Lage- und Streuungsmaße
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- Juliane Scholz
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1 Statstk für SozologIe Lage- ud Streuugsmaße Uv.Prof. Dr. Marcus Hudec Beschrebug quattatver Date Um de emprsche Vertelug ees quattatve Merkmals zu beschrebe, betrachte wr Parameter, de ee Verdchtug der Iformato des Datesatzes bzw. der Vertelug ermöglche. De wchtgste Parameter sd de sog. Lageparameter, de das absolute Nveau (de Größeordug) der Date beschrebe sowe de Streuugsparameter, de messe, we sehr de ezele Beobachtuge um das Zetrum kozetrere Lagemaße Allgemee Lagemaße: Mmum, Maxmum, Quatle Zetrale Lagemaße: Arthmetsches Mttel, Meda, (Modalwert) Streuugsmaße Spawete, Quartlsabstad, G-Koeffzet Varaz, Stadardabwechug, Varatoskoeffzet Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec
2 Lagemaßzahle () Statstsche Maßzahle, welche de absolute Lage der Vertelug beschrebe Mmum Der kleste Wert ees quattatve Merkmals m(x,,x ) Maxmum Der größte Wert ees quattatve Merkmals max(x,,x ) Quatle Wert eer quattatve Varable, welcher de geordete Date Gruppe utertelt, so dass e bestmmter Prozetsatz darüber ud e bestmmter Prozetsatz daruter legt (sehe Kaptel ) 3 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Lagemaßzahle () Arthmetsches Mttel (mea) Mttelwert; Summe der Werte aller Beobachtuge (Merkmalssumme) getelt durch de Azahl der Beobachtuge(Fälle) Modalwert x = x = Der am häufgste auftretede Wert. Nur relevat be u-modale Verteluge bzw. auch be dskrete Date 4 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec
3 Lagemaßzahle (3) Meda Der Meda oder Zetralwert ees (zumdest ordal-skalerte) Merkmals st der Wert jeer Beobachtug, de der ach desem Merkmal geordete Gesamthet der Mtte zu lege kommt. x( ( + ) /) = + + ~ x0,5 ( x + x ) ( / ) ( ( )/ ) x () sd de geordete Beobachtuge, ugerade, gerade 5 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Mttelwert oder Meda? Das arthmetsche Mttel reagert sehr sesbel auf ezele Extremwerte Der Meda erwest sch gegeüber extreme Beobachtuge als relatv robust Ee statstsche Methode st robust, we se be Vorlege fehlerhafter Date verüftge Ergebsse lefert Robusthet muss ma der Regel durch Ebuße be der Präzso erkaufe 6 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 3
4 Bespel =5 Beobachtuge 7, 5, 4, 8, 6 Summe = 30 arth. Mttel = 6 Geordete Beobachtuge: 4, 5, 6, 7, 8 Meda=6 =5 Beobachtuge 7, 5, 4, 80, 6 Summe = 0 arth. Mttel = 0,4 Geordete Beobachtuge: 4, 5, 6, 7, 80 Meda=6 7 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Mttelwert versus Meda Das arthmetsche Mttel reagert sehr sesbel auf ezele Extremwerte Der Meda erwest sch gegeüber extreme Beobachtuge als relatv robust Rchter Note Rchter Note Rchter Note A 9 A A B 8,5 B 8,5 B C 9,5 C 9,5 C 9,5 D 9 D 9 D 9 E 9 E 9 E 9 Arth. Mttel 9 Arth. Mttel 7,6 Arth. Mttel 6,3 Meda 9 Meda 9 Meda 9 Trmmed Mea 9 Trmmed Mea 8,83 Trmmed Mea 6,67 8 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 4
5 α-trmmed Mea Grudgedake: etfere vor der Mttelug de extreme Beobachtuge, de das Ergebs stark beeflusse köe Der Datesatz wrd um *α Beobachtuge reduzert. Es werde de *(α/) kleste ud de *(α/) größte Beobachtuge vo der Mttelwertsbldug ausgeschlosse Allgemees Przp umfasst ee Famle vo Lagemaßzahle: α=0 ergbt das Arthmetsche Mttel α 00% ergbt de Meda 9 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Bespel zu α-trmmed Mea Bespel: =40 α-trmmed Mea mt α=0% Ausgeschlosse werde de ver extreme Beobachtuge: x (), x (),x (39), x (40) ud x = 0, = α x( ) = 3 I Excel Fukto: GESTUTZTMITTEL 0 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 5
6 Awedugsbespel für Trmmed Mea EURIBOR: Euro Iterbak Offered Rate; wrd täglch um Uhr Brüsseler Zet als ugewchteter Durchschtt aus Brefsätze vo Iterbakelage erstklassger Isttute auf Bass der Trasaktoe vo 57 Bake, daruter 47 aus dem Euroraum, 4 aus sostge EU- Läder ud aus 6 teratoale Bake, berechet. Dabe werde de jewels 5% höchste ud tefste Werte elmert. Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Lagemaße (4) Quatl Wert eer quattatve Varable, welcher de geordete Date Gruppe utertelt, so dass e bestmmter Prozetsatz darüber ud e bestmmter Prozetsatz daruter legt Quartl (0%, 5%, 50%, 75%, 00%) Dezl (0%, 0%, 0%, 30%,... 90%,00%) Zwe Kozepte a) Emprsches alpha-quatl x(k) (sehe Kaptel ) wobe (k-) < α* k b) Alpha-Quatl: Iterpolato (z.b. Excel) ~ x Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 6
7 Bespel mt Excel Schüler Wochezet für Hausaufgabe h x Wochezet für Hausaufgabe h x () 4,5 () 0,75,50 () 3,5 3 3,75 (3) 45 4,5 4 3,75 (4) 5,50 5 6,75 (5) 6,75 <=== emprsches.quartl 6 3,5 (6) 9,5 7,00 (7) 0,5 8 3,50 (8),75 9 0,75 (9) 3,50 0 3,75 (0) 3,50 9,5 () 3,75,75 () 3,75 3 5,75 (3) 3,75 4 3,5 (4) 5,75 5 5,50 (5),00 <=== emprsches 3.Quartl 6,00 (6),00 7 0,5 (7),50 8 3,50 (8),00 9 3,50 (9) 3,5 0,00 (0) 3,50 Summe = 69,00 Mttelwert = 3,45 Meda = 3,65 Mmum = 0,75. Quartl = 8,65 Maxmum = 3,50 3.Quartl =,000 3 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Bespel mt SPSS (Deskrptve Statstke) Deskrptve Statstk Zet für Hausaufgabe h pro Woche Gültge Werte (Lstewese) N Mmum Maxmum Mttelwert 0,75 3,50 3, Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 7
8 Bespel mt SPSS (Häufgkete) Statstke Zet für Hausaufgabe h pro Woche N Mttelwert Meda Modus Mmum Maxmum Perzetle Gültg Fehled ,4500 3,650 3,75,75 3,50 7,3750 3,650 75, Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Ee falsche Beobachtug alpha Trmmed Mea 0%,90 Trmmed Mea 0% 3,74 Trmmed Mea 99% 3,63 Bem Trmmed Mea (gestutztes Mttel) werde de größte ud de kleste α/- Wochezet für Hausaufgabe h Schüler x 4,5,50 3 3,75 4 3,75 5 6,75 6 3,5 7 0,00 8 3,50 9 0,75 0 3,75 9,5,75 3 5,75 4 3,5 5 5,50 6, ,50 9 3,50 0,00 Summe = 458,00 Mttelwert =,90 Meda = 3,63 Prozet abgeschtte 7 0,5 ud das Mttel der verblebede -α Prozet berechet. 6 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 8
9 4 Egeschafte des arthmetsche Mttels ) (x x ) = 0 = Summe der Abwechuge st glech Null! ) Przp der ( x c ) = m! fürc = x Kleste Quadrate = 3) y = a + bx y = a + bx Leartät 4) Te lg esamthete A,B : A x,x,,x mt x B y A,y,,y mt y B Arthmetsche Mttel der Grudgesamthet A B : A x + B y z = A + B bzw. z = h A x + h B y falls z = (x + y)/ A = B 7 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Bespele: ad 3) Leartät Das Durchschttsekomme eer bestmmte Gruppe vo Arbeter beträgt.000,- Im Zuge eer Tarfverhadlug wrd ee 4% Loherhöhug beschlosse. Glechzetg wrd beschlosse, dass vom eue Gehalt vo jedem Arbeter 0 für ee Soldartätsfod ebehalte werde. We hoch st das eue Durchschttsekomme? X... Ekomme bsher Y... Ekomme eu Y=,04*X-0 Neues Durchschttsekomme y = a + bx = 0 +,04 x = = Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 9
10 Bespele ad 4) I eem Uterehme sd 0 Persoe beschäftgt. De Lohsumme beträgt Das Durchschttsekomme der 40 mälche Agestellte se.400. We hoch st das Durchschttsekomme der weblche Agestellte? Gesamtmttelwert: =(40* *X)/0 X= Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Geometrsches Mttel Awedugsbespele: Wachstumsprozesse Beobachtuge x, x,..., x + Wachstumsfaktore: x+ w = bzw. x = x w + x Verhälts vo zwe aufeaderfolgede Beobachtuge Wachstumsrate: x+ x r = bzw. r = w bzw. w = r+ x Relatve Äderug vo zwe aufeaderfolgede Beobachtuge 0 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 0
11 Mttleres Wachstum Der Wert der ächste Perode ergbt sch durch de aktuelle Wert multplzert mt dem Wachstumsfaktor x = x + w Wedet ma dese Überlegug wederholt a, so ergbt sch für das Wachstum vo x bs x + x = x w = x w w = = x w w w + Das durchschttlche Wachstum st durch jee kostate Wachstumsfaktor charaktersert, der ausgehed vo x zum selbe Edwert x + führt Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Geometrsches Mttel x = x w = x w w = +... = x w w w x = x w w w + geom geom geom geom = = = w w w w w w geom = w = Bespel zum geometrsche Mttel Startkaptal ,00 Verzsug 3 Jahre: +5%, +40%, -40% Was st de durchschttlche Verzsug? Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec
12 Korrekte Mttelug Bespel zum geometrsche Mttel Startkaptal ,00 Verzsug 3 Jahre: +5%, +40%, -40% Was st de durchschttlche Verzsug? Redte (Wachstumsrate) Wachstumsfaktor Edkaptal Probe 5,00%, , ,64 40,00%, , ,6-40,00% 0, , ,00 FALSCH 8,33%,064,064 RICHTIG,64% 3 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Wachstumsprozess über mehrere Perode Bestmmug des Durchschtts auf der Bass vo Afags- ud Edwertes x = x w w w + x + w = = x w x + geom = w = = x 4 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec
13 Bespel aus der Sozalgeschchte Jahr Bevölkerug Wes Geometrscher Mttelwert jährlche Wachstumsrate jährlche Wachstumsrate ,0569,0 00 0,0 %,% ,903,034 0,034,34% Proberechug Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Logartmere Durch Logarthmere köe Wachstumsprozesse learsert werde. Awedug des arthmetsche Mttels auf der logarthmsche Skala ud daach Rücktrasformato w geom = = w log(w geom ) = log( w ) = log( w ) = log(w ) = = = w geom = exp log(w ) = 6 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 3
14 Bespel zum Geometrsche Mttel Arthmetsches Mttel der Wachstumsfaktore exp(0,096) 7 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Sehe Bespel mt Excel Jahr Umsatz Mo DM Wachstumsfaktor Wachstumsrate l(w.-faktor) ,4,00 0,0% 0,83 978,9,08 0,8% 0,89 979,7 0,93-6,9% -0, ,,48 4,8% 0,38 Produkt,550 0,096 4.Wurzel,6,6%,6 Afagspopulato: Wachstumsratfaktor Wachstums- Reale Fktves l(reale l(wachstums- l(fktves Jahr Etwcklug Wachstum Etwcklug) Dfferez faktor) Wachstum) ,03 9,03 0,05, ,59 0, , ,84 0,05, ,3079 0, , , ,05, ,3567 0, , , ,05, ,4055 0, , , ,05, ,4543 0, , , ,05, ,503 0, , , ,05, ,559 0, , , ,05, ,6007 0, , , ,05, ,6495 0, , , ,05, ,698 0, , ,9308 0,0, ,7936 0,0953 0,0953 0,009 0,0, ,8889 0,0953 0,0953 0, ,0, ,984 0,0953 0,0953 0, ,0, ,0795 0,0953 0,0953 0,90 5 0,0, ,748 0,0953 0,0953 0,9 6 0,0, ,70 0,0953 0,0953 0, ,0, ,3654 0,0953 0,0953 0, ,0, ,4607 0,0953 0,0953 0, ,0, ,5560 0,0953 0,0953 0, ,0, ,653 0,0953 0,0953 0,653 Durchschttlches Wachstum, ,47% 0,07050, , Bevölkerugsetwcklug Reale Etwcklug Fktves Wachstum Bevölkerugsetwcklug mt logarthmerter y-achse 0,8000 0,6000 0,4000 0,000 0,0000 9,8000 9,6000 9,4000 9,000 9,0000 l(reale Etwcklug) l(fktves Wachstum) Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 4
15 Testaufgabe Se fahre staubedgt ee Strecke vo 50km mt eer durchschttlche Resegeschwdgket vo 0km/h De ächste 50 km erzele Se ee durchschttlche Resegeschwdgket vo 5km/h. We hoch st de Durchschttsgeschwdgket für de gesamte Fahrt? 9 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Testaufgabe Se plae ee Autofahrt auf der Autobah vo We ach Salzburg ud reche mt eer durchschttlche Resegeschwdgket vo 00km/h Auf der erste Hälfte der Strecke komme Se ee Stau, so dass Se für de halbe Weg ur ee Durchschttsgeschwdgket vo 50km/h erreche. We schell müsse Se de zwete Hälfte der Strecke zurücklege, damt Se och de geplate Geschwdgket vo 00km/h erreche? 30 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 5
16 Harmosches Mttel x = bzw. w W = w = x W x = = Das utersuchte Merkmal se e Quotet: Dmeso-A/Dmeso-B Azahl (Gewchte) der Merkmalsträger: Dmeso-B: Mttelug durch arthmetsches t h Mttel Dmeso-A: Mttelug durch harmosches Mttel 3 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Bespel zum Harmosche Mttel Geschw. Strecke 30 km/h 60km 90 km/h 60km Ugewchtetes Harmosches Mttel 80 = = = 45 (ur zulässg, da bede /*4/90 4 /*( + ) x = = x = = /0*40 40/90 /0*( + ) Strecke glech lag sd) Gewchtetes Harmosches Mttel (Gewchte sd Strecke) x = W w w = = W x = Marcus Hudec 6
17 Bespel zum Harmosche Mttel Berechug der Durchschttsgeschwdgket: Geschw. Dauer 30 km/h h 90 km/h /3h Berechug mttels gewogeem arthmetsche Mttels: Gewchte sd Zetdauer (30* +90*/3)/(+/3)=3*0/8=45 W = = x = wx W = w 33 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Perodscher Kauf vo Wertpapere Ver Käufe vo Wertpapere mt kostatem Budget vo Akauf Kurse 5.000, ,00??? Durchschttskurs des Käufers??? , ,00 Arthmetsches Mttel 6.50,00 st atürlch cht glech dem durchschtlche Akaufskurs Harmosches Mttel 5.58,40 st glech dem durchschtlche Akaufskurs Akauf Kurse /x 5.000,00 0,0000 0, ,00 0, , ,00 0, ,00 0,0005 0,0007 x = = x Akauf Kurse Mege Budget 5.000,00 0, , ,00 6, , ,00 0, , ,00 5, ,00 SUMME 7, ,00 Gewogees Arthm. Mttel 5.58,40 Cost Average Effect 34 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 7
18 Streuugsmaße Statstsche Maßzahle, welche de Varabltät oder de Streubrete de Date messe. Se beschrebe de Abwechug vom Zetrum eer Häufgketsvertelug We eg lege de Merkmalsauspräguge ees quattatve Merkmals beeader? Maßzahle: Dfferez vo Quatle Summe der Abstäde aller Merkmalsauspräguge vo eem Lagemaß 35 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Bespel: Altersverteluge mt glechem Mttel Gruppe A Gruppe B Durchschtt 37, 37, Gruppe A Gruppe B Mmum,0, Maxmum 57,0 57, Spawete 36,0 36, Varaz 44,6 37, Std.Abw.,0 6, VC 3% 6% Quartl 8,5 35, Quartl 34,0 37, Quartl 5,5 38,3 36 Meda 34,0 37, IQ-Dstaz 3,0 3, bs 9 30 bs 39 bs bs 59 bs 36 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 8
19 Verschedee Verteluge Alle 3 Verteluge sd umodal, symmetrsch ud wese de selbe Mttelwert auf 0.8 N(0; 0,5) N(0; ) N(0; 4) Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Streuugsmaße () Spawete (rage) Dfferez zwsche größtem ud klestem Wert eer umersche Varable; Werteberech, dem alle Merkmalswerte lege R = x ( ) x() 38 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 9
20 Streuugsmaße () Quartlsabstad (IQ-rage) Dfferez zwsche drttem ud erstem Quartl; Ierhalb des Quartlsabstades lege 50% der Werte; uempfdlch gegeüber Extremwerte ~ x ~ 0,75 x0, 5 39 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Abstäde vom arthmetsche Mttel Arthmetsche Mttel De postve ud egatve Abwechuge vom arthmetsche Mttel kompesereeader eader ud summere sch mmer zu ull. 40 (x x) = 0 x = x = = Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 0
21 Mttlere Absolutabstäde vo eem Lagemaß Mttlere absolute Abwechug vom Meda (mea absolute devato (from the meda) - MD) = MD = x x Mttlere absolute Abwechug vom arthmetsche Mttel (MAA) (mea absolute devato (from the mea) - MAD) MAA = x x = Meda der absolute Abwechuge vom Meda (meda absolute devato - MAD) MAD = meda( x x ) 4 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Mttlerer quadrerter Abstad vom Mttelwert Varaz (varace) s = x x ( x x ) = De mttlere quadrerte Abwechug vom arthmetsche Mttel Häufg wrd der Praxs auch statt durch durch - dvdert. Des st v.a. da svoll, we ma auf der Bass eer Stchprobe Aussage für de Grudgesamthet treffe möchte (Erklärug folgt m.semester) 4 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec
22 Berechug vo Streuugsmaße Nr. Gruppe A Abwechug vom Mttel Absolute Abwechug vom Meda Quadraterte Abwechug vom Mttel Nr. Gruppe B Abwechug vom Mttel Absolute Abwechug vom Meda Quadraterte Abwechug vom Mttel 4-3, 0,0 70,3-6, 6,0 57,6 34-3, 0,0 9,3 35 -,,0 4, , 0,0 9, , 3,0 9, ,,0 4, ,0 0,0 0, ,,0 97, ,,0 4, 6 3-5,,0 5, ,,0, 7-6, 3,0 57, ,0 0,0 0, ,,0, , 3,0 9, , 4,0 49, ,,0 4, 0 3-5,,0 5,5 0 39,0,0 3,8 34-3, 0,0 9,3 57 0,0 0,0 398,0 38,0 4,0 0,9 37 0,0 0,0 0,0 3-5,,0 6, ,,0, ,0 9,0 54,4 4 38,0,0 0, ,0 0,0 87, ,0 0,0 0, ,0 7,0 94, , 3,0 9, ,,0 97,4 7 38,0,0 0, ,0 3,0 398,0 8 39,0,0 3, ,0 0,0 87, ,0 3,0 8, ,0 0,0 87, ,0 5,0 4,5 Summe: 0,0 9,0 893,0 Summe: 0,0 67,0 74,0 9,55 44,6 3,35 37,0 MD Varaz MD Varaz 43 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Abgeletete Streuugsparameter Stadardabwechug (stadard devato) s = s = ( x x ) = Quadratwurzel aus der Varaz Ist weder derselbe Dmeso we de Beobachtuge ud st somt oft aschaulcher als de Varaz Varatoskoeffzet (coeffcet of varace) s s v = bzw. v = 00 x x 44 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec
23 Stadardabwechug & Itervalle De Stadardabwechug bldet de Ausgagspukt für Kofdezaussage (sehe WS) Itervalle sd relabler als puktuelle Aussage Falls de Date eer Normalvertelug folge (Glockekurve) lege etwa 95% der Date dem Itervall zwsche Mttelwert mus bzw. Mttelwert plus zwefacher Stadardabwechug; jedefalls aber 75%. 45 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Bedeutug des Varatoskoeffzete Ee Stadardabwechug vo 300,- bem moatlche Ekomme st eer Gesellschaftsschcht mt eem Durchschttsekomme vo.500,- vo wesetlch größerer Bedeutug als eer Gruppe vo Ekommesbezeher, de m Moatsdurchschtt.400,- verdee. I der erste Gruppe st der Varatoskoeffzet 0%, währed er der zwete Gruppe ur,5% beträgt, obwohl de Stadardabwechug bede Gruppe glech groß st. 46 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 3
24 Volatltät De Volatltät glt als Eschätzug des küftge Rskos eer Akte. Als Maß für de Volatltät verwedet ma häufg de Varatoskoeffzete Bespel: Im Durchschtt über 50 Hadelstage betrug der mttlere Kurs eer Akte A 50,59 be eer Stadardabwechug vo 36,8. Über de selbe Verglechszetraum betrug der mttlere Kurs eer Akte B 396,0 be eer Stadardabwechug vo 8,96. Obwohl de Stadardabwechug der Akte A deutlch gerger st, muss e Ivestor her mt eem größere Rsko reche als be der Akte B, des wrd durch de Varatoskoeffzete quatfzert: VK A =36,8/50,59*00=7% VK B =8,96/396,0*00=46% 47 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Rechebespel: Reaktoszete x x -xq abs(x -xq) abs(x -med) (x -xq)² 0,30 0,04 0,04 0,035 0,0076 0, -0,05 0,048 0,055 0, ,9-0,07 0,068 0,075 0, ,7 0,0 0,0 0,005 0, , ,06 0,0606 0, , ,30 0,04 0,04 0,035 0, ,6 0,00 0,00 0,005 0, , -0,04 0,038 0,045 0, ,3 0,05 0,05 0,045 0, ,0-0,06 0,058 0,065 0,00336 Summe,58 0,00 0,44 0,40 0,096 Arthmetsches Mttel (xq) Meda (med): 0,58 0,65 MD: 0,040 Mttlere absolute Abwechug vom Meda MAA: 0,044 Mttlere absolute Abwechug vom arthmetsche Mttel MAD: 0,0450 Meda der absolute Abwechuge vom Meda Varaz: 0,0096 Stadardabwechug: 0,04686 Varatoskoeffzet: 8,% 48 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 4
25 Iterpretato De Agabe der Stadardabwechug erfolgt oft der Form x ±σ Im Bespel: 0,58±0,047 Uter der Aahme eer Normalvertelug (Form der Häufgketsdchte etsprcht eer Glockekurve) [Detals m WS] lege ca. 95% der Datepukte eem Berech vo x± σ 49 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Alteratve Berechugsformel () () (3) s x x x x s ( ) = = = = = x = = s = = x x x 50 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 5
26 Alteratve Berechugsformel m Bespel x x ² 0,30 0,09 0, 0,04 ( ) x x x = = 3 0,9 0,04 x , ,07 =(/0)*0 0,69-0,58² 5 0,3 0,0 0, ,30 0,09 7 0,6 0,07 8 0, 0,05 x s = = x 9 0,3 0,0 = 0 0,0 0,04 Summe,58 0,69 =(/0)*(0,69-,58²/0) Arthmetsches Mttel (xq) 0,58 0, s = x x = =(/0)*(0,69-0*0,58²) 0, Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Egeschafte der Varaz "Steer scher Verschebugssatz" ( x a ) = ( x x ) + ( x a ) = = Auswrkug learer Trasformatoe ( ) ( ) y= a+ bx s y = b s x Verschebugs-Ivaraz 5 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 6
27 Varazermttlug aus Telpopulatoe Te lg esamthete A, B : A x,x,,x mtx,s B x,x,,x mtx,s s p = A A A A A B B ( ) + ( ) s s x x + x x A A + B B A A B B A A = + A B B p B B = + A B A B ( ) ( ) s = p s + p s + p x x + p x x A A B B A A B B x Gesamtmttelwert = + Gesamte Varaz st das gewchtete Mttel der Telvaraze plus dem gewchtete Mttel der quadratsche Abwechuge der Gruppemttel vom Gesamtmttel (V total = V wth +V betwee ) A B 53 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Bespel: Ermttlug des Mttelwertes aus Telgesamthete Es lege Date aus Betrebe A ud B vor: 400 Agestellte aus Betreb A verdee moatlch m Mttel.90, Agestellte aus Betreb B verdee moatlch m Mttel.0,7 Da beträgt der Gesamtmttelwert ach dem Przp des gewogee arthmetsche Mttels:.959, , ,7 μ = Marcus Hudec 7
28 Bespel: Ermttlug der Varaz aus Telgesamthete Das Ekomme der 400 Agestellte aus Betreb A hat ee Stadardabwechug vo 0,3 Das Ekomme der 300 Agestellte aus Betreb B hat ee Stadardabwechug vo 4,98 Da beträgt de Stadardabwechug der Agestellte beder Betrebe zusamme: 30, ,3² ,98² s² = (90,84 959,98)² (0,7 959,98)² + = = 050,76 s = 050,76 = 30,9 Stadardserug (z-trasformato) Gegebe see Beobachtuge x,..., x mt Mttelwert x ud Varaz s Gesucht st ee leare Trasformato z=a+bx a+bx, so dass für de trasformerte Date das arthmetsche Mttel 0 ud de Varaz wrd. x x x z = = + s s s x x x x a b x z = + s s x = 0 s s s z = x = x x Uterschede: x -x () /(x () -x () ) bldet x [0,] ab x 56 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 8
29 Bespel zur Stadardserug x x -xq z =(x -xq)/s z ² 0,30 0,04 0,8963 0, , -0,05 -,043, ,9-0,07 -,45, ,7 0,0 0,56 0, ,3 0,06,330, ,30 0,04 0,8963 0, ,6 0,00 0,047 0, , -0,04-0,809 0, ,3 0,05,097, ,0-0,06 -,377, Summe,58 0,0000 0,0000 0,0000 Arthmetsches Mttel (xq): 0,58 Varaz(z): Stadardabwechug (x): 0,04686 Stadardabwechug (z): 57 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle SPSS 58 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 9
30 Ergebsse vo Descrptves Deskrptve Statstk Zet für Hausaufgabe h pro Woche Gültge Werte (Lstewese) N Spawe Mmum Maxmum Mttelwert Stadard Varaz Stadardf Statstk Statstk Statstk Statstk Statstk ehler Statstk Statstk 0,75,75 3,50 3,4500, , ,54 0 De Stadardabwechug msst de Varabltät vo Ezelbeobachtuge De Varabltät des Mttelwertes eer Gruppe vo Beobachtuge wrd durch de Stadardfehler df quatfzert: t S.E. = σ 59 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Stadardabwechug vs. Stadardfehler Scorewerte zwsche 0 ud 00 be =00 Persoe gemesse Arthmetsches Mttel 49,6 Stadardabwechug 3,8 Varabltät der Ezelwerte Wr zehe 0 mal ee zufällge Stchprobe vo 9 Beobachtuge Sample Sample Sample 3 Sample 4 Sample 5 Sample 6 Sample 7 Sample 8 Sample 9 Sample arthm. Mttel 38,9 47,3 4,4 44,9 55,6 53,9 3,6 63,9 46,3 5,6 Stadardfehler 0,6 Std.Abw. der 0 Stchprobemttelwerte 0,4 Varabltät des Mttelwertes 60 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 30
31 Arthmetsches Mttel be dskrete Date Aus vorgem Bespel ergebe sch folgede Formel: k... Azahl der verschedee Auspräguge k x = x = k = = hx 6 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Arthmetsches Mttel Be Würfe mt dem Würfel wurde folgedes Ergebs beobachtet: 5, 3, 4, 5, 5,, 6,, 4,, 3, 6 Der Durchschtt (das Arthmetsche Mttel) deser Augezahle st 3,75. 6 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 3
32 Bespel Würfelwurf Das Ergebs des Würfelwurfs lässt sch auch eer Häufgketstabelle zusammefasse: x h x h x / / k k / / x = 3 / 6/ 6 x = = = 4 / 8/ / 5/ 5 6 / / Summe 45/ 45 45/ = 3,75 hx 63 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Varaz be dskrete Date Trete ur k uterschedlche Werte x,..., x k mt zugehörge absolute Häufgkete,..., k bzw. relatve Häufgkete h,..., h k auf, so ergbt sch de Varaz als: σ σ k ( ) k = x x = ( x x) h = = k k ² = x x² = h x x² = = 64 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 3
33 Berechug Varaz dskrete Date Be Würfe mt dem Würfel wurde folgedes Ergebs beobachtet: 5, 3, 4, 5, 5,, 6,, 4,, 3, 6 De Summe der Augezahle st 45. Der Durchschtt (das Arthmetsche Mttel) deser Augezahle st 3,75. De Summe der quadrerte Augezahle beträgt =03 Demach st de Varaz: s x x s = = = /(03 *3,75²) =,85 65 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Berechug mttels Häufgkete x h x h x x ² x -xq (x -xq)² (x -xq²)h (x -xq²) 0,7 0,7 -,75 7,56,6 5,3 0,08 0,7 4 -,75 3,06 0,6 3,06 3 0,7 0, ,75 0,56 0,09,3 4 0,7 0, ,5 0,06 0,0 0, ,5,5 5 75,5,56 0,39 4,69 6 0,7,00 7,5 5,06 0,84 0,3,00 3, ,85 34,5 Arthmetsches Mttel 3,75 Varaz,85 Alteratv: 03/-3,75²=,85 k = s² = x x² s x x x x h k ( ) k = = ( ) = = 66 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 33
34 Arthmetsches Mttel be klasserte Date Sd de ezele Merkmalswerte cht mehr bekat, so ka ma das arthmetsch Mttel ur mehr äherugswese bereche, dem ma als Approxmato de Klassemtte m verwedet k... Azahl der Klasse x = k = m = k = h m 67 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Arthmetsches Mttel be klasserte Date Bldet ma de Summe der 00 Ezelbeobachtuge so ergbt sch 7440 ud für das arthm. Mttel 74,4 cm. Legt ur och de Tabelle mt Häufgkete auf der Bass der Klasseetelug vor so verwedet ma de Klassemtte (sehe Rechug). Es ergbt sch ee klee Abwechug: 74,3 cm Beachte Wahl der Klassemtte! Klasse m m * (50-55] (55-60] (60-65] (65-70] (70-75] (75-80] (80-85] (85-90] (90-95] (95-00] ,3 68 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 34
35 Berechug be klassfzerte Date σ Sd de Date k Klasse egetelt, ka ma auch de Varaz ur äherugswese bereche, dem ma mt de Klassemttelwerte m,..., m k arbetet. k ( ) k = m x = ( m x) h = = bzw. σ k k = m x = m h x = = 69 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Rechebespel:Varaz be klassfzerte Date Vo Bs Azahl m h m *h m ² *h 0 0, 0, 0, , ,96 88, ,3,9, ,6, ,08,8 0,48 SUMME 00 5,88 5 Varaz 6,4 =(5-5,88²) Stadardabwechug 4,05 Varatoskoeffzet 0,69 70 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 35
36 Bespel Körpergröße vo 00 Studete Klasse h m m h m ²h bs ,00 (50-55] 3 0, ,59 70,7 (55-60] 4 0, ,3 998,56 (60-65] 0 0,0 63 6,30 656,90 (65-70] 6 0,6 68 6,88 455,84 (70-75] 3 0, , ,67 (75-80] 0 0, , ,80 (80-85] 0, 83 0,3 3683,79 (85-90] 0 0,0 88 8, ,40 (90-95] 0,0 93,93 37,49 (95-00] 0,0 98 3,96 784, , ,80 Mttelwert= 74,30 Varaz= ,8-74,3²=88,3 Korrektur 86,3 Stadardabwechug= 9,40 9,9 Exakte Berechuge auf Bass der Urlste = 00 Summe x = Summe x² = Arthmetsches Mttel = 74,4 Varaz= 83,78 Stadardabwechug= 9,5 7 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Sheppard-Korrektur Es lässt sch theoretsch zege, dass be eer umodale Vertelug de auf der Bass der klassfzerte Date berechete Varaz größer st als de aus de Orgaldate. Be eer Klasseetelug mt kostater Brete Δ ka der Fehler mt der sog. Sheppard-Korrektur aäherd ausgeglche werde: Δ σ² korr. = σ² 5 σ ² korr. = 88,3 = 86, 3 Marcus Hudec 36
2. Mittelwerte (Lageparameter)
2. Mttelwerte (Lageparameter) Bespele aus dem täglche Lebe Pro Hemspel hatte Borussa Dortmud der letzte Saso durchschttlch 7.2 Zuschauer. De deutsche Akte sd m Durchschtt um 0 Zähler gefalle. I Ide wurde
Im Wöhlerdiagramm wird die Lebensdauer (Lastwechsel oder Laufzeit) eines Bauteils in Abhängigkeit von der Belastung dargestellt.
Webull & Wöhler 0 CRGRAPH Wöhlerdagramm Im Wöhlerdagramm wrd de Lebesdauer ( oder Laufzet) ees Bautels Abhägget vo der Belastug dargestellt. Kurzetfestget Beaspruchug Zetfestget auerfestget 0 5 3 4 6 0
Lage- und Streuungsmaße
Statstk 1 für SozologIe Lage- ud Streuugsmaße Uv.Prof. Dr. Marcus Hudec Beschrebug quattatver Date Um de emprsche Vertelug ees quattatve Merkmals zu beschrebe, betrachte wr Parameter, de ee Verdchtug der
WIB 2 Mathematik und Statistik Formelsammlung. Z Menge der ganzen Zahlen {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
1 Allgeme Geometrsche Rehe: q t = 1 q1 t=0 1 q Mtterachtsformel: ax 2 bxc=0 x 1/ 2 = b±b2 4ac 2a Bomsche Formel: 1. ab 2 =a 2 2abb 2 2. a b 2 =a 2 2abb 2 3. ab a b=a 2 b 2 Wurzel: ugerade 1 Ergebs gerade
(Markowitz-Portfoliotheorie)
Thema : ortfolo-selekto ud m-s-rzp (Markowtz-ortfolotheore) Beurtelugskrtere be quadratscher Nutzefukto: Beroull-rzp + quadratsche Nutzefukto Thema Höhekompoete: Erwartugswert µ Rskokompoete: Stadardabwechug
Verdichtete Informationen
Verdchtete Iormatoe Maßzahle Statstke be Stchprobe Parameter be Grudgesamthete Maßzahle zur Beschrebug uvarater Verteluge Maßzahle der zetrale Tedez (Mttelwerte) Maßzahle der Varabltät (Streuugswerte)
Geometrisches Mittel und durchschnittliche Wachstumsraten
Dpl.-Kaufm. Wolfgag Schmtt Aus meer Skrpterehe: " Kee Agst vor... " Ausgewählte Theme der deskrptve Statstk Geometrsches Mttel ud durchschttlche Wachstumsrate Modellaufgabe Übuge Lösuge www.f-lere.de Geometrsches
Spannweite, Median Quartilsabstand, Varianz und Standardabweichung.
Rudolf Brkma http://brkma-du.de Sete 06.0.008 Spawete, Meda Quartlsabstad, Varaz ud Stadardabwechug. Streuug um de Mttelwert. I de folgede Säuledagramme st de Notevertelug zweer Schülergruppe (Mädche,
Ordnungsstatistiken und Quantile
KAPITEL Ordugsstatste ud Quatle Um robuste Lage- ud Streuugsparameter eführe zu öe, beötge wr Ordugsstatste ud Quatle... Ordugsstatste ud Quatle Defto... Se (x,..., x R ee Stchprobe. Wr öe de Elemete der
Beispielklausur BWL B Teil Marketing. 45 Minuten Bearbeitungszeit
Bespelklausur BWLB TelMarketg 45MuteBearbetugszet BWLBBespelklausurTelMarketg Sete WchtgeHwese:. VOLLSTÄNDIGKEIT: PrüfeSeuverzüglch,obIhreKlausurvollstädgst(Aufgabe).. ABGABE: EsstdegesamteKlausurabzugebe.
Zur Interpretation einer Beobachtungsreihe kann man neben der grafischen Darstellung weitere charakteristische Größen heranziehen.
Rudolf Brkma http://brkma-du.de Sete 0.0.008 Lagemaße der beschrebede Statstk. Zur Iterpretato eer Beobachtugsrehe ka ma ebe der grafsche Darstellug wetere charakterstsche Größe herazehe. Mttelwert ud
Statistik. ist die Kunst, Daten zu gewinnen, darzustellen, zu analysieren und zu interpretieren um zu neuem Wissen zu gelangen.
Statstk st de Kust, Date zu gewe, darzustelle, zu aalysere ud zu terpretere um zu euem Wsse zu gelage. Sachs (984) Aufgabe De Statstk hat also folgede Aufgabe: Zusammefassug vo Date Darstellug vo Date
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Quellencodierung I: Redundanzreduktion, redundanzsparende Codes
Quellecoderug I: Redudazredukto, redudazsparede Codes. Redudaz. Eführug. Defto der Redudaz. allgemee Redudazredukto. redudazsparede Codes. Coderug ach Shao. Coderug ach Fao. Coderug ach Huffma.4 Coderug
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tzplatzreserverugsproblem Be vele Zugsysteme Europa müsse Passagere mt hrem Zugtcet ee tzplatzreserverug aufe. Da das Tcetsystem Kude ee ezele Platz zuwese muss, we dese e Tcet aufe, ohe zu wsse, welche
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Lösuge Aufgabe Merkmal (x) Häufgket (h) h x,, 3, 3,, 8, 5, 5, 6, 6, 7, 3, 8, 3 5, 9, 38,, 5,, 8 68,, 6 3, 3, 9,, 8, 5, 5 5, 6, 3 78, 7, 5, 8, 8, 3, 3, Summe 5.63, Aufgabe Häufgketsvertelug (Stabdagramm)
die Schadenhöhe ( = Risikoergebnis) des i-ten Versicherungsnehmers i 1,, n).
Aufgabe Wr betrachte ee Reteverscherug der Retebezugszet mt jährlch vorschüssger Retezahlug solage der Verscherte lebt. a) Bezeche V bzw. V de rechugsmäßge Deckugsrückstellug am Afag bzw. am Ede des Verscherugsjahres.
Allgemeine Prinzipien
Allgemee Przpe Es estere sebe Grudehete der Physk; alle adere physkalsche Größe ka ma darauf zurückführe. Dese Grudehete sd: Läge [m] Masse [kg] Zet [s] Elektrsche Stromstärke [A] Temperatur [K], Stoffmege
Statistik mit Excel und SPSS
Stattk mt Excel ud SPSS G. Kargl Grudbegrffe Grudgeamthet Erhebugehet Merkmale Werteberech Stchprobe Telbereche der Stattk: Dekrtpve Stattk Iduktve Stattk Exploratve Stattk U- / B- / Multvarate Stattk
Erzeugen und Testen von Zufallszahlen
Erzeuge ud Teste vo Zufallszahle Jürge Zumdck Eletug Ee Lergruppe wrd aufgefordert 00 Zufallszahle (0 oder ) ach folgede Methode zu erzeuge: De Hälfte der Gruppe beutzt a) ee Müze oder b) de Zufallszahlefukto
Histogramm / Säulendiagramm
Hstogramm / Säuledagramm Häugkete 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 3,45 3,75 4,05 4,35 4,65 Flüge lläge [mm] Be Hstogramme st soort deutlch, daß es sch um Häugketsauszähluge hadelt. De Postoe der Klasse sowe hre
1.1. Jährliche Rentenzahlungen 1.1.1. Vorschüssige Rentenzahlungen. 1.1. Jährliche Rentenzahlungen 1.1.1. Vorschüssige Rentenzahlungen
.. Jährlche Retezahluge... Vorschüssge Retezahluge Ausgagspukt: Über ee edlche Zetraum wrd aus eem Kaptal (Retebarwert v, ), das zseszslch agelegt st, jewels zu Beg ees Jahres ee bestmmte Reterate ř gezahlt
Deskriptive Statistik - Aufgabe 3
Desrptve Statst - Aufgabe 3 De Überachtugszahle der Fremdeverehrsgemede "Bachstadt" für de Moate ud zege auf de erste Blc scho deutlche Uterschede de ezele Ortschafte. We seht e etsprecheder Verglech der
Maße zur Kennzeichnung der Form einer Verteilung (1)
Maße zur Kezechug der Form eer Vertelug (1) - Schefe (skewess): Defto I - Ee Vertelug vo Messwerte wrd als schef bezechet, we se der Wese asymmetrsch st, dass lks oder rechts des Durchschtts ee Häufug
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IV Eführug Fehlerrechug Fehlerrechuge werde durchgeführt, um de Vertraueswürdgket vo Meßergebsse beurtele zu köe. Uter dem Fehler eer Messug versteht ma de Abwechug ees Meßergebsses vom (grudsätzlch ubekate
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Marketg- ud Iovatosmaagemet Herbstsemester 2013 - Übugsaufgabe Leseder: Prof. Dr. Adreas Fürst Isttut für Marketg ud Uterehmesführug Abtelug Marketg Uverstät Ber Ihaltsverzechs 1 Eletug Allgemee Grudlage
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Korrelatoskoeffzet Der Korrelatoskoeffzet st e Maß für de leare Zusammehag zwsche zwe Varable X ud Y. Er st durch folgede Formel charaktersert: r xy corr XY ( x x)( y y) ( ) x x ( y y) x x y x ( ) ( )
Übungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Schliessenden Statistik
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Konzentrationsanalyse
Kaptel V Kozetratosaalyse B. 5.. Im Allgemee wrd aus statstscher Scht zwsche - absoluter ud - relatver Kozetrato uterschede Der absolute ud relatve Aspekt wrd och emal utertelt - statscher ud - dyamscher
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6. Zuammehagmaße Kovaraz ud Korrelato Problemtellug: Bher: Ee Varable pro Merkmalträger, Stchprobe x,, x Geucht: Maße für Durchchtt, Streuug, uw. Jetzt: Zwe metrche! Varable pro Merkmalträger, Stchprobe
Gliederung des Kurses:
Lageparameter Sete Glederug des Kurses: I II Allgemee Grudlage Statstsche Aalyse ees ezele Merkmals Aalyse/Beschrebug ees ezele Merkmals Zel: Verdchtug (Komprmerug) eer uüberschaubare Datemege Komprmerede
wahlberechtigte Personen der BRD zur Bundestagswahl zugelassene Parteien (SPD, CDU, Grüne, FDP)
Zu Aufgabe 1) Sd folgede Merkmale dskret oder stetg? a) De durch ee wahlberechtgte Perso der BRD gewählte Parte be der Budestagswahl. b) Kraftstoffverbrauch ees Persoekraftwages auf 100 km. c) Zahl der
14. Folgen und Reihen, Grenzwerte
4. Folge ud Rehe, Grezwerte 4. Folge ud Rehe, Grezwerte 4. Ee Folge defere Defere de Folge (a ) Õ mt a =+: Eplzte Defto *+ a() Doe 3, falls = Rekursve Defto Defere de Folge (b ) Õ, b = : b + sost whe(=,
2.2 Rangkorrelation nach Spearman
. Ragkorrelato ach Spearma Wr wolle desem Kaptel de Ragkorrelatoskoeffzete ach Spearma bereche. De erste Daterehe besteht aus Realseruge x, x,..., x der uabhägg ud detsch stetg vertelte Zufallsvarable
Physikalische Messungen sind immer fehlerbehaftet! Der wahre Wert ist nicht ermittelbar. Der wahre Wert x ist nicht identisch mit dem Mittelwert
Physkalsche Messuge sd mmer fehlerbehaftet! Der wahre Wert st cht ermttelbar. Der wahre Wert st cht detsch mt dem Mttelwert Der Wert legt mt eer gewsse Wahrschelchket (Kofdezahl bzw. Vertrauesveau %) m
Sozialwissenschaftliche Methoden und Statistik I
Sozalwsseschaftlche Methode ud Statstk I Uverstät Dusburg Esse Stadort Dusburg Itegrerter Dplomstudegag Sozalwsseschafte Skrpt zum SMS I Tutorum Vo Mark Lutter Stad: Aprl 004 Tel I Deskrptve Statstk Mark
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Mathematk: Mag. Schmd Wolfgag & LehrerIeteam Arbetsblatt 7-7 7. Semester ARBEITSBLATT 7-8 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG UND STATISTIK STATISTISCHE GRUNDBEGRIFFE Statstk gledert sch zwe Telbereche De Beschrebede
Nagl, Einführung in die Statistik Seite 1
Nagl, Eführug de Statstk Sete Eletug Damt der Wert des Faches Statstk für wsseschaftlche Utersuchuge besser gesehe werde ka, wrd zuerst e kurzer Abrß über de Ablauf eer wsseschaftlche Utersuchug voragestellt.
Lösungen zum Übungs-Blatt 7 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Lösuge zum Übugs-Blatt 7 Wahrschelchketsrechug BMT Bostatstk Prof. Dr. B. Grabowsk ----------------------------------------------------------------------------------------------- Bedgte Wahrschelchket
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6 trebsauslegug Für dese ckelprozess üsse de otore so ausgelegt werde, dass dese Fahrbetreb cht überlastet werde. Herfür üsse de ezele asseträghetsoete [7] der Bautele (otor, etrebe, ckler ud Ulekrolle)
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Textl & Desg Formelsammlug Statstk Dpl. Mathematker (FH) Rolad Geger Rosestr. 23 7263 Achtal [email protected] www.cs-geger.de Grudlage Bezechuge x h N H Ω ezele Messergebsse eer Stchprobe absolute Häufgket
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