Grundwissen Mathematik Otto-Hahn-Gymnasium Marktredwitz. Jahrgangsstufe 7. Schulweg 27%

Transkript

1 Grudwisse Mthemtik Otto-Hh-Gymsium Mrktredwitz Jhrggsstufe Dte, Digrmme ud Prozete Dte ud Digrmme Zum Vergleih vo Dte sid Säule- ud lkedigrmme (ute liks) geeiget. Die Verteilug ierhl eier Gesmtheit wird m este durh Kreisdigrmme (Mitte) gezeigt. (Zeitlihe) Veräderuge werde m güstigste durh Liiedigrmme (rehts) drgestellt Noteverteilug % 45% 18% Fhrrdfhrer usfhrer 7% Shulweg Fußgäger utofhrer Tempertur i Grd elsius Durhshittstemperture J pril Jul Okt Mote Ds rithmetishe Mittel (Durhshitt, Mittelwert) ist der Quotiet us der Summe der Werte ud der zhl der Werte. 18,8 + 7,1 + 4, =, Erweiterte Prozetrehug Zu ehte ist dei immer, uf welhe Gesmtheit sih die Prozetufge ezieht 0% vo 70% vo 140 0, 0,7 140 = 0, 98 = 9, ( ) 4 ud welhe teil die Prozetge drstellt. Preissteigerug um 15% (des ursprüglihe Preises) uf 7 7 sid 115% (des ursprüglihe Wertes) 7 :1,15 = Terme 7..1 Grudlge Sivolle Reheusdrüke mit Vrile et m Terme. Setzt m für die Vrile Zhle ei, so erhält m de Wert des Terms. lle Zhle, die m eisetze drf, ilde die Defiitiosmege D. Zwei Terme heiße äquivlet, we sie ei jeder möglihe Eisetzug für die Vrile desele Wert liefer. T ( x) = (x 5) 10 1 T ( ; ) = T (;5) = = = 10 T ( x) = D = Q \ {- ; } ( x )( + x) 4 ) 9 5 ( ) ( ) T ( = + ud T = sid äquivlet. 7.. Termumformuge Termumformuge uter ehtug ller Rehegesetze erzeuge stets äquivlete Terme. Die Rehegesetze ( Kpitel 5.1.5) gelte uh für lle rtiole Zhle

2 Grudwisse Mthemtik Otto-Hh-Gymsium Mrktredwitz Gleihrtige Terme sid solhe, die sih ur i eiem Zhlfktor utersheide. werde ddiert/sutrhiert, idem m ur ihre Vorfktore ddiert/sutrhiert ud die Vrile eiehält. Produkte werde mit Hilfe des Kommuttiv- ud ssozitivgesetzes vereifht. Poteze mit gleiher sis werde multipliziert, idem m ihre Expoete ddiert: m = m+ Ei Produkt wird poteziert, idem m seie Fktore eizel poteziert: ( ) = Eie Potez wird poteziert, idem m die Expoete multipliziert: ( Summe m ) = m werde multipliziert, idem m jede Summde der eie Klmmer mit jedem Summde der dere Klmmer (mit etsprehede Vorzeihe!) multipliziert. köe fktorisiert (d.h. i ei Produkt verwdelt) werde, idem m gemeisme Fktore der eizele Summde usklmmert. ; 5 ; 1,7 (iht gleihrtig dzu sid : 7d = 7d = ( ,4) d = 11,4d ( u) + d + 5d + 5d +, d 9,4d 9,4d ; + (,7) d = 5),7 d = + d,7 d = G v uv v = u v u v v = 1 = u u v v v = u v + x x = x = x = = 8 ( d = 7 d = 15 ) 9 5 = ( + 1 ) ( d ) ( ) ( 5 + ) = 15 = 7 d KG = ( y 4 + x) xy 1xy + 15x y = xy 5 = 7. Liere Gleihuge 7..1 Grudlge Gleihuge heiße lier, we die Vrile ur llei ud iht i eier Potez vorkommt. x = 0; 5x = x iht: x x = 8 Äquivlezumformuge sid Umformuge, die die Lösugsmege L iht äder. Solhe sid zum eispiel, we m uf eide Seite der Gleihug diesele Zhl oder desele Term ddiert/sutrhiert mit dersele vo Null vershiedee Zhl multipliziert durh diesele vo Null vershiedee Zhl dividiert. 7.. Lösugsverfhre M löst liere Gleihuge, idem m zuähst eide x + 5( x + 1) = 4( x ) + 1 Seite getret voeider vereifht, x + 5x + 5 = 4x lle x-terme uf die eie Seite, 7x + 5 = 4x 7 4x lle Zhle uf die dere Seite rigt x + 5 = 7 5 ud d durh Divisio (oder Multipliktio) x isoliert. x = 1 : x = 4 L = { 4}

3 Grudwisse Mthemtik Otto-Hh-Gymsium Mrktredwitz 7.4 Symmetrie Symmetrierte hsesymmetrie Es git (midestes) eie Symmetriehse. Zwei hsesymmetrishe Pukte P ud P he de gleihe std vo. Die Veridugsstreke [PP ] steht sekreht uf. Puktsymmetrie Es git (midestes) ei Symmetriezetrum Z. Zwei puktsymmetrishe Pukte Q ud Q he de gleihe std vo Z. Die Veridugsstreke [QQ ] geht durh Z. P R = R P Q Z Q 7.4. Grudkostruktioe Mittelsekrehte m [] zu [] (= Symmetriehse zu ud ) 1. Kreis um ud mit Rdius r. Die Gerde durh die Shittpukte ist die Mittelsekrehte. Wikelhlierede w m [] P w 1. Kreis um S mit elieigem Rdius sheidet die Shekel i de Pukte P ud Q. Die Symmetriehse zu P ud Q ist die Wikelhlierede w. Q 7.4. Symmetrishe Viereke Prllelogrmm Rute Qudrt Drhevierek Rehtek gleihshekliges Trpez 7.5 Wikel Wikel eier Gerdekreuzug Gegeüerliegede Wikel et m Sheitelwikel grezede Wikel et m Neewikel δ Eigeshfte: Sheitelwikel sid gleih groß: Neewikel ergäze sih zu 180 : = ud = δ + δ = δ + = + = + = Wikel Doppelkreuzuge Stufewikel: 1 ud ; 1 ud ; 1 ud ; δ 1 ud δ 1 1 δ 1 1 g1 Wehselwikel (z..): 1 ud ; 1 ud δ ; 1 ud ; δ 1 ud Eigeshfte: Stufewikel sid gleih groß. Wehselwikel sid gleih groß. h δ g 1 g g

4 Grudwisse Mthemtik Otto-Hh-Gymsium Mrktredwitz 7.5. Iewikelsumme τ Die Summe der Iewikel eies Dreieks eträgt 180. Die Summe der Iewikel eies Viereks eträgt 0. ε ω ϕ + + = 180 ε + ω + ϕ + τ = 0 7. Dreieke 7..1 Grudlge Dreieksugleihug(e): I jedem Dreiek ist die Summe der Läge zweier Seite größer ls die Läge der dritte Seite. Seiteläge Wikel: I jedem Dreiek liegt der größere Seite der größere Wikel gegeüer. 7.. esodere Streke ud Gerde i Dreieke Höhe: I jedem Dreiek git es drei Höhe h, h ud h. Es hdelt sih jeweils um die Lotstreke vo eiem Ekpukt des Dreieks uf die gegeüerliegede Seite. Wikelhlierede: I jedem Dreiek git es drei Wikelhlierede w, w ud w. Mittelsekrehte: I jedem Dreiek git es drei Mittelsekrehte m, m ud m. Die drei Mittelsekrehte sheide sih i eiem Pukt, dem Umkreismittelpukt. Der Umkreis um diese Pukt verläuft durh die Eke des Dreieks. h m w m m m 7.. esodere Dreieke gleihseitiges Dreiek: drei gleih lge Seite drei gleih große Wikel drei Symmetriehse = = = = = 0 Spitze gleihshekliges Dreiek: zwei gleih lge Seite (Shekel) zwei gleih große Wikel (siswikel) eie Symmetriehse rehtwikliges Dreiek: ei Wikel 90 die Kthete liege m 90 -Wikel die Hypoteuse liegt dem 90 -Wikel gegeüer Shekel siswikel sis Kthete Kthete Hypoteuse Shekel siswikel

5 Grudwisse Mthemtik Otto-Hh-Gymsium Mrktredwitz 7..4 Kogruezsätze für Dreieke Figure, die sih eim ufeiderlege deke, heiße dekugsgleih oder kogruet. F F G G SSS SWS Dreieke sid kogruet, we sie i lle Seite Dreieke sid kogruet, we sie i zwei Seite ud dem vo ihe eigeshlossee Wikel SSS SWS WSW Dreieke sid kogruet, we sie i eier SWW Seite ud zwei gleihliegede Wikel SWW WSW SsW Dreieke sid kogruet, we sie i zwei Seite ud dem Gegewikel der größere Seite SsW 7..5 Stz des Thles Ei Dreiek ht geu d eie rehte Wikel ei, we uf eiem Kreis üer der Streke [] liegt. Thleskreis üer []