A (einschließliches oder)

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1 Logik ud Beweisführug Rechegesetzte ( Gesetz vo usgeschlossee Dritte: A A ( Gesetz vo der doppelte Vereiug: A A ( Kouttiv-Gesetze: A B B A A B B A c ( A B ( B A (4 Assozitiv-Gesetze: A ( B C ( A B C A ( B C ( A B C c ( A ( B C (( A B C (5 Distriutiv-Gesetze: A ( B C ( A B ( A C A ( B C ( A B ( A C (6 Gesetze vo DeMorg ( A B A B ( A B A B (7 Gegeseitige Ausdrückrkeit vo Fuktioe: ( ( A B ( A B ( A B ( A B Negtio icht A : A A Kojuktio ud, sowohl ls uch Veridug: B icht eide höchstes eies ( A B A B eide icht keies A B ur A A B icht ur A (Negtio vo ur A ( A B idestes eie icht keie ( A B A (eischließliches oder Disjuktio oder B Ipliktio we A, d B A B Äquivlez A ist geu d whr, ( A B ( B A we uch B whr ist A B Whrheitstelle Ausggswerte A B Ausggswerte A B C

2 Gleichuge Qudrtische Gleichuge c + + / 4c ± Diskriite: d 4c Lösug eier i Norlfor p q + + gegeee qudrtische Gleichug / p p ± q Diskriite: p d q Betrgsgleichuge Uter de Betrg vo R versteht die icht egtive Zhl,, flls flls < Eie Betrgsfuktio y it R ist für lle R erklärte Fuktio, flls y, flls < Liere Gleichugssystee A Mtrizefor: A Rechesche (gußscher Algorithus: ΙΙ + ΙΙΙ + Ι ΙΙ Ι ΙΙΙ Ι Ι Ι * ( * ( Ι ΙΙ ( * ( * Ι ΙΙ Ι + ΙΙ Ι ** * * Gestffeltes Syste: Ι Ι * Ι **

3 Ei ihoogees lieres Gleichugssyste it A esitzt etweder - geu eie Lösug - üerhupt keie Lösug oder - uedlich viele Lösuge. - Ei hoogees lieres Gleichugssyste it A esitzt etweder - geu eie Lösug, älich die trivile Lösug i, oder - uedlich viele Lösuge. Fuktioe Eie Fuktio oder Aildug f ist eie Zuordugsvorschrift, die jede Eleet us eier Mege (Defiitiosereich geu ei Eleet y us eier Mege Z (Zielereich zuordet. D Zuordugsvorschrift Schreiweise: f : y it D wird geildet uf y oder y f( it D f vo Opertioe it Fuktioe g f f g( f( Verkettug g ch Häufig wird f ls iere ud g ls äußere Fuktio ezeichet z.b. f( + 4 h ( g f g( f( g(+ 4 h( h ( + 4 Eigeschfte vo Fuktioe g ( Ukehrrkeit f f ivers oder iverse Fuktio zu f»spiegelug der Wikelhlierede«Dit die Ukehrug eier Fuktio wieder eie Fuktio ist, uss zweierlei gelte: Zu uterschiedliche Arguete üsse uterschiedliche Fuktioswerte gehöre. Alle Eleete der Zielege üsse Fuktioswerte vo f sei: Z W. surjektiv Z ijektiv Z ijektiv Z W > W icht lle werde i Zielereich geildet W ht geu Wert i Zielereich Areitsschritte:. ustelle ch. Vertusche vo ud y

4 Mootoie Eie Fuktio f it D R ud Z R heißt: ooto wchsed, we, D: < f( f( streg ooto wchsed, we, D: < f( < f( ooto flled, we, D: < f( f( streg ooto flled, we, D: < f( > f( für lle es eistiert Syetrieverhlte Sei f eie Fuktio it D R ud Z R lso D: D, d heißt f, woei der Defiitiosereich syetrisch zu Null liegt, gerde, flls D: f( f( z.b.: ugerde, flls D: f( f( z.b.: f 4 ( + f ( Jede Potezfuktio y it gerde Epoete ist chsesyetrisch (gerde, jede Potezfuktio it ugerde Epoete ist puktsyetrisch (ugerde. Periodizität Eie Fuktio f it D R ud Z R heißt die Fuktio f periodisch it der Periode p, flls D: f( ± p f( z.b.: f ( si p π Gzrtiole Fuktioe (Polyoe Polyofuktio erste Grdes (liere Fuktio i i spezieller ( i f ( + y f + (Norlfor Pukt-Steigugs-For der Gerde: y y tα Zwei-Pukt-For der Gerde: y y y y Polyofuktio zweite Grdes (Qudrtische Fuktio i f ( i + + oder y f ( + + c i Scheitelpukt (, 4 S s y s der Prel ht die Koordite, c S 4 y f( s + ys Scheitelpuktsfor: ( zw. Produktfor: 4c y f( y f( + + c ( ( Schittpukte der Prel it der -Achse (reelle Nullstelle,

5 Polyofuktioe höhere Grdes Ist f ( eie gzrtiole Fuktio -te Grdes ud ist eie Nullstelle vo f (, d eistiert eie gzrtiole Fuktio g vo Grd it: ( ( Der Fktor ( heißt Lierfktor. f ( g( für lle R f( g ( Gerochertiole Fuktioe Als gerochertiole Fuktio f wird der Quotiet zweier gzrtioler Fuktioe ezeichet: g ( ud h ( g ( f( h ( , it Der ile Defiitiosereich ist D R\Nh lso. R \ L, woei L die Mege der Nullstelle N vo h ( ezeichet, h M uterscheidet: < : echt gerochertiole Fuktio : uecht gerochertiole Fuktio ist Nullstelle vo f flls: g ( ud h ( gilt heißt Defiitioslücke vo f flls: g ( ud h ( gilt heißt Polstelle vo f flls: g ( ud h ( gilt Potez- ud Wurzelfuktioe Es sei > ud q q f (, N it. D ezeichet die Potez Für ds Reche it Poteze gilt: Es sei q, q Q. D gilt für lle,, ( q q q + q q q q q q q q c d ( e q q q q R + q ls -te Wurzel us :

6 Epoetil- ud Logrithusfuktio Fuktioe vo Typ f ( it positiver Bsis ud > heiße Epotetilfuktioe. Epoetilfuktioe esitze weder Nullstelle och etrewerte. Ihr Fuktiosgrphe scheide die y - Achse i Pukt (,. Die Ukehrfuktio zur Epoetilfuktio f ( it R + ud ist die logrithische Fuktio f ( log + ( R ud r log r Drus folgt die Defiitiosgleichug für de Logrithus: Beispiel: log log 8 4 log, 5 de de de 4 8,5 log r r Recheregel für Logrithe: lo Ferer gilt: log log log ( g ( u v log u+ log v log u logu log v lo g u log u 4 log u log u v Spezielle festgelegte Schreiweise: log log log e r r lg r l r r ldr uch l r Trigooetrische Fuktioe Gegekthete siα Hypoteuse Akthete cosα Hypoteuse Gegekthete siα tα Akthete cosα Akthete cosα cotα Gegekthete siα tα Beziehuge zwische Sius- ud Kosiusfuktioe π cos si + si cos π ( ( si + cos si + cos

7 Additiostheoree si ( ± si cos ± cos si ( cos ± cos cos si si Aus ihe erhält die folgede Beziehuge: si( si cos si [ cos( cos( cos si ] cos [ + cos( ] Aweduge Bei der Beschreiug vo Schwigugsvorgäge eötigt Sius- ud Kosiusfuktioe i der llgeeie For y si( + c zw. y cos( c Dei he die Kostte, ud c folgede Bedeutug: + ( > ; > Der Fktor i der Fuktio y si ewirkt eie Veräderug der Fuktioswerte gegeüer der Ausggsfuktio y si. Neuer Werteereich: y + Der Fktor i Arguet der Siusfuktio y si verädert gegeüer der Ausggsfuktio y si die Periode: y si Periode p π π y si Periode p > ewirkt eie Verkleierug, < eie Vergrößerug der Periode. Die Kostte c i der Siusfuktio y si( + c ewirkt eie Verschieug der Siuskurve y si lägs der -Achse. Grezwert ud Stetigkeit vo Fuktioe. Eie Folge, die eie Grezwert g esitzt, heißt koverget (gege de Grezwert g. M sgt uch, kovergiert gege de Grezwert g. Schreiweise: g li Sprechweise: Lies vo für gege Uedlich gleich g.. Eie Folge, die keie Grezwert esitzt, heißt diverget. Recheregel für Grezwerte vo Fuktioe li [ ( ( ] li ( li ( li [ f( f( ] li f( li f( g g f ( li f ( g li flls g ist f ( li f ( g f ± f f ± f g± g

8 Differetilrechug Aleitug eleetrer Fuktioe Fuktio Aleitug f ( cost. c f ( f ( f ( f ( f ( f ( si f ( cos f ( cos f ( si f ( t f ( cot f ( cos f ( si f ( e f ( e f ( f ( ( l f ( l f ( log f ( f ( ( l Eleetre Aleitugsregel Fuktio Aleitug Fktorregel y f( y f ( Sueregel y f( u( + v( y u ( + v ( Produktregel y f( u( v( y ( u ( v( + u( v ( Quotieteregel u ( y f( v ( Ketteregel y f( F( u( u ( v( u( v ( y ( v ( y F ( u u ( Beispiel: y f( si(+ y cos( + Zustz: f ( si cos + f (

9 Utersuchug vo Fuktioe Eie Fuktio y f( ht der Stelle ei reltives Miu, we f ( ud f ( <, reltives Miiu, we f ( ud f ( >. Eie Fuktio y f( esitzt der Stelle eie Wedepukt, we die Bedigug f ( ud f ( Erfüllt sid. Kurvediskussio. Defiitiosereich (Defiitioslücke ud Aschätzug des Werteereichs. Syetrie ud Periodizität. Nullstelle 4. Berechug der Aleitug 5. Etrewerte, Wedepukte ud Wedetgete 6. Grezwertussge (Asyptote, Pole, Verhlte vo f Rde des Defiitiosereichs Etrewertufge Stereoetrie Quder Volue V h A + h+ h Oerfläche ( O Qudrtische Pyride Volue V h Oerfläche AO + h + 4 Würfel Volue Oerfläche V A 6 O Gerde Kreiskegel Volue V π r h Oerfläche AO π r( r+ s πr + πrs s Läge der Mtelliie s r + h Zylider Volue Oerfläche V A π + π rh r h O π r Kreisufg des Grudkreises Grudfläche A π r G π r

10 Zu Gerde (Orthogolität vo Gerde: Die Gerde g: y + ud g : y + sid d ud ur d zueider prllel, we erfüllt ist, orthogol (zueider sekrecht, we gilt. Bioische Forel ( ( (. ioische Forel ( ( (. ioische Forel + (. ioische Forel + ist i icht i Lierfktore zerlegr. Nullstelle, Polstelle, ggf. Lücke ud Asyptote g ( eier rtiole Fuktio f( h ( Zählerpolyo g ( Nullstelle, we Nullstelle i h (. We h ( it de Werte us g (, d keie Nullstelle. Neerpolyo h ( Polstelle We h ( ds sele Ergeis liefert wie us g (, d Lücke. Jede uecht gerochee rtiole Fuktio lässt sich ls Sue eier gzrtiole ud eier echt gerochee Fuktio schreie. D.h. für gilt: g( g ( f( g ( + l it l < h ( h ( g ( gl ( I der Pris werde ud durch Divisio estit. f ( p( + r( p( r ( Gleichug der Asyptote (gzrtiole Fuktio echt geroche rtiole Fuktio

11 Itegrlrechug Eie Fuktio F( wird ls Stfuktio zu eier Fuktio ( F ( die Fuktio f ( ergit, d.h. we ist. Gruditegrle F ( f( f ezeichet, we ihre erste Aleitug Grudfuktio Gruditegrl Aerkug f ( d + C R + f ( d + C + f( d l C + f( d l( C + f ( d + C l f ( e ed e + C f ( si si d cos + C f ( cos cos d si + C f( cos f( si Ist eie Fuktio f it ( Itervll, so gilt: f i Itervll [, ] F d t + C cos d cos + C si R\ R + F F( R { } { } R + \ stetig ud ist it eie Stfuktio i diese f ( d F ( F ( Flls die Stfuktio ekt ist, so k de Wert des estite Itegrls ud dit die Fläche uter de Grphe der Fuktio ud estie. Schreiweise: f i de Greze (gelese: F( i de Greze is [ F ] f ( d ( Vertusche der eide Itegrtiosgreze ewirkt ei Vorzeichewechsel des Itegrls: f ( d f( d Ist eie Fuktio f, die eie kostte Fktor ethält, i Itervll [, ] itegrierr, so k dieser Fktor vor ds Itegrl geschriee werde. k f( d k f( d

12 Eie Sue vo Fuktioe wird itegriert, ide jede Sude eizel itegriert. Vorussetzug ist,. die Itegrierrkeit i Itervll [ ] Itegrtiosethode Itegrtio durch Sustitutio (4 + 5 d [ + ] + f ( g ( h ( d f( d gd ( hd ( Gegee: ( M ersetzt de Itegrde (oder eie Teil des Iegrde durch die eue Vrile z. z 4+ 5 ( Aus dieser Sustitutio erechet de Differetilquotiet dz ud drus ds Differetil d : dz z 4 d z dz z d 4 4 dz d 4 ( M setz ud de durch dz usgedrückte Wert vo d ei. z z (4 M itegriert de uter de Itegrl stehede Ausdruck f ( z dz 4 4 z z z dz d (5 I der erhltee Lösug ersetzt z durch de etsprechede Wert vo ( 4 5 ( d + C 6 (Rücksustititio Prtielle Itegrtio udv u v vdu Itegrtio durch Prtilruchzerlegug Die Methode der Itegrtio durch Prtilruchzerlegug wird zur Itegrtio echt gerocheer rtioler Fuktioe p( f ( d d gewedet. q ( p( A A A A q ( q ( Zerlegug des Neers i seie Lierfktore q( ( ( ( ( Die Bestiug der Zähler A, A, A,, A erfolgt durch die Methode des Koeffizietevergleichs oder durch Nullsetzte eies Lierfktors. Eisetzte der erechete Werte für A, A, A,, A i die Prtilrüche Itegriere der etstde Teilitegrle

13 Aweduge Fläche oerhl der -Achse [ A] f( d [ F( ] [ F( ] [ F( ] Fläche uterhl der -Achse [ A] f( d Fläche teils oerhl, teils uterhl der -Achse [ ] A A+ A + A+ A4 f( d + f( d + f( d + f( d 4 Fläche zwische zwei Fuktiosgrphe ohe Schittpukt i Itervll [ A] f( g( Volue vo Rottioskörper Rottio u die -Achse d für f ( g( V [ ( ] y π d π f d Rottio u die y -Achse Sostiges d d V [ ( ] y π dy π g y dy c c Schittwikel zweier Gerde tδ ( +