a) linear, 2 Variable b) linear, > 2 Variable Regressionsgerade y(x) multiple Regression y (u, v, w, x)

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1 Thema Korrelato Statstk - Neff INHALT a) lear, Varable b) lear, > Varable Regressosgerade y(x) multple Regresso y (u, v, w, x) c) chtlear, Varable d) chtlear, > Varable multple learserbar y = a ³(x) + b multple chtleare Regresso y (u, v, w, x) z.b. y(x, u, v) = a l x + b e u + c v + d ) sehe Numerk Abschtt 4.3 Regressosfuktoe lear chtlear y(x) y(x,u,v) y(x) y(u,x,v) echt-chtlear Korrelato multple A'-Regr V T V z.b. logstsche Regr. Numerk Thema Regresso, Korrelato, FISHER-Prüfmaß, t-prüfmaß, DW -Prüfmaß Stufe : leare Efachregresso => r, r, F-Prüfmaß xf empr > xf crt?? Stufe : leare multple Regresso: Dateausgabe terpretere, Absch..3 r adjustert, xf empr, t empr (b ), rj < 0,5?, DW l { d ute < < d obe } Regressosfukto y(u,v,w), Schätzwert für Szearo Stufe 3: chtleare Efachregresso => r als Varazequotet, Abschtt.7 typsch y(x) = a l x + b A'-Regresso = a (x) + b Stufe 4: multple Regressosalyse, auch cht-lear, Abschtt.0 typsch y(u, x) = b 0 + b l u + b x Regressosglechug über V.V T V T - Regresso Numerk 0 Stufe 5: echte chtleare Regresso, cht aalog zu y = m x + b lösbar, soder mt logarthmere m Thema 0 z.b. logstsche Fuktoe: y,5x 5 e

2 Thema Korrelato Statstk - Neff. ORGANISATION a) Glederug Thema Korrelato stakorr.doc Zusammehäge Thema Zetrehe stazet.doc Zusammehäge Thema 3 Häufgket sta3haeuf.doc Theore Thema 4 Wahrschelchket sta4wahr.doc Theore Thema 5 Verteluge sta5vertel.doc Uterschede Abwechuge Thema 6 Stchprobetests sta6tests.doc Uterschede Abwechuge b) Datee Zum Dowload vo sta*.doc, sta*.pdf Skrpt zu de 6 Theme sta0ex.xls für Übuge währed der Vorlesug, regelmäßg aktualsert sta9uebug.doc Übugsaufgabe, sta9loesug.xls Lösuge dazu c) Lteratur (Kursve Agabe zum Ztere) Puha, Josef, Statstk,.Auflage 008, ISBN , 0 Bleymüller, Josef, u.a., Statstk für Wrtschaftswss., 4.Auflage, ISBN , 6,50 Bamberg, u.a. Statstk,. Auflage 00, ISBN , 9,80 Re, Horst Taschebuch der Statstk, 4. Aufl. 008, ISBN , >000 S. 40 Elser, Thomas, Statstk für de Praxs, 004, ISBN , 39,90 Fahrmer, Ludwg, u.a., 5. Auflage 004, ISBN , 9,95 Lambacher-Schwezer, Stochastk, Lestugskurs, Klett-Verlag, belebge Auflage oder adere "Schulbücher" d) Für de Klausur zugelassee Hlfsmttel Tascherecher, Egeführte Formelsammlug.

3 Thema Korrelato Statstk - Neff. BEHAUPTUNGEN Täglch werde Vermutuge geäußert ud Behauptuge aufgestellt be uscherer Datelage. Statstsche Methode erlaube us, verüftge Etscheduge uter Ugewsshet zu treffe. Auszug aus der Medz Zetschrft "Jama" Sd ältere Fraue, de auf fetthaltge Kost verzchte, besser vor Herzfarkte, Schlagafälle, Brust- oder Darmkrebs geschützt? Telstude Brustkrebs Es wurde übergewchtge bs fettsüchtge Fraue m Alter zwsche 50 ud 79 Jahre über 8 Jahre beobachtet. 60% blebe be hrer gewohte Kost. 40% sekte de Fettatel hrer Kost auf maxmal 0% ach Aletug vo Erährugsberater Trumpherede Meldug der Budesfamlemster: I Deutschlad werde weder mehr Kder gebore. Nach eer Schätzug des Statstsche Budesamtes kame m vergagee Jahr bs Kder zur Welt, das sd bs mehr als m Jahr 006. De edgültge Zahl wrd das Amt erst m Frühsommer verküde, we alle Ladesämter hre Date vollstädg ausgewertet habe. De Zahle der erste dre Quartale vo 007 wurde auf das gaze Jahr 007 hochgerechet. Was Brustkrebs ageht, so sekte sch de Quote vo 45 auf 4 Krebsfälle je Persoe Das st ke Hwes auf ee schützede Effekt fettarmer Dät, das st statstsch cht sgfkat, das köte auch Zufall se Utersched Gehe wr vo Kder aus ud eem Zuwachs vo 5.000, da sd das, %. Legt das och m Zufallsberech, oder st der "Tred" statstsch geschert? Auswrkuge der Elterzete?? Metastude zum Verhalte vo mälche Jugedlche zwsche ud 6 Jahre de USA, Kaada, Mexko ud Australe: (005) Zwsche dem mttlere täglche Fersehkosum ud dem BMI besteht e statstsch gescherter Zusammehag der Form: BMI =,87. TVzet[h/d] + 8,83 [kg/m ] Zusammehag Evdezoreterte Wsseschaft evdece (Nachwes) Evdez (Offeschtlchket) S P R A B B. Verum-Gruppe ud Placebo-Gruppe (z.b. Plle, de geauso ausseht we de zu utersuchede Substaz) placebokotrollert. radomsert d.h. Zufallsauswahl uter de Patete 3. doppelt-bld d.h. weder de Patete och de Utersucher wsse, wer Placebo egeomme hat 4. möglchst große Stchprobe, Sgfkaz 5. aoymsert Utersucher Auswerter S P R A B B Grudsätzlch geht ma vo der Nullhypothese H 0 aus: dese lautet: der vermutete Zusammehag besteht cht, de beobachtete Abwechug st zufällg. Mt Hlfe statstscher Methode muss ma da prüfe, ob der vermutete Zusammehag statstsch geschert st, d.h. ob er überzufällg st (ob er sgfkat st); erst da ka ma de Nullhypothese H 0 ablehe ud der Alteratv-Hypothese H zustmme, erst da ka ma darauf vertraue, dass es dese Zusammehag / dese Abwechug gbt. Ma formulert da: es besteht e sgfkater Zusammehag es besteht ee sgfkate Abwechug (e sgfkater Utersched). Das sd de bede Haupt-Blckrchtuge der Statstk: Zusammehäge ud Uterschede.

4 Thema Korrelato Statstk - Neff.3 PRÜFMAßE AUSBLICK Für de Prüfug auf "statstsch geschert" beutzt ma Prüfmaße. -=0,95 95%,96 5% =0,05 Nchtablehugsberech Ablehugsberech Nchtablehugsberech Ablehugsberech Hwes zu Fläche, de s Uedlche rage: Sete.3. Neyma-Nveau, 940, Lodo De Fuktosgraphe zege Wahrschelchketsdchte f(x) für Eregsse x a. De Flächehalte zwsche de Fuktosgraphe zu f(x) ud der x-achse sd 00% =. De Flächehalte sd de Wahrschelchkete für das Etreffe der Eregsse - < x < x krt. Be der Wahrschelchket vo mdestes 95% setzt ma das Prüfmaß x krtsch. Solage der emprsche (d.h. be der Utersuchug gemessee Wert) kleer st, als deses Prüfmaß, muss ma vo eem zufällge Zusammehag bzw. eer zufällge Abwechug ausgehe. Nullhypothese heßt: der Zusammehag bzw. de Abwechug st zufällg. Nullhypothese cht ablehe heßt: der Zusammehag bzw. de Abwechug st zufällg. Nullhypothese ablehe heßt: der Zusammehag bzw. de Abwechug st cht mehr zufällg, oder der Zusammehag bzw. de Abwechug st statstsch geschert. We für de tatsächlch gemessee Wert x emprsch glt x emprsch > x krtsch da st der vermutete Zusammehag bzw. de vermutete Abwechug statstsch geschert (überzufällg, sgfkat) 0,3000 -=0,95 0,500 Wahrschelchket 0,000 0,500 0, % =0,05 0,0500 0, Azahl "Treffer" Ee dskrete Wahrschelchketsfukto (Ezelwerte) sgfkater Utersched, we 7 Persoe oder mehr de betreffede Egeschaft aufwese 0 f 0;0,4 (x) = 0,4 x 0,6 0x x Nchtablehugsberech Ablehugsberech Der Zusammehag zwsche de Merkmale X ud Y st statstsch geschert, we glt berechet > krtsch. d.h. we emprsch m Ablehugsberech für de 95% Aussagescherhet legt. ächstes Stadard-Nveau be 99% Her geht es um de Ch -Vertelug.

5 Thema Korrelato Statstk - Neff.4 VERTEILUNGSFUNKTIONEN I der komplexe Welt des Lebes, der Techk ud der Wrtschaft ka ma das Geschehe cht mt der Strege physkalscher Gesetze verfolge, soder ma kalkulert zufällge Abwechuge ud Ugeaugkete e. E Ergebs e heßt zufällg, we es cht vorhersehbar st. 3 Arte Varable: x, x, X Für Merkmalsträger (Persoe, Uterehme, Produkte usw.) wrd das Merkmal X utersucht. Dese Größe X et ma Zufallsvarable. Für e Merkmal X (z.b. Alter vo Persoe) werde de Beobachtugswerte x gemesse. Das Merkmal X mmt de Wert (Ausprägug, Beobachtugswert, Ergebs, Zustad) x a, dafür schrebt ma X = x ud f(x = x ) st de "Wahrschelchket" dafür, dass das Merkmal X geau de Wert x ammt. F(X x ) st de Wahrschelchk. dafür, dass das Merkmal X höchstes de Wert x ammt. vgl. der Aalyss: f(3) f(x = 3) her: f(x = 3) Bespel. De Verspätug der S-Bah a eer bestmmte Haltestelle st ee stetge Zufallsvarable X. 0,5 0,5 x für 0 x4 Für de Fukto f se gegebe: f( x) [Mute] 0 für alle übrge x Ma et f Dchtefukto, f(x) sd de Dchte. (vgl. de Begrff "Radfukto") Dchtefukto f(x) Vertelugsfukto F(x ) Für de Dchte f(x) glt: f(x) 0 ud f ( x) dx 00% De Vertelugsfukto F(x ) st de Flächehaltsfukto, se ordet jeder obere Greze x ee Flächehalt zu: x F( x ) f ( x) dx 0 für x < 0 her: 0, 5 0,5xdx 0,5x0, 065 x F( x) 0,5x0, 065x für 0 x 4 für x > 4 De Flächehalte werde als Wahrschelchkete terpretert: De Wahrschelchket dafür, dass X m Itervall [a; b] legt, st Wahrschelchket vo : b W( a X b) f( x) dx F( b) F( a) [ F( x )] a W( X ) f( x) dx F() F() 0 f(x) gbt also kee Wahrschelchkete a, Wahrschelchkete gbt es ur für Itervalle. Wahrschelchket dafür, dass de S-Bah zwsche,6 ud,4 Mute Verspätug hat,4,4 (,6, 4), 0,36 (0,8 0,6) 0, 0% W X xdx x x 8 6,6,6 b a

6 Thema Korrelato Statstk - Neff.5 SICHERHEIT Bespel. Fortsetzug = 95% = 3,06 We vel Mute Verspätug st mt 95-prozetger Scherhet zu erwarte? Dazu muss x = x krtsch = x c für F(x ) = 0,95 berechet werde: x c x c 0,95 xdx x x xc xc 0 0,95 ( 6) x 8x 5, 0 x4 6 5, 4 0,894 x 3,06 c c c = 5 % Der Zufallsberech für = 0,95 recht also bs 3, Mute Verspätug. Ist de Verspätug größer als 3,06 Mute, da st de S-Bah überzufällg spät. (E ezeles Eregs oder ee Stchprobe vo Eregsse? Thema 4) De Wahrschelchket et ma Restuscherhet oder Irrtums-Wahrschelchket oder Sgfkazveau. De Wahrschelchket et ma Aussagescherhet. Für statstsche Schlussfolgeruge sollte mdestes 0,95 se ud < 0,05. De Greze x c ud de Flächehalte bzw. Wahrschelchkete F(x) müsse cht jewels mt Hlfe der Itegralrechug bestmmt werde, für de (sebe) Stadardverteluge gbt es etsprechede Tabelle, vgl. Formelsammlug. De Zufallsvarable X st stetg. I der Praxs wrd ma aber dskrete Zetpukte messe ud dese passede Itervalle zuorde. Ma köte z.b. de Merkmalsauspräguge x = 0,,, 3, 4 [Mute] messe ud dazu de Wahrschelchkete agebe: x 3 4 Merkmalsklasse [a, b] [0 ; 0,5[ [0,5 ;,5[ [,5 ;,5[ [,5 ; 3,5[ [3,5 ; 4] Summe F [a,b] 0,34 0,375 0,50 0,5 0,06,000 De Dchtefukto f(x ) eer dskrete Zufallsvarable wrd als Hstogramm dargestellt. Dabe etspreche de Flächehalte geau de Wahrschelchkete. "Dchte", wel sch de y-werte (her: Wahrschelchkete) auf das gaze Itervall bezehe. Für de Vertelugsfuktoe glt da F(x ) = 0 f( x ) Dchte = m / V Wr uterschede stetge, dskrete ud omale Zufallsvarable. Nomale Zufallsvarable sd cht-quattatv z.b. X = {kath., evag., slam., sost}

7 Thema Korrelato Statstk - Neff.6 MAßZAHLEN. Stchprobe De Utersuchug aller Date eer Grudgesamthet N (z.b. alle Wahlberechtgte) st vel zu aufwedg, ma beschräkt sch auf Stchprobe vom Umfag ud schleßt mt geegete Verfahre vo de Ergebsse der Stchprobe auf de der Grudgesamthet. Um Gesetze über Wahrschelchkete herzulete, bldet ma Modelle mt passede Eregsmege {x }, z.b. "Zwe Würfe mt eem deale Würfel", Zufallsvarable köte de Augesumme X se.. Ezelwerte I de Theme ud beutze wr Daterehe aus ezele Werte x. 3. Mttelwert (Arthmetscher Mttelwert) Mttelwert der Grudgesamthet N µ x erwarteter Mttelwert N Mttelwert der Stchprobe: x x gemesse/berechet Ax x x. 0 II A x x x 4. Streuuge msst ma allgeme als Summe vo Abwechugsquadrate Durch Ausmultplzere erhält ma de umersch stablere.formel Für vele wetere Formel exstere jewels zwe Forme: Dfferezform ud Produkte-Form. vgl..7 Umformuge. x 0 x 5. Varaz st der Mttelwert der Abwechugsquadrate Erwartete Varaz der Grudgesamthet Varaz der Stchprobe s x x N x µ N N x µ N s x x 6. Stadardabwechug Varaze habe uaschaulche Beeuge we Persoe, kg, Stude. Deshalb arbetet ma mt der Stadardabwechug mestes mt s x x Taste: bzw. s s ¾ - 7. Varazverhältsse Setzt ma Varaze aus derselbe Stchprobe s Verhälts zueader, da hebe sch de Neer auf, z.b. bem Bestmmthetsmaß r yˆ y yˆ y s yˆ s y y y y y

8 Thema Korrelato Statstk - Neff.7 UMFORMUNGEN a) Kostate cc cc... c -mal b) Summeregel: x y x y c) Faktorregel: kx k x Produkt zweer Summe Summe der Produkte, Quadrat eer Summe Summe der Quadrate ( xx... x) (y y... y) ( xy) ( xy)... ( xy) ( xy)... ( xy) d) Aber Achtug! x y x y ud spezell: x x ud für Quadrate: x x x x x x x x x x e) Umrechug ( x x) [. Formel] x x [. Formel] ( x x) ( x xx x ) x x x x x x x x Aus x x ergbt sch x x, damt lässt sch ( x x) umreche: x xxx x x x x x x x x x s x x De Frehetsgrade df (degrees of freedom) sd de Azahl der uabhägge Ezelwerte, de de statstsche Berechuge ebezoge werde köe, es st de Azahl der fre wählbare Ezelwerte. I obger Rechug legt x berets fest, es gbt also och Frehetsgrade. Be große Stchprobe st. f) Be der Varaz eer Stchprobe wrd durch dvdert Ee Daterehe, 4, 5, 6, 9. x = 6/5 = 5, => ur och = 4 fre wählbare Date. Be der Bestmmug der Greze x F des FISHER-Prüfmaßes legt sowohl x als auch y berets fest. Der Frehetsgrad st da. g) Be stetge Date beutzt ma de aaloge Formel für Itegrale, de ma ja verefacht als Summe der Fläche aus "uedlch vele Rechtecke, mt de Läge f(x)" ud de m Verschwde begrffee Rechteckbrete dx begrefe ka. lm f ( x) x f ( x) dx x 0

9 Thema Korrelato Statstk - Neff.8 REGRESSIONSGERADE Besp.. Ee Messrehe, zur Ererug: Abschtt. Be eem chemsche Prozess wrd e Zusammehag zwsche der Bestrahlug mt UV-Lcht x [M] ud dem Härtegrad y ees Polymers vermutet. X se de Eflussgröße ud Y de beeflusste Größe. (Bvarate Utersuchug) Etsprechede Tests ergabe folgede Wertepaare (x y ). De Wertepaare (x y ) lasse sch als Puktwolke darstelle. Excel / Korrelato Im efachste Fall köte ma ee leare Zusammehag der Form y = m x + b vermute. Nur ee Eflussgröße, es hadelt sch um ee leare Efach-Regresso. De Regressosgerade = m x + b st de optmal passede Gerade durch de Puktwolke. Das Symbol für Schätzwerte der Varable y st.. Jede möglche Gerade wrd durch de bede Parameter m ud b festgelegt. Wr habe aber 0 Messwerte. De Berechug vo m, b st also überbestmmt. Zu jedem Datepukt (x y ) gbt es ee Abwechug vom Geradepukt xˆ y ˆ. De Regressosgerade mt der Fuktosglechug = mx + b wrd so gewählt, dass de Summe der Abwechugsquadrate mmal wrd ("Methode der kleste Quadrate"). Ezele Abwechuge: e = y = y (m x + b) = y m x b Ezele Abwechugsquadrate: (y m x b) Summe der Abw.-Quadrate: A ( y mx b) Error ( ˆ ) A y y e (e errors, Resdue, Reste) m ud b sd de gesuchte ubekate Varable. De Fukto A(m,b) lefert für jede Kombato m,b ee Wert A. Das Mmum der Fukto A(m,b) erhält ma, we ma de. Abletug ull setzt. Hwes: Sete.4 3. De Fukto ( ) letet ma partell ach m ud ach b ab: A y mx b A A' m y mx b x0 m A A' b y mx b 0 b (-) vor de Summe, ausmultplzere: :(-), Ezelsumme schrebe: y x sd partelle Abletuge 0 x y mx bx 0 y mx b 0 x y m x b x 0 y mx b Deses leare Glechugssystem lässt sch Matrze-Schrebwese formulere ud ach m ud b auflöse. mx bx yx x x m xy m x x b y b y Dese et ma Normalglechuge bzw. Normalglechugs-System. Achtug: x y xy x ( x)

10 Thema Korrelato Statstk - Neff.9 REGRESSIONSKOEFFIZIENTEN Statt de Regressoskoeffzete m ud b mt dem obge leare Glechugssystem zu bestmme, werde der Praxs de Regressoskoeffzete oft drekt agegebe: 0 yx mx bx 0 y mx b.zele ach b auflöse: m b y x b.zele esetze: m 0 xy m x y x x ausmultplzere: m 0 x y mx yx x m solere: mx m x xy yx m ausklammer: mx x xy y x : Klammer xy yx m x x mt erweter: xy xy m m b y x x x Achtug: x y xy x ( x) Fortsetzug Besp.. Ee Messrehe Excel / A' Regresso I) Lösug über das System der Normalglechuge: x x m xy 98, 5 49,5 m 05, 75 x b y 49,5 0 b 6,5 98, 5m49,5b05, 75 ( ) 0, 75b53,95 b5, 05 m0, ,5m0b6, 5 6, 05 II) Lösug über Formel für Regressoskoeffzete: xy xy 005, 75 49,56,5 54, 5 m 0, 478 x x 098, 5 49,5 53, 5 m 6,5 49,5,65,366 5,06 0, 478 b y x 0 0 Es ergbt sch = 0,478 x + 5,05 st das e sgfkater Zusammehag? als beste Approxmato (Näherug) für de vermutete Zusammehag. Mt der Fuktosglechug der Regressosfukto ka ma Iterpolatoe durchführe: Für de gegebee Bestrahlugszet vo x = 5 Mute schätzt ma de Härtegrad auf (5) = 0, ,05 =,66.

11 Thema Korrelato Statstk - Neff.0 KORRELATION. De Regressosgerade läuft durch de Pukte (0 b) ud ( x y ). De Regressoskoeffzete ka ma auch mt de Varaze herlete: x x, y y ( x x)( y y) sxy Axy m ud b = y-mx ( x x) s A. Varazzerlegug. Sd de beobachtete Werte y, dere Mttelwert z ud de Schätzwerte y bekat, da lasse sch dre Summe der Abwechugsquadrate bzw. Varaze uterschede: () de gesamte Varaz der Beobachtugswerte: x y y yˆ y y ˆ y ˆ () de durch de Regresso erklärte Varaz: (3) de cht durch de Regresso erklärte Varaz: Es lässt sch zege, dass glt: y y y y yˆ y x 3. Das Bestmmthetsmaß r st e Maß für de Stärke des Zusammehags. Es gbt a, we stark das Merkmal Y durch das Merkmal X bestmmt wrd. r sy ˆ sy yˆ y der durch de Regresso erklärte Atel der Varaz y y gesamte Varaz der Beobachtugswerte y r = 0,898 = 89,8 % bedeutet, dass 89,8 % der Varaz bem Härtegrad durch de Dauer der Bestrahlug erklärt werde ka. Ma folgert (etwas uscharf), dass 89,8 % der Sekug des Härtegrads Y auf de Erhöhug der Bestrahlugsdauer X zurückzuführe st (oder umgekehrt: X köte auch vo Y beeflusst se). 0, % ( = r ) der Ursache blebe uerklärt. Für r glt: 0 r. 4. Der Korrelatoskoeffzet r st e weteres Maß für de Stärke des Zusammehags. Spezell für leare Regressoe verwedet ma de Quadratwurzel aus r. r r y ˆ y y y Mt Korrelatoskoeffzete verglecht ma Rchtug ud Stärke learer Zusammehäge. [PEARSON,KARL, ca. 896, Lodo] r = 0,948 = 94,8 % heßt, dass zwsche der UV-Bestrahlug X ud dem Härtegrad Y e etgegegerchteter 94,8-prozetger Zusammehag besteht. Für r glt: - r. Für r wählt ma das Vorzeche der Geradestegug m. r < 0 => gegegerchtete Korrelato, we X zummt, mmt Y ab. Ma sagt auch "drekte, umgekehrte, egatve" Korrelato. r > 0 => postve Korrelato. 5. Fuktoe als Grezfälle Ee Fukto der Form y = m x + b wäre ee 00-prozetge Korrelato. Wr erwarte her ur ee statstsche Zusammehag, also ee Korrelato vo r < 00%. Fuktoe sd Grezfälle statstscher Zusammehäge, es sd Korrelatoe mt r =. Natürlch glt da auch für das Bestmmthetsmaß r =. Excel / Korrelato

12 Thema Korrelato Statstk - Neff.0A INVERSE REGRESSIONSGERADEN De Berechug vo r bzw. r lässt sch für leare Zusammehäge efacher durchführe. a) De Zufallsvarable X ud Y sd egetlch "glechberechtgt". Mathematsch lässt sch cht etschede, ob X vo Y abhägt oder Y vo X. Wr gehe przpell vo eer Iterdepedez, also vo eer gegesetge Abhäggket aus. Nebe der Regressosgerade (x) exstert demach auch de verse Regressosgerade ˆx (y) = m vers y + b vers b) Be eem fuktoelle Zusammehag (00-prozetger Korrelato) stmme de bede verse Regressosgerade übere, de zugehörge Gerade sd detsch. I desem Fall glt: y = m x + b, ach x aufgelöst: y b = mx ud y b b b x ud x y ; st de verse Stegug ud der x-achse- Abschtt. m m m m m m Für de Stegug eer verse Gerade m v glt also: mv oder mv m m c) Be eem fuktoelle Zusammehag (00-prozetger Korrelato) glt für de Steguge der bede Regressosgerade: m m vers = = 00%. Das Produkt m v m st das obe dargestellte Bestmmthetsmaß r für leare Regresso. d) I de Formel für de Koeffzete m v ud b v der verse Regressosgerade sd de Varable x ud y vertauscht: xy xy mvers mvers bvers x y y y Für das Bestmmthetsmaß r ergbt sch also xy xy xy xy r mm vers x x y y xy xy x x y y e) Der Korrelatoskoeffzet ergbt sch demach xy xy r x x y y Das rchtge Vorzeche ergbt sch automatsch, wel m Zähler derselbe Ausdruck steht we der Stegug m. Excel / Korrelato

13 Thema Korrelato Statstk - Neff. FISHER-PRÜFMAß. Nullhypothese H 0 De Nullhypothese lautet: es besteht ke Zusammehag zwsche X ud Y. We ma chts über de Umfag der Stchprobe weß, da verwrft ma verefached de Null-Hypothese, we r > 0,5, d.h. ma bejaht de Zusammehag zwsche X ud Y. Ma akzeptert also ee Zufallsberech 0,5 r +0,5. De Greze st jedoch abhägg vom Stchprobeumfag.. De Nullhypothese H 0 ka ma ur ablehe, we r "groß geug" st, ur da st der Zusammehag statstsch geschert. r st groß geug, we der emprsche Wert xf emprsch größer st als der krtsche Wert xf crtcal aus der Tabelle der F-Vertelug (Tabelle F.3). Der Zusammehag st statstsch geschert, we xf emprsch > xf crtcal. xf crt der Tabelle ablese, xf empr bereche 3. Berechug vo xf emprsch x F,empr. yˆ y Summe der erklärte Abwechugsquadrate r xfemprsch ( ) yˆ y Summe der cht erklärte Abw.Quadrate r Frehetsgrade a) De vel efachere zwete Formulerug ergbt sch aus der Varazzerlegug (sehe.) y y y yˆ yˆ y ud y yˆ ( r ) y y b) Nur - Frehetsgrade, wel x ud y vorgegebe sd. c) Das Prüfmaß aus der FISHER-Vertelug verwedet zwe Frehetsgrade: df = p = Azahl der Eflussvarable, her p =, wel ur ee Eflussvarable. df = = p, her = 0 = 8 Das Prüfmaß xf crt ( fdet ma mt der Excel-Fukto FINV( De krtsche Werte xf crt (p,= xf p sd hschtlch deser Parameter tabellert. 4. De FISHER-Vertelug De Nullhypothese wrd abgeleht, we xf emp > xf crt mt Formel bereche aus Tabelle ablese r mt xfemprsch ( ) r m Ablehugsberech für 95% oder 99% Aussagescherhet legt. "emprsch" heßt: aus de Beobachtugswerte berechet. "krtsch" heßt de obere Itegratosgreze für de 95% - bzw. 99%-Flächehalt oder de utere Greze für de Irrtumswahrschelchket vo = 0,05 (bzw. =0,0). [FISHER, RONALD, Rothamsted, GB, 98] Excel / Korrelato Bleymüller S. 5-53, Tabelle 7.3 -=0,95 =0,05 Nchtablehugsberech Ablehugsberech

14 Thema Korrelato Statstk - Neff. KORRELATIONSANALYSE Aufgabe Korrelato gegebe: (Bvarate Korrelatosaalyse) Beobachtugsdate für de Zufallsvarable X ud Y, ee zusätzlche x-wert, Arbetstabelle mt lückehafte oder überflüssge Spalte gesucht: a) Arbetstabelle vervollstädge b) Regressoskoeffzete ud Fuktosglechug der Regressosgerade bereche, de Zwscheergebsse sd azugebe. Evtl. Regressosgerade gegebee Koordateebee ezeche. c) Bestmmthetsmaß ud Korrelatoskoeffzet bereche ud terpretere. d) Mt Hlfe des Prüfmaßes xf aus der FISHER-Vertelug prüfe, ob der Zusammehag statstsch geschert st. e) Ee Iterpolato durchführe Schrtte: a) Ma beötgt x, y, x y, x, y b) m, b, y(x) mt de Formel bereche, m,b evtl. mt de Normalglechuge Zeche durch de bede Pukte (0 b) ud ( x y ). c) r, r mt de Formel bereche, bede terpretere d) xf empr bereche, krtsche Greze xf crt (, der Tabelle ablese. e) de zusätzlch gegebee x-wert de Fuktosglechug y(x) esetze, svoll rude ud gegebee Ehet (Beeug) agebe. Umformuge für das FISHER-PRÜFMASS yˆ y Summe der erklärte Abwechugsquadrate r xfemprsch ( ) yˆ y Summe der cht erklärte Abw.Quadrate r Frehetsgrade Ohe Berückschtgug der Frehetsgrade: yˆ y r des ergbt sch aus der Varazzerlegug: yˆ y r y ˆ ˆ y y y y y => y ˆ ˆ y y y y y yˆ y r => r y ˆ y y y y y a) Bestmmthetsmaß b) Ausdruck esetze: y yˆ y y r y y r y y => y ˆ y => r y y c) Defto des FISHER-Prüfmaßes: yˆ r y yˆ y y yˆ y r y y y yˆ y

15 Thema Korrelato Statstk - Neff.3 MULTIPLE REGRESSION. Multple leare Regresso Bsher habe wr Zusammehäge zwsche zwe Varable utersucht, zwsche dem Eflussfaktor x ud der beeflusste Varable y. We ma mehr als ee Eflussvarable de Regressosaalyse ebezeht, arbetet ma mt der multple Regressosaalyse: Wr habe p Efluss-Parameter (Eflussfaktore) x k mt k = ; ; ; p Ist ee der Eflussvarable de Zet x, da hadelt es sch um ee multple Tredaalyse. Wr betrachte ur leare multple Zusammehäge. De Regressosglechug hat also de Form: y = b 0 + b x + b x + b 3 x y = b 0 + b u + b v + b 3 w +... mt de p Daterehe (Vektore) u, v, w,, de Regressoskoeffzete b. De Regressoskoeffzete b berechet ma mt Hlfe der Matrzerechug (sehe ute).. Regressosaalyse führt ma mt Software-Programme durch Wet verbretet sd de Programme vo SPSS ud SAS. Aalysefuktoe sd Hauptbestadtele der Busess-Itellgece-Software mt de Marktführer: Hypero (Oracle), Cogos, SPSS (IBM), Busess Objects (SAP), SAS. Ee efache multple Regressosaalyse lefer de Aalysefuktoe vo Excel (set 995). Add-I "Aalyse-Fuktoe" aktvere: /Extras /Add-I-Maager /Aalyse-Fuktoe Excel / Korrelato Bespel.3 I eer Stude soll utersucht werde, we de dre Eflussfaktore: zetlche Etwcklug x [Quartale], Schulug der Mtarbeter m Vertreb u [Stude/Moat] ud Aufwad zur Bdug der Kude (CRM) v [ /Kude] de Umsatzredte y [%] beeflusse. Für Quartale (3 Jahre) sd de Daterehe zusammegestellt. Excel / Multple

16 Thema Korrelato Statstk - Neff.4 ANALYSE-AUSSAGEN Wr beschräke us auf de gelb uterlegte Werte.. Frehetsgrade: Azahl der Beobachtuge = Varaz-Frehetsgrade = = Azahl der Eflussvarable p = 3 (df) (FISHER)-Frehetsgrade FISHER = p = 8 (df). Bestmmthetsmaß r = 0,757 Das adjusterte Bestmmthetsmaß berückschtgt de Stchprobeumfag ud de Azahl der Eflussvarable, es st deshalb erwartugstreuer als das gewöhlche Bestmmthetsmaß. 66,6% der Veräderug des Umsatzredte st auf de dre Eflussfaktore x, v, w zurückzuführe; 33,4% sd uerklärte Ursache. MSResdue radj MS gesamt = 0,666 (MS = Mttlere Summe der Abwechugsquadrate) sehe Excel / Multple Der Multple Korrelatoskoeffzet st efach ur r, er blebt außer Betracht. 3. Regressoskoeffzete ud Regressosfukto b 0 = 5,057 b = 0,004 b = 0,086 b 3 = 0,0 = 5, ,004 x + 0,086 u + 0,0 v Es sd auch Greze agegebe, dee de Koeffzete mt 95% Scherhet lege. Z.B. legt der Koeffzet für de "Schulug" m Itervall: 0,09 < b < 0,64 4. Iterpolatoe ud Progose Für gegebee Szeare lasse sch de Werte schätze: Bestmme Se de beste Schätzwert für de Umsatzredte m Quartal 7, be eem Schulugsaufwad vo 3 Std/Moat ud eem CRM-Aufwad vo 700 /Kude. (7;3;700) = 5, , , ,0 700 = 4,698 % 4,7% 5. FISHER-Testgröße xf zegt, ob de gesamte Regresso statstsch geschert st. De Regresso st statstsch geschert, we xf empr > xf crt = xf Tabellewert "Prüfgröße F" = xf empr = 8,3 xf crt (=0,05; df=3, df=8) = xf 0, = 4,066 De Regresso st statstsch geschert auf dem 95%-Scherhetsveau, wel 8,3 > 4,066 Se st sogar auf dem 99%-Nveau geschert, wel 8,3 > 7,59 (hochsgfkat). Berechug vo xf empr sehe Excel / Multple 6. De STUDENT-t-Testgröße zegt, welche Eflussvarable ee sgfkate Betrag für de utersuchte Zusammehag lefer. De emprsche Testgröße t b(k) werde agezegt. für b : t bk e mt SE k k SE -p- empr b b kk bk kk sd de Elemete der Matrx (V T V) - sehe uter V T- Regresso, Stadardfehler SE außer Betracht. Vgl. Bleymüller S.68 Der Eflussfaktor x lefert ee sgfkate Betrag für de Regresso we glt: t emprsch > t crtcal = t Tabellewert Tabelle 7.5a für = 0,05, = p her: t 0,05 8 = 4,694 >,86 => der CRM-Aufwad lefert ee sgfkate Betrag.,4 <,86 => der Schulugsaufwad lefert kee sg. Betrag. 0,8 <,86 => de Zetetwcklug lefert kee sg. Betrag. [GOSSET, WILLIAM, "STUDENT", Dubl, Irlad, 908]

17 Thema Korrelato Statstk - Neff.5 INTER- UND AUTO-KORRELATION 7. Iterkorrelato: We zwe Eflussvarable x j, x k selbst mteader korrelere, werde de Ergebsse der Regressosaalyse verzerrt. Iterkorrelato legt vor, we für de Korrelatoskoeffzet glt r jk > 0,5. De Korrelatosmatrx zegt paarwese de Korrelatoskoeffzete r jk. her: es besteht kee sgfkate Iterkorrelato, wel alle r jk < 0,5. Zusätzlch zege de Korrelatoskoeffzete zur beeflusste Varable y ählcher Wese we de STUDENT-t-Testgröße, welche Eflussvarable ee verglechswese höhere Betrag für de utersuchte Zusammehag lefer. 8. Autokorrelato: "selbst" Suche ach Zykle (Astroome, Wrtschaft, Bocheme) Ma sprcht vo Autokorrelato, we de Resdue e, de aufeader folge, mteader korrelere. e = y Im Extremfall A wechsel de Resdue e eader ab, zege also e zetlches Muster der Form Im Extremfall B folge postve bzw. egatve Resdue regelmäßg aufeader, etwa der Form Je höher dese Korrelato zwsche aufeader folgeder Beobachtugswerte st, desto größer sd de Schätzfehler aus der Regressosaalyse; ma sollte da adere Methode beutze, de dese auto-regressve Egeschaft der Daterehe berückschtge.(arima) Das DURBIN-WATSON-Maß DW st e Maß für de Stärke des Zusammehags aufeader folgeder Resdue, d.h. für de Stärke der Autokorrelato. DW De Summe e e e DW e ud e e k k e e e k sd der Ausgabe Resdueplot. Legt das DW -Maß ahe be der Zahl, da besteht kee Autokorrelato. De DW -Tabelle zegt Itervalle um de Wert für "kee wesetlche Autokorrelato". Legt das DW -Maß oberhalb deses Itervalls, da besteht Autokorrelato vom Typ A, legt das DW -Maß uterhalb deses Itervalls, da besteht Autokorrelato vom Typ B. We ma utersuche möchte, ob sch Beobachtugswerte ach jewels 3 Perode sgfkat auswrke, da beutzt ma DW 3, d.h. da arbetet ma der o.g. Formel mt de Abwechuge e e -3. [DURBIN, JAMES, Cambrdge, GB, 950 WATSON, GEOFFREY, Prceto,USA, 950] her:,0 [,3 ;,68] für =.

18 Thema Korrelato Statstk - Neff.6 AUFGABE MULTIPLE Aufgabe Multple (Multple leare Regressosaalyse) gegebe: E Aalyseblatt we auf Sete.3, jedoch kee gelbe Markeruge, e Datesatz für e Szearo, Scherhetsgrad be Nr.5 ud 6 beachte! gesucht / Schrtte:. Adjustertes Bestmmthetsmaß, Iterpretato, Mt welchem Prozetsatz wrd de Größe y durch de Eflussvarable erklärt? Ablese, terpretere. Glechug der Regressosfukto Koeffzete ablese, als Fuktosglechug schrebe 3. Iterpolato oder Progose für das gegebee Szearo De gegebee Werte (de Datesatz) Fuktosglechug esetze 4. Ist das Regressosmodell be = statstsch geschert? (oder be = ) Ka ma de Nullhypothese "H 0 Zusammehag" ablehe? F-Prüfgröße ablese: vergleche xf emprsch > xf crt? Folgerug. 5. Lefert de Eflussvarable x k ee sgfkate Betrag für de behauptete Zusammehag? Ist der Efluss vo Faktor x k sgfkat? Schleße Se mt eem Scherhetsgrad vo = [%] oder be = t-prüfgröße ablese ud vergleche mt t crt. Folgerug. Tabelle 7.5a 6. Prüfe auf Iterkorrelato zwsche de Eflussfaktore. We stark häge de Eflussfaktore gegesetg voeader ab? I der Korrelatosmatrx de Koeffzete r jk ablese ud terpretere. 7. Prüfe auf Autoregresso htereader folgeder Beobachtugswerte. De Summe e ud e e ablese, dvdere => DW. Mt der Tabelle prüfe, ob DW-Maß m erforderlche Itervall legt.

19 Thema Korrelato Statstk - Neff.7 A' - REGRESSION Regressosfuktoe der Form = a (x) + b sd Regressosfuktoe, de ma we efache Regressosgerade etwckel ka: we (x) = x da st = a x + b. Bevor ma ee Regressosaalyse durchführt, wählt ma ee passede Asatzfukto (x), x 3 also bespelswese ( x) e, ( x), ( x) x, ( x) lx x De Regressosfukto mt der Fuktosglechug = a (x) + b wrd so gewählt, dass de Summe der Abwechugsquadrate mmal wrd ("Methode der kleste Quadrate"). Wr ee deses Verfahre "A'-Regresso"; üblch st auch: Regresso mt learserbare Modellfuktoe. Gaz aalog der Herletug Abschtt.7 folgt: Ezele Abwechuge: e = y = y (a (x ) + b) = y a (x) b Ezele Abwechugsquadrate: (y a (x) b) Summe der Abw.-Quadrate: A ( y a ( x ) b) a ud b sd de gesuchte ubekate Koeffzete De Abletuge sd A A' a y a( x) b ( x) 0 a A A' b y a( x) b0 b 0 y ( ) ( ) x a x b( x) 0 y a( x) b Auch de Normalglechuge werde de Ausdrücke x durch ( x ) ersetzt ud es etsteht das leare Glechugssystem: a ( x ) b( x) y( x) a( x) by Für de Regressoskoeffzete ka ma da schrebe: y( x) y( x) a a b y ( x ) ( ) ( x) x Zum Bespel glt für de Regressoskoeffzete a ud b a mt der Asatzfukto yˆ ba b x x y y x x a a b y x x x

20 Thema Korrelato Statstk - Neff.8 REGRESSIONSANALYSE Besp..4 Regressosaalyse mt der Asatzfukto = a l x + b E Uterehme zechet über de Zeträume x ( Moate) de Absatzmege y ees bestmmte Produktes auf. Das Uterehme erwartet ee gewsse Marktsättgug ud beutzt daher für de Bestmmug des Treds ud für Progose de Asatzfukto = a l x + b. Zu bestmme sd: A A a) De Abletuge ud für de Summe der Abwechugsquadrate A. a b b) De Normalglechuge ud das leare Glechugssystem mt de gegebee Zahlewerte c) De Formel für de Regressoskoeffzete (Herletug cht erforderlch). d) De Fuktosglechug der Regressosfukto, das st ee Tredfukto. e) Das Bestmmthetsmaß ud desse Iterpretato. f) De Progose für de 3. ud 4. Moat. a) b) c) A ( y a l x b) a l x b l x yl x al x by l l l x l ) x y x y x a d) yˆ,7 l x0,965 e) Bestmmthetsmaß r A A' a y al x b l x0 a A A' b y alx b0 b Excel / A' Regresso erklärt sgesamt 39, 575a9,987b65, 66 9,987 ab35 a b y l x yˆ y s 8,630 0,870 9,97 y y Achtug cht-lear 87% der Äderug der Absatzmege st auf de Zetetwcklug zurückzuführe. 3% der Ursache werde durch de Regressosaalyse cht erklärt. Formel.3 f) 3.Moat 397 kg, 4.Moat 4057 kg Aufgabe A' Regresso mt = a (x) + b Gegebe: Wertetabelle (x y ), = 5.., Tele der Arbetstabelle, Asatzfukto (x) zusätzlcher Wert für ee Iterpolato Gesucht: A A a) De Abletuge ud für de Summe der Abwechugsquadrate A. a b b) De Normalglechuge, das leare Glechugssystem mt de gegebee Werte. c) De Formel für de Regressoskoeffzete (Herletug cht erforderlch). d) De Fuktosglechug der Regressosfukto. e) Das Bestmmthetsmaß ud desse Iterpretato. Formel.3 f) E Progose- oder Iterpolatoswert. Schrtte: geau we Bespel.4 gezegt

21 Thema Korrelato Statstk - Neff.9 TRANSPONIERTE VANDERMONDE-MATRIX Besp..5 Ver Messuge ergabe ebestehede Wertetabelle. De Asatzfukto se ee Gerade, = a x + b oder = a 0 + a x. Wr bestmme de Regressoskoeffzete mt dem aalytsche Asatz über de Abletuge der Summe der Abwechugsquadrate: Excel / V T -Regresso Als Normalglechugssystem ergbt sch: x b y 4 0 a0 33, 3 x x m xy 0 30 a 9, 6 Mt der Lösug a = m =,67. a 0 = b = 4,5. =,67 x + 4,5 (Spalte getauscht, wege der Idex-Rehefolge der VANDERMONDE- Matrx) (Zele getauscht, spelt für de Lösug kee Rolle) x y 6 6, ,5 Mt der Vadermode-Matrx köte ma aus Wertepaare de Geradeglechug bestmme. Ket ma Stützpukte (x y ) da lasse sch de Koeffzete a 0, a bestmme: a0 ax0 y0 x 0 a0 y0 V a y a0 ax y x a y Das geht problemlos, we V quadratsch st. Wr habe aber ee Matrx V mt 4 Zele. User leares Glechugssystem st überbestmmt: a0 ax0 y0 x 0 y0 a0 ax y x a0 y a0 ax y x a y a0 ax3 y 3 x y 3 3 Das führt aller Regel zu eem Wderspruch. Ma ka das leare Glechugssystem aber mt eem mmale Fehler A m löse. Durch Multplkato der Glechug V a = y mt der traspoerte Matrx V T etsteht de Glechug V T V a = V T y. De lke Sete V T V st ee quadratsche, sogar symmetrsche Matrx. Mt der Matrzeglechug V T V a = V T y ka ma also de Koeffzete a bereche. V y Excel / V T -Regresso 6 6 V T 6,8 6, T 4 0,5 V 4 0, , , 6 V T V V T y Es ergebe sch deselbe Normalglechuge, ma erket we be der Multplkato mt V T acheader de Summe, x, x, y, xy etstehe. De Regressosaalyse mt Hlfe der Glechug V T V a = V T y ee wr V T -Regresso, se st vel wetrecheder als de A' Regresso über de Abletuge A'(m,b).

22 Thema Korrelato Statstk - Neff.0 V T -REGRESSION Überscht. A' Regresso. Leare Regresso m egere Se.Berechug eer Regressosgerade (x) = m x +b Ma erstellt ee Arbetstabelle für x y, x,bestmmt de Summe ud löst A a = y. Regressosmodelle der Form (x) = a (x) + b = a 0 + a (x) Ma erstellt ee Arbetstabelle für (x ), (x ) y, (x ),bestmmt de Summe ud löst A a = y. Ma erhält ee Regressosfukto.. V T -Regresso Damt köe fast alle Regressosmodelle bearbetet werde. Regressosmodelle.w.S. habe de Form (x) = a 0 + a (x) + a (x) + + a k k (x) mt fast belebge Asatzfuktoe (x). Ma etwckelt ee VANDERMONDE-Matrx V ud löst de Glechug V T V a = V T y ach de Regressoskoeffzete a auf.. Regressosfuktoe mt k >, z.b. (x)=a 0 + a x + a x. Multple Regressoe, das sd Regressosmodelle mt mehr als ee Eflussvarable. z.b. (x)= a 0 + a u + a v + a 3 x 3. Echte chtleare Regresso z.b. ˆ bx b y ae, yˆ as( bx), yˆ a x verwede wr Thema "Logstscher Tred". Besp..6 Füf Pukte sd gegebe (0 3) ( 5) (3 5) (5 3) (6 0) Das Ausglechpolyom. Grades st zu bestmme, ee Regressosparabel, ee Fukto ach dem Regressosmodell (x)=a 0 + a x + a x st zu bestmme. Excel / V T -Regresso x0 x 0 x x xk x k V a = y = 3,550 +,07x 0,35 x Mt Hlfe der Regressosfukto ka ma de beste Schätzug für x = 4 bestmme: (4) = 3,550 +,07 4 0,35 4 =,48 I Excel: Pukt aus der Puktwolke markere, da Rechtsklck, "Tredle efüge" Besp..7 Der Efluss der bede Varable U ud X auf de Größe Y soll utersucht werde. Es legt dazu de ebestehede Wertetabelle vor. Gesucht st e Regressosfukto ach dem multple Modell = a 0 + a u + a x. u0 x0 u x V a = y = 60,80 + 0,767 u + 3,96 x uk x k De beste Schätzug für das Szearo u = 0, x = 7 st (0 ; 7) = 60,80 + 0, ,96 7 = 7,86 u x y

23 Thema Korrelato Statstk - Neff. AUFGABE V T -REGRESSION Aufgabe V T -Regresso Gegebe: Wertetabelle (x y ), (u v x y ) = 5..6, Regressosmodell zusätzlch Wert(e) für ee Iterpolato Gesucht: a) VANDERMONDE-Matrx für das agegebee Regressosmodell (x) = a 0 + a (x) + a (x) + + a k k (x) b) Glechug der Regressosfukto c) Iterpolatoswert Schrtte:. VANDERMONDE-Matrx für das gegebee Zahlemateral formulere. Schema für de Lösug der Glechug V T V a = V T y erstelle, evtl. Vordruck beutze 3. V T V a = V T y ach a auflöse, be V T V de Symmetre ausutze. Das leare Glechugssystem mt GAUß-JORDAN-Verfahre löse. 4. Regressosglechug formulere 5. Gegebee Wert(e) für de Iterpolato de Regressosglechug esetze.

24 Thema Korrelato Statstk - Neff. INTERPOLATION, ZUR ERINNERUNG P 0 ( 3-5) P ( ) P (3 ) P 3 ( 3) P 4 (,5 -) 5 Stützstelle Taylor-Rehe für f(x) = s x etwckelt für x = x x x x g( x) x xx xx xx xx x f(,3) = 0,7457 g(,3) = 0,7459 Stegugswkel 0 be P 0 (0 ) Stegugswkel be P (4 5) f(x)= +.5 x 0,5 x 3 kubsche Splefukto, 5 Stützstelle P 0 P 4 4 Telpolyome s 0 (x), s (x), s (x), s 3 (x), Bézer-Polyom zum Polygo P 0, P, P, P 3 Ausglechspolyom f(x) =,39,909 x 0,446 x + 0,79 x 3

25 Thema Korrelato Statstk - Neff.3 UNEIGENTLICHE INTEGRALE Fläche zwsche Radfuktoe f(x) ud hrer Asymptote a(x) rage s Uedlche. Mt Hlfe der Grezwertrechug ka ma de Ihalte solcher Fläche bestmme. I bestmmte Fälle habe dese Fläche ee edlche Ihalt. De Ausdrücke für solche Fläche et ma uegetlche Itegrale. Vele Itegraltafel ethalte e Lste aller uegetlche Itegrale. ( ) mt der x-achse als Asymptote ax ( ) 0. f( x) x x f x x x ( ) x x x F x x dx x F lm [cm ] x x

26 Thema Korrelato Statstk - Neff.4 ABWEICHUNGSQUADRATE a) Bem Ablete vo ( ) ergebe sch 3 Probleme: A y mx b () De Fuktosvarable ("Ubekate") sd her cht x ud y, soder m ud b. De optmale Werte für m (Geradestegug) ud b (y-achse-abschtt) sd gesucht. x ud y sd de gemessee ud damt bekate Tabellewerte. () De Fukto ethält e Summesymbol. Es glt:, f x gx fx gx das st de Summeregel. Ma ka also de Summe als Gazes ablete. (3) ( y mx b) st e verketteter Ausdruck. De ere Fukto st u(x) = y - mx - b ud de äußere heßt v(u) = (u(x)). Ma beutzt de Ketteregel f(u(x))' = v'(u) u'(x). b) Der Fuktosgraph zu A(m,b) st ee "Mulde" m Koordateraum mt de dre Achse A, m ud b. Für jede Kombato (m,b) ka ma de Summe der Abwechugsquadrate A(m,b) bereche. c) De Tagete t m sd de "waagerechte" Tagete Rchtug der m-achse, für hre Steguge glt A'(m) = 0. Ee deser Tagete t m verläuft durch de Tefpukt. De Tagete t b sd de "waagerechte" Tagete Rchtug der b-achse, für hre Steguge glt A'(b) = 0. Ee deser Tagete t b verläuft durch de tefste Pukt. Am tefste Pukt der "Mulde" schede sch de Tagete, es glt A'(m) = 0 ud glechzetg A'(b) = 0. Ma erhält also m ud b durch Löse des Glechugssystems A A' m y mx b x0 m y sd partelle Abletuge A x A' b y mx b 0 b