Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik - Zusamenfassung

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1 Wahrschelchketsrechug ud Statstk - Zusamefassug atrck letscher. September 3 Wahrschelchkete. Eregsraum Der Eregsraum Ω umfasst alle möglche Ausgäge ees Zufallsexpermmets. E Elemetareregs Ω st e Elemet ω Ω E Eregs A st ee Telmege vo Ω, d.h. ee Kombato vo Elemetareregsse A Ω (Komplemet) st das Eregs, dass A cht etrtt. A c A st de Klasse der beobachtete Eregsse. Falls Ω edlch st, da st A de Mege aller Telmege vo Ω, d.h. de otezmege.. Das Wahrschelchketsmass : A [, ] (A). = de Wahrschelchket, dass A etrtt Axome der Wahrschelchketstheore A (A) für alle A Ω A (Ω) = A3 Se A, A,... ee Folge dsjukter Eregsse, da ( ) = (A ) Wetere Recheregel (A c ) = (A) ( ) = A B (A) (B) (A B) = (A) + (B) (A B) (A B) = ( (A) + (B)) ud Multplkato.3 Berechug vo W kete edlche Räume (A) = A Ω Exkurs de Kombatork ermutatoe ohe Zurücklege Aus Objekte sd k herauszugrefe, wobe de Rehefolge ee Rolle spele soll. Mögl. =! ( k)! ermutatoe mt Zurücklege Gegebe sd Objekte. Wevele Folge der Läge k köe gebldet werde, falls jedes Objekt belebg oft gewählt werde darf. Mögl. = k Kombatoe ohe Zurücklege Gegebe ee Mege mt Elemete. Wevele Telmege mt k Elemete ka ma daraus blde?! Mögl. = ( k)!k! = ( ) k Bsp: Lotto (6 aus 45) A = {6Rchtge} = ( ) 45 6 B = {4Rchtge} = ( 6 39 ) 4)(.4 Bedgte W kete See A,B Eregsse, (A) > Def.: De bedgte W ket, dass A gegebe B etrtt, st (B A) = (A B) (A) Multplkatossatz Se (A) > : Da (A B) = (B A) (A) vo der totale W ket Gegebe see Eregsse A,..., A mt (A ) >. Def.: De A blde ee Zerlegug vo Ω, falls

2 . A A j = für j, paarw. dsj.. Ω = A Da glt für B Ω dass (B) = (B A ) (A ) vo Bayes (A B) = (A B) (B) = Allgemee Formel vo Bayes (A k B) = (B A k) (A k ) (B A ) (A ).5 Uabhäggket (B A) (A) (B A) (A)+ (B A C ) (A C ) See A, B Ω zwe Eregsse. Def. A ud B sd uabhägg, falls (A B) = (A) (B) Falls (A) > : A,B uabh. (B A) = (B) Falls (B) > : A,B uabh. (A B) = (A) Allgemee Defto der Uabhäggket Eregsse A,..., A hesse uabhägg, falls für jede Wahl vo je m Eregsse A k,..., A km, {k,..., k m } {,..., }, stets glt: (A k... A km ) = (A k )... (A km ) Zufallsvarable. Begrff der ZV Es se Ω e Eregsraum. Ee ZV auf Ω st ee Fukto Ω R. Wr ee ee ZV dskret, falls se edlche oder abzählbar vele Werte ammt.. Wahrschelchket- ud Vertelugsfukto Def. De W ketsfukto der dskrete ZV X st de Fukto { (X = x) falls x ω p(x) = sost ω: Werteberech vo X Vertelugsfukto F: F (x) = (X x) Für dskrete ZV st F (x) = p(x ) x : x ω, x x De Vertelugsfukto st: rechtsstetg lm x F (X) =, lm x + F (X) =.3 Ege wchtge dskrete Verteluge. Uforme Vertelug (Glechvertelug) ω = {x,..., x } p(x ) = (X = x ) = Bsp: Würfel mt eem Würfel. Beroull-Vertelug X mmt ur de Werte ud a (X = ) = p (X = ) = p (X) = p x ( p) x, x =, X Be(p) 3. Bomalvertelug X= Azahl Erfolge be Versuche p(k) = ( ) k p k ( p) k X B(, p) Approx. durch osso Multomalvertelug! [X = x, X = x, X 3 = x 3] = x!x!x 3! px px px De geometrsche Vertelug X= Azahl der Versuche, bs e Erfolg etrtt p(k) = (X = k) = ( p) k p 5. De egatvbomale Vertelug X= Azahl Versuche, bs ch r-mal erfolgrech b (X = k) = ( ) k r p r ( p) k r 6. De hypergeometrsche Vertelug Gegestäde eer Ure, r vom Typ I ud -r vom Typ II, ch zehe m davo (ohe Zurücklege) (X = k) = k)( m k) (r r ( m) Bsp: Lotto, 6 aus 45, W ket ees Verers: =45, r=6, m=6, k=4 7. De osso-vertelug X= Azahl Eregsse eem Zettervall(Arufe, gedruckte Fles) X st osso-vertelt mt arameter λ, falls (X = k) = λk e λ k! k =,,... Werteberech W =,..., λ = E[X] = p.4 Stetge Zufallsvarable Sd ZV, de Werte eem Itervall W aehme köe. z.b.: W = R, W = R +, W = [, ] Defto Se X ee ZV mt Vertelugsfukto oder W ketsfukto F (x) = [X x]. Falls es ee Fukto f(x) gbt, so dass

3 F (x) = x f(y)dy für alle x W, da hesst f(x) de Dchte vo X. Egeschafte f(x) für alle x f(x) st stetg oder stückwese stetg f(x)dx =, wel lm F (x) = x a < b : [a < X b] = [X b] [X a] = F (b) F (a) = [X = a] = b a f(x)dx A alle Stelle, a dee f(x) stetg st, glt: F (x) = f(x).5 Trasformato vo ZV Se X ee ZV mt Vertelugsfkt. F X (x) ud Dchte f X (x). Gesucht: Vertelug ud Dchte vo Y = g(x) We X N(µ, σ ) ud Y Y N(aµ + b, a σ ) = ax + b, da glt Se X stetg, mt Dchte f X (x), Vertelug F X (x). Se Y = g(x), mt g dff bar, streg mooto steged/falled auf eem Itervall I, wobe f X (x) = für x / I (I = R st zugelasse). Da st{ de Dchte vo Y fx (g (y)) d f Y (y) = dy g (y) sost wobe g de Umkehrfkt. vo g ud y {g(x) x I} Bespele. Glechvertelug (Uform Dstrbuto): X U(, ) { für x [, ] f(x) = sost für x < F (x) = x für x [, ] für x >. Expoetalvertelug X Exp(λ) λ > { λe f(x) = λx für x > sost x x f(y)dy = λe λx dy = e λx für xse U U(, ). F (x) = für x < De Exp-Vertelug st gedächslos. E Akuftsprozess, be dem de Zete zwsche de Aküfte Expoetell-vertelt st, hesst osso-rozess. λ hesst da de (Akufts)Rate des osso-rozess. 3. De Normalvertelug / Gauss-Vertelug X N(µ, σ ) f(x) = Πσ exp{ (x µ σ ) } µ = Mea, Mttelwert, < µ < σ = Stadardabwechug, σ > σ = Varaz x F (x) = f(y)dy: kee geschlossee Form, aber Tabelle Stadardserte NV: µ =, σ = We X N(µ, σ ) da st x µ σ N(, ) [X x ] = [ x µ σ x µ σ ] = Φ( x µ σ ) Φ( x) = Φ ud de Vertelugsfkt. { vo Y st FX (g F Y (y) = (y)) für g steged F X (g (y)) für g falled y {g(x) x I} Logormale Vertelug X N(µ, σ ), Y = e x g(x) = e x, g (y) = l y, I = R Se F (x) ee stetge, streg mooto wachsede Vertelugsfukto. Setze X := F (U) Da glt: [X x] = F (x) Defto Der Wert F (p) (für p (, )) hesst das p- Quatl der Vertelug F F (.5) hesst der Meda der Vertelug F. 3 Gemesame Vertelug mehrerer ZV See X,..., X Zufallsvarable. Da st F (x,..., x ) = [X x,..., X x ] 3

4 3. Stetge ZV Falls wr F (x,..., x ) folgedermasse darstelle köe F (x,..., x ) = x x... f(y,..., y )dy... dy da hesst f(x... x ) de Dchte vo (X... X ) Egeschafte [(X... X ) A] = f( x)d x = A... f(x,..., x )dx... dx... (x...x ) A f(x,..., x = 3. Radverteluge f(x,..., x )dx... dx = x... x F (x... x ) Gegebe se de gemesame Vertelug vo X ud Y:F (x, y). De Radvertelug vo X st: F X (x) = [X x] = [X x; Y (, )] = lm y F (x, y) Dskrete ZV: Y {y, y,...} De W ketsfkt. der Radvertelug vo X st p X (x) = p(x, y j ) j Stetge ZV: De Dchte der RV vo X st x f X (x) = d dx F X(x) = d dx [ f(x, y )dy ]dx = f(x, y )dy Bespel { 6(x y) für y x f(x, y) = sost x f X (x) = f(x, y)dy f Y (y) = f(x, y)dx y 3.3 Uabhäggket vo ZV De ZV X,..., X sd uabhägg, falls F (x,..., x ) = F X (x ) F X (x )... F X (x ) für alle (x... x ) R. Dskreter Fall: (X... X ) uabh. p(x... x ) = X... X (x ). Stetger Fall: f(x... x ) = f X (x )... f X (x ) X,Y uabhägg (F (x, y) = F X (x) F Y (y)) f(x, y) = f X (x) f Y (y) Wchtge Mehrdmesoale Verteluge. de mehrdmesoale Normalvertelug (stetge Vertelug) Dchte: f(x, y) = Πσ X σ Y ρ exp{ ( ρ )[( x µ X σ X } ) +( y µ Y σ ) ρ(x µ X )(y µ Y ) Y σ X σ ] Y < ρ < + Korrelato zw. X ud Y. Radvertelug f X (x) = σ X Π exp( ( x µ X σ X ) ) Uabhäggket vo X ud Y, geau da, we ρ =. De Multomale Vertelug (dskret) Es werde uabhägge Expermete durchgeführt. Es gbt jewels r möglche Ergebsse mt W ket p,..., p r. p =. Se N de Azahl der Ergebsse. De Vtlg. vo [N,..., N r ] hesst Multomalvtlg. p(n =,..., N r = r ) = ( ) r p pr r ( ) r =! : Multomalkoeffzet! r! RV vo N : p N ( ) = [N = ] = ( ) p ( p ) p(... r ) r p N ( ) kee Uabh. 3. Mehrdm. Verteluge mt U(,)-RV F (x, y) = exp( [( l x) β + ( l y) β ] β x, y ], ], β RV: F X (x) = F (x, y = ) = x: U(,)-Vrtlg. (Y geauso) 3.4 Bedgte Verteluge Dskrete ZV X,Y ZV dskret mt gemesamer W ketsfkt. p(x,y) Def. De bedgte W ketsfkt. vo X uter der Bedgug, dass Y=y st, st p X Y (x y) = [X = x Y = y] = [X = x, Y = y]/ [Y = y] Bem: p X Y (x, y) = p(x,y) p Y (y) = We p X Y (x y) = p X (x) für alle x,y, da sd X ud Y uabh. Stetge ZV See X,Y stetge ZV mt gem. Dchte f(x, y) Def. De bedgte Dchte vo Y, gegebe X=x, st f Y X (y x) = f(x,y) f X (x), we < f X(x) < sot f Y X (y x) = Bem: 4

5 f Y X (y x)dy = f Y X (y x) = f Y (y) für alle x,y X ud Y sd uabh. 3.5 Fuktoe vo ZV X,Y ZV mt bekater gem. Vtlg. Was st de Vtlg. der Summe X+Y? 4. Fuktoe vo ZV Se Y = g(x). Falls X dskret mt W ketsfkt. p(x) st, da st E[g(X)] = g(x )p x (x ), falls de Summe absolut kovergert. Falls X stetg vertelt vertelt st mt Dchtefkt. f, + da st E[g(X)] = g(x)f(x)dx falls das Itegral kovergert.. Dskreter Fall Z = X + Y p Z (z) = p(x, z x ), Falls X,Y uabhägg: p Z (z) = p X (x )p Y (z x ) (Faltug vo X,Y). stetger Fall X,Y Dchtefkt. f(x,y) sd gegebe. Z=X+Y + f Z (z) = f(x, z x)dx Falls X,Y uabhägg: + f Z (z) = f X (x)f Y (z x)dx 4 Erwartugswert 4. Defto ud Egeschafte Dskrete ZV X se dskrete ZV mt W ketsfukto p(x). Da st der EW vo X def. durch E[X] = x p(x ) falls de Rehe absolut kovergert.. Beroull Vertelug (X Be(p)) E[X] = p + ( p) = p. Geometrsche Vertelug (X Nb(, p)) E[X] = p 3. osso Vertelug (X λ (x)) E[X] = λ k= e λ λ k k! Stetge ZV X se stetg vertelt mt Dchtefkt. f X. Da st + E[X] = xf X (x)dx, falls das Itegral absolut kovergert.. Uforme Vertelug (X U(, )) E[X] = xdx = [ x ] =. Normale Vertelug (X N(µ, σ )) E[X] = µ 3. Cauchy Vertelug f(x) = Π +x, < x < + E[X] = + See X,..., X, Y ZV mt Y = g(x,..., X ). Falls X,..., X dskret sd mt p(x,..., x ), da E[Y ] =... g(x,..., x )p(x,..., x ) X X stetger Fall: + E[Y ] = g(x,..., x )f(x,..., x )dx... dx falls das Itegral absolut kovergert. Korollar zum See X,Y uabh. ZV Da E[g(X)h(Y )] = E[g(X)]E[h(Y )] 4.3 Learkombatoe vo ZV Der E wert st e learer Operator, d.h. X,..., X see ZV mt E werte E[X ],..., E[X ]. Se Y = a + b X. Da st E[Y ] = a + b E[X ]. 4.4 Varaz ud Stadardabwechug Defto X se ee ZV mt E wert E[X]. Da hesst var(x) = E[(X E[X]) ] de Varaz vo X (falls var(x) < + ). Es glt aber auch var(x) = E[X ] (E[X]), was mest efacher zu bereche st. Es glt: var(x) >! σ(x) = var(x) hesst Stadardabwechug. X dskret: var(x) = (x µ) p(x ), µ = E[X] X stetg: var(x) = + E[X ] = E[X] var(x) (x µ) f(x)dx, µ = E[X] Se X ee ZV mt var(x) < +, a, b R. Da st var(a + bx) = b var(x). Beroull-Vertelug X Be(p) 5

6 E[X] = p var(x) = p( p). Bomal Vertelug X B(, p) E[X] = p var(x) = p( p) 3. Normalvertelug X N(µ, σ) E[X] = µ var(x) = σ 4. Uforme Vertelug U U(, ) E[X] = var(u) = 5. X osso(µ) E[X] = µ var(x) = µ 6. Geometrsche Vertelug E[X] = p var(x) = p p 7. Expoetal Vertelug E[X] = λ var(x) = λ Gamma Fukto α > Γ(α) = u α e u du α R + : Γ(α) = (α )! α > : Γ(α) = (α )Γ(α ) Γ( ) = Π, Γ( 3 ) = Π 4.5 Kovaraz ud Korrelato µ X = E[X], µ Y = E[Y ] cov(x, Y ) = E[(x µ X )(Y µ Y )] cov(x, Y ) = E[XY ] µ X µ Y E[XY ] = xyf(x, y)dxdy falls gem. Dchtefkt. E[XY ] = E[X] E[Y ] falls uabh. Recheregel. X,Y uabh. cov(x, Y ) = De Umkehrug glt aber cht.. cov(x, X) = var(x) 3. cov(ax, Y ) = a cov(x, Y ) 4. cov(x + Y, Z) = cov(x, Z) + cov(y, Z) 5. cov(x + Y, Z + W ) = cov(x, Z) + cov(x, W ) + cov(y, Z) + cov(y, W ) 6. cov(x, a) = für a R 7. cov(a + j= b X, c + m b d j cov(x, Y j ) m d j Y j ) = j= 8. var(a + b X ) = j= b b j cov(x, X j ) 9. var(x + Y ) = var(x) + var(y ) + cov(x, Y ). Falls X,..., X uabh.: var( X ) = var(x ) m Gegesatz dazu glt mmer: E[ x ] = E[X ] X, Y see ZV mt edlche Varaze. Da hesst cov(x,y ) XY = ρ(x, Y ) = de Korrelato. Egeschafte ρ(x, Y ) [, ] var(x)var(y ) falls ρ(x, Y ) = ± da [Y = ax + b] = für a, b R, b ρ(x, Y ) ± X ud Y sd stark lear abhägg ρ(x, Y ) X ud Y sd schwach lear abhägg 5 Grezwertsätze See X,..., X uabh. ZV, mt E[X ] = µ ud var(x ) = σ < +. Da glt: lm ( X µ ɛ) = ɛ > 5. Zetraler Grezwertsatz X, X,... Folge detsch vertelter, uabh. ZV mt E[X ] = µ, var(x ) = σ < s = x ; Stadardserug: s µ σ Stadardserug: U = X µ σ N(, ) Zetraler Grezwertsatz lm ( s µ σ x) = Φ(x), Φ st de Vertfkt. der N(, )-Vertelug. Ka auch so geschrebe werde: lm ( X µ σ/ x) N(, ) Bespel Gesucht st x, so dass [ I > x] =.95 Aus dem ZGS folgt:.5 = [ I > x] = [ I x] = I E[I] [ x E[I] ] Φ( x E[I] ) V ar(i) V ar(i) V ar(i) 6

7 Mote-Carlo-Itegrato j(f) = f(x)dx se umersch zu bereche Geerere uabh. auf [, ] glechvertelte ZV. U,..., U ud bereche f(u) = f(u ). Se var(f(u )) edlch. Nach dem Gesetz der grosse Zahle glt: f(u ) = E[f(U )] = dx lm E[g(x)] = vo x st. g(x) f x (x)dx, wobe f x (x) de Dchte 5. Normalapproxmato der Bomalvertelug Falls glt p( p) > 9 so ka B(; p) durch N(µ = p; σ = p( p)) approxmert werde, sost falls p ud 5p durch oss(λ = p). Bespel VB auf α Nveau für Bomalvrtlg. X p p( p) N(, ) {X > Φ ( α) ˆp( ˆp) + ˆp} 6 Statstk Defto Ee Stchprobe vom Umfag st ee Folge X,..., X vo uabh., det. vertelte ZV. Ee Statstk st ee ZV g(x,..., X ), wobe g : R R 6. emprscher Mttelwert ud emprsche Varaz Für ee Stchprobe X,..., X, X = S = X (X X) Falls de X EW µ ud var σ habe, so st E[ X] = µ, var( X) = σ. X st ee ZV, µ ee Zahl. Ma sagt, X st e Schätzer vo µ. Falls de X N(µ, σ )-vertelt sd, so st X N(µ, σ )- vertelt. Se var(x ) = σ. Da E[S ] = σ. Ma sagt, der Schätzer S habe kee Bas. 6. χ Vertelug Falls X N(, ), da st X Γ(, ). Dese Vertelug et ma χ -Vertelug. Les: ch-quadrat mt Frehetsgrad. See X,..., X uabh. det. vertelt, X χ. Da st V = X X χ -vertelt. χ st ee Γ(, )-Vertelug. D.h., de Dchte st f(t) = t Γ( e t t / Falls V χ, da E[V ] =, var(v ) = See X,..., X ee Stchprobe vo N(µ, σ )- vertelte ZV. Da st ( )S σ 6.3 t Vertelug χ Se X,..., X ee Stchprobe aus eer N(µ, σ )- opulato. Da st t = X µ S/ t vertelt. Dchte der t-vertelug: f(x) = 6.4 F Vertelug + Γ( ) ΠΓ( x ) ( + ) +. U ud V uabh. χ ZV mt m bzw. Frehetsgrade, so wrd de Vertelug: W = U/m V/ als F Vertelug mt m ud Frehetsgrade bezechet, geschrebe F m, 7 Kofdeztervalle für ubekate Mttelwert µ eer Normalvertelug be bekater Varaz σ Vertrauesveau ( α) wähle (z.b..95) Ee Stchprobe. Vertelug st glech Z = X µ σ/ N(, ). Kofdeztervall a) zwesetg [q α X µ σ/ q α ] = α [ X q α σ µ X + q α ] 7

8 b) ach obe [ X µ σ/ q α] = α c) ach ute [q α X µ σ/ ] = α Zwe Stchprobe (Dfferez der Mttelwerte) glech we ee Stchprobe, aber mt folgeder Vertelug: ( X Ȳ ) (µ X µ Y ) σ Xm + σ Y N(, ) für ubekate Mttelwert µ eer Normalvertelug be ubekater Varaz σ Vertrauesveau ( α) wähle (z.b..95) Ee Stchprobe. Vertelug st glech T = X µ S/ t. Kofdeztervall a) zwesetg [t, α T t, α ] = α [ X t, α S µ X + t, α S ] b) ach obe [T t, α ] = α c) ach ute [t,α T ] = α Zwe Stchprobe (Dfferez der Mttelwerte) glech we ee Stchprobe, aber mt folgeder Vertelug: ( X Ȳ ) (µ X µ Y ) t m+ S wobe S p : m + S p = (m )S X + ( )S Y m + de gepoolte Varaz st falls m= ud Stchprobe cht ubedgt uabh.: D = X Y t D (µ X µ Y ) S D / für ubekate Varaz σ eer Normalvertelug Vertrauesveau ( α) wähle (z.b..95) Ee Stchprobe Zwe Stchprobe S σ ( ) χ SX /σ X SY F (m, ) /σ Y Wobe m () Az. Expermete für ZV X (Y) für ubekate arameter p eer Bomalvertelug. Vertelug st glech Z = ˆp p N(, ), ˆp( ˆp) wobe ˆp = k k= Az. Erfolge be Versuche.. Kofdeztervall [ˆp q α ˆp( ˆp) p ˆp q α ˆp( ˆp)] 8 Schätztheore E Schätzer st erwartugstreu, falls E[ˆθ] = θ. 8. Maxmum Lkelhood Se X,..., X ee Stchprobe des Umfags eer Dchte f(x, θ), da st de gemesame Dchte vo (X,..., X ) de Lkelhood-Fukto. X dskret: L(Θ) = X stetg: L(Θ) = (X = x ) f(x ) Wähle Θ so dass de Realseruge X,..., X am wahrschelchste sd. Um de Berechug zu verefache: logarthmere, so ergbt sch aus dem rodukt ee Summe. l(θ) = log L(Θ). Dfferezere daach ud setze glech. ach Θ ˆΘ ML Θ l(θ) 8. Mometemethode Bereche für X F (Θ):! =. Löse daach E[X] hägt vo Θ ab (da f(x) oder (X = x ) vo Θ abhäge). E[X] = xf(x)dx oder E[X] = x (X = x ) X = X Daach setze E[X] = X ud löse ach Θ ˆΘ MM p-tes Momet: Setze auch och E[X ] = X... E[X p ] = X p p-glechuge, löse ach Θ 8

9 9 Teste vo Hypothese 9. Neyma-earso aradgma Nullhypothese H : De zu zegede Aussage, mest also µ = µ Alteratve H A : Was glt, falls H A cht glt: µ µ, µ > µ, µ < µ Fehler. Art (α): Verwerfug vo H, obwohl H rchtg. α = (F ehler.art) Fehler. Art (β): Kee Ablehug vo H, obwohl H falsch. β = (F ehler.art). Macht Macht = β. W ket, dass H verworfe wrd, we es tatsächlch falsch st. Ma versucht α möglchst kle, ud β möglchst gross zu wähle. Dazu wrd α fxert. Daach kostruert ma dazu ee Test mt möglchst grosser Macht. Bespel Macht, we µ X, σ X glech wrklcher Mttelwert bzw. Varaz ud G de zuvor ausgerechete Greze des VB s st: Macht = (F ehler. Art) = (X G) = ( X µx σ X G µx σ x ) = Φ( G µx σ x ) 9. Neyma-earso Lemma Lkelhood rato = f(x) { f A (x) we f (x) f ρ L = A (x) < K α we f(x) f A (x) > K α K α muss so gewählt se, dass E [ρ L ] = α Der Lkelhood-Test ρ L st der mächtgste Test uter de Tests ρ mt Sgfkazlevel α α 9.3 Der t-test Mttelwert be ubekatem σ Modellaahme: X N(µ, σ) X uabhägg µ, σ ubekat Wr wolle teste, ob µ = µ oder Alteratve. Für de t-test glt: T = X µ S Uter H : T t Verwerfugsberech: H A : µ µ V B = { T t, α } H A : µ > µ V B = {T > t, α } H A : µ < µ V B = {T < t,α } Falls T bzw. T VB H verwerfe, sost H bebehalte. -Stchprobe t-test T = ( X Ȳ ) (µ X µ Y ) S m + t m+. Wobe S p = (m )S X +( )S Y m+ de gepoolte Varaz st. 9.4 Der z-test Mttelwert be bekatem σ Modellaahme: X N(µ, σ) X uabhägg µ ubekat, σ bekat Wr wolle teste, ob µ = µ oder Alteratve. Vertelug: N(, ) X µ σ/ Verwerfugsberech: H A : µ µ V B = { X µ σ/ > q α } H A : µ > µ V B = { X µ σ/ > q α} H A : µ < µ V B = { X µ σ/ < q α} 9.5 Lkelhood-Rato Tests für Multomalverteluge m Zelle, Beobachtuge Hstogramm l Λ = m x l( x E ) st χ -vertelt mt m k Frehetsgrade, wobe k de Az. freer arameter H st. 9

10 χ Apassugstest Modellaahme: X F, F rged ee Vertelugsfkt. Nullhypothese H : F = os(λ) Alteratve H A : F os(λ) De Teststatstk st gegebe durch de χ Teststatstk: ma bldet de qudrerte Dffereze zwsche de beobachtete Häufgkete (Beob ) ud de erwartete Häufgkete (Erw ), ma telt durch de erwartete Häufgkete (Erw ) ud summert über alle möglche Klasse. = Az. Klasse χ = = (Beob Erw ) Erw Uter H st de Teststatstk χ -vertelt mt f Frehetsgrade, wobe f= Az. Klasse - - Azahl geschätzter arameter Etschedug: VB={χ > χ f;p } Vorzeche Test Modellaahme: D uabhägg mt Meda m Nullhypothese: m = Alteratve: m Teststatstk: T = {D>} Uter H : T B(, p) Bespel für T = 7 ud = [T 7] = [T = ] =.34 Da.34 >.5 wrd H bebehalte auf 5% Test Methode der kleste Quadrate ud leare Regresso Beobachtuge: {(x, y ) =... } y = de abhägge Varabel, zu erklärede Varabel x = de uabhägge Varabel, erklärede Varabel Asatz: Der Zusammehag zw. x ud y st lear, d.h y = β + β x Abwechug (Resduum) des -te uktes: e = y (β + β x ) ˆβ = (x X)(y Ȳ ) (x X). Statstsches Modell y = β + β x + e e : Beobachtugsfehler Voraussetzuge:. e sd uabhägg. E[e ] = 3. var(e ) = σ 4. x sd fest Varaz var( ˆβ ) = σ x x ( x ) var( ˆβ ) = σ Korrelato cov( ˆβ, ˆβ ) = Bemerkuge x ( σ = x ) σ x x ( x ) ê := y ˆβ ˆβ x S = (ê ) (x X) st bas-freer Schätzer für σ Setze S e Formel für var( ˆβ ) bzw. var( ˆβ ) ud erhalte: s ˆβ bzw. s ˆβ. We e ormalvertelt sd, da sd ˆβ, ˆβ auch ormalvertelt, ud ˆβ β s β ˆ ud ˆβ β s β ˆ sd t-vertelt mt - Frehetsgrade. Korrelato ud Regresso S XX = (x X) Varaz vo X S Y Y = (y Ȳ ) Varaz vo Y S XY = (x Ȳ )(y Ȳ ) Kovaraz vo X ud Y Der Korrelatoskoeffzet vo X ud Y st: r = S XY SXX S Y Y Ergebs: ˆβ = ( x )( y ) ( x )( x y ) x ( x )