Zusammenfassung der Sätze und Definitionen zur von Prof. Wirths im WS 97/98 gehaltenen Vorlesung Analysis für Informatiker I September 1998

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1 Zusmmefssug der Säte ud iitioe ur vo Prof. Wirths im WS 97/98 gehltee Vorlesug Alysis für Iformtier I Septemer 998 vo Crste F. Buschm mil@crste-uschm.com

2 Ihlt Die geordete Körper IR ud Q 3 Relle Folge 4 3A Komplexe Zhle 5 3B Komplexe Folge 6 3C Komplexe Reihe 7 3D Potereihe 9 3E Z-Trsformtio 4A Stetige ud differeierre reelle ud omplexe Futioe 4B Liere Differetilgleichuge 3 5A Kurvedisussio reeller Folge 4 5B Stmmfutioe ud Aleituge 5 6 Itegrtio 6

3 Die geordete Körper IR ud Q. Gruppe: G Mege mit eier Verüpfug. Assoitivität: ( * ) * c = * ( * c ). Existe eies eideutige eutrle Elemetes e: * e = e * = 3. Existe eies privte iverse Elemetes: * - = e 4. usätlich Kommuttivität elsche (om.) Gruppe..3.4 Körper: K Mege mit wei Verüpfuge +, *. (K, +) ist elsche Gruppe. (K \ { }, *) ist elsche Gruppe 3. Distriutivität: * ( + c ) = * + * c geordeter Körper: (K, +, * ) Körper, >, < Reltioe. für je Elemete git es geu 3 Beiehuge: <, >, =. Trsitivität: <, < c < c 3. Mootoie vo + : < + c < + c 4. Mootoie vo * : <, < c * c < * c Reche mit Beträge: für >= = - für < Folgeruge: * = * + + Dreieicsugleichug u.v.m..5 Beschräug: M, M QI (IR) M ch oe eschrät mit x x M M ch ute eschrät mit x x M M ch oe ud ute eschrät M eschrät Sup/If: flls M: leiste oere Schre heißt Supremum größte utere Schre heißt Ifimum Mi/Mx: flls M heißt Miimum (ud Supremum) / Mximum (ud Ifimum).6 Vollstädigeitsxiom: Es git geu eie Körper IR, i dem ds Vollstädigeitsxiom gilt: M IR, M ch oe eschrät S IR mit S = Sup M 3

4 Reelle Folge. eie reelle Folge ( ) IN ordet jeder t. Zhl eie reelle Zhl u M ( ) = { p IR IN mit p = } ( ) IN eschrät M ( ) eschrät. Häufugspute: ( ) IN eschräte Folge h IR heißt Häufugsput ε > uedlich viele türliche Zhle mit - h < ε.3 Häufugspute (vo Bolo-Weierstrß): Jede eschräte reelle Folge ht midestes eie Häufugsput. H( ) sei die Mege der Häufugspute..4 Limitees / Koverge: Mx H( ) heißt Limes superior Mi H( ) heißt Limes iferior We lim if = lim sup = A, heißt ( ) IN overget ud A Grewert/Limes vo ( ) IN..5 Kovergeriterium: lim = A u jedem ε > eie Zhl N IN mit - A < ε für N des Archimedes: u jedem ε > ei IN mit / < ε Beroulli-Ugleichug: (+c) + c Cuchy-Kriterium für Koverge: ( ) IN reelle overgete Folge ε > ei N IN:, m N: - m < ε Mootoie ud Beschrätheit ( ) IN ch oe eschräte, mooto steigede reelle Folge lim -> = Sup M ( ) = S Vergleichs- oder Zgeriterium 4

5 3A Komplexe Zhle 3. iitio omplexer Zhle = = + : Betrg eier omplexe Zhl w = w w w = w w oder ( + i )( c di ) ( c + di )( c di ) = ( c + d ) + i( c d + d + c ) ( C, +, * ) ist ei Körper Wurel u jeder Zhl C \ { } git es geu wei omplexe Zhle ud mit ( ) = =, = + i = ± ( + + ) + i sg ( + + ) ϕ πr ϕ πr = cos + + isi + r =,,..., 3.4 Polyome i C wie i IR Fudmetlst der Alger Jedes Polyom vom Grd ht (icht otwedig verschiedee Nullstellle) Ht ei Polyom die Nullstelle C mit der Vielfchheit m, d ht es uch die Nullstelle mit der Vielfchheit m. Polroordite = ( cos ϕ + i si ϕ ) = ( cos ϕ + i si ϕ ) omplexer Betrg, C ist der Astd vo vom Nullput Reche wie ülich mit Beträge 5

6 3B omplexe Folge 3.5 omplexe Folge jede A. : IN C, heißt omplexe Folge ( ) IN M ( ) = { p C IN mit p = } ( ) IN eschrät M ( ) eschrät h C heißt Häufugsput ε > uedlich viele türliche Zhle mit - h < ε Häufugspute Jede eschräte omplexe Folge ht midestes eie Häufugsput. H( ) sei die Mege der Häufugspute. Grewerte ) lim -> = ε > N IN mit - < ε für N ) lim -> α + iβ = α + iβ lim -> α = α ud lim -> β = β 3.8 Recheregel für omplexe Folge ( ) IN, lim -> =, ( ) IN, lim -> = lim -> ( +-*/ ) = +-*/ Cuchysches Kovergeriterium: ( ) IN eschräte omplexe Folge ε > ei N IN:, m N: - m < ε Folgerug: ( ) IN overget ε > ei N IN: N: - + < ε 6

7 3C omplexe Reihe Geometrische Reihe i C - q + q = für q = - q q = für q < = -q Reiheetwicluge Für < c ( ) c c = = c = c c c c c = = = ( ) ( ) c = c + c ( ) Für > c = = c c = c = = = + c c c ( ) = ( c) 3.9 Prtilsumme ( ) IN omplexe Folge S = heißt Prtilsumme = Koverge vo Reihe: die Reihe heißt overget gege S lim S = S, = Cuchy-Krit. für Reihe Reihe overget ε > ei N IN:, m N: m ε > S - S m = - = = =m+ lim = lim = Gegeteil gehe icht gege Reihe divergiert (muß er icht) overgiere 7

8 Dreiecsugleichug ei Reihe = = overget overget (er icht umgeehrt!) = = Mjorte-Kriterium gilt für N c ud ist c overget, d overgiert uch ud Mjorte: c q c >, q (, ) = = = 3. Wurelriterium = lim < = ud = overgier e Quotieteriterium lim existiertud < + = ud = overgiere Expoetilfutio = exp( ) = e heißt Expoetilfutio (overget für lle ) =! 3. Cuchy-Produt vo Reihe 3. N N N N ( )( l ) = ( - ) l <, l N = l= = = =N+ +l= A B AB Biomiloeffiiet! ( )= für IN, =,...,! (-)! heißt Biomiloeffiiet ( üer ) ud ist die A. der Möglicheite, us Dige Dige verschiede usuwähle. Biomischer Lehrst ( + w ) = ( ) w - = Additiostheorem der Expoetilfutio exp ( w ) * exp ( ) = exp ( w + ) = e w e = e w + 8

9 3D Potereihe 3.3 Potereihe c ( - ) = heißt Potereihe c C Koeffiiete, C Etw.pt., C Vrile Kovergerdius < R = = ρ lim c = lim c c + Eulersche Formel ompl. Expoetilft. e x+iy =e x ( cos y + i si y ) = e x ( e iy ) Sius- ud Kosiusreihe m m ( ) cos = (m)! m= si = m= m ( ) (m + )! m+ Additiostheoreme i C cos( + ) = cos cos - si si si( + ) = si cos + cos si 9

10 3E Z-Trsformtio Z-Trsformtio (Y ) IN Y = F( ) = Y = F() Y = = = für > = Y = C α = = für > α = α α Y =(+) α ( + ) = = = α ( ) ( α) Verschieugsst Y Y (Y + ) IN F ( ) Y Chr. Polyom Y + + α - Y α Y = + α α = für > α r Bsisfolge u eier reelle Nst. t r mit Vielfchheit r : ((t r ) ) IN, ((+)t r ) IN,..., (( +r - r-)t r ) IN m s Bsisfolge u de ompl. Nst. s, * s mit Vielfchheit m s : (Re( s )) IN, (Im( s )) IN, ( (+) Re( s ) ) IN, ( (+) Im( s ) ) IN,,..., ( ( +ms - ms-)re( s )) IN, (( +ms - ms-) Im( s )) IN

11 4A Stetige ud differetierre reelle ud Komplexe Futioe 4. Reelle ud omplexe Futioe Eie Zuordug, die jedem x D eie Zhl f(x) IR uordet, heißt Futio mit iitiosereich D D IR D C f: D IR f: D C x f(x) f() Grewert ( x ) IN, x D, lim x = Gilt lim f( x )= A für lle solche Folge, heißt A Grewert vo f i lim x f( x )= A 4. Stetigeit f: D C C, D f heißt stetig i lim f( ) = f( ) f heißt stetig i D f stetig i lle D 4.3 δ - ε - Kriterium für Stetigeit (9..97) f stetig i ε > δ >, so dß us - < δ folgt f( ) - f( ) < ε 4.4 Folgerug us δ - ε - Kriterium f stetig i, f( ) > δ >, so dß f( x ) > für lle x ( - δ, + δ ) (uch mit <) Zwischewertst f: [, ] IR stetig i [, ], f( ) < f( ) u jedem y [ f( ), f( ) ] git es eie Zhl x (, ) mit f( x ) = y llg. Pote >, x IR : x = e x l vom Mximum (Miimum) f: [, ] IR stetig i [, ] es git Mx f( [, ] ) = Mx { f( x ) x [, ] } ud Mi f( [, ] ) Differeequotiet f: D IR IR, x D f( x ) - f( x ) Flls lim x x existiert, heißt er Differeequotiet oder x - x Aleitug vo f i x ud f differeierr i x

12 Allg. Differetitiosregel f( ) - f( ) f ' ( ) = δ( ) - Differeierreit i δ( ) f( ) = f( ) + f ' ( )( - ) + δ( ) ( - ) li. Approximierreit: f( ) f( ) + f ' ( )( - ) f i diff'r f ist stetig i Tylorformel für Polyome P( ) = = P (! ( ) ) ( ) Differetitio der Umehrfutio f( x ) = y, f ' ( x ) f - ' ( y ) = f '( x )

13 4B Liere Differetilgleichuge Verfhre Liere homogee Differetilgleichuge mit ost. Koeffiiete f () ( ) + - f (-) ( ) f( ) = Ast: f( ) e α f () ( ) = α e α e α (α + - α ) = chr. Polyom χ( α ) Allg. Lösuge:. Nullstelle α IR mit Vielfchheit : e αx, xe αx,..., x - e αx. Nullstelle α = ± i C mit Vielfchheit : e ( ± i)x =e x (cos x ± i si x) e x cos x, xe x cos x,..., x - e x cos x e x si x, xe x si x,..., x - e x si x Verfhre Liere ihomogee Differetilgleichuge mit ost. Koeffiiete f () ( ) + - f (-) ( ) f( ) = ( x ) y ihom = y hom + y sp Ast vom Typ der rechte Seite: β x. ( x) = e d x m: Vielfchheit d. Nst. ß i χ( α ). ges: ß,r,m r = y ( x) = x sp r m β x e = r = u x β x β x ( x) = e si( γ x) x + e cos( γ x) m: Vielfchheit d. Nst. (ß + iγ) i χ( α ) ges: ß,r,m r r m β x ysp ( x) = x e si( γ x) u x + cos( γ x) u ~ x = = 3. Superpositio r = ~ x Verfhre Liere ihomogee Differetilgleichuge. Ordug y'( x ) + ( x ) y( x ) = ( x ) e A( x ) (Vorr.: A' = ) e A( x ) y'( x ) + ( x ) e A( x ) y( x ) = d -- ( e A( x ) y( x ) ) = e A( x ) ( x ) = B'( x ) (Vorr.: B' = e A( x ) ) dx d -- ( e A( x ) y( x ) - B( x )) = e A( x ) y( x ) - B( x ) = c dx Allg. Lsg: y( x ) = c e -A( x ) + B( x ) e -A( x ) c IR 3

14 5A Kurvedisussio reeller Futioe vo Rolle f: [, ] IR stetig f: (, ) IR differeierr f( ) = f( ) es git x (, ) mit f ' ( x ) =. Zwischewertst f: [, ] IR stetig f: (, ) IR differeierr f( ) - f( ) es git x (, ) mit f ' ( x ) = Zwischewertst f ud g: [, ] IR stetig f ud g: (, ) IR differeierr g'( x ) uf (, ) f( ) - f( ) f '( x ) es git x (, ) mit = g( ) - g( ) g'( x ) Regel vo l'hospitl f ud g: [, ] IR stetig f ud g: (, ) IR differeierr f( ) = g( ) = / g'( x ) uf (, ) f( x ) f '( x ) lim x, x> = lim x, x> (flls dieser existiert (mit ± )) g( x ) g'( x ) Fälle:,, [ f( x ) ] g( x ) = e g(x) l f( x ) e f( x ) - f( x ) - g( x ) = l( e f( x ) - g( x ) ) = l e g( x ) Hireichede Bed. für rel. Extrem f, f ',..., f () stetig um x f '( x ) = f ''( x ) =... = f (-) ( x ) =, f () ( x ) es gilt: f () ( x ) > : Miimum gerde f () ( x ) < : Mximum ugerde ei Extremum (Sttelput) 4

15 5B Stmmfutioe ud Aleituge Futio f + x² Stmmfutio F rct x + c x x (-, ) rcsi x + c x (-π/, π/) /x l x + c x x c l x x c + f '( x ) l f( x ) + c f( x ) j c (x + ) j j - (x + ) j- x rct x + c ( + x ) + x x rct ( ) + c (x + ) + 5

16 6 Itegrtio Zerlegug Z = { t i = t < t <... < t = } heißt Zerlegug des Itervls [, ] Oer- ud Utersumme S ( Z) = Sup f ([ t heißt Oersumme i= i= i, ti ])( ti ti ) S( Z) = If f ([ t heißt Utersumme S( Z) S( Z ) i, ti ])( ti ti ) 6. f ( x) dx *) = If O *) geeigetes Itegrleiche icht verfügr f ( x) dx *) = Sup U Riem-Iregrierreit f heißt Riem-itegrierr üer [, ] f ( x) dx = f ( x) dx = f ( x) dx. D heißt f ( x) dx ds (Riem-) Itegrl vo f üer [, ] ud wird mit Für Itegrierreit reicht es u eige: ε > git es Zerleguge Z ud Z mit f ( x) dx S eeichet. ( Z Z ) S( ) < ε Äquidestte Zerlegug - t = f stetig es git u jedem ε > ei N, so dß für ei N Mx { Mx f( [ t i-, t i ] ) - Mi f( [ t i-, t i ] ) i =,..., } < ε / -. Zwischewertst der Itegrlrechug Es git u jedem t (, ) mit f ( x) dx f ( t) = Bestimmte ud uestimmte Itegrle f ( x) dx heißt estimmtes Itegrl f ( x) dx = f = {G + c c IR } heißt uestimmtes Itegrl 6

17 Huptst der Itegrlrechug f: [, ] stetig, G Stmmfutio vo f ( [ G(x) ] f x) dx = G( ) - G( ) = Prtielle Itegrtio f ' g dx = fg g' f dx Sustitutiosregel d F( g( x)) = F'( g( x)) g'( x) dx F '( g( x)) g'( x) = F( g( x)) + c Itegrtio vo Potereihe = x mit Kovergerdius R Stmmfutio x + = + uf (-R, R) ueigetliche Itegrle Riem-Itegrle sid defiiert für gewisse eschräte Futioe uf geschlossee Itervlle. Für ueschräte Futioe oder Itervlle läßt sich i mche Fälle eie "Fläche" ls Grewert vo Riem-Itegrle ilde. Solche Grewerte heiße ueigetliche Itegrle. 7