Fehlerrechnung im Praktikum

Transkript

1 Fehlerrechug m Pratum Pratum Phsalsche Cheme (A. Dael Boese)

2 I chts zegt sch der Magel a mathematscher Bldug mehr, als eer überbertrebe geaue Rechug. Carl Fredrch Gauß,

3 Themegebete Utertelug vo Fehler Präzso ud Rchtget Darstellug vo Messergebsse Behadlug zufällger Fehler Mttelwert, Stadardabwechug Fehlerfortpflazug Allgemee Häufgetsvertelug Gaußvertelug Verwerfe vo Date Ausglechsrechug Leare Regresso-Graphsche Lösug

4 Utertelug vo Fehler Sstematsche Messabwechuge Grobe Fehler Zufällge Fehler Fehleraalse: Zufällge Fehler (Messuscherhete) Grobe Fehler (Verwerfe vo Date)

5 Präzso ud Rchtget Präzso We geau wurde de Messug durchgeführt? We reproduzerbar st de Messug? Rchtget We ahe st der Messwert am wahre Wert?

6 Upräzse ud Urchtg 30 0 Messwert Mttelwert

7 Präzse ud Rchtg 30 0 Messwert Mttelwert

8 Darstellug vo Messergebsse Messwert Bestwert (Mttelwert) ± Uscherhet [Massehet] (f() ± δ) absolute Messuscherhet Bespel: 80 ± 5 cm Messwert Bestwert (Mttelwert) [Massehet] ± Uscherhet % (f() ± δ/ [%]) relatve Messuscherhet Bespel: 80 cm ± 6 %

9 Sgfate Stelle Messuscherhete werde auf ee sgfate Stelle gerudet Ausahme: We de erste sgfate Stelle ee st De letzte sgfate Stelle ees agegebee Messwertes sollte deselbe Grösseordug bestze we de Messuscherhet Bespel: ±.437 cm wrd zu: 80.8 ±.4 cm

10 Zufällge Fehler Resultere aus eer statstsche Messgrösse (we z.b. der statstsche Thermodam oder bem radoatve Zerfall vo Atomere) äussere Eflüsse (wechselde Luftströmuge, Temperaturschwauge) uzuläglchet des Epermetators (Schätzuge, z.b. Beutzug eer Stoppuhr)

11 Zufällge Fehler 8 6 Messwert Mttelwert

12 Zufällge Fehler 8 6 Messwert Mttelwert

13 Mttelwert Arthmetsches Mttel: Messuscherhet ees ezele Wertes: ( ) : Messwerte : Azahl der Messwerte

14 Geauget des Mttelwertes Stadardabwechug: s ( ) Präzso des Mttelwertes: s s

15 Bespel 0 StudetIe messe de Höhe ees Tsches mt eem Zollstoc, wobe der Tsch real 80,6 cm hoch st. Messwerte: 80,0 80,0 80,0 80, ,5 80,5 80,75 8,0 8,0 [cm] Mttelwert: 80,475 cm (3*80,0+4*80,5+80,75+*8,0)/0 Stadardabwechug: 0,56 cm Wurzel {(3*0,475²+4*0,05²+0,75²+*0,55²)/9}

16 Präzso des Mttelwertes: 0,78 cm Stadardabwechug/Wurzel(0) Vo daher: 80,48 ± 0,8 cm oder 80,48 cm ± 0, % Amerug: cht zu verwede: De Stadardabwechug!!!

17 Bespel().000 StudetIe messe de Höhe ees Tsches mt eem Zollstoc, wobe der Tsch real 80,6 cm hoch st. Messwerte (jewels 00 Mal): 80,0 80,0 80,0 80, ,5 80,5 80,75 8,0 8,0 [cm] Mttelwert: 80,475 cm Stadardabwechug: 0,534 cm Präzso des Mttelwertes: 0,069 cm Vo daher: 80,475 ± 0,07 cm oder 80,475 cm ± 0,0 %

18 Bespel (3) StudetIe messe de Höhe ees Tsches mt eem Zollstoc, wobe der Tsch real 80,6 cm hoch st. Messwerte (jewels Mal) 80,0 80,0 80,0 80, ,5 80,5 80,75 8,0 8,0 [cm] Mttelwert: 80,475 cm Stadardabwechug: 0,534 cm Präzso des Mttelwertes: 0,0005 cm Vo daher: 80,475 ± 0,0005 cm oder 80,475 cm ± 0,0007 %

19 Fehlerdsusso Daraus folgt: Fehler des Zollstoces selbst Meschlche Fehler Auf/Abrude be ezele Messuge Bege des Zollstoces Dagoales halte des Zollstoces cht geaues Augemass

20 Sstematsche Messabwechuge Umwelteflüsse Uvollommehet der Messstrumete Rücwrug vo Messstrumete auf de Messug (efachstes Bespel: Quatemecha) Uzuläglchete des Epermetators

21 f(,) + Fehlerfortpflazug, + f(,) m, f(,) [m ( /) + ( /) ] Aber: We de Messabwechuge cht uabhägg voeader sd, muss der Grösstfehler abgeschätzt werde! f (, ) f (, ) f (, ) +

22 Fehlerfortpflazug- Bespel Arrheus-Glechug ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) l l l l l l T T T T T T T T T T T T R E T T f T T f f f R E T T R E Ae A A A RT E A

23 Kurze Pause

24 Fehlerfortpflazug (Herletug) ( ) q q q lm Messuscherhet jedes ezele Wertes q q q q ), ( ), ( Talorreheetwclug des absolute Messfehlers q q q + Daraus folgt: ( ) ( ) ( ) ( )( ) + + q q q q q, lm

25 Fehlerfortpflazug (Herletug ) We de Meßgrösse cht orrelert sd, also ( )( ) 0 q q ( ) ( ) ( ), + q q q Daraus folgt: Gausssches Fehlerfortpflazugsgesetz

26 Allgemee Häufgetsvertelug Be eer ubeate Futo f() Mttelwert: Varaz: s f ( ) d ( ) f ( ) d f ( ) d f ( ) d + f ( ) d

27 f Gauß-Vertelug ( ) ( ) e ormerug: e ( ) w d π

28 Gauß-Vertelug () Bezug zwsche de Mttelwert ud der Gauss-Vertelug Be uedlch vele Versuche: w s Durch Itegrato (Fehlerfuto!) w ( ) ( w ) P / e d π π + e / w d + erf ( )

29 Gauß-Vertelug(3) Daraus ergbt sch: P()68,3% P()95,4% P(3)99,7% - Bomalvertelug (dsrete Vertelug) - Possovertelug Bede gehe de Gauß(ormal)vertelug Be über

30 Gaussvertelug Bespel (0) Bespel (000) Bespel3 (000000)

31 Bespel(4).000 StudetIe messe de Höhe ees Tsches mt eem Zollstoc, wobe der Tsch real 80,6 cm hoch st. u halte aber 0 StudetIe de Zollstoc falsch herum(!), so das wr auf de folgede Messwerte omme: 0,0 3 9,5 5 9, , , , ,0 Was u? Mttelwert: 79,96 cm (astatt 80,573 cm) Stadardabwechug: 6,04 cm (astatt 0,337 cm) Präzso des Mttelwertes: 0. cm (0.06 cm) 80,0 ± 0, cm oder 80,57 ± 0,06 cm

32 Verwerfe vo Date Chauveetsche Krterum: t E verdächtger Messwert eem Datesatz st da zu verwerfe, we de Wahrschelchet vo Messwerte, de mdestes so schlecht sd we der verdächtge Wert, leer als 0.5 st verd verd s I userem Bespel: t verd (0,0)9,83 P(ausserhalb t verd s )0% P(9.8) st sehr gross! Krterum: P(t verd s ) (000)0

33 Bespel (5)...Fortsetzug Date werde verworfe ud 80,57 ± 0,06 cm Dsrepaz Ist de Dfferez zweer Messwerte. De Dsrepaz st da sgfat, we de Messwerte mehr als das -fache der Messuscherhet auseader lege ( Greze). De Wahrschelchet [-erf()] dafür st 4,5% Wahrschelch ee cht etdecte Quelle sstematscher Abwechug

34 Ausglechsrechug Be zwe verschedee Messverfahre bzw. Messrehe beomme wr für de Wahrschelchet, ee bestmmte Wert zu erhalte, e Produt zweer Gauß-Kurve Mt eem eue Mttelwert ( ) ( ) ( ) ) ( π w w e f + + best

35 Ausglechsrechug() Ud eer eue Varaz: + + best best best

36 Leare Regresso- Graphsche Lösug Be eer graphsche Lösug ergbt sch de Uscherhet der Stegug aus ud Dadurch ergebe sch de Uscherhet de Achseabschtte m m m m m m a + m a +

37

38 Leare Regresso, Allgeme I dem Spezalfall: ()a+b Habe wr das leare Glechugssstem: + + a b b a

39 Leare Regresso, Allgeme () Daraus ergbt sch: b a b a D D D D D b D D a,,,

40 Leare Regresso, Allgeme (3) De Fehlerquadratsumme st: De Stadardabwechug eer Ezelmessug st: ud des Achseabschttes ud der Stegug: b a Q Q m D D m b m a,

41 Leare Regressos- Korrelatosoeffzet Der Koeffzet st gegebe durch: r ( )( ) ( ) ( ) Legt er ahe be ±, sd de Wertepaare sehr gut durch ee Gerade beschrebe, r >0,9 bedeutet, das es wohl ee leare Zusammehag gbt Be eer Stegug vo 0 gbt es ee Korrelato

42 Bestmmthetsmaß R ( )( ) ( ) ( ) r R² [%] Stadard Abwechug der Varable R² [%] Stadard Abwechug der Varable R² [%] % % % % % 5.0 3% % % 0.0 % % % % Stadard Abwechug der Varable

43 Bespel- leare Regresso () Ermttlug eer Geschwdgetsostate Zerfall vo Dacetoalohol h: Höhe des Dlatometers t [m] h [mm] t+(τ40) [m] H [mm] h(t+τ) h(t) [mm]

44 Bespel- leare Regresso () 5 l[h(t+40)-h(t)] t [s]

45 Bespel- leare Regresso (3) ( * 5.555)) ((6840* 76.56) a D

46 Bespel- leare Regresso (4) *0^ (-05) 4.349, D D b D D a D D b a b

47 Bespel- leare Regresso (5) *0^ (-05) (4.34)(5.555) - ( *0^ (-05))(76.56) D D Q b a Q m b m a m

48 Bespel- leare Regresso (6) Gerade: *0-4 b a ( )( ) ( ) Regressos-Korrelatosoeffzet: r > 4.845± ±0.7*0-4

49 Fehlerrechug Wr erwarte: Fehlerabschätzug der ezele Varable ud Fehlerfortpflazug Berechug zufällger Fehler (falls Messrehe vorhade sd) bzw. Ausglechsrechug Agabe aller berechete Werte als: Bestwert (Mttelwert) ± Uscherhet [Massehet] Mt der Fehlerabschätzug ud Fortpflazug Mt de zufällge Fehler Fehlerdsusso

50 Ede Vel Glüc/Spass/Erfolg m Pratum!