Thema 3 Interpolation Numerik - Neff INHALT. 4.1 Interpolation Überblick

Transkript

1 Thema Iterpolato Numerk - Neff INHALT 4. Iterpolato Überblck 4.5 NEWTON-Iterpolato: aus + Stützpukte ee Polyomfukto vom Grad De Koeffzete mt dvderte Dffereze rekursv bestmme => Polyomfukto NEWTON-Form ud HORNER-Form 4.9 Sple-Iterpolato Sple-Fuktoe bestehe aus Polyome.Grades, de glatt eader übergehe, glatt: f(x) = g(x), f '(x) = g '(x), f ''(x) = g ''(x) 4.4 BÉZIER-Iterpolato De Summade B der Berstepolyome werde mt y gewchtet. De y sd de y-werte der Eckpukte des BÉZIER-Polygos "Sorte y -Werte":. gegebee y-werte der Pukte des Bézer-Polygos y, y, y, y.. rekursv berechete Zwsche-Iterpolatoswerte y, y, y,, y.. Fuktoswerte auf der Bézer-Kurve f(x) = y. Für de gegebee x-koordate. "Sorte x-koordate":. mmer gleche x-koordate der Pukte des Bézer-Polygos, /, /, / =.. de gegebee x-koordate, für de der Wert f(x) berechet werde soll.. de x-koordate der Zwscheterpolatospukte (Iterpolatosstrecke). 4. Regressosfuktoe mt learserbare Asatzfuktoe: y = a ³(x) + b De partelle Abletuge der Summe der Abwechugsquadrate A (a,b) werde ullgesetzt, das Glechugssytem lefert de Regressoskoeffzete a ud b. 4. Regressosfuktoe mt der traspoerte VANDERMONDE-Matrx V T V a = V T y => zwe Type vo Regressosfuktoe. Regressosfuktoe mt eer Eflussvarable, mehr als zwe Regressoskoeffzete Bvarate Regresso, d.h. zwe Varable, mestes x ud y. z.b. y(x)=a + a x + a x. Regressosfuktoe mt mehrere Eflussvarable, ee beeflusste Varable ud mehr als zwe Regressoskoeffzete Multvarate Regresso, d.h. mehr als zwe Varable, mestes u, v, w, x ud y. Multple Regresso. z.b. y(x)= a + a u + a v + a x

2 Thema Iterpolato Numerk - Neff 4. INTERPOLATION P ( -5) P ( ) P ( ) P ( ) P 4 (,5 -) 5 Stützstelle Taylor-Rehe für f(x) = s x etwckelt für x = x x x x g( x) x xx xx xx xx x f(,) =,7457 g(,) =,7459 Stegugswkel be P ( ) Stegugswkel be P (4 5) f(x)= +,5 x,5 x kubsche Splefukto, 5 Stützstelle P P 4 4 Telpolyome s (x), s (x), s (x), s (x), Bézer-Polyom zum Polygo P, P, P, P Ausglechspolyom f(x) =,9,99 x,446 x +,79 x

3 Thema Iterpolato Numerk - Neff 4. POLYNOME Polyomfuktoe sd besoders hadlche Fuktoe. Teschl S. Vele mathematsche Verfahre beutze deshalb Polyomfuktoe. I der Haupt- bzw. Summedarstellug defert ma: (Hauptform, Hauptschrebwese) f( x) a axax... ax ax ax a x... a Ee Polyomfukto hat de Grad ud st durch de + Koeffzete a edeutg bestmmt. a = f() sd de y-achse-abschtte der Fuktosgraphe. Polyomfuktoe sd überall stetg ud dfferezerbar. Polyomfuktoe sd für alle reelle Zahle defert, D = R. Polyome lasse sch addere, subtrahere, multplzere, mt Faktor multplzere, ablete ud tegrere, es etstehe dabe weder Polyome (Abgeschlossehet). De.Abletug st vom Grad -, de Stammfukto st vom Grad +. Nullstelle ka ma bs = 4 geschlosse bereche; ab = beutzt ma Näherugsverfahre. Ee Polyomfukto hat Nullstelle, daruter evetuell mehrfache ud komplexe. Ee Polyomfukto hat höchstes reelle Nullstelle. Ee Polyomfukto hat höchstes - Extrempukte ud höchstes - Wedepukte. Be bekate Nullstelle,, ka ma de Produkt-Darstellug formulere: f( x) c( x ) ( x )... ( x ) q Nullstelle =. = -,5. = ud y-achseabschtt be 9. p f( x) c( x) ( x,5) ( x) c( x,5x,5) ( x) c( x,5x 4,5) da a = 9 gegebe st, folgt c = ud f x x x ( ) 7 9 De HORNER-Darstellug ergbt sch durch schrttweses Ausklammer vo x: f( x) (( a xa ) xa ) x... a q q ( ) 7 9 (( 7) ) 9 f x x x x x x Damt lasse sch Fuktoswerte bequem bereche: f(,58) =,4997 x =,587 specher, da Specher + 7 [=] Specher Specher 9 [=] f x x x x x x x x x f '(x) = 6x 6 x + x 5 = ((6x 6) x + ) x 5 4 ( ) (((4 ) 6) 5) 8

4 Thema Iterpolato Numerk - Neff 4. VANDERMONDE-MATRIX Ee Messrehe lefert üblcherwese ee Wertetabelle, d.h. zwe Vektore x ud y. Im efachste Fall eer Iterpolato sucht ma ee Polyomfukto f(x), de de Pukte P (x y ) ethält oder für de glt f(x ) = y. De P et ma Stützpukte oder Kote, de x heße Stützstelle, de y heße Stützwerte. Ee Polyomfukto vo Grad st durch + Koeffzete a edeutg bestmmt. f( x) a ax ax... ax Ee Polyomfukto st durch + paarwese verschedee Stützpukte edeutg bestmmt. Ee Polyomfukto st durch + uabhägge Iformatoe bestmmt. Ket ma + Stützpukte (x y ) da lasse sch de Koeffzete a mt dem folgede leare Glechugssystem bestmme: a ax ax... ax y x x x a y... a a a x a x a x y x x x y a ax ax... ax y x a x x yv a y a ax ax... ax y x a x x y De Matrx V et ma VANDERMONDE-Matrx. [Vadermode, Alexadre-Théophle, Pars, 77 ] Besp. 4. sehe Grafk Abschtt 4. Es st ee Polyomfukto gesucht, de de folgede füf Stützpukte ethält: P ( -5) P ( ) P ( ) P ( ) P 4 (,5 -) Das leare Glechugssystem Va = y führt zu de füf Koeffzete a, a,, a 4 a a 9a 7a 8a 5 a, 5 4 a a a a a a,8 4 a a 9a 7a 8a a, 79 4 a a 4a 8a 6a a, 75 4 a, 5a, 5a,75a5, 65a4 a4, ud damt zur Fuktosglechug f(x) =,5,8 x +,79 x +,75 x, x 4. De Berechug der Iterpolatos-Polyome mt Hlfe der VANDERMONDE-Matrx hat zwe Nachtele: () De Lösug des leare Glechugssystems Va = y ethält Rudugsfehler. () We e weterer Stützpukt bekat wrd, muss das gaze leare Glechugssystem eu berechet werde. Deshalb beutzt ma der Praxs adere Iterpolatosverfahre.

5 Thema Iterpolato Numerk - Neff 4.4 NEWTON-POLYNOME NEWTON, Isaac, Cambrdge GB, 67] De NEWTON-Form der Polyomfuktoe st y(x) = c + c (x x ) + c (x x )(x x ) + + c (x x )(x x )(x x ) (x x - ) Es see + paarwese verschedee Stützpukte P (x y ) gegebe, belebger Rehefolge d.h. es st cht erforderlch, dass x < x < < x. De Polyomfukto wrd schrttwese, Pukt für Pukt, aufgebaut. Zuächst betrachte wr de Pukt (x y ). Ee Fukto, de ee Parallele zur x-achse darstellt, also f = f(x ) = y, st da de efachste terpolerede Fukto. Wr führe och das Symbol c für Newtokoeffzete e, zuächst c mt f(x ) = y = c. Schrtt x = x : y = c Jetzt ehme wr de Pukt (x y ) hzu. De terpolerede Fukto soll u zusätzlch durch de Pukt (x y ) führe. Se st vom Grad, es st de Gerade f durch P ud P. Dazu addert ma de Term (x x ) ud hält damt de Fuktoswert für x kostat. Damt aber de Fukto f wrklch durch de Pukt (x y ) geht, addert ma das c -fache vo (x x ) zu f. De NEWTON-Kostate c st och cht bekat, se muss och bestmmt werde: y y Schrtt x = x : y = c + c (x x ) = y + c (x x ) p c m => c x x Nu ehme wr de drtte Pukt (x y ) hzu. De terpolerede Fukto st vom Grad, es st ee Parabel, de durch de dre Pukte P, P, P verläuft. Um scherzustelle, dass sch de Fuktoswerte be x ud x cht äder ud trotzdem f durch (x y ) geht, addere wr das c -fache vo (x x )(x x ) Schrtt x = x : y = y + c (x x ) + c (x x )(x x ) y y = c (x x ) + c (x x )(x x ) : (x x ) y y y y y y y y x x x x c x x c x x x x x x Wege der Vertauschbarket der Stützstelle x ka ma P (x y ) mt P (x y ) vertausche y y = c (x x ) + c (x x )(x x ) : (x x ) y y = c (x x ) + c (x x )(x x ) : (x x ) y y y y y y yy x x xx c xx c x x xx x x Der Ausdruck für c st überschtlcher als der Ausdruck. Mt der Hzuahme des verte Puktes (x y ) ergbt sch aalog Schrtt x = x : y = y + c (x x ) + c (x x )(x x ) + c (x x )(x x )(x x ) y y y y y y yy xx x x x x xx x x x x c x x

6 Thema Iterpolato Numerk - Neff 4.5 NEWTON-INTERPOLATION De Etwcklug der Iterpolatospolyome zegt:. De NEWTON-Form der Polyomfuktoe st y(x) = c + c (x x ) + c (x x )(x x ) + + c (x x )(x x )(x x ) (x x - ). De NEWTON-Koeffzete c köe rekursv berechet werde aus y = c y = c + c (x x ) y = c + c (x x ) + c (x x )(x x ) y = c + c (x x ) + c (x x )(x x ) + c (x x )(x x )(x x ). De NEWTON-Koeffzete c sd dvderte Dffereze usw. Dvderte Dffereze sd weteretwckelte Stegugsterme mt eer egee Symbolk: y y y y m kürzt ma ab mt [ xx] d x x x x Damt lasse sch de NEWTON-Koeffzete c schrebe: c y c c xx xxx y x y x xxxx [ ] x x y y y y x x x x x x y y y y y y y y xx x x x x xx [ xxx ] [ xxx ] x x x x c[ xxxx ] x x x x usw. Allgeme glt für dvderte Dffereze, wor de Argumete x k, x, x h usw. vertauschbar sd. [ ] [ ] [ k ] y x x y. [ x xx ] x x xx x x x x k k h k h k k h De NEWTON-Koeffzete c sd dvderte Dffereze, de ma rekursv etwckel ka. Ma ka de jewels berechete dvderte Dffereze beutze, um de ächste zu bestmme. I eem Recheschema lasse sch de c systematsch ermttel: x y x y c usw. c xx x x x y x x x c xx xxxx c x y xxx x y Iterpolatosschema ach NEWTON

7 Thema Iterpolato Numerk - Neff 4.6 INTERPOLATIONS-RECHNUNG Besp. 4. Iterpolato ach NEWTON [ach Egel-Müllges S.64] Wertetabelle x y c = y = y = c + c (x x ) p = + c ( ) p c = 4 y = c + c (x x ) + c (x x )(x x ) 4 7 p = + 4(-) + c (-)(-) p = c p c =,5 y = c + c (x x ) + c (x x )(x x ) + c (x x )(x x )(x x ) p 7 = + 4(4-),5(4-)(4-) + c (4-)(4-)(4-) p = 4 c p = 4 c p c =,5 Dese Rechuge sd mt dem Iterpolatosschema vel efacher durchführbar: x y c ( ) 4c 4,5 c, 5 (,5),5c 4,5,5 4 7, Das Iterpolatospolyom hat de Glechug f(x) = c + c (x x ) + c (x x )(x x ) + + c (x x )(x x )(x x ) (x x - ) f(x) = + 4(x ),5(x )(x ) +,5(x )(x )(x ) (NEWTON-Form) = + 4 x,5 x (x ) +,5 x (x x + ) = + 4 x,5 x +,5 x +,5 x,5 x + x =,5 x x + 6,5 x (Normalform, Hauptform) = ((,5 x ) x + 6,5) x (HORNER-Form) Excel / Iterpolato Zum Auswerte (ud Zeche) der Polyomfukto muss ma atürlch cht erst de NEWTON-Form de Normalform ud da de HORNER-Form umwadel. Ma etwckelt de NEWTON-Form etspreched der abstegede Poteze drekt de HORNER-Form durch schrttweses Ausklammer der Ausdrücke x x. De Klammerausdrücke x x spechert ma eer egee Spalte. = + 4(x ),5(x )(x ) +,5(x )(x )(x ) = +,5(x )(x )(x ),5(x )(x ) + 4(x ) =,5 u v w,5 u v + 4 u = ((,5 w,5) v + 4)u - = ((,5 (x ),5) (x - ) + 4) (x - ) f(x) = ((,5 (x ),5) (x ) + 4) (x ) allgeme ergbt sch als HORNER-Form: f( x) c xx c ( xx )... c ( xx ) c ( xx ) c

8 Thema Iterpolato Numerk - Neff 4.7 INTERPOLATIONS-AUFGABE Besp. 4. E weterer Stützpukt kommt hzu Wrd e weteres Messergebs bekat, etwa P 4 (,5 ), fügt ma efach e Zele hzu. Excel / Iterpolato x y c 4c,5c,5,5c,5,6 4 7,8, 6 4, 5, 4 c 4 ud erhält für f(x) = c + c (x x ) + c (x x )(x x ) + + c (x x )(x x )(x x ) (x x - ) f(x) = + 4(x ),5 (x )(x ) +,5 (x )(x )(x ) +,4(x )(x )(x )(x 4) sowe de HORNER-Form ud de Normalform: f( x),4 x4,5 x,5 x 4 x f x x x x x x x x ( ), ,5 -, 4 ( )( )( 4) f x x x x x x x x ( ), ,5 - (, 4, 4 )( 6 8) f x x x x x x x x x 4 ( ), ,5 -, 4 8,4,,4 8, 4 f x x x x x 4 ( ),4 9, 6,6 7,7,x Aufgabe Iterpolato Gegebe: 4 bs 5 Stützpukte, bs zusätzlche Argumete x Gesucht: Iterpoleredes Polyom NEWTON-, HORNER- ud Hauptform Auswertug der Fuktosglechug f(x) für e bs zwe Argumete x Schrtte:. Iterpolatos-Schema ach NEWTON etwckel, (Evetuell Vordruck). De dvderte Dffereze bereche. De NEWTON-Form formulere 4. Daraus de HORNER-Form etwckel 5. Aus der NEWTON-Form de Hauptform bestmme 6. Mt der HORNER-Form de Auswertug(e) f(x) durchführe

9 Thema Iterpolato Numerk - Neff 4.8 KUBISCHER AUSGLEICH Mt der Zuahme der Stützpukte P stegt der Grad der terpolerede Polyomfuktoe. Mt zuehmedem Grad werde de Polyomfuktoe mmer "wellger", se oszllere stärker. Um glattere Polyomfuktoe zu erhalte terpolert ma stückwese ud berechet stetgdfferezerbare Übergäge a de Stützpukte. Besp. 4.4 Es sd zwe Fuktoe gegebe: f(x) = für u < x < h(x) =,6 x +,4 für 4 < x < u De Radpukte ( ) ud (4 5) solle stetg-dfferezerbar durch ee Polyomfukto g verbude werde. Stetg heßt g() = f() = ud g(4) = h(4) = 5 (ke Sprug). Dfferezerbar heßt g'() = f '() = ud g'(4) = h'(4) =,6 (ke Kck). Auf de Lmes-Schrebwese a de Radpukte verzchte wr. Wr habe 4 Iformatoe, dadurch st ee Polyomfukto vo Grad bestmmt. Wr köe de Koeffzete vo g(x) = a + a x + a x + a x mt eem leare Glechugssystem V a = y ermttel. (NEWTON-Iterpolato wäre her auch möglch.) Für de Abletug glt g'(x) = a + a x + a x. g() a g(4) 5 a 4a6a 64a 5 6a 64a 4 a 7, g'() a 8a 48a, 6 g'(4),6 a8a 48a,6 a, 5. 6a 64 (, 5) 4 a,5 g x x x x ( ),5,5 für 4 Ma et ee Übergag a eer Stützstelle P (x, y ) glatt, we de dort agrezede Fuktoe f f(x), f '(x) ud f ''(x) überestmme. Solche Fuktoe et ma Sples s(x). Kubsche Sples habe de Grad =. "Spate" Se habe de klestmöglche Gesamtkrümmug ''( ) x x s x dx Mmum

10 Thema Iterpolato Numerk - Neff 4.9 SPLINE - GRUNDLAGEN Es see + Stützpukte gegebe P (x, y ) P (x, y ) => der Berech [x, x ] wrd Itervalle zerlegt => es sd kubsche Sples s (x) zu bestmme, mt =,,,, -. E kubscher Sple hat Normalform de Glechug s(x) = a x + b x + c x + d Wr beutze für de Koeffzete a, b, c, d um doppelte Idzes zu vermede. => es sd 4 ubekate Koeffzete a, b, c, d zu ermttel. De Verschebug eer Fukto um t ach rechts lässt sch mt Hlfe folgeder Form darstelle: s(x) = a (x - t) + b (x - t) + c (x - t) + d We ma dese Verschebuge um t für de Stützstelle x ausutzt, ergbt sch folgede Formulerug für ee kubsche Splefukto: a( xx) b( xx) c( xx) d für x [ x, x] a ( x x) b ( x x) c ( x x) d für x [ x, x] s ( x)... a( xx ) b ( xx ) c ( xx ) d für x [ x, x] De Tel-Fuktoe ( ) ( ) ( ) ( ) s x a xx b xx c xx d sd zu bestmme. Besp Stützpukte, 4 kubsche Fuktoe, 6 Koeffzete 5 Pukte gegebe: = 4 4 Itervalle: s() s() s() s() Pukt P am Ede der Fukto s (x) dort gelte de Glechuge: s (x ) = y s (x ) = s (x ) stetg s '(x ) = s '(x ) gleche Stegug s ''(x ) = s ''(x ) gleche Krümmug Etsprechedes glt für de Pukte P ud P zusamme 4 = Glechuge Radpukt P 4 am Ede der Fukto s (x) dort gelte de Glechuge: s (x 4 ) = y 4 s ''(x 4 ) = gewählt Etsprechedes glt für de Radpukt P zusamme 4 Glechuge sgesamt 6 Glechuge für 6 Koeffzete B-Sples

11 Thema Iterpolato Numerk - Neff 4. SPLINE ENTWICKLUNG. Für de Pukte (x y ) glt s (x ) = y we ma des mt der Glechug durchführt, ergbt sch s (x ) =a (x x ) + b (x x ) + c (x x ) + d = y de Klammer (x x ) werde sämtlch ull ud es st d = y. De Tel-Fuktoe gehe stetg eader über, d.h. s - (x ) = s (x ) oder a - (x x - ) + b - (x x - ) + c - (x x - ) + d - = a (x x ) + b (x x ) + c (x x ) + d => a - (x x - ) + b - (x x - ) + c - (x x - ) + d - = d q = : a (x x ) + b (x x ) + c (x x ) + d = d q = : a (x x ) + b (x x ) + c (x x ) + d = d. A de Übergagspukte habe de Tel-Fuktoe de gleche Steguge s' - (x ) = s' (x ). s( x) a( xx) b( xx) c( xx) d Also glt für de. Abletuge s'(x ) = a (x x ) + b (x x ) + c Heraus ergbt sch: a - (x x - ) + b - (x x - ) + c - = a (x x ) + b (x x ) + c => a - (x x - ) + b - (x x - ) + c - = c 4 4. A de Übergagspukte habe de Tel-Fuktoe de gleche Krümmuge s'' - (x ) = s'' (x ). Für de. Abletuge glt: s''(x ) = 6 a (x x ) + b Heraus ergbt sch: 6 a - (x x - ) + b - = 6 a (x x ) + b bb => 6 a - (x x - ) + b - = b : (x x - ) => a 5 (xx ) Für de Radpukte P ud P wähle wr s''(x ) =, also 6 a (x x ) + b = daraus ergebe sch b = ud b = 6 Solche Sple-Fuktoe et ma atürlche Sple-Fuktoe. 5. We ma de Asatz 5 für a - 4 esetzt, ergbt sch bb (xx ) b (xx ) c c (xx ) => (b b - ) (x x - ) + b - (x x - ) => (b + b - ) (x x - ) + c - = c 7 6. We ma de Asatz 5 für a - esetzt, ergbt sch bb (x x ) b (x x ) c (x x ) d d (x x ) => (b b ) (x x ) b (x x ) c (x x ) d d : (x x - ) (b b ) (x x ) d d b (x x ) c => xx xx (b b ) (x x ) d d b (x x ) c => xx y y (b b ) (x x ) c b (x x ) 8 => xx y y (b b) (x x) da glt auch: c b(x x) 9 x x Brüche zusammefasse ach c - auflöse, ab her y = d

12 Thema Iterpolato Numerk - Neff 4. SPLINE GLEICHUNGSSYSTEM X b = r. De Asätze 8 für c - ud 9 für c werde Glechug 7 egesetzt: yy (bb ) (xx ) 8 c b (xx ) xx y y (b b ) (x x ) 9 c b(x x) x x 7 (b + b - ) (x x - ) + c - = c y y (b b ) (x x ) (b b ) (x - x ) + b (x x ) xx y y (b b ) (x x ) x x b(x x) y y (b b ) (x x ) + (b b ) (x x ) b (x x ) xx y y (b b ) (x x ) b (x x ) x x b (x x ) b (x x ) b (x x ) b (x x ) b (x x ) ausmult., orde b (x x) b (x x) b(x y x) y y y r (x x )b b (x x ) b (x x ) +(x x )b r x x xx (x x )b (x x x x )b +(x x )b r (x x )b (x x )b +(x x )b y y y y r x x xx Dese Glechug st das leare Glechugssystem X b = r De Koeffzetematrx ud de rechte Sete besteht aus bekate Dffereze. De Koeffzete b = (b ) = (b, b, b - ) sd de Lösug des Glechugssystems. De Krümmuge de Radpukte habe wr mt s'' (x ) = ud s'' (x ) = gewählt, deswege glt b = ud b =.. De Koeffzete b, b, b - sd de Lösug des Glechugssystems: b b b b b r 4 (x x ) x x r x x (x x ) x x r x x (x x ) x x r x x (x x ) r (x x ) r. De Koeffzete c ud a erhält ma durch Esetze 5 ud 8

13 Thema Iterpolato Numerk - Neff 4. SPLINE BEISPIEL Besp Stützpukte, 4 kubsche Fuktoe, 6 Koeffzete Excel / Sple Bestmme Se de Splefukto s(x) für folgede Pukte (- ), ( ), ( ), ( ), (5 ) x() y() a() b() c() d() = y() = - = = = = Als Koeffzete erhalte wr: x() y() a() b() c() = -,5 -,6 = -,74,469,7 =,765 -,75 -, = -,9,54 -, = De Glechug der Splefukto st da:, 5( x ),6 ( x ) für x [-, ],74( x), 469 ( x), 7 ( x) für x [, ] s ( x),765( x),75 ( x), ( x) für x [, ], 9( x ),54 ( x ), ( x ) für x [, 5] Aufgabe Sple Gegebe: Radpukte ud Stützpukte als Wertetabelle (x y ). Gesucht: de Splefukto, se besteht abschttswese aus - Telfuktoe s (x). Schrtte:. Arbetstabelle mt de Spalte für de Koeffzete x, y = d, a, b, c. für r (ohe r ud r ) evetuell egee Spalte hter y. Spalte d st überflüssg, se st ur ee Kope vo y. Ee geegete Arbetstabelle wrd mestes vorgegebe.. Trvale Ergebsse etrage d = y. b =, b =. Strche be a,c, r, r.. Glechugssystem etwckel ud mt GAUß-JORDAN-Verfahre löse p b bb 4. b esetze a (xx ) y y (b b ) (x x ) 5. a, b esetze c b(x x) x x 6. Splefukto formulere, Empfehlug: Asatz mt etsprechede Lücke scho zu Beg hschrebe: s (x) = (x ) (x ) für x [, ] s (x) = (x ) (x ) (x ) für x [, ] s (x) = (x ) (x ) (x ) für x [, ] s (x) = (x ) (x ) (x ) für x [, ]

14 Thema Iterpolato Numerk - Neff 4. BERNSTEIN-POLYNOME BERNSTEIN-Polyome werde mt Hlfe der Bomaletwcklug dargestellt. Bomalsummade B De Bomaletwcklug st bekat: ab a Spezell für = glt: ( ab) ab ab ab ab!! De Bomalkoeffzete berechet ma mt z.b. ( )!!!! b B Teschl S. 4 f Für Bomaletwckluge gbt es ee Rehe vo Gesetzmäßgkete, daruter auch:. De Summade B lasse sch rekursv etwckel. (a + b) = a + a b + a b + b = B + B + B + B (a + b) = a + a b + b = B + B + B - - B ab bb- z.b. B ab b B her: a b = a b + b a b. We a, b l[ ; ] ud a+b = glt (a + b) = sbesodere für a = x ud b = x => (( - x) + x) = BERNSTEIN-Polyome sd defert für das Itervall [, ] - B ( x) x x ( x) x = für x für =: x x ( x) x ( x) x ( x) x x =. B B B B a) De B (x) habe ee -fache Nullstelle für x =. b) De B (x) habe ee -fache Nullstelle für x = c) Se habe ur e Maxmum m Itervall [, ] ud zwar be De Maxmum-Stelle zerlege das Itervall = Tele. [BERNSTEIN, Serge Nataowtsch, Charkow, RUS, 9 ] x also ; ; ;

15 Thema Iterpolato Numerk - Neff 4.4 BÉZIER-POLYNOME BÉZIER-Polyomfuktoe f etstehe, we ma BERNSTEIN-Polyome passed überlagert. Dazu werde de Summade der BERNSTEIN-Polyome mt Werte y gewchtet: - f( x) y ( x) x = yb ( x) für x = f( x) y B y B y B y B f( x) y ( x) y ( x) x y ( x) x y x f( x) y ( x) y x ( x) y x ( x) y x (HORNER-Form) De y-werte sd de y-koordate vo Pukte P, de zusamme das BÉZIER-Polygo blde. Das BÉZIER-Polygo st de mmale Hülle der BÉZIER-Kurve. Besp. 4.7 BÉZIER-Polygo ud BÉZIER-Kurve De Pukte P ( ) P ( 4) P ( ) P ( ) sd gegebe. Se blde das BÉZIER-Polygo. De 4 Iformatoe zum Bestmme der kubsche Polyomfukto lege desem Polygo. De y-werte y =, y = 4, y =, y = sd de Gewchte m BÉZIER-Polyom; f( x) ( x) 4 ( x) x ( x) x x f( x) ( x) ( x) x9 ( x) x ( ) ( ) ( ) 9 ( ) (HORNER-Form) f x x x x x x. P ud P lege auf der BÉZIER-Kurve.. De Gerade durch P,P bzw. P,P sd Tagete de Radpukte der BÉZIER-Kurve.. De Steguge der Strecke des Polygos y y sd m ( y y) 4. De Steguge a de Radpukte des BEZIER-Polyoms sd f '() = (y y ) bzw. f '() = (y y ) m Bespel f '() = 9, f '() = 9 5. De Koeffzete, 4,, der BÉZIER- Fukto habe ee aschaulche Bedeutug ämlch de y-koordate des Polygos (der kovexe Hülle). Excel / Bézer I vele Aweduge beötgt ma de f(x)-werte der BÉZIER-Kurve ud dere Steguge f '(x). De ezele f(x)-werte der BÉZIER-Kurve ud hre Steguge f '(x) bestmmt ma rekursv mt dem Verfahre vo DE CASTELJAU ("de castelshó"). Wr verwede de Rekursosformel vo Abschtt 4. Für Summade der Bomaletwcklug: B ab bb agewedet für a (- x) ud b x : B ( x) ( x) B xb ergbt für : B ( x) ( x) B xb - schleßlch für BEZIER-Fuktoe: y ( x) ( x) y xy -

16 Thema Iterpolato Numerk - Neff 4.5 SCHEMA VON DE CASTELJAU De Werte f(x) der BÉZIER-Fukto werde durch fortgesetzte Rekurso über de y-koordate des BÉZIER-Polygos ermttelt: yr,...,s( x) = (- x) yr,...,s- x yr +,...,s f( x) De Zwschewerte der Rekurso bezeche wr mt y, y, y, da y,, y,, ud y,,, je achdem, aus welche voragehede y-werte der Wert hervorgeht. y ( x) y xy y ( x) y xy y ( x) y xy y ( x) x y xy x x y xy y ( x) x y xy x x y xy y ( x) ( x) x y xy x x y xy x ( x) x y xy x x y xy ( x) ( x) y ( x) xy ( x) xy x y x ( x) y ( x) xy ( x) xy x y ( x) ( x) y ( xxy ) xy x ( x) y( xxy ) xy ( x) y ( x) xy ( x) x y ( x) xy ( x) x y x y ( x) y ( x) xy( xx ) y x y f( x) De sch herbe ergebede y-werte sd de jewelge Telugspukte auf de Iterpolatos- Strecke, was ma auch graphsch darstelle ka. Für de Steguge deser Strecke glt weder m = (y + y ). Besp. 4.7 Fortsetzug, Schema ach DE CASTELJAU Bestmme Se für x =,4 de Wert f(x) auf der BÉZIER-Kurve. y x x y y y y y y y y y Excel / Bézer x y y ( x) y xy x y y y ( x) y xy y ( x) y xy y y ( x) y xy y ( x) y xy y ( x) y xy Stegug am Pukt (x f(x) ): f '(x) = (y y ) = (y y - ) Stegugswkel am Pukt (x f(x) ): (x) = arcta f '(x)

17 Thema Iterpolato Numerk - Neff 4.5A BÉZIER AUFGABE Aufgabe BÉZIER Gegebe: Ver Pukte des BÉZIER-Polygos m Itervall [ ; ] mt äqudstate x-koordate ud e oder zwe x-werte. Gesucht: BÉZIER-Polygo zeche, BÉZIER-Polyomfukto formulere, auch HORNER-Form De Pukt P auf der BÉZIER-Kurve für de gegebee x-wert bereche mt dem Schema ach DE CASTELJAU Für dese Pukt Stegug ud Stegugswkel ( Grad) bestmme. De BÉZIER-Kurve auf Grud deser Egeschafte skzzere Schrtte:. Pukte Koordateebee etrage ud zum Polygo verbde f( x) y( x) y ( x) x y ( x) x yx. f( x) y( x) yx ( x) yx ( x) yx. Schema erstelle, Rechuge we z.b. y ( x) y xy durchführe Wertepaar P (x f(x) ) agebe 4. f '(x) = (y y ) ud (x) = arcta f '(x) 5. Pukte P, P, P svoll mteader verbde

18 Thema Iterpolato Numerk - Neff 4.6 BÉZIER AUSBLICKE Bs de sechzger Jahre des vorge Jahrhuderts wurde Koture mt Kurveleale ud "fre Had" etwckelt. Das galt für Schrfte ebeso we für Autokarossere. De so etwckelte Koture wurde puktewese de Werkzeugmasche egegebe. De NC-Werkzeugmasche (umerc cotrol) hatte sch durchgesetzt, aber der Etwurfsprozess war och re mauell. PAUL DE FAGET DE CASTELJAU be Ctroë ud, uabhägg davo, PIERRE BÉZIER be Reault erkate, dass deser Flaschehals der modere Produkto überwude werde köte, we dese Kurve ud Fläche möglchst efach dargestellt ud mt efache Parameter (de y ) gesteuert werde. Damt gelte se als Erfder des CAD (computer aded desg) De Computergrafk arbetet durchweg mt BEZIER-Kurve, z.b. auch de Truetype-Schrfte. De Iterpolato mt BÉZIER-Polyome ud DE CASTELJAU-Schema st wesetlch wetrecheder als obe dargestellt wurde.. De Eckpukte der kovexe Hülle (des BÉZIER-Polygos) sd cht zwged äqudstat. De x-koordate der Stützpukte köe belebg über das Itervall vertelt se.. De BÉZIER-Iterpolato ka ma auch für Kurve beutze, de kee Fuktosgraphe sd, soder Graphe vo Relatoe. I desem Fall werde x- ud y-koordate getret ach dem Schema vo DE CASTELJAU ermttelt, vgl. Abbldug.. Um möglchst glatte Kurve zu erhalte, blebt ma bem Grad, also be kubsche BÉZIER-Polyome. Ma ka de Etwcklug der BÉZIER-Kurve aber auf belebge Itervalle ausdehe. Ma baut dazu übergeordete kovexe Hülle auf. A de Übergagspukte ("Iterpolatosstelle", "Trestelle") zwsche aufeader folgede BÉZIER-Kurve stmme. ud. Abletuge übere. Damt kommt ma zu BÉZIER-Sples, vgl. Abbldug b e y. 4. Um räumlche Koture zu erhalte setzt ma stückwese BÉZIER-Fläche (patches) zusamme. Statt Strecke zwsche de Pukte P r,,s etstehe Tagetalfläche, sgesamt ergebe sch bkubsche BÉZIER-Sples, Abbldug. b e y. Abb. Abb. Abb.

19 Thema Iterpolato Numerk - Neff 4.7 REGRESSIONSGERADE Be vele Utersuchugsmethode ethalte de Werte Messfehler. I der Regel gbt es deshalb oft kee S ee terpolerede Fukto zu bestmme, de geau durch de gemessee Pukte verläuft. Es geügt da ee Fukto zu fde, de möglchst geau passt. Ee solche Fukto et ma Regressosfukto oder Ausglechsfukto. Am efachste st ee Regressosgerade. Besp. 4.8 Ee Messrehe Be eem chemsche Prozess wrd e Zusammehag zwsche der Bestrahlug mt UV-Lcht x [M] ud dem Härtegrad y ees Polymers vermutet. X se de Eflussgröße ud Y de beeflusste Größe. Etsprechede Tests ergabe folgede Wertepaare (x y ). De Wertepaare (x y ) lasse sch als Puktwolke darstelle. Excel / A' Regresso Im efachste Fall köte ma ee leare Zusammehag der Form y = m x + b vermute. De Regressosgerade y = m x + b st de optmal passede Gerade durch de Puktwolke. Das Symbol für Schätzwert der Varable y st y.. Jede möglche Gerade wrd durch de bede Parameter m ud b festgelegt. Wr habe aber Messwerte. De Berechug vo m, b st also überbestmmt. Zu jedem Datepukt (x y ) gbt es ee Abwechug vom Geradepukt xˆ y ˆ. De Regressosgerade mt der Fuktosglechug y = mx + b wrd so gewählt, dass de Summe der Abwechugsquadrate mmal wrd ("Methode der kleste Quadrate"). Ezele Abwechuge: y y = y (m x + b) = y m x b Ezele Abwechugsquadrate: (y m x b) Summe der Abw.-Quadrate: A ( y mx b) m ud b sd de gesuchte ubekate Koeffzete. Das Mmum (de Tefpukt) der Fukto A(m,b) erhält ma, we de.abletug A' =.. De Fukto ( ) letet ma partell ach m ud ach b ab: A y mx b A A' m y mx b x m A A' b y mx b b y x sd partelle Abletuge sehe Abschtt.9 (-) vor de Summe: Ausmultplzere: :(-), Ezelsumme: y mx b x y mx b y x mx bx y mx b xy mx bx y mx b

20 Thema Iterpolato Numerk - Neff 4.8 REGRESSIONSKOEFFIZIENTEN xy m x b x Das leare Glechugssystem y mx b lässt sch Matrze-Schrebwese formulere ud ach m ud b auflöse. mx bx yx x x m xy m x x b y b y Dese et ma Normalglechuge bzw. Normalglechugs-System. Achtug: x y xy x ( x) Statt de Regressoskoeffzete m ud b mt dem obge Glechugssystem zu bestmme, werde der Praxs de Regressoskoeffzete oft drekt agegebe: yx mx bx y mx b.zele ach b auflöse: m b y x b.zele esetze: m xy mx y xx m xy mx yx x m solere: mx m x xy yx m ausklammer: mx x xy y x : Klammer xy yx m x x mt erweter: xy xy m m b y x x x Als Lösugsvarable deses Glechugssystems ergebe sch de Regressoskoeffzete: xy xy m a m a x x b y x für = a x + a bzw. = m x + b weter Besp. 4.8 Ee Messrehe Excel / A' Regresso Es ergbt sch y =,478 x + 5,5 als beste Approxmato (Näherug) für de vermutete Zusammehag. Mt der Fuktosglechug der Regressosfukto ka ma Iterpolatoe durchführe: Für de gegebee Bestrahlugszet vo x = 5 Mute schätzt ma de Härtegrad auf y (5) =, ,5 =,65.

21 Thema Iterpolato Numerk - Neff 4.9 MINIMUM VON A(M,B) a) Bem Ablete vo ( ) ergebe sch Probleme: A y mx b () De Fuktosvarable ("Ubekate") sd her cht x ud y, soder m ud b. De optmale Werte für m (Geradestegug) ud b (y-achse-abschtt) sd gesucht. x ud y sd de gemessee ud damt bekate Tabellewerte. () De Fukto ethält e Summesymbol. Es glt:, f x gx fx gx das st de Summeregel. Ma ka also de Summe als Gazes ablete. () ( y mx b) st e verketteter Ausdruck. De ere Fukto st u(x) = y - mx - b ud de äußere heßt v(u) = (u(x)). Ma beutzt de Ketteregel f(u(x))' = v'(u) u'(x). b) Der Fuktosgraph zu A(m,b) st ee "Mulde" m Koordateraum mt de dre Achse A, m ud b. Für jede Kombato (m,b) ka ma de Summe der Abwechugsquadrate A(m,b) bereche. c) De Tagete t m sd de "waagerechte" Tagete Rchtug der m-achse, für hre Steguge glt A'(m) =. Ee deser Tagete t m verläuft durch de Tefpukt. De Tagete t b sd de "waagerechte" Tagete Rchtug der b-achse, für hre Steguge glt A'(b) =. Ee deser Tagete t b verläuft durch de tefste Pukt. Am tefste Pukt der "Mulde" schede sch de Tagete, es glt A'(m) = ud glechzetg A'(b) =. Ma erhält also m ud b durch Löse des Glechugssystems A A' m y mx b x m y sd partelle Abletuge A x A' b y mx b b

22 Thema Iterpolato Numerk - Neff 4. EINFACHE REGRESSIONSFUNKTIONEN Regressosfuktoe der Form y = a ³(x) + b ee wr learserbare Regressosfuktoe. Be de obe etwckelte Regressosgerade st ³(x) = x y = a x + b. Bevor ma ee Regressosaalyse durchführt wählt ma ee passede Asatzfukto ³(x), x also bespelswese ( x) e, ( x), ( x) x, ( x) lx x De Regressosfukto mt der Fuktosglechug y = a ³(x) + b wrd so gewählt, dass de Summe der Abwechugsquadrate mmal wrd ("Methode der kleste Quadrate"). Gaz aalog der Herletug Abschtt.7 folgt: Ezele Abwechuge: y = y (a ³(x ) + b) = y a ³(x ) b Ezele Abwechugsquadrate: (y a ³(x) b) Summe der Abw.-Quadrate: A ( y a ( x) b) a ud b sd de gesuchte ubekate Koeffzete De Abletuge sd A A' a y a( x) b ( x) a A A' b y a( x) b b y ( ) ( ) x a x b( x) y a( x) b Auch de Normalglechuge werde de Ausdrücke x durch ( ) ersetzt: a ( x) b ( x) y( x) a( x) by Für de Regressoskoeffzete ka ma da schrebe: y( x) y( x) a a b y ( ) ( x ) x ( x ) Zum Bespel glt für de Regressoskoeffzete a ud b a mt der Asatzfukto yˆ ba b x x y y x x a a b y x x x x

23 Thema Iterpolato Numerk - Neff 4. REGRESSIONSANALYSE Besp. 4.9 Regressosaalyse mt der Asatzfukto y = a l x + b E Uterehme zechet über de Zeträume x ( Moate) de Absatzmege y ees bestmmte Produktes auf. Das Uterehme erwartet ee gewsse Marktsättgug ud beutzt daher für de Bestmmug des Treds ud für Progose de Asatzfukto y = a l x + b. Zu bestmme sd: A A a) De Abletuge ud für de Summe der Abwechugsquadrate A. a b b) De Normalglechuge c) De Formel für de Regressoskoeffzete (Herletug cht erforderlch). d) De Fuktosglechug der Regressosfukto. e) De Progose für de. ud 4. Moat. a) b) A ( y a l xb) a l x b l x yl x al x by A A' a y al x b l x a A A' b y alx b b yl x y l x c) a l x l x ) a b y l x Excel / A' Regresso d) yˆ,7 l x,965 e).moat 97 kg, 4.Moat 457 kg I Excel: Pukt aus der Puktwolke markere, da Rechtsklck, "Tredle efüge" Aufgabe A' Regresso mt y = a ³(x) + b Gegebe: Wertetabelle (x y ), = 5..6, Asatzfukto ³(x) zusätzlcher Wert für ee Iterpolato Gesucht: A A a) De Abletuge ud für de Summe der Abwechugsquadrate A. a b b) De Formel für de Regressoskoeffzete (Herletug cht erforderlch). c) De Fuktosglechug der Regressosfukto. d) Progosewerte, Iterpolatoswerte Schrtte: geau we Bespel 4.9 gezegt

24 Thema Iterpolato Numerk - Neff y = a ³(x) + b y = a x + a x + a x y = a + b x + c u + d v 4. TRANSPONIERTE VANDERMONDE-MATRIX Besp. 4. ach Korreschld S.9 ff Ver Messuge ergabe ebestehede Wertetabelle. De Asatzfukto se ee Gerade, y = a x + b oder y = a + a x. Wr bestmme de Regressoskoeffzete mt dem aalytsche Asatz über de Abletuge der Summe der Abwechugsquadrate: Excel / V T -Regresso Als Normalglechugssystem ergbt sch: x b y 4 a, x x m xy a 9, 6 Mt der Lösug a = m =,67. a = b = 4,5. y =,67 x + 4,5 (Spalte getauscht, wege der Idex-Rehefolge der VANDERMONDE-Matrx) (Zele getauscht, spelt für de Lösug kee Rolle) Mt der Vadermode-Matrx köte ma aus Wertepaare de Geradeglechug bestmme. Sehe Abschtt 4. Ket ma Stützpukte (x y ) da lasse sch de Koeffzete a, a bestmme: a ax y x a y V a y a ax y x a y Wr habe aber ee VANDERMONDE-Matrx mt 4 Zele. User leares Glechugssystem st überbestmmt: a ax y x y a ax y x a y a ax y x a y a ax y x y Das führt aller Regel zu eem Wderspruch. Ma ka das leare Glechugssystem ur mt eem mmale Fehler A m löse. x y 6 6,8 4,5 Durch Multplkato der Glechug V a = y mt der traspoerte Matrx V T etsteht de Glechug V T V a = V T y. De lke Sete V T V st ee quadratsche, sogar symmetrsche Matrx. Mt der Matrzeglechug V T V a = V T y ka ma also de Koeffzete a bereche. V y Excel / V T -Regresso 6 6 V T 6,8 6,8 T 4,5 V 4,5 4, 4 4 9, 6 V T V V T y Es ergebe sch deselbe Normalglechuge, ma erket we be der Multplkato mt V T acheader de Summe, x, x, y, xy etstehe. De Regressosaalyse mt Hlfe der Glechug V T V a = V T y ee wr V T -Regresso, se st vel wetrecheder als de A' Regresso über de Abletuge A'(m,b).

25 Thema Iterpolato Numerk - Neff 4. V T -REGRESSION Überscht. A' Regresso. Leare Regresso m egere Se. Berechug eer Regressosgerade y(x) = m x + b Ma erstellt ee Arbetstabelle für x y, x,bestmmt de Summe ud löst A a = y. Learserbare Regressosmodelle der Form y(x) = a³ (x) + b = a + a ³(x) Ma erstellt ee Arbetstabelle für ³(x ), ³(x ) y, ³(x ),bestmmt de Summe ud löst A a = y. Ma erhält ee Regressosfukto.. V T -Regresso Damt köe alle Regressosmodelle m wetere S bearbetet werde. Regressosmodelle.w.S. habe de Form y(x) = a + a ³ (x) + a ³ (x) + + a k ³ k (x) mt fast belebge Asatzfuktoe ³(x). Ma etwckelt ee VANDERMONDE-Matrx V ud de Glechug V T V a = V T y ach de Regressoskoeffzete a auf. = ; ; ; ; k. Regressosfuktoe mt k >, z.b. y(x)=a + a x + a x. Multple Regressoe, das sd Regressosmodelle mt mehr als ee Eflussvarable. z.b. y(x)= a + a u + a v + a x. Nchtleare Regresso z.b. ˆ bx b y ae, yˆ as( bx), yˆ a x verwede wr cht Besp. 4. (Regressosmodell sy. Asatzfukto, Ausglechspolyom sy. Regressosparabel) Füf Pukte sd gegebe ( ) ( 5) ( 5) (5 ) (6 ) Das Ausglechpolyom. Grades st zu bestmme, ee Regressosparabel, ee Fukto ach dem Regressosmodell y(x)=a + a x + a x st zu bestmme. Excel / V T -Regresso x x x x xk x k V a = y y =,55 +,7x,5 x Mt Hlfe der Regressosfukto ka ma de beste Schätzug für x = 4 bestmme: y(4) =,55 +,7.4,5.4 =,48 I Excel: Pukt aus der Puktwolke markere, da Rechtsklck, "Tredle efüge" Besp. 4. Der Efluss der bede Varable U ud X auf de Größe Y soll utersucht werde. Multple Regresso. Es legt dazu de ebestehede Wertetabelle vor. Gesucht st e Regressosfukto ach dem multple Modell y = a + a u + a x. u x u x V a = y y = 6,8 +,767 u +,96 x uk x k De beste Schätzug für das Szearo u =, x = 7 st y( ; 7) = 6,8 +,767. +,96.7 = 7,86 u x y

26 Thema Iterpolato Numerk - Neff 4.4 AUFGABE V T -REGRESSION Aufgabe V T -Regresso Gegebe: Wertetabelle (x y ), (u v x y ) = 5..6, Regressosmodell zusätzlch Wert(e) für ee Iterpolato Gesucht: a) VANDERMONDE-Matrx für das agegebee Regressosmodell y(x) = a + a ³ (x) + a ³ (x) + + a k ³ k (x) b) Glechug der Regressosfukto c) Iterpolatoswert y Bester Schätzwert Schrtte:. VANDERMONDE-Matrx für das gegebee Zahlemateral formulere. Schema für de Lösug der Glechug V T V a = V T y erstelle, evtl. Vordruck beutze. V T V a = V T y ach a auflöse, be V T V de Symmetre ausutze. Das leare Glechugssystem mt GAUß-JORDAN-Verfahre löse. 4. Regressosglechug formulere 5. Gegebee Wert(e) für de Iterpolato de Regressosglechug esetze.

27 Thema Iterpolato Numerk - Neff ANHANG BINOMIALENTWICKLUNG aus: Statstk: sta5vertel.doc De Bomalkoeffzete kee wr aus de Bomsche Formel (a+b). x Ma etmmt se rekursv aus dem PASCAL'sche Koeffzeteschema (sehe ute) oder bestmmt se mt eer der bede folgede Formel: ( ) ( )... ( x)! x x! x!( x)! Be de meste Tascherecher gbt es dazu de Taste [Cr]: Number of Combatos r (a+b) = = a b (a+b) = a + b = a b + a b (a+b) = a + ab + b = a b + a b + a b (a+b) = a + a b + a b + b = a b + a b + a b + a b (a+b) 4 = = a 4 b + 4 a b + 6 a b + 4 a b + a b Bomalkoeffzete: ; ; ; ; x 4 6 a b bedeutet, dass de Kombato a b be (a+b) 4 sechs mal vorkommt. 4 4 kürze 4 4! 4 6 (.Formel) 6 (. Formel). kürze! (4 )! mt Tascherecher: 4[Cr] ! cht mt Tascherecher!