1 Mathe Formeln Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

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1 1 Mathe Formel Statstk ud Wahrschelchketsrechug Jör Horstma, Alle Agabe ohe Gewähr. w017/ 1.1 Grudlage Ezelklasse [a ; b [ Klassewete Klassemtte Mttelwert b a = w x = a+b x = 1 x =1 }{{} = grupperte Werte x h =1 x h =1 }{{} klasserte Date Absolute Häufgket Relatve Häufgket Kumulerte Häufgket h = H = h j Meda, aalog für Q 1 (0, 5) ud Q 3 (0, 75) Modalklasse (klasserte Date) z = a + 0, 5 H 1 h h w = max Geometrsches Mttel (be Wachstumsrate) w x g = x 1 x x 3... x Hstogramm: Fläche des Rechtecks proportoal zu h h = h w 1. Streuugsmaße R = Spabrete = x max x m Q = Quartlsabstad = Q 3 Q 1 d m = 1 x m d z = 1 x z d x = 1 x x = Varaz = 1 (x x) = 1 x x = x h x = Stadardabwechug = V = Varatoskoeffzet = x Der G-Koeffzet D G = (Hk 1 + H k ) k x k 1 (grup. Date) x (H 1 + H ) x 1 (klass. Date) x 1

2 D G = 0 absolute Glechvertelug 0 < D G < 0, 4 gerge Kozetrato 0, 4 D G < 0, 6 mttlere Kozetrato 0, 6 D G < 1 hohe Kozetrato D G = 1 absolute Kozetrato De Lorez-Kurve c = x x x x C = j=1 c j Atele der Merkmalssumme 1.3 Korrelato ud Regresso Bedgte Häufgkete Kovaraz Cov(x, y) = xy Schutzkoeffzet S = max (S ) S = H C P (H ; C ) st e Pukt auf der Lorezkurve D G = Fläche zw. Wkelhalbereder ud Lorezkurve h (x y j fest) = h j = h j h j = j j xy = 1 (x x) (y ȳ) = 1 x y x ȳ x, y sd uabhägg Cov(x, y) = 0 Cov(x, y) 0 x, y sd abhägg x, y sd uahägg we für alle, j glt: j = j Korrelatoskoeffzet xy r = x y xy = r x y Regressosgerade Learer Zusammehag zw. x ud y, Suche eer Gerade ỹ = a + bx ach der Methode der kleste Quadrate f = (a + bx y ) f wrd am kleste we 1.4 Idzes Idex ach Laspeyres b = a = ȳ b x (y ȳ) (x x) (x x) = xy x Presdex I L 0,t(p) = Megedex I L 0,t(q) = t q0 p 0 q qt p 0 q0 100

3 Idex ach Paasche Presdex I P 0,t(p) = t qt p 0 qt 100 Megedex I P 0,t(q) = t qt p t q0 100 Idex ach Fscher Presdex I F 0,t(p) = Megedex I F 0,t(q) = I0,t L (p) IP 0,t (p) I0,t L (q) IP 0,t (q) 1.5 Wahrschelchkete Klasssche Defto der Wahrschelchket (Laplace) ur be Zufallsexpermete, dere Ergebsse gleche Wahrschelchket habe P (A) = Azahl der zu A gehörede Eregsse Azahl aller Eregsse = A G Bedge Wahrschelchket (Wahrschelchket vo A we B egetrete st) Addtossatz Spezeller Addtossatz we A B = {} Multplkatossatz P (A B) = P (A B) P (A B) = P (A) + P (A B) = P (A \ B) + P (A B) + P (B \ A) P (A B) = P (A) + P (A B) = P (A B) P (A B) = P (A) P (B A) Satz der totale Wahrschelchket A 1, A, A 3,..., A see dsjukte Eregsse mt A 1 A A 3... A = G B = (B A 1 ) (B A ) (B A 3 )... (B A ) = P (A ) P (B A ) =1 Satz vo Bayes A 1, A, A 3,..., A see dsjukte Eregsse mt A 1 A A 3... A = G P (A B) = P (A B) = P (A ) P (B A ) 3

4 1.6 Kombatork ohe Wederholug Permutato verschedee Elemete P () =! mt Wederholug gruppewese detsche Elemete 1,, 3,... P ( 1,,...) = ( )! 1!!... Varato (Rehefolge wchtg) Kombato (Rehefolge uwchtg) m Elemete acheader aus Elemete zehe. V (m, ) =! ( m)! glechzetges Zehe (mt eem Grff) m aus ( )! C(m, ) = = m m!( m)! m ( ) + m 1 m 1.7 Zufallsverteluge Dskrete ZV Dskrete Glechvertelug (Laplace) x mmt verschedee Werte a E(X) = f(x ) x V ar(x) = f(x ) x µ f(x = x ) = 1 Bomalvertelug (Beroull - Expermet) E Zufallsexpermet mt zwe möglche Ausgäge wrd -mal wederholt, p st Wahrschelchket des güstge Ausgags ud k st de Azahl der güstge Ausgäge P (A) = p P (Ā) = ( 1 ) p = q P (X = k) = p k (1 p) k k E(X) = p V ar(x) = p (1 p) Posso-Vertelug Approxmato der Bomalvertelug B(, p) we > 50 ud p < 0, 05 P (X = k) = µk e µ k! = P (k 1) µ k Hypergeometrsche Vertelug Ee Ure ethält N Elemete, davo M güstge. Es werde Elemete ohe zurücklege (mt 4

5 eem Grff) gezoge. X = Azahl der dabe gezogee güstge Elemete. ( M )( N M ) k k P (X = k) = ( N ) 1.7. Stetge ZV E(X) = M N V ar(x) = M N N M N N N 1 E(X) = V ar(x) = f(x) x dx f(x) x dx µ Normalvertelug P (X = k) = 1 (x µ) π e Stadardormalvertelug, Vertelugsfukto Φ Z = X µ E(Z) = 0 V ar(z) = 1 ( P (X a) = P Z a µ ) ( ) a µ = Φ Φ( Z) = 1 Φ(Z) ( c ) P (µ c X µ + c) = Φ 1 Leare Trasformato Y = ax + b E(Y ) = a + E(X) V ar(y ) = b V ar(x) X, Y uabhägg E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) V ar(x + Y ) = V ar(x) + V ar(y ) x st N(µ, ) für = 1... x = x 1 + x x E( x) = µ V ar( x) = st ebefalls ormalvertelt 1.8 Hypothesetest Fehler 1. Art: De rchtge Hypothese wrd abgeleht Fehler. Art: De falsche Hypothese wrd ageomme 5