= 2. . Der gesuchte zur Ebene parallele Vektor ist dann: . Der Aufpunkt ist dann P 1, die beiden Richtungsvektoren

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1 ASW Lösue zu Übu 7 Mthemtik I Geometrie o Gerde ud Ebee rof DrBGrbowski Zu Aufbe Durh die Gleihu x y z sei eie Ebee im R eebe Gebe Sie eie Vektor der sekreht uf der Ebee steht! b Gebe Sie eie Vektor der prllel zur Ebee erläuft! Gebe Sie die Ebee i prmetrisher Form! Lösu: Zu Der Normleektor ist Dieser steht sekreht uf der Ebee Zu b M bestimmt zwei ukte ud die i der Ebee liee: Der esuhte zur Ebee prllele Vektor ist d: Zu M bestimmt ukte die i der Ebee liee: Der Aufpukt ist d die beide Rihtusektore erebe sih us b rmeterdrstellu der Ebee: R Zu Aufbe Gebe Sie die Mee ller Vektore die prllel zur Ebee x - y z erlufe Lösu: Wir bestimme Rihtusektore der Ebee: Dzu beötie wir ukte die iht uf eier Gerde liee:

2 ASW Lösue zu Übu 7 Mthemtik I Geometrie o Gerde ud Ebee rof DrBGrbowski Die beide Rihtusektore erebe sih us > > b Die Mee der zur Ebee prllele Vektore ist d die Mee der resultierede Vektore: { } R b V Bemerku: V wird ls Vektorrum mit de Bsisektore b bezeihet Zu Aufbe Geebe sei die Ebee E { } R R Gebe Sie die Ebee i Normlform ihtprmetrisher Form! Lösu: Wir berehe de Normleektor: x Die ihtprmetrishe Drstellu der Ebee lutet d: E { } > o wobei ud o Zu Aufbe Kriterium Le > X E > Q Q E E

3 ASW Lösue zu Übu 7 Mthemtik Geometrie o Gerde ud Ebee I rof DrBGrbowski Zu Aufbe 5 Fälle wir ds Lot o eiem ukt Q uf die Ebee { } so erhlte wir de Lotpukt L Skizze Etwikel Sie eie Formel für de Lotpukt L i Abhäikeit o Q! Lösu: Wir projiziere de Vektor Q uf de Normleektor der Ebee ud erhlte siehe Q Formel i der Vorlesu de rojektiosektor: pr * Für de Lotpukt ilt siehe Skizze: LQ pr ud follih ist: L Q - pr Bemerku: Offesihtlih ist Abstd leih: dq pr Q Q * siehe Skizze

4 ASW Lösue zu Übu 7 Mthemtik Geometrie o Gerde ud Ebee I rof DrBGrbowski Zu Aufbe Geebe sei eie Ebee { / b R R} R ud b Weiterhi sei eie Gerde { Q / Q R} eebe mit : ud 5 mit Bestimme Sie die Ebee i prmetrisher Form die sekreht uf steht ud dere Shitterde mit die Gerde ist! b Beshreibe Sie i ihtprmetrisher Form! Bestimme Sie eie Ebee die prllel zu im Abstd erläuft! Lösu: Zu Bemerku: Es ist de wee o b liet der Aufpukt der Gerde i der Ebee ud wee b liet uh der Rihtusektor der Gerde i der Ebee Bestimmu o : Aufpukt: Aufpukt der Gerde 5 Rihtusektore: ud : der Normleektor o Rihtusektor der Gerde ud

5 ASW Lösue zu Übu 7 Mthemtik I Geometrie o Gerde ud Ebee rof DrBGrbowski 5 5 } 5 { R R Zu b Bestimmu des Normleektors uf : Bestimmu der Ebee i iht prmetrisher Form: 5 : z y x : x z Zu Wir berehe zuähst de ormierte Normleektor der Ebee : mit 8 Der Aufpukt der Ebee die im Abstd prllel zu erläuft ist d: Die beide Rihtusektore der Ebee sid die leihe wie die der Ebee Zu Aufbe 7 mit i ud ii Wir berehe de Normleektor der Ebee: Es ist: Es ilt: ud Drus folt:

6 ASW Lösue zu Übu 7 Mthemtik I Geometrie o Gerde ud Ebee rof DrBGrbowski ud wir erhlte wee eisetze Werte Drus folt ds Erebis: ud Zu Aufbe 8 Geebe sei eie Gerde } / { R Q Q Gebe Sie eie Ebee für die ilt: x b im Abstd d Lösu: Zu Aufpukt der Ebee Aufpukt der Gerde Normleektor der Ebee : Drf iht sekreht uf dem Rihtusektor der Gerde stehe weil sost die Gerde prllel zur Ebee erlufe würde ZB köe wir wähle: Rihtusektor der Gerde Die Ebeeleihu lutet d: x y z

7 ASW Lösue zu Übu 7 Mthemtik I Geometrie o Gerde ud Ebee rof DrBGrbowski 7 7 Zu b Normleektor der Ebee: Wir wähle eie Vektor der sekreht uf dem Rihtusektor der Gerde steht zb Aufpukt der Ebee: o Zu Aufpukt der Ebee Aufpukt der Gerde Normleektor der Ebee wie uter b: Zu Aufbe Geebe sei eie Gerde } / { R Q Q ud eie Ebee E mit dem Aufpukt E ud dem Normleektor Berehe Sie Shittpukt ud Shittwikel o mit E!

8 ASW Lösue zu Übu 7 Mthemtik I Geometrie o Gerde ud Ebee rof DrBGrbowski 8 8 Lösu: Shittpukt S: S liet uf der Ebee ud der Gerde dh es ilt: S ud > S E Setze wir i ei so eribt sih: > S E S E Wee E S erhlte wir: S E Drus folt - ud wir erhlte us de Shittpukt: S Shittwikel: Rihtusektor der Gerde sei durh bezeihet 8 rsi rsi rsi ϕ 57 Zu Aufbe Geebe seie folede re o Ebee E ud E durh die jeweilie Aufpukte bzw ud die Rihtusektore : : : E E

9 ASW Lösue zu Übu 7 Mthemtik Geometrie o Gerde ud Ebee I rof DrBGrbowski b E: E : Utersuhe Sie die Le der beide Ebeepre zueider! Bestimme Sie de Abstd der Ebee we sie prllel zueieder sid bestimme Sie Shitterde ud Shittwikel we sie sih sheide! Lösu: Zu Es ist x demzufole sid die beide Ebee prllel oder leih > Es ist demzufole sid die beide Ebee iht idetish soder prllel Abstd: d E E > Zu b Es ist x demzufole sheide sih beide Ebee Shittwikel: ϕ ros ros ros Shitterde: Die Shitterde sei durh die Mee ller ukte bezeihet Wir suhe u de Aufpukt ud de Rihtusektor dieser Gerde Rihtusektor: Die Gerde liet i beide Ebee dh die Normleektore beider Ebee stehe sekreht uf dem Rihtusektor der Gerde dh wir köe wähle: Rihtusektor x

10 ASW Lösue zu Übu 7 Mthemtik Geometrie o Gerde ud Ebee I rof DrBGrbowski Aufpukt: Der Aufpukt xyz der Gerde liet i beide Ebee dri dh er muss die Gleihue: > -xyz > xyz 8 erfülle Wir hbe lso beliebie xyz zu fide mit xyz ud xyz 8 Wir setze zb x ud erhlte d ei GS i y ud z mit zwei Gleihue ud Ubekte yz yz 8 Aus der Gleihu folt : z -y Setze wir ds i die Gleihu ei so erhlte wir y worus y folt Wee z -y erhlte wir d z Dh die beide obie Gleihue ud werde zb durh de ukt elöst Dmit lutet die Shitterde: { R}