Gruppe (G, *) heißt belsche Gruppe oder uch kommuttive Gruppe we gilt: (G3) * b = b *, b G Flls klr ist, welche Verküpfug gemeit ist, schreibt m uch kurz G sttt (g, *)

11 Skript Mthemtik I Seite - - Schreibweise: b = * b 9. Bemerkug: Sei (G, *) Gruppe ) für ei eutrles Elemet e G gilt * e = G b) es gibt geu ei e G mit e = G c) ist iverses Elemet zu, d gilt uch * = e d) zu jedem G gibt es geu ei iverses Elemet welches uch mit - bezeichet wird 9.3 Stz: (G, *) geu d eie Gruppe we: (G) gilt ud we es zu je zwei Elemete, b G ei x G ud y G gibt so dß: x * = b * y = b x ud y sid d (durch ud b) eideutig bestimmt 9.4 Bemerkug: G Gruppe, b G ) ( - ) - = b) (b) - = b - * Defiitio: sei (G, *) Gruppe H G, H 0 heißt Utergruppe vo G we:. * b H, b H. (H, *) ist Gruppe 0. Rige 0. Defiitio: Ei Tripel (R, +, *) bestehed us der Mege R 0 ud zwei Verküpfuge + : R R R (, b) + b * : R R R (, b) * b heißt Rig we gilt: (R) (R, +) ist belsche Gruppe (mit eutrlem Elemet 0 ud egtivem zu := -) (R) (R3) Schreibweise: + (-b) =: - b Assozitivgesetz: ( * b) * c = * (b * c), b, c R Distributivgesetz: * (b + c) = * b + * c ( + b) * c = * c + b * c 0. Defiitio: ) (R, +, *) heißt kommuttiver Rig, we gilt: * b = b *, b R b) ei Elemet R heißt Eiselemet vo R flls gilt: * = R c) Schreibweise: so erklärt m die Potez iduktiv durch: := k := k- k, k N Flls R ei Eiselemet besitzt so schreibe uch 0 :=

12 Skript Mthemtik I Seite Bemerkug: (r, +, *) Rig ) * 0 = 0 * = 0 b) (-) * b = -( * b) c) (-) * (-b) = * b d) R m, N m * = m+ ( m ) = m 0.4 Defiitio ud Stz: (R, +, *) Rig S R (S, +, *) ist geu d ei Rig, we: (S, +) Utergruppe vo (R, +) ud * b S, b S S heißt d Uterrig vo R. Körper. Defiitio: Ei Tripel (K, +, *) mit zwei Verüpfuge + : K K K * : K K K keißt Körper we gilt ) (K, +, *) ist kommuttiver Rig b) es gibt ei K mit * = * = K c) zu K * := K \ {0} existiert ei - K mit * - =. Stz: (Z p, +, *) ist Körper p ist Primzhl. Defiitio: C := R R = R = {(, b), b R} Vorstellug:. Körper der Komplexe Zhle lgebrische Strukture uf C:. Auf C läßt sich eie Additio defiiere: + : C C C ((, b), (c, d)) (, b) + (c, d) := ( + c, b + d). Es gibt uch eie sogete Sklrmultipliktio: * : R C C (λ, (, b)) λ * (, b) := (λ, λb) (C mit + ud obigem * : R C C bildet eie sogete Vektorrum über R) Bemerkug: (c, +) ist eie blesche Gruppe Frge: Gibt es eie Multipliktio vo C C C, so dß (C, +, *) ei Körper wird? J!. * : C C C ((, b), (c, d)) (, b) * (c, d) := (c bd, d + bc)

13 Skript Mthemtik I Seite Stz: C mit Abbilduge + ud * wie i. ud. gegebe ist ei Körper: Körper der Komplexe Zhle Nullelemet: 0 = (0, 0) Eiselemet: e = (, 0) x = + b Iverses zu x = (, b): *(, b).3 Defiitio: e := (, 0) C i := (0, ) C Aschulich: Eiselemet imgiäre Zhl Dmit: C : R R = R * e + R * i De: (, b) = * e + b * i es gilt uch: i = -e.4 Defiitio: Sei x = (, b) C x : =, b : =, b kojugierte komplexe Zhl ( ) ( ) x : + b Aschulich: = Betrg der komplexe Zhl.5 Iteresste Formel: x = (, b) C x* x = x* x = x (, b) *(, b) = ( + bb, b + b) = ( + b,0) = ( + b )*(,0 ) = ( + b ) * e.6 Defiitio: x = + ib C ) Re(x) := Relteil vo x b) Im(x) := b Imgiärteil vo x.7 Regel über Absoloutbetrg: x, y C. x 0; x = 0 x = 0. x * y = x * y 3. x + y x + y 4. x y x + y 5. x Re(x) + Im(x) * e = x * e

14 Skript Mthemtik I Seite Theorem: Huptstz der Algebr Jede Gleichug x + x x + 0 = 0 mit i C, i = 0,,... k ht i C eie Lösug. 3. Liere Algebr 3. Defiitio: (K, +, *) sei Körper Ei Tripel (V, +, *) heißt Vektorrum über dem Körper K, we gilt: +, * sid Abbilduge: + : V V V Additio (u, w) v +w * : K V V Sklrmultipliktio (λ, v) λ * v für die gilt: (V) (V, +) ist kommuttive Gruppe (mit eutrlem Elemet 0 ud v V ist egtiver Vektor zu v V) (V) v, w V λ, µ K ) (λ + µ) * v = λ * v + µ * v b) λ * (v + w) = λ * v + λ * w c) (λ * µ) * v = λ* (µ * v) d) * v = v Elemete vo V heiße Vektore Elemete vo K heiße Sklre Sttt λ * v uch λv Vektorräume über dem Körper R et m uch reelle Vektorräume 3. Defiitio: x = (x,..., x ) y = (y,..., y ) + : V V V (x, y) x + y := (x + y,..., x + y ) * : K V V (λ, x) λx := (λx,..., λx ) 3.3 Bemerkug: ) 0 * v = 0 λ * 0 = 0 b) λ * v = 0 λ = 0 oder v = 0 (-) * v = -v 3.4 Defiitio: (V, +, *) sei Vektorrum über K W V W heißt Utervektorrum vo V flls gilt: (UV) W 0 (UV) v, w W v + w W (UV3) λ K, v V λv W (W ist bgeschlosse bezüglich + ud *) 3.5 Bemerkug: W V sei Utervektorrum vo V, d ist (W, +, *) wieder Vektorrum über K Der Schitt mehrerer Utervektorräume ist wieder ei Utervektorrum

15 Skript Mthemtik I Seite Dimesioe 4. Defiitio: V sei Vektorrum über K v,..., v r V λ,..., λ r K ) λ v λ r v r heißt Lierkombitio der Vektore v,..., v r b) L(v,..., V r ) := {λ v λ r v r λ i K} ist Mege der Lierkombitioe der Vektore v,..., v r heißt Liere Hülle der Vektore v,..., v r L(v,..., v r ) = Kv Kv r c) v,..., v r heiße lier ubhägig, we eie Lierkombitio vo v,..., v r ur d de Nullvektor ergibt, we lle Koeffiziete λ,..., λ r = 0 sid: λ v λ r v r = 0 λ =... = λ r = 0 4. Stz: (v,..., v r ) lier ubhägig keier der Vektore v,..., v r ist Lierkombitio der dere. 4.3 Defiitio: V sei Vektorrum über K Ei -Tupel vo Vektore us V (v,..., v) heißt Bsis vo V we gilt:. L(v,..., v ) = V. v,..., v lier ubhögig 4.4 Stz: Ist (v,..., v ) eie Bsis vo V so gibt es zu jedem Vektor geu ei (λ,..., λ ) K mit v = λ v λ v 5. Dimesiosbegriff 5. Stz: (Bsisergäugsstz) V sei Vektorrum über K v,..., v r V w,..., w s V we gilt:. (v,..., v r ) lier ubhägig. L(v,..., v r, w,..., w s ) = V d k m (v,..., v r ) durch evetuelle hizuhme vo Vektore us (w,..., w s ) zu eier Bsis vo V ergäze. 5. Stz: (Austuschlämm) Seie (v,..., v ) ud (w,..., w m ) Bse vo V, d gibt es zu jedem v i ei w j, so dß us (v,..., v ) wieder eie Bsis etsteht, we v i durch w j ersetzt wird. 5.3 Stz: V sei Vektorrum über K We V eie Bsis (v,..., v ) besitzt ud (w,..., w m ) eie weitere Bsis vo V ist, d gilt = m. 5.4 Defiitio: Besitzt ei Vektorrum V über K eie Bsis (v,..., v ) so ist eideutig bestimmt. Diese ist lso ur vo V bhägig, ud heißt: =: dim(v) (Dimesio vo V) d ist V edichdimesiol. 5.5 Stz: V sei Vektorrum über K dim(v) = d sid mehr ls Vektore immer lier bhägig.

16 Skript Mthemtik I Seite Stz: Sei V edlichdimesiol ud W V ei Utervektorrum W ist uch edlichdimesiol ud es gilt: dim(w) dim(v) 5.7 Defiitio: Sei V Vektorrum über K U ud U seie Utervektorräume vo V U + U := {u + u u U, u U } V dies ist ei Utervektorrum vo V 5.8 Stz: (Dimesiosformel) U ud U seie edlichdimesiole Utervektorräume vo V dim(u U ) + dim(u + U ) = dim(u ) + dim(u ) 6. Liere Abbilduge 6. Defiitio: V ud W seie Vektorräume über dem gleiche Körper K Eie Abbildug f : V W heißt lier (oder Vektorrumhomomorphismus) we gilt: f( + b) = f() + f(b) f(λ * ) = λ * f(), b V λ K 6. Bemerkug: f g V W ) Y mit V, W, Y sid Vektorräume über K ud f, g sid lier d gilt: g f : V Y ist lier b) id : V Y ist lier 6.3 Defiitio: f : V W sei liere Abbildug ) Bild(f) := Im(f) := f(v) W Bild vo f b) Ker(f) := f - ({0}) = {v V f(v) = 0} V Ker vo f 6.4 Stz: Ker(f) ist Utervektorrum vo V Im(f) ist Utervektorrum vo f 6.5 Stz: V, W seie Vektorräume über K (v,..., v ) ist Bsis vo V (dim(v) = ) w,..., w beliebige Vektore us W d gibt es geu eie liere Abbildug f : V W mit f(v i ) = w i i =,..., 6.6 Bemerkug: Dieser Stz besgt, dß eie Abbildug ddurch festgelegt ist, we m eie Bsis vo V ket, ud dere Bilder i W. 6.7 Stz: f : V W sei lier ) f ist surjektiv Im(f) = W b) f ist ijektiv Ker(f) = {0}

17 Skript Mthemtik I Seite Stz: f : V W sei lier v,..., v ist Bsis vo V, d gilt: Im(f) = L(f(v ),..., f(v )) 6.9 Stz: f : V W sei lier (v,..., v ) ist Bsis vo V f bijektiv f ist ijektiv ud surjektiv Ker(f) = {0} ud Im(f) = W f(v ),..., f(v ) ist Bsis vo W 6.0 Folgerug: Je zwei -dimesiole Vektorräume sid Isomorph d.h. es Existiert eie bijektive liere Abbildug f : V W 6. Defiitio: f : V W sei liere Abbildug rg(f) := dim(im(f)) (Rg) 6. Bemerkug: flls W edlichdimesiol: ) rg(f) dim(w) b) rg(f) = dim(w) f ist surjektiv 6.3 Theorem: (Dimesiosformel für liere Abbilduge) V sei -dimesioler Vektorrum über K W sei beliebiger Vektorrum über K f : V W liere Abbildug d gilt: dim(ker(f)) + rg(f) = 7 Liere Gleichugssysteme 7. Defiitio: Uter eiem liere Gleichugssystem versteht m ei System mit m liere Gleichuge ud ubekte x,..., x. x + x + L+ M x + x + m x + L+ x + L+ m + x m + x + x = b = b = b m (Dieses System wird fort mit (*) bezeichet) Uter eier Lösug vo (*) versteht m ei (,..., ) R, so dß x i mit eigesetzt (*) löst. Uter dem Lösugsrum vo (*) versteht m L := { R ist Lösug vo (*)} 7. Schreibweise: gegebe: A : R R m (e,..., e ) = koische Bsis Schreibe die Vektore i = A(e i ) R m i =,..., ls Splte i folgedem System ieder: L L M m m L m ( ) A( e ) A( e ) A e m Zeile ud Splte

18 Skript Mthemtik I Seite Defiitio: Dieses System et m eie Mtrix. geschriebe: ( ij ) i =,..., m i =,..., Also durch die Agbe eier m Mtrix wird eideutig eie liere Abbildug A : R R m beschriebe. 7.4 Defiitio: A : R R m sei liere Abbildug Die zughörige Mtrix ( ij ) wird ebeflls mit dem gleiche Buchstbe wie die Abbildug bezeichet. A = ( ij ) i =,..., m j =,..., Die Multipliktio wird mit Mtrix * Vektor A * x oder kurz mit Ax bezeichet A(x) = A * x = Ax 7.5 Bezeichuge: ) Hom(R, R m ) := {A : R R m A lier} b) M( m) := {A A ist m Mtrix} 7.6 Schreibweise: L = L(A, b) A A(m ) b R m L(A, b) = A - ({b}) A Hom(R m, R ) (*) = Ax = b 7.7 Beobchtuge:. Zwei Zeile i eiem Gleichugssystem dürfe vertuscht werde.. Eie Zeile drf mit λ R multipliziert werde. 3. Additio des λ-fche eier Zeile zu eier dere ist erlubt. Diese Mipultioe et m elemetre Zeileumformuge. 7.8 Defiitio: Erweiterte Mtrix ( ij b) = (A b) Zeilestufeform der erweiterte Mtrix: die Azhl der vo 0 verschiede Zeile ist rg(a b) 7.9 Stz: Es gilt: Splterg gleich Zeilerg der Mtrix A 7.0 Defiitio: A M(m ) A t := Mtrix us A kostruiert, i der die Zeile mit de Splte vertuscht werde trspoierte Mtrix d: A t M( m) 7. Stz: Ax = b Gleichugssystem A M(m ) b R m ht Lösug rg(a) = rg(a b) 7. Stz: A : R R m sei lier b R m ud es gilt A - ({b}) 0 d: L(A, b) = A - ({b}) = x s + Ker(A) wobei x s eie (spezielle) Lösug vo Ax = b ist. 7.3 Folgerug: Flls Ax = b eie Lösug ht, d: Lösug ist eideutig Ker() = {0} A ist ijektiv dim(ker(a)) = 0 rg(a) =

19 Skript Mthemtik I Seite Determite 8. Stz: Es gibt eie eideutig bestimmte Abbildug D : M( ) R mit folgede Eigeschfte:. D ist lier i jeder Splte: D, +,, L, = D, L,,, L, D, L,,,, ) ( ) ( ) ( ), L i i i+ i i+ + i i+ L, L, λ i, L, = λ * D, L, i, L b) D ( ) (, ). D(A) 0 Splte vo A sid lier ubhägig 3. D(E) = (E ist Eiheitsmtrix) Diese Abbildug heißt Determite 8. Defiitio: Determite vo Mtrix A M( ) det : M( ) R A det(a) kurz det(a) 8.3 Stz: Sei A M( ) b M = d ist c d b det M = det = d c d det(a * B) = det(a) * det(b) ( ) bc 8.4 Stz: A M( ) A etstehe us A durch vertusche vo zwei Splte. D gilt: det(a ) = -det(a) 8.5 Stz: A M( ) d: A t M( ) ud det(a t ) = det(a) 8.6 Berechug eier 3 3 Mtrix: Regel ch Srus 3 det 3 = Eigewerte / Eigevektore / chrkteristisches Polyom 9. Defiitio: Sei A M( ) A : R R liere Abbildug ) Eie Zhl λ R heißt Eigewert vo A, we es eie Vektor b R mit b 0 gibt, so dß: A(b) = λb ist. b) We λ ei Eigewert vo A ist, so heißt jeder Vektor b R mit A(b) = λb Eigevektor vo A zum Eigewert λ. c) Ds Polyom: X A (λ) := det(a - λe) λ R heißt chrkteristisches Polyom vo A 9. Bemerkug: Eiige Koeffiziete vo X A (λ) k m bereits der Mtrix A blese: X A (λ) = (-λ) + Spur(A) * (-λ) det(a) wobei: Spur(A) = Summe der Digolelemete vo A) 3 3

20 Skript Mthemtik I Seite Stz: A M( ) λ R ist Eigewert vo A X A (λ) = 0 (λ ist Nullstelle des chrkteristische Polyoms) 0. Geometrisch- lgebrische Zusmmehäge 0. Defiitio: Die Abbildug: <*, *> : R R R (x, y) x,y x y =: <x, y> heißt ds übliche Sklrprodukt. 0. Stz: Sklrprodukt ht folgede Eigeschfte:. Bilier: d.h. <*, *> ist lier i jeder Kompoete: <, b + c> = <, b> + <, c> <, λb> = λ * <, b> < + b, c> = <, c> + <b, c> <λ, b> = λ * <, b>. Symetrisch: <, b> = <b, > 3. positiv defiit: <x, y> > 0 flls x Defiitio: Die Abbildug: : R R x x := heißt Betrg oder Norm. x, x 0.4 Stz: Es gilt:. x 0 x R. x = 0 x = 0 3. λx = λ * x 4. x + y x + y 0.5 Theorem:. x ist die Läge des Vektors x. <x, y> x * y dmit gilt: <x, y> = r * x * y mit r ud r R Defiiere: r = cos(α) ud α ist Wikel zwische x ud y lso: <x, y> = x * y * cos(α) 3. det(v,..., v ) = Volume des Sptes welcher vo de Vektore v,..., v ufgespt wird. 0.6 Defiitio:. x, y R x y : <x, y> = 0 (x sekrecht y). Vektore R (v,..., v ) heiße positiv orietiert, we det(v,..., v ) >0 ist. 0.7 Erierug: > 0 x = 0 L = { ± } < 0 x = 0 L = ± * i { }

21 Skript Mthemtik I Seite Defiitio: x + bx + c = 0 gegebe: D heißt der Ausdruck: b c D : = Diskrimite 4 Bisher bekt: ur sivoll we 0 Neue Schreibweise: = * i für lle < 0 D Lösugsmege vo x + bx + c = 0 b b 4c L = ± 0.9 Theorem: (Cuchy Schwrz Ugleichug), b R d: <, b> * b Gleichheit ud b sid lier bhägig Folgerug: <, b> * b. Polyomrige. Defiitio: K sei Körper. K[x] := {Polyome i x mit Koeffiziete i K} i = i x i K, N 0 i=. Sei p(x) K[x] mit p(x) = x ud 0 flls p 0 deg( p ) : = (Grd vo p) flls p( x) 0 et m de Leitkoeffiziete vo p Flls =, so e m p ormiert. Bemerkug:. (K[x], +, *) ist kommuttiver Rig (mit Eiselemet ud ull = 0). deg(f * g) = deg(f) + deg(g).3 Theorem: Divisio mit Rest i K[x] K sei Körper f, g K[x] Polyome mit f 0 ud g 0 deg(f) =: m deg(g) =: D gibt es eideutig bestimmte Polyome q, r K[x] mit: f = q * g + r ud deg(r) < deg(q)

22 Skript Mthemtik I Seite - -. Horerschem. Stz: Sei f(x) = x b R Für die Zhle: 0 0 * : * : * : : b c c b c c b c c c k k k + = + = + = = + M M gilt:. c 0 = f(b). f(x) = (x b)(c x - + c - x c x + c + f(b) ). Regel: Ket m eie Nullstelle b eies Polyoms f(x), so bilde zuächst die Fktorisierug: f(x) = (x b)h(x) D suche Nullstelle vo h(x)