Statistik. Vorlesungsmitschrift - Kurzfassung. Prof. Dr. rer. nat. B. Grabowski

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1 Sttstk Vorlesugstschrft - Kurzfssug Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk HTW des Srldes 5

2 Ltertur LITERATUR. Deses (vorlesugsbegletede) Skrpt de Tele I - Deskrptve Sttstk, II - Whrschelchketsrechug, III- Schleßede Sttstk, IV- Ausgewählte Gebete V - Ahg (A-Tbelle, B-Klusure, C-Lösuge zu de Übugsufgbe). J.Schwrze: " Grudlge der Sttstk I - Beschrebede Verfhre", " Grudlge der Sttstk II - Whrschelchketsrechug ud duktve Sttstk" " Aufgbeslug zur Sttstk" lle 3 Bäde erschee be NWB-Studebücher -Wrtschftswsseschfte, Verlg Neue Wrtschftsbrefe - Here/Berl, L. Ppul : "Mthetk für Igeeure", Bd 3 (Kptel Whrschelchketsrechug ud Sttstk) 4. e-lerg-systee:

3 I. Deskrptve Sttstk Vorlesugstschrft - Kurzfssug Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk HTW des Srldes 5 Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk HTW des Srldes (/5) I

4 Ihlt INHALTSVERZEICHNIS I. Deskrptve Sttstk GRUNDBEGRIFFE.... GEGENSTAND DER STATISTIK - GRUNDGESAMTHEIT UND STICHPROBE.... MERKMALE, MERKMALSAUSPRÄGUNGEN, SKALEN HÄUFIGKEITSVERTEILUNG DISKRETER ZUFALLSVARIABLEN HÄUFIGKEITSVERTEILUNG KLASSIFIZIERTER DATEN Vorschrfte zur Klssebldug De Klssehäufgketstbelle Ds Hstogr Auswertug vo Klssehäufgketstbelle, de Suehäufgketsfukto ÜBUNGSAUFGABEN...4 STICHPROBENKENNWERTE...6. LAGEPARAMETER (MITTELWERT, MEDIAN, QUANTILE, MODELWERT): Ds rthetsche Mttel Der Med Ds α - Qutl eer Beobchtugsrehe Der Modlwert Beerkuge zu de Lgeßzhle...3. STREUUNGSMAßE Spwete (Rge) Qurtlbstd, Zetlbstd Boplots Streuug Stdrdbwechug Der Vrtoskoeffzet Egeschfte des rthetsche Mttels ud der Stchprobestreuug - Hwese zur prktsche Berechug MAßZAHLEN FÜR KLASSIFIZIERTE DATEN Ds rthetsche Mttel De Streuug De Qutle ANWENDBARKEIT DER MAßZAHLEN FÜR DIE VERSCHIEDENEN SKALENTYPEN ÜBUNGSAUFGABEN...44 Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk HTW des Srldes (/5) I

5 Ihlt 3 ZWEIDIMENSIONALE VERTEILUNGEN - ZUSAMMENHANGSMAßE ZWEIDIMENSIONALE HÄUFIGKEITSVERTEILUNGEN MESSUNG DER UNABHÄNGIGKEIT ZWEIER MERKMALE / DER χ - KONTINGENZKOEFFIZIENT KORRELATIONSMAßE Der Persosche Korreltoskoeffzet Der Sper sche Korreltoskoeffzet für ordl sklerte Dte REGRESSIONSANALYSE (AUSGLEICHSRECHNUNG) Ds Regressosproble Bestug der Regressosfukto, de kleste Qudrt-Schätzug ÜBUNGSAUFGABEN ANHANG :...75 ETREMWERTBESTIMMUNG EINER FUNKTION IN MEHREREN VERÄNDERLICHEN - EKURS PARTIELLE ABLEITUNGEN ETREMWERTBERECHNUNG EINER FUNKTION IN N VERÄNDERLICHEN...76 Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk HTW des Srldes (/5) II

6 Deskrptve Sttstk-Grudbegrffe I. Deskrptve Sttstk Grudbegrffe. Gegestd der Sttstk - Grudgesthet ud Stchprobe Sttstk: Wsseschftlche Methode zur Utersuchug ud Beurtelug zufällger Merkle rgedwelche Objekte. Ds Iteresse der Sttstk rchtet sch dbe e uf ezele Objekte, soder er uf ee (.A. große) Mege (bzgl. des teresserede Merkls) glechrtger Objekte, de sogete Grudgesthet. Zufällges Merkl: Der Wert des Merkls st be Auswhl ees Objektes cht edeutg vorussgbr! Erst ch Messug, Befrgug, Utersuchug usw. ket de Merklswert für deses Objekt geu. Grudgesthet: Gruppe vo Objekte, de hschtlch ees Utersuchugszels ls glechrtg gesehe werde Bespel : Wr wolle wsse, we sch de Srläder be der ächste Ldtgswhl verhlte werde. Merkl: Whlverhlte Objekt: Srläder Grudgesthet: Mege ller whlberechtgte Srläder. Wetere Bespele: Merkl Objekt Grudgesthet Lebesduer Glühlpe Glühlpe ees bestte Werkes Zuverlässgket Msche Msche ees bestte Typs Azhl verkufter pro Tg Tg lle Tge ees Jhres Lestug Fch Mthetk Studet Tbelle. lle Studete eer bestte Gruppe Zel sttstscher Utersuchuge: Aussge über de Häufgket des Auftretes bestter Merklswerte der Grudgesthet treffe (z.b. wevele whlberechtgte Srläder wähle CDU, SPD,...). Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk HTW des Srldes (/5)

7 Deskrptve Sttstk-Grudbegrffe Zur Beurtelug des Merkls Whlverhlte, k cht lle Srläder befrge, soder ur ee Tel! M cht ee Stchprobe! Stchprobe: Telege vo Objekte der Grudgesthet. De Auswhl erfolgt zufällg. Vo der Vertelug der Merklswerte der Stchprobe wrd d uf de Vertelug der Merklswerte der Grudgesthet geschlosse. Grudfrge der Sttstk: We bestt de Stchprobe? (Stchprobeufg) We lysert de Stchprobe? (Verfhre) We schleßt vo der Stchprobe uf de Grudgesthet? We groß st der Fehler (Irrtuswhrschelchket), de be dese Schluß cht? Telgebete der Sttstk: Beschrebede (Deskrptve) Sttstk: Eprsche ud grfsche Methode zur Alyse vo Stchprobe Schleßede (Iduktve) Sttstk: Mthetsche Methode des Schleßes vo der Stchprobe uf de Grudgesthet t Agbe vo Irrtuswhrschelchkete Whrschelchketsrechug: Mthetsche Methode zur Beschrebug des Zuflls. Mthetsche Grudlge der Schleßede Sttstk DESKRIPTIVE STATISTIK SCHLIEßENDE STATISTIK WARSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Bespel : Utersuchug des Whlverhltes der Srläder: Ws wäre, we ächste Sotg Ldtgswhle wäre? Werte Se de Whlergebsse der Stchprobe hd chfolgeder Abbldug us! Schleße Se uf de Grudgesthet ller whlberechtgte Srläder! Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk 3 HTW des Srldes (/5)

8 Deskrptve Sttstk-Grudbegrffe Azhl Persoe Wevele Persoe uß befrge? We scher st der Schluß vo de Stchprobeergebsse uf de Grudgesthet? 5 33 CDU SPD FDP Grüe Sost. Abb..: Verdchtug durch Häufgketstbelle De Schleßede Sttstk lefert Aussge der For: 'Mt 99% ger Scherhet wähle zwsche 5% ud 54% ller whlberechtgte Srläder de CDU.' Bespel : Utersuchug der Wrksket zweer Medkete M, M Werte Se de folgede Tbelle us! Welches Medket st de gegebee Stchprobe besser? Schleße Se uf de Grudgesthet ller Ptete! verbessert cht verbessert M 98 M 55 Tbelle. Mt welche Mß k de Wrksket der bede Medkete vergleche? We vele Persoe uss utersuche? We scher sd dese Ergebsse? De Schleßede Sttstk lefert Aussge der For: 'Mt 99%ger Scherhet st M wrkser ls M.' Bespel 3: Utersuchug des Zusehgs zwsche Bresgeschwdgket ud Bresweg Y eer bestte Autorke: Bresweg We k ch de Fukto fde, welche de Dte ' Beste' psst? We vele Autos uss ch teste? Gbt es ee fuktole Zusehg? (evtl. Vorhersge öglch?) Abb.. Bresgeschwdgket Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk 4 HTW des Srldes (/5)

9 Deskrptve Sttstk-Grudbegrffe De Schleßede Sttstk lefert Aussge z.b. der folgede For: ' We es ee fuktole Zusehg y f() gbt, d legt er t 99% ger Scherhet ee Tolerzbd {[f u (),f o ()], R}.'. Merkle, Merklsuspräguge, Skle Bezechuge : Merkle:, Y,... Merklsuspräguge:, y,... Merkle werde Objekt beobchtet: (Objekt) Bespel: Hersteller, Y Qultät, Z Lebesduer, Objekt Msche Hersteller (Msche) Bosch, Qultät(Msche) gut, Lebesduer(Msche) h Wr wolle reche wr orde de Merklswerte Zhle zu. Sklerug: Zuordug vo Merklsuspräguge zu Zhlewerte Welche Recheopertoe t de Zhlewerte ch Sklerug durchgeführt werde dürfe, rchtet sch dch, welche Egeschfte de Merklswerte hbe. Be Merkl Hersteller stehe z.b. de Merklswerte Bosch, Sees ud VW glechberechtgt ebeeder, d.h. se lsse sch cht orde ud es gbt kee Abstd zwsche de Merklswerte. Deshlb dürfe de he zugeordete Zhle uch cht geordet, subtrhert, ddert usw. werde. E solches Merkl ee wr olsklert. Für ds Merkl Tepertur kee wr de Skle: C (Grd Celsus), K (Kelv), F (Fhrehet). De Urechug zwsche je zwe Skle S ud S erfolgt geäß der Forel S S+b. Es gbt Teperturuterschede,Teperture köe geordet werde, ud es gbt ee Abstd zwsche de Teperturwerte, de wr jeder Skl esse köe; de Abstäde sd bs uf de verwedete Mßehet edeutg. Problee gbt es ber wege der Nullpuktverschebug b- be der Bldug vo Verhältsse. Ageoe, wr würde zwe C gee ssee Teperturwerte C, C, s Verhälts setze, so erhlte wr ds Ergebs: /. Wr köte u de gleche Messwerte ber uch K drstelle --> y +73 K 93 K; --> y+7383 K. Setze wr dese Kelv ugerechete Werte s Verhälts, so erhlte wr: y/y 93/83. De Recheoperto Brüche blde, lefert lso völlg uterschedlche Ergebsse Abhäggket vo der verwedete Skl. U solche Problee zu verede, verlge wr, dss be sttstsche Auswertuge der Tepertur, de Bruchrechug cht erlubt st! E solches Merkl ee wr tervllsklert. Für ds Merkl Lebesduer kee wr de Skle Stude, Mute, Sekude, s usw. De Urechug zwsche je zwe Skle S ud S erfolgt geäß der Forel SS. D her kee Nullpuktverschebug vorhde st, sd Gegestz zur Tepertur be Merkl Lebesduer Brüche edeutg, ubhägg vo der Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk 5 HTW des Srldes (/5)

10 Deskrptve Sttstk-Grudbegrffe verwedete Skl (de Mßehet kürzt sch be Brüche weg). E solches Merkl ee wr proportoltätssklert. Je chde, welche Egeschfte de Merklsuspräguge ees Merkls hbe, uterschede wr 4 Merkls- bzw. Skletype: Nolskl (olsklerte Merkle): Alle (Merkls- bzw.) Sklewerte stehe glechberechtgt ebeeder. Es gbt kee Ordug, ur Uterschede. De Größe ud de Ordug der Zhle spele kee Rolle, d.h. se dürfe cht sttstsche Auswertuge ebezoge werde. I sttstsche Utersuchuge dürfe ur Häufgkete erttelt werde. Alle Skle, welche de de Merklswerte ethltee Uterschede ud Glechhete bblde, sd erlubt; wr sge se sd zueder äquvlet. Bsp: Hersteller, Geschlecht, Frbe, usw. Ordlskl (ordlsklertes Merkl): Es gbt ee Ordug ud Uterschede de (Merkls- ud dt) Zhlewerte der Skl. De Größe der Zhle spelt kee Rolle, d.h., de Zhlewerte selbst dürfe cht de sttstsche Auswertuge ebezoge werde, se dürfe cht ddert, subtrhert usw. werde. I sttstsche Utersuchuge dürfe ur Aorduge ud Häufgkete erttelt ud usgewertet werde. Alle Skle, welche de de Merklswerte ethltee Ordugsrelto bblde, sd erlubt; wr sge, se sd zueder äquvlete Ordlskle. Bsp: Qultätsgruppe, Lestuge, usw. Itervllskl (tervllsklertes Merkl): Uterschede, Orduge, Größe ud Dffereze der (Merkls- ud dt) Zhlewerte der Skl sd relevt ud dürfe sttstsche Utersuchuge ebezoge werde. Dffereze sd bs uf de Mßehet edeutg. Der Nullpukt st cht edeutg. Zhleverhältsse dürfe deshlb cht sttstsche Auswertuge ebezoge werde. Alle Skle S, de sch us der Trsforto S S + b us eer gegebee Itervllskl S ergebe, sd erlubt; wr sge, se sd zueder äquvlete Itervllskle. Bsp: Tepertur Proportoltäts- (Verhälts-) skl (proportoltätssklertes Merkl): Uterschede, Orduge, Größe, Dffereze ud Verhältsse sd relevt ud dürfe sttstsche Utersuchuge ebezoge werde. Dffereze sd bs uf de Mßehet edeutg, Verhältsse sd edeutg. Alle Skle S, de sch us der Trsforto S S us eer gegebee Proportoltätsskl S ergebe, sd erlubt, wr sge; se sd zueder äquvlete Proportoltätsskle. Bsp: Läge, Zet, Gewcht, Druck, Srostärke, Kpztät, usw. Achtug: I sttstsche Utersuchuge ees Merkls dürfe ur solche sttstsche Mßzhle verwedet werde, de ubhägg dvo, welche der zueder äquvlete (erlubte) Skle für deses Merkl zugrudegelegt wrd, er ds gleche Eergebs lefer. Deshlb st es wchtg, vor jeder sttstsche Alyse zuächst de Skletyp ees Merkls zu beste. Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk 6 HTW des Srldes (/5)

11 Deskrptve Sttstk-Grudbegrffe Bespele: Merkl Hersteller Qultät Tepertur Merklsusprägug Bosch Sees VW sehr gut gut befredged usreched gelhft ugeüged erlubte (äquvlete) Skle o C, K, F erlubte Skletyp Recheopertoe, Nol,, <, >,, <, >, Ordl Itervll lle Skle, de durch Urechug S o C + b etstehe, sd erlubt Lebesduer sek.,., Stude,... lle Skle, de durch Urechug S * sek etstehe, sd erlubt Tb..3 +, -,, <, >, +, -, *, :, ud lle dere Recheopertoe Proportol Merkle, dere Zhl öglcher Auspräguge edlch oder bzählbr sd, werde der Regel durch ee Ordl- oder Nolskl bgebldet. Merkle t uedlch vele verschedee Auspräguge werde durch ee Itervlloder Proportoltätsskl bgebldet. M et solche Merkle uch etrsch sklert. Ee Aushe blde ds zufällge Merkl: Azhl vo...(rgedetws) ud ds zufällge Merkl Plzerug. Dese werde ls proportoltätssklert betrchtet (Spezlfälle). Def.: Uter eer zufällge Vrble (Zufllsvrble, Zufllsgröße) verstehe wr ee Vrble, de ee zufällge Merkl zugeordet wrd ud dere Zhlewerte de Merklsuspräguge etspreche. Sklerug Bezechuge Merkl Zufllsvrble, Y, Z Merklsusprägug Zhlewerte, y, z Mege der Merklsuspräguge Werteberech,, Bespele: - Geschlecht, {, } Y - Lestug, {,, 3, 4, 5} Z - Lebesduer, [, ) Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk 7 HTW des Srldes (/5)

12 Deskrptve Sttstk-Grudbegrffe Def.: Ee zufällge Vrble, dere Werteberech ur edlch oder bzählbr vele Werte ehe k, heßt dskrete Zufllsvrble (- Hersteller, Y-Qultät). Ee zufällge Vrble, dere Werteberech e zusehägedes Itervll [,b], <b ethält, heßt stetge Zufllsvrble (Bsp. Tepertur, Lebesduer). - dskret, flls {,,..., k,...} - stetg, flls e kotuerlches Itervll [,b] ethält. Gebe Se jewels ds Merkl ud de Werteberech des Merkls, sowe de Grudgesthet. Welcher Skletyp legt her vor? Sd de Merkle (bzw. Zufllsgröße) dskret oder stetg? ) Krftstoffverbruch vo Persoekrftwges des Typs Opel Astr uf k. b) Azhl der pro Tg produzerte Bueleete c) Qultätsgruppe vo Msche ees bestte Typs.3 Häufgketsvertelug dskreter Zufllsvrble Wr verwede folgede Bezechuge: dskrete Zufllsvrble (Merkl) {,..., k } Werteberech vo ( - Merklsusprägug),..., Beobchtuge vo (Stchprobe vo Ufg, wrd uch ls Urlste bezechet) eleetre sttstsche Tätgket für dskrete Zufllsgröße: Auszähle, we vele Beobchtuge uf ee bestte Merklswert flle,d.h. es wrd de sogete Häufgketstbelle ufgestellt. Bespel: Utersuchug des Ruchverhltes älcher Persoe zwsche 4-6 Jhre der BRD : Ruchverhlte, Gg: Alle älche Persoe der BRD zwsche 4-6 Sklerug: Nchtrucher höchstes Zgrette pro Tg ehr ls ber höchstes pro Tg 3 ehr ls pro Tg Stchprobe vo älche Persoe der Gg:,,3,,,..., ( Urlste) Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk 8 HTW des Srldes (/5)

13 Deskrptve Sttstk-Grudbegrffe H ( ) bsolute Azhl h ( ) reltve Azhl H() bsol. Su-ehäufgket h() reltve Suehäufgket 4.4 4, Tb..4: Sttstsche Häufgketstbelle Tbelle.4. st de typsche For eer Häufgketstbelle für dskrete Zufllsgröße. Aus deser Tbelle k lle teresserede Ifortoe etehe. Z.B. st de Azhl der Persoe, de ruche ud zwr höchstes Zgrette pro Tg 5%. De Azhl st 5. Der Atel der Persoe, de cht ehr ls Zgrette pro Tg ruche, beträgt 95 %, de Azhl st 95. ) We vele Persoe ruche ehr ls Zgrette pro Tg? b) We vel % ller Persoe ruche? De llgeee For eer sttstsche Häufgketstbelle für ee dskrete Zufllsgröße,..., k uf der Bss vo Beobchtuge,..., ht folgede Gestlt: { } H ( ) bsolute Azhl h ( ) reltve Azhl H() bsol. Su-ehäufgket h() reltve Suehäufgket H ( ) h ( ) H ( ) h ( ) M M M H ( )+ H ( ) h ( )+ h ( ) M M M M M k H ( k ) h ( k ).. Tb..5: Allgeee For der Häufgketstbelle Def.: De Aederrehug,..., vo beobchtete Merkle heßt Urlste. Def.: H ( ) bsolute Häufgket vo. H ( h ( ) ) reltve Häufgket vo. H ( ) : Azhl ller j t j, j,..., h ( ): Atel ller j t j, j,..., ; ( h ( )%uler Atel) De Gesthet ller H ( ),,...,k (bzw. h ( ),,...,k) heßt bsolute bzw. reltve Häufgketsvertelug vo bzgl. der Stchprobe,...,. Es glt: H ( ), H k ( ) ud h ( ), h ( ) k Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk 9 HTW des Srldes (/5)

14 Deskrptve Sttstk-Grudbegrffe Def.: H( ) H ( ) j h( ) h ( ) H() h() j j j,...,k,...,k - bsolute Suehäufgket - reltve Suehäufgket Azhl der Objekte (Stchprobewerte ), de ee Merklswert bestze. Atel der Objekte (Stchprobewerte ), de ee Merklswert bestze. Aus der Suehäufgket sd weder de ezele Häufgkete berechebr. Es glt: H ( ) H() - H(-) h ( ) h() - h(-) t h() H(),...,k Typsche grfsche Drstelluge der Häufgketsverteluge: h ( ) / H ( ),4, 3 Abb..3: Blkedgr 3 Abb..4: Stbdgr,4,4,5,5 Abb..5:Tortedgr Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk HTW des Srldes (/5)

15 Deskrptve Sttstk-Grudbegrffe Mt Hlfe der reltve Suehäufgket läßt sch de sogete eprsche Vertelugsfukto (Suehäufgketsfukto) defere: Def.: Eprsche Vertelugsfukto (Suehäufgketsfukto): für < F ( ) h() für < +,,...,k - für k F () Atel der Objekte der Stchprobe t ee Merklswert F ( ),9 5,5,4, 5 { 3 Abb.:.6: Eprsche Vertelugsfukto zu obge Bespel Ds Bld der eprsche Vertelugsfukto st ee Treppefukto. I jede Merklswert sprgt de Fukto u h ( ). Auch us grfsche Drstellug k z.b. folgedes etehe: Der Atel der Persoe, de cht ehr ls Zgrette pro Tg ruche, beträgt 95 %, de Azhl st Häufgketsvertelug klssfzerter Dte Se e stetges Merkl, d.h. der Werteberech vo ufsst uedlch vele Werte bzw. (,b,). Be dskrete Zufllsgröße st der Stchprobeufg vel größer ls de Azhl k der öglche Werte st, de ehe k. Nu st es geu ugekehrt, st vel kleer ls (es st ). I.. werde deshlb be eer Stchprobe,..., vo Ufg lle Werte voeder verschede se, bzw. ur wege Beobchtuge uf e ud deselbe Merklswert flle ud k durch bloßes Auszähle, d.h. durch ee Häufgketstbelle, we se Abschtt.3. beschrebe wurde, kee Edruck über de Häufug vo Merklswerte bekoe. Bespel: Es soll de utersucht werde, ob be der Produkto vo Bolze de Läge Wesetlche och Tolerzberech [4, 69] legt oder ob es ee systetsche Abwechug ch obe oder ute gbt. Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk HTW des Srldes (/5)

16 Deskrptve Sttstk-Grudbegrffe Urlste: Läge vo 4 Bolze Häufgketstbelle: Läge Azhl H (K ) Tbelle.7 Stelle Se de bsolute Häufgkete ee Stbdgr dr! We beurtele Se de Aussgefähgket des Dgrs? Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk HTW des Srldes (/5)

17 Deskrptve Sttstk-Grudbegrffe U ee Edruck vo der Vertelug der Merklswerte zu bekoe, werde de Merklsuspräguge klssfzert ud de Häufgket cht ehr ezele Merklsuspräguge soder de Klsse zugeordet. Wr zerlege lso de Werteberech k dsjukte Klsse: K K... K k, K K j für j. ud zähle us, we vele Beobchtuge welche Klsse flle. I folgede Tbelle wrd hd useres Bespels de Abhäggket des Ifortosgews über de Vertelug der Läge vo 4 Bolze vo der gewählte Klssebrete bzw. Klssezhl deostrert. Häufgketsverteluge der Läge vo 4 Bolze: Klssebrete: 5 Läge () Azhl Häufgket Sue Abb Tb..8 Klssebrete: 9 Läge () Azhl Häufgket Sue 4 Tbelle Abb..8 Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk 3 HTW des Srldes (/5)

18 Deskrptve Sttstk-Grudbegrffe Klssebrete: 3 Läge Häufgket Tb Abb..9 I de Tbelle.8 ud.9 sd Klsseeteluge t der Klssebrete 5 bzw. 9 gebldet worde. De etsprechede Hstogre zege ee syetrsche Vertelug ud ee Häufug ttlere Berech. Tbelle. zegt ee Klsseetelug der Klssebrete 3 ur Klsse. Her erket wederu kee Häufuge. Es gehe zu vele Ifortoe verlore. Wähle wr lso zu klee Klssebrete (zu vele Klsse) (Tbelle.7), so erket kee Häufuge. Dsselbe gescheht be der Whl zu großer Klssebrete (zu weg Klsse) (Tbelle.)..4. Vorschrfte zur Klssebldug Es gbt kee llgeegültge Vorschrft zur Whl der Klsse, de für jede Art eer sttstsche Alyse gewedet werde k. I Deutsche DIN-Isttut ( Berl) fdet für uterschedlchste sttstsche Problestelluge uterschedlche DIN-Vorschrfte zur Whl der Klssezhl ud Klssebrete. We sch kee spezelle Agbe zur Klssebldug us der Problestellug ergebe (we z.b. der jetzge Stelle userer Vorlesug), so verwede wr folgede Fustregel zur Klssebldug: Whl der Klssezhl k: Fustregel : k 5 k!!! (optol: k ) > 5! Mche kee sttstsche Alyse t zu wege Dte!! I jede Fll wrd k uf ee gzzhlge Wert uf- oder bgerudet. Whl der Klssegreze/ Reduktoslge: De Klssegreze solle so gewählt werde, dss ke Wert uf ee Klssegreze fällt. (z.b., de se zwsche zwe Werte legt (½- Messgeugket!)). Ds wrd z.b. errecht, de de utere Wert u der erste Klsse K geäß u - ε/ festlegt, wobe ε de Messgeugket st ud d de Klssebrete B uf de Messgeugket ufrudet. Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk 4 HTW des Srldes (/5)

19 Deskrptve Sttstk-Grudbegrffe u wrd ls Reduktoslge bezechet. Whl der Klssebrete: M wählt der Regel ee kostte Klssebrete B K für,...,k. Se klester Wert ud größter Wert der Stchprobe. I Abetrcht, dss ke Wert uf ee Klssegreze flle solle, zerlege wr cht de Berech bs, soder de Berech vo - ε/ bs + ε/ k Klsse, wobe ε de Messgeugket st. ( - + ε ) Klssebrete B k M rudet B d uf de Messgeugket uf! Vorschrft : Klssezhl: k, uss : 5 k, k : k, k wrd uf ee gzzhlge Wert gerudet Reduktoslge: u - ε/, wobe ε de Messgeugket st ( - + ε ) Klssebrete: B, k B wrd uf de Messgeugket ufgerudet..4. De Klssehäufgketstbelle De llgeee For eer sttstsche Häufgketstbelle für ee stetge Zufllsgröße uf der Bss vo Beobchtuge,..., ht folgede Gestlt: K H (K ) bsolute Azhl h (K ) reltve Azhl H() bsolute Suehäufgket h() reltve Suehäufgket K H (K ) h (K ) H (K ) h (K ) M M M H (K )+ H (K ) h (K )+ h (K ) M M M M M K k H (K k ) h (K k ).. Tb..: Allgeee For der Klssehäufgketstbelle De Begrffe der bsolute ud reltve Häufgket blebe erhlte, bezehe sch ber u uf de Klsse K ud cht ehr uf ee Merklswert. Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk 5 HTW des Srldes (/5)

20 Deskrptve Sttstk-Grudbegrffe Jede Klsse st chrktersert durch hr Klssegreze: o - obere Greze der Klsse K. u - utere Greze der Klsse K. o u ( + ),,...,k hre Klssebrete: K ( ),,...,k. o Def.: H (K ) Azhl ller j t j K, j,..., Absolute Klssehäufgket der Klsse K. h (K ) H ( K ) Atel ller j t j K, j,..., Reltve Klssehäufgket der Klsse K. u Es glt: H (K ), h (K ) k H ( K ), h ( K ) k De Gesthet der H (K ), h (K ),,...,k bezechet ls (Klsse-)Häufgketsvertelug vo der Stchprobe. I der tbellrsche Drstellug werde we be dskrete Zufllsgröße weder de Suehäufgkete t ebezoge. Def.: H( ) H ( K ) j h( ) h ( K ) H() j j j - bsolute Suehäufgket - reltve Suehäufgket Azhl der Objekte (Stchprobewerte), dere Merklswert j o st. h() Atel der Objekte, de ee Merklswert j o bestze. Stelle Se de Klssehäufgletstbelle für de 4 Bolzeläge uf! We würde Se de Häufgkete grfsch drstelle? Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk 6 HTW des Srldes (/5)

21 Deskrptve Sttstk-Grudbegrffe Lösug: Klssezhl: 4 6, 3 k 6 (wr rude we üblch). Reduktoslge: 9, 76, Messgeugket ε u Wr wähle: -/ ud zerlege de Berech vo 8,5 76,5 6 Klsse Klssebrete: B 9, 67 B (ufrude) 6 K äquvlete Klsse K H (K ) bsolute Azhl h (K ) reltve Azhl H() bsolute h() reltve (8,5;8,5) [9,9) [9,8] 4 4/4 4 4/4 (8,5;38,5) [9,39) (8,38] 7 7/4 /4 (38,5;48,5) [39,49) (38,48] 3 3/4 4 4/4 (48,5;58,5) [49,59) (48,58] 9 9/ /4 (58,5;68,5) [59,69) (58,68] 5 5/ /4 (68,5;78,5) [69,79) (68,78] / Tb..: Klsse-Häufgketstbelle für de 4 Bolze Suehäufgket Suehäufgket.4.3 Ds Hstogr De typsche grfsche Drstellugsfor der Klssehäufgketsvertelug st ds Hstogr. Auf der - Achse werde de Klsse (Itervlle) bgetrge. Auf der y-achse werde über jeder Klsse ls Höhe de sogete reltve Häufgketsdchte h ( K ) K bgetrge. Es etstehe so über jeder Klsse K ee Säule, wobe h ( K ) de Höhe der K Säule drstellt. Offeschtlch etsprcht d der Flächehlt jeder Säule hrer zugehörge reltve Häufgket h (K ) (sehe Abbldug.). der Atel h (K ) der Dte,...,, de K heflle, st glech der Fläche über K. Def.: h * h ( K ) ( K ) - reltve Häufgketsdchte. K h * ( K ) st de uf de Klssebrete bezogee Klssehäufgket. Es st oft üblch, de Häufgkete der Stelle der Klssette Hstogr teder zu verbde, wobe lks ud rechts ee zusätzlche Klsse t der Klssehäufgket geoe wrd. De Le bldet ds sogete Häufgketspolygo. Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk 7 HTW des Srldes (/5)

22 Deskrptve Sttstk-Grudbegrffe h * ( K ) h (K ) h() - h(-) Häufgketspolygo K Abbldug. Zeche Se ds Hstogr für de Klsseetelug Tbelle. der 4 Bolzeläge!.4.4 Auswertug vo Klssehäufgketstbelle, de Suehäufgketsfukto Betworte Se uter Verwedug der Klsseetelug Tbelle. folgede Frge zu de 4 Bolze! ) Wevele Bolze hbe ee Läge bs zu 48? b) Wevele Bolze hbe ee Läge zwsche 39 ud 68? (cl. Räder). Ncht sofort etehe k der Klssehäufgketstbelle. Agbe über Zwschewerte, z.b. Wevele Bolze hbe ee Läge vo ehr ls 4 ud 7? Wäre lle Beobchtugsdte,,...,, bekt, so k de gesuchte Azhl durch de eprsche Vertelugsfukto F () ( Atel ller Dte,,...,, für de glt: ) beste: ( F 7) F (4)) ( Betworte Se t Hlfe der eprsche Vertelugsfukto () Tbelle.7 folgede Frge: Wevele Bolze hbe ee Läge vo ehr ls 4 bs 7? F ud I der Regel werde be große Stchprobezhle de ezele Dte,,...,, cht gespechert, soder ur de Klssehäufgketstbelle 'ufgehobe'. Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk 8 HTW des Srldes (/5)

23 Deskrptve Sttstk-Grudbegrffe Ddurch gehe Ifortoe verlore. Es sd cht ehr de geue Werte der Beobchtugsdte bekt, soder ur och, we vele vo he eer Klsse K lege. Dt st uch cht ehr bekt, we vele Beobchtugsdte ee belebge Itervll (,b] lege. U dese Azhl us der Klsse-Häufgketstbelle bzuschätze, wrd ee Modellhe getroffe: ' De Beobchtuge sd jeder Klsse glechäßg vertelt'. Uter deser Ahe pproere wr de eprsche Vertelugsfukto F () durch de ~ ~ sogete Klssesuehäufgketsfukto F ( ). Mt Hlfe deser Fukto F ( ) k de Atele (ud dt Azhl) der ursprüglche Stchprobedte, de ee Itervll (,b] lege, oder bzw. >b sd, bschätze, sehe Abblduge.,.. Def.: Suehäufgketsfukto für klssfzerte Dte (Klssesuehäufgketsfukto): u < ~ F ( ) h( ) + b K o > k b ( ( - K u u ) h ) h * ( K (K ) ) Es glt: K h( ) < h( ) Dese Fukto gbt ee Abschätzug für de Atel der Beobchtugswerte j der Stchprobe, de de Wert cht überschrete ( j ), sehe Abb... h * ( K ) ~ F () b u Abb.. o k Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk 9 HTW des Srldes (/5)

24 Deskrptve Sttstk-Grudbegrffe h * ( K ) ~ ~ h ([,b]) F (b) - F () Atel der Beobchtuge,...,, de ds Itervll (,b] flle Abb. b ~ Betworte Se t Hlfe der Klssesuehäufgketsfukto F ( ) ud Tbelle. folgede Frge: Wevele Bolze hbe ee Läge vo ehr ls 4 bs 7? Lösug: ~ ~ De Azhl st: 4 ( F (7) (4)). Dbe sd: ~ 38 F (7) F 7 68,5 ~ ,5,9575 ud F (4) +, ~ ~ Wr erhlte ls Ergebs: 4 ( F (7) (4)) 4(,9575-,3375) 5,35 5 Bolze. F Beerkug: De Berechug der Azhl der Bolze, dere Läge >4 ud 7 st, st keeswegs edeutg. I Abetrcht der Ttsche, dss de Bolzeläge gzzhlg sd, köte wr z.b. de Azhl ller Schrube, dere Läge größer ls 4 ud kleer oder glech 7 ~ ~ st uch we folgt bereche: 4 ( F (7,5) (4,5)). F Wolle wr de Azhl ller Schrube bereche, dere Läge 4 ud 7 st, ~ ~ ~ ~ so köte wr bereche: 4 ( F (7,5) (39,5)) oder 4 ( F (7) (39,5)). F F De uterschedlche Forel führe zu uterschedlche Ergebsse, ber der Utersched st l. ~ D.h., de Verwedug der Klssesuehäufgketsfukto F ( ) führt zu eer reltv grobe Abschätzug er gesuchte Atele ud Azhle, de keeswegs edeutg sd. M köte z.b. geuso sttt 4 jede dere Zhl us [4,4) ls utere Greze des der obge Blestft-Aufgbe betrchtete Itervlls (4,7] wähle ud sttt 7 z.b. jede dere Zhl us de Itervll [7, 7). Weterh k sttt der Klsseetelug, de Tbelle. der lke Splte steht, ee der bede äquvlete Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk HTW des Srldes (/5)

25 Deskrptve Sttstk-Grudbegrffe Klsseeteluge für de Berechug der Klssesuehäufgketsfukto zugrude lege. De Uterschede de jewelge Ergebsse werde u so gerger usflle, je größer der Stchprobeufg st. Betworte Se uter Verwedug der Klsseetelug Tbelle. folgede Frge zu de 4 Bolze! - Wevele Bolze hbe ee Läge bs zu 5? Wevele Bolze hbe ee Läge zwsche 3 ud 6? (cl. Räder). Verwede Se verschedee Methode ud vergleche Se Ihre Ergebsse utereder ud t de ekte Ergebsse, de us der Stchprobe erhlte werde. ~ De Klssesuehäufgketsfukto F ( ) lässt sch beque grfsch drstelle. Dzu werde de reltve Klssesuehäufgkete h() de obere Klssegreze bgetrge. De utere Greze der. Klsse bekot de Wert. Aschleßed werde de Werte durch Gerde teder verbude. ~ Abbldug.3 zegt de Klssesuehäufgketsfukto F ( ) für ds Bespel der 4 Bolze.,,96,8,6,4, 8,5 38,5 58,5 778,5 Abb..3: Klssesuehäufgketsfukto der Läge der 4 Bolze Iteressert etw der Atel der Bolze, dere Läge höchstes 7 beträgt, so fdet t Hlfe der Suehäufgketsfuktoe dese gesuchte Atel zu,96. Abschleßedes Bespel: Es soll de Vertelug des Bruttootsverdestes der Beschäftgte eer Fr utersucht werde. Dzu werde 5 Beschäftgte befrgt. Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk HTW des Srldes (/5)

26 Deskrptve Sttstk-Grudbegrffe I Tbelle.3 sd de zugehörge Klsseetelug der Bruttootsverdeste ud de Klssehäufgket tbellrsch ud grfsch drgestellt. H(K) Azhl der 5 Beschäftgte Klsse Nr Bruttootsverdest EURO 5 bs 8 über 8 bs über bs 4 über 4 bs 7 über 7 bs über bs 3 über 3 bs 6 über 6 bs 9 über 9 bs 3 über 3 bs 35 Beschäftgte Azhl H (K ) Atel h (K ),4,5,88,8,6,68,56,4,8, 5, h(k) Atel der, Beschäftgt Suehäufgkete Beschäftgte Kuulerte Kuulerter Azhl H() Atel h() Tbelle.3 Klssehäufgketstbelle,4,76,64,9,45,6,776,9,98, 4 3,5,,5 Abb..4: Hstogr t Klsse kostter Brete sowe ds etsprechede Häufgketspolygo (gestrchelter Lezug) 5 bs 8 8 bs bs 4 4 bs 7 7 bs bs 3 3 bs 6 6 bs 9 9 bs 3 3 bs 35 h( K ) * h( K ) 3 Bruttoverdest EURO,7,5,3 Abb..5: Hstogr der reltve Häufgketsdchte, 4 5 bs 8 8 bs bs 4 4 bs 7 7 bs bs 3 3 bs 6 6 bs 9 9 bs 3 3 bs 35 Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk HTW des Srldes (/5)

27 Deskrptve Sttstk-Grudbegrffe,,8,6,4, Abb. 6 Bruttootsverdest EURO ) Wevele Beschäftgte hbe ee Bruttoverdest vo bs zu EURO? (3 bzw. 45,%) b) Wevele Beschäftgte hbe ee Bruttoverdest vo ehr ls ud 6 EURO? ( bzw. 77,6-45,% 3,4%) c) Wevele Beschäftgte hbe ee Bruttoloh vo höchstes 9 EURO? ~ 9 7 (sehe Abb. 6 oder: F (9),9 +,6, 4 ) 3 d) We groß st der Atel der Epfäger, de ee Bruttoloh vo ehr ls 7 ud 9 EURO bekoe: ~ ~ ( F (9) F (7),4,9, 8,8% oder c. 7 Beschäftgte) e) Wevel % der Beschäftgte hbe ee Bruttoverdest bs DM? ~ F () %,76 % 7,6% Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk 3 HTW des Srldes (/5)

28 Deskrptve Sttstk-Grudbegrffe.5 Übugsufgbe. Sd folgede Merkle dskret oder stetg? ) De durch ee whlberechtgte Perso der BRD gewählte Prte be der Budestgswhl. b) Krftstoffverbruch ees Persoekrftwges uf k. c) Zhl der pro Stude ee Geschäft etreffede Kude. d) Lebesduer eer bestte Leuchtstoffröhrert. e) Plzerug be -Meter-Luf (vo Studete der HTW) Gebe Se jewels ds Merkl, de Objektege ud de Werteberech des Merkls. Welche Art Sklerug legt her vor?. A ee Bkschlter werde de Kudeküfte (Azhl der pro -Mute- Zettervll koede Kude) beobchtet. Für 4 derrtge Zettervlle erhält folgede Ergebsse:,,, 3, 4,,,,,,,, 3,,,,, 3,,,,,,, 6,,,, 3,,, 4,, 3,,, 3,,,, Erttel Se bsolute ud reltve Häufgkete der Kudeküfte ud stelle Se Häufgketsvertelug ud Suehäufgketsfukto grfsch dr! 3. Motore ees bestte Typs wese folgede Lebesduervertelug uf: Lebesduer Azhl der Motore Jhre bs 33 über bs 4 76 über 4 bs 6 44 über 6 bs 8 37 über 8 bs 5 Tb.: Lebesduervertelug Stelle Se dese Häufgketsvertelug ls Hstogr ud de dzugehörede Suehäufgketsfukto grfsch dr ud beste Se de Atel der Motore t eer Lebesduer vo ehr ls 5 Jhre! 4. Werte Se chstehede Urlste us! Stelle Se de bsolute, reltve Klssehäufgkete, sowe de reltve (Klsse-) Suehäufgkete tbellrsch ud grfsch (Hstogr, Suehäufgketsfukto) dr! Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk 4 HTW des Srldes (/5)

29 Deskrptve Sttstk-Grudbegrffe Tb.: Lebesduer vo 3 Glühbre Stude ,3 39,5 467,9 53, 59, 657,8 738,5 749,6 75, 765,8 77,5 799,4 799,6 83,9 88,7 8,5 8, 848,6 867, 94,3 98,3 935,4 95, 964,9 968,8 6,5 4,7 89, 5,6 47, Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk 5 HTW des Srldes (/5)

30 Stchprobekewerte Stchprobekewerte Häufgketsverteluge stelle ee Zusefssug ( Verdchtug ) der Urdtelste dr. Häufg st jedoch och dr teressert, dese Häufgketsverteluge och kpperer For zu chrktersere. Des st durch de Berechug sttstscher Mßzhle öglch. Dese Mßzhle chrktersere kpper For de Gestlt der Häufgketsverteluge. Wr uterschede zwsche Lgeße (Mßzhle, welche de Lge uf der -Achse beschrebe) ud Streuugsße (Mßzhle, welche de Vrbltät der Dte beschrebe). ~,5 se der Wert, der de Stchprobe (Werteege) telt: d.h. 5 % der Dte lege lks ud 5 % lege rechts vo ~,5. D st ~,5 e Lgepreter. De Abstäde: ~,5 ud ~,5 sge etws über de Streuug u ~,5 us. Wr erkee dr, dß z.b. de Vertelug rechtsschef se uß, flls ~ <,5 ~,5 glt. Dese Abstäde sd Streuugspreter! h ( K ) K,5 Flächehlt ~, 5 Abb... Lgepreter (Mttelwert, Med, Qutle, Modelwert):.. Ds rthetsche Mttel Se e zufällges Merkl ud se,..., ee Stchprobe vo vo Ufg. Def.: Uter de rthetsche Mttelwert der Stchprobe verstehe wr de durchschttlche Stchprobewert. Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk 6 HTW des Srldes (/5)

31 Stchprobekewerte Bespel: Legt e Agestellter de Weg zwsche Wohug ud Arbetsstätte 5 Tge,, 6, ud 7 Mute zurück, d beträgt de durchschttlche Zet, de er für de Weg beötgt: ( ) 5 Nchtele des rthetsche Mttels: 3,4 Mute Ds rthetsche Mttel st cht er ds ussgekräftgste Mttel. Betrchtet zu Bespel ee Gruppe vo Persoe, vo dee 9 e Jhresekoe vo je 4 Euro ud ee e Jhresekoe vo 4 Euro bezeht, so st ds rthetsche Mttel EURO zur Chrkterserug deser Persoegruppe weg svoll. Gbt es lso sogete Ausreßer, d.h. Werte, de wet weg vo Zetru der Vertelug etfert lege oder ht de Vertelug ke edeutges Zetru (z.b. e Gpfel), so st ds rthetsche Mttel weg ussgekräftg. Psseder st der folgede Abschtt deferte Med... Der Med Der Med (Zetrlwert), 5 st grob gesgt der Wert eer Beobchtugsrehe, der der der Größe ch geordete Beobchtugsrehe der Mtte steht. Dt de Stchprobe orde k, uss ds Merkl destes ordl sklert se! Se,..., de Stchprobe ud hre der Größe ch geordete Rehefolge se [] < [] <... < []. Für de Med eer Stchprobe gbt es verschedee ekte Deftoe. Wr gebe her : De erste Defto legt de eprsche Vertelugsfukto F (), de de Atel ller Beobchtugsdte gbt, de sd. Def.: Der Med eer Stchprobe st der kleste Wert der Stchprobe, für de glt: F (),5. Er wrd ls,5 bezechet. I folgeder Grfk st ds für de gegebee berets geordete Stchprobe verschulcht. De eprsche Vertelugsfukto st ee Treppefukto, de Zhl uf der lke Sete der Treppestufe gehört zur Stufe dzu, de uf der rechte Sete eer Stufe gehört zur ächste Stufe. Der Med st der Wert, der zu der Sprugstelle gehört, durch de de Gerde y,5 geht. I usere Bespel st ds,5. Legt dese Gerde uf eer Treppestufe, so st der Med der -Wert der zur lke Sete der Stufe gehört. Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk 7 HTW des Srldes (/5)

32 Stchprobekewerte Med:,5 De zwete Vrte der Med-Defto st de Folgede: Def.: Der Med der Stchprobe st defert durch: für ugerde +,5 + + für gerde Dese Vrte werde wr Folgede für usere Bespele ud Übugsufgbe verwede. [5] + [6] Für ds Bespel der obge Grfk:,,,,,,3,4,4,5 ergbt sch,5. Für ds obe geführte Bespel ees Agestellte, der 5 Tge de vo seer Wohug zur Arbetbeötgte Zet festhält, ergbt sch de geordete Beobchtugsrehe 6 7 ud folglch der Med,5 [ 3] Mute. Vortel des Meds: Er st reltv uepfdlch gegeüber Ausreßer. Bereche Se de Med des Ekoes eer Gruppe vo Persoe, vo dee 9 e Jhresekoe vo je 4 Euro ud ee e Jhresekoe vo 4 Euro bezeht! Ws bedeutet der errechete Wert? Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk 8 HTW des Srldes (/5)

33 Stchprobekewerte..3 Ds α - Qutl eer Beobchtugsrehe Uter de α-qutl eer Beobchtugsrehe,..., versteht grob gesgt de Wert,( < α < ), de α % der (bzw. α ) Beobchtugswerte cht überschrete. α Se [] < [] <... < [] de geordete Stchprobe. I Aloge zur Defto des Meds gbt es uch her verschedee Deftoe. Wr gebe dvo : De erste Vrte verwedet weder de eprsche Vertelugsfukto F (), de de Atel ller Beobchtugsdte gbt, de sd: Def.: Ds α-qutl eer Stchprobe st der kleste Wert der Stchprobe, für de glt: F () α. Er wrd ls bezechet. α Bereche Se ds.75-qutl der Stchprobe,,,,,,3,4,4,5! Skzzere Se ds Qutl der Grfk für de eprsche Vertelugsfukto uf der vorge Sete! De. Defto etsprcht der. Defto für de Med. Dese Defto werde wr Folgede für lle Bespele ud Übugsufgbe zugrude lege. Def. : Der Wert ( [ k ] + [ k+ ] ) flls k α ee gze Zhl st α [k] flls α kee gze Zhl st ud k de uf heßt α-qutl der Beobchtugsrehe,...,. α folgede Zhl st Der Med st dt e spezelles, älch geu ds,5-qutl der Beobchtugsrehe. Wr bezeche ds,5-qutl ls uteres Qurtl.,75- Qutl ls oberes Qurtl.,-,-,3-...,9-Qutl ls Dezetle. Bereche Se de Med des Ekoes eer Gruppe vo Persoe, vo dee 9 e Jhresekoe vo je 4 Euro ud ee e Jhresekoe vo 4 Euro bezeht! Ws bedeutet der errechete Wert?..4 Der Modlwert Be bestte Dte we der Geschlechtszugehörgket, Beruf etc. k kee Mttelwert, Med usw. blde, d de Dte ur ol sklert sd. E Lgeß, ds uch für solche Merkle defert st, st der Modus oder Modlwert. Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk 9 HTW des Srldes (/5)

34 Stchprobekewerte Def.: Der Modlwert od st der häufgste Wert eer Vertelug.,,... so glt Ist dskret t { } h ( od ) h ( j ) für lle Merklsuspräguge,..., k. Be grupperte Dte st der Modlwert de Klssette der dchteste besetze Klsse; wr schrebe dese Fll uch od ' sttt od. Beerkug: I che Fälle erfülle ehrere Auspräguge dese Bedgug, d.h. der Modlwert st cht edeutg. Gebe Se de Modlwert folgeder Stchprobe :,, 6, ud 7..5 Beerkuge zu de Lgeßzhle Be ehrgpflge ud sbesodere u-förge Verteluge sd Gegestz zu egpflge Verteluge de Lgeße oft cht chrkterstsch für de Häufgketsvertelug: Bespel: De Lebesduer der Mesche Mttellter etsprch eer u-förge Häufgketsvertelug: h B 5 Jhre t Abb.. De Säuglgssterblchket wr sehr hoch, ber dch htte gute Chce, e recht hohes Alter zu erreche. De Aussge: I Mttellter wurde de Mesche Durchschtt 5 Jhre lt plzert ee flsche Vorstellug vo der dlge Lebeserwrtug. De Lgeße dee sbesodere zur ähere Chrkterserug egpflger Verteluge See - ds rthetsche Mttel, - der Med, od - der Modlwert.,5 Def.: Ee Häufgketsvertelug heßt rechtsschef oder lksschef, flls lksschef oder rechtsstel, flls syetrsch, flls > >,5 < <,5,5 od od od Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk 3 HTW des Srldes (/5)

35 Stchprobekewerte rechtsschef lksschef syetrsch od ~, 5 ~, 5 od Abb..3. Streuugsße Lgeße gebe.. weg Auskuft über de Geststruktur eer Häufgketsvertelug. Se beschrebe ur ds Zetru eer Vertelug, gebe ber kee Auskuft drüber, wewet e kokreter Merklswert vo ee solche Zetru bweche k. strke Streuug gerge Streuug Abb..4 Mße, de de Abwechug vo ee Zetru eer Häufgketsvertelug beschrebe, heße Streuugsße oder Dspersosße. De geese Agbe vo Lge- ud Streuugsße ergebe ee recht präzse Vorstellug vo der geste Vertelug... Spwete (Rge) See,..., ee Stchprobe, der kleste ud der größte Wert der Stchprobe. R : - Es st ur svoll, de Spwete verschedeer Beobchtugsrehe zu vergleche, we se gleche Stchprobeufg bestze! De Spwete st ke sehr gutes Streuugsß, de es gehe ur zwe Werte der Vertelug e. Se st sehr epfdlch gegeüber Ausreßer! Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk 3 HTW des Srldes (/5)

36 Stchprobekewerte.. Qurtlbstd, Zetlbstd S Q heßt Qurtlbstd der Stchprobe.,75,5 S Q st cht so epfdlch gegeüber Ausreßer. S Q gbt de Berech, de etw de Hälfte (5 %) ller Beobchtuge lege. S Q, S Q 3, S Q 4 3,... heße Zetlbstäde. De Zetlbstäde gebe jewels de Berech der Stchprobe, dee jewels % der Stchprobedte lege...3 Boplots Oft chrktersert ee Stchprobe bzw. ee Häufgketsvertelug verefcht durch ee sogete Boplot. Dzu werde der kleste Wert ud der größte Wert der Stchprobe, sowe de Qurtle ud der Med uf der reelle Zhlegerde bgetrge, sehe Abb..8. Abb..5 I jede der etstehede 4 Abschtte lege jewels 5% der Dte. De Abstäde der 5 Werte ergebe ee Edruck vo Lge, Schefe bzw. Syetre ud Streuug der Vertelug. Folgede Abbldug zegt de Gestlt ees Boplots be eer hezu syetrsche Vertelug (Hstogr). I dese Fll spegel sch de Abstäde syetrsch u de Med.5. Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk 3 HTW des Srldes (/5)

37 Stchprobekewerte h * ( K ) Hstogr,5 zugehörger Boplot,5, 75 (De Brete des Kästches ht kee Bedeutug!) Abb..6 Skzzere Se de Gestlt des Boplots be lks- ud rechtsstele Hstogre! M verwedet Bo-Plots uch zu 'schelle' Verglech ehrerer Häufgketsverteluge, sehe Abbldug.7. Lebesduer ~, 5 ~ 5 ~, 5 ~, 75 ~ 5 ~ 5 ~, 75 Typ Typ Typ 3 Abb..7 Lebesduerverteluge verschedeer Mschetype Verglech Iterpretere Se de Abbldug.7, d.h. vergleche Se de 3 Mschetype teder! Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk 33 HTW des Srldes (/5)

38 Stchprobekewerte..4 Streuug De Streuug st ee Mßzhl für de Vrbltät, de Dte uf etrsche Nveu vorussetzt. Se t Bezug uf de Mttelwert. De Streuug st der ttlere qudrtsche Abstd der Dte vo hre Mttelwert: Def.: s ( ) heßt Streuug (Stchprobevrz) der Stchprobe,...,. Beerkuge:. I s geht der qudrtsche Abstd e. Ddurch werde größere Abstäde stärker bewchtet, ls kleere.. De Begrüdug dfür, dss der Forel für s durch (-) ud cht durch dvdert wrd, lefert de schleßede Sttstk (sehe Kptel III). M k zege, dss der Schluss vo der Stchprobe uf de Grudgesthet be obger Forel besser ( Se ees wohldeferte Gütekrterus) st, ls we / sttt /(-) verwedet...5 Stdrdbwechug Def.: s s Stdrdbwechug. De Stdrdbwechug st ees der gebräuchlchste sttstsche Streuugsße. Se st de Wurzel us der Streuug. Se ht de gleche Deso we der Mttelwert. Beerkug: Mt Hlfe des rthetsche Mttels ud der Stdrdbwechug s eer Stchprobe lässt sch für Zufllsgröße, dere Vertelug der Beobchtuge (Relseruge) vo der Grudgesthet ee bestte For ht, der Berech bschätze, de sätlche Beobchtuge vo lege. Sd de Beobchtuge vo zu Bespel lle glechhäufg ud begrezt uf edlches Itervll (wr spreche vo eer Glechvertelug), so sd de Itervllgreze gerde durch ± s 3 bschätzbr. Sd de Beobchtuge vo lle syetrsch ud cht glechäßg u e Mttelwert vertelt (wr spreche vo eer Norl- bzw. Gußvertelug), so st der Werteberech vo durch ± 3s bschätzbr. De Begrüdug für dese Schverhlte lefert de Whrschelchketsrechug (sehe Kptel II). Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk 34 HTW des Srldes (/5)

39 Stchprobekewerte..6 Der Vrtoskoeffzet De Streuug ud Stdrdbwechug beutze wr ls Bezugspukt des rthetsche Mttels ud esse de ttlere Abwechug vo Mttelwert. Für ee Mttelwert st de Stdrdbwechug s ee gerge Abwechug, für ee Mttelwert stellt s ee große Abwechug dr. U de Größe der Stdrdbwechug reltv zu Mttelwert beurtele zu köe, verwedet de Vrtoskoeffzete: Def.: v s Vrtoskoeffzet v st e vo Mttelwert beregtes Streuugsß. v eget sch besoders zu Verglech der Streuuge verschedeer Meßrehe. Für usere bede Bespele obe erhlte wr: v, ud v...7 Egeschfte des rthetsche Mttels ud der Stchprobestreuug - Hwese zur prktsche Berechug Es gelte folgede Aussge:. De Sue der Abwechuge eer Mege vo Zhle vo hre rthetsche Mttel st glech Null: j ( j ). De Sue der qudrtsche Abwechuge der Zhle vo hre rthetsche Mttel st kleer ls de Sue der qudrtsche Abwechuge vo eer belebge dere Zhl: ( j ) ( j ) j j für lle R 3. Werde de Ezelwerte eer lere Trsforto uterzoge: * b, j j + so uterlegt der Mttelwert der gleche Trsforto: * * es glt: j + b. j Für de Streuug s * der trsforerte Dte erhält : s * s. Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk 35 HTW des Srldes (/5)

40 Stchprobekewerte Bespel: Ee Autoveretug berechet für hre Wge ee feste Tgesgebühr vo b 4 EURO ud ee Kloeterstz vo,4euro/k. Ferer se bekt, dss de Wge täglch Durchschtt 5 k zurücklege be eer Stdrdbwechug vo s 5 k. De durchschttlche täglche Ehe pro Wge ergebe sch d ls * + b, EURO be eer Stdrdbwechug vo s* s,4 5 EURO. 4. Stdrdserug: De leretrsforto Es glt: * ud s *. * s ee wr Stdrdserug. Zur Berechug vo ud s: 5. Es berechet sch lechter s 6. Ht scho Werte ud s für,..., erttelt ud kot och e Wert + hzu, so sd folgede Forel ützlch: ( ) s+ ( + )( + ) + s () () 7. Ht für zwe Stchprobe vo Ufg ud Mttelwerte, ud Streuuge s, s gegebe, so bereche sch der Mttelwert ud de Streuug der geese Stchprobe vo Ufg + geäß: ( + ) ( + ) ( ) + ( ) ( ) s + ( ) s s + (4) + + (3) Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk 36 HTW des Srldes (/5)

41 Stchprobekewerte Bespel.: E Uterehe stellt zwe Betrebstele Refe glecher Sorte her. Es st de durchschttlche Lebesduer vo Refe zu beste, wobe erste ud 8 zwete Betrebstel utersucht werde. Für de bede Betrebstele ergb sch: 4 Jhre bzw. 5 Jhre ud s. ud s.4. De ttlere Lebesduer der Gest-Stchprobe vo Refe beträgt d: ( ) 4, 8 Jhre. Bereche Se de Streuug für ds Bespel! ) Bewese Se de Forel (3) ud (4)! b) Zege Se, dss () us (3) ud () us (4) folgt!.3 Mßzhle für klssfzerte Dte Alle o.g. Mßzhle k ur bereche, we de Stchprobedte,..., bekt sd. Be stetge Zufllsgröße legt häufg ur och de Klssehäufgketstbelle vor, ber cht ber de Stchprobe. I dese Fll werde de o.g. sttstsche Mßzhle us der Klssehäufgketstbelle geschätzt ( äherugswese bestt). We ds gescheht, wrd folgede beschrebe..3. Ds rthetsche Mttel Bestze Beobchtugswerte de gleche uersche Wert, so epfehlt es sch, se be der Mttelwertbldug zusezufsse. Ist e dskretes Merkl ud {,..., k }, so glt offebr: k H ( ) h ( ) k Ist e stetges Merkl ud lege de Dte klssfzerter For ud ls Urlste vor, so glt offebr: j k j H ( K ). Dbe st der Mttelwert der Klsse : H ( K ) K j j. Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk 37 HTW des Srldes (/5)

42 Stchprobekewerte Legt de Urlste cht ehr vor, soder ur och de Klsseetelug, so verwedet der o.g. Forel stelle der Klssettelwerte de Klssette ls Approto ud erhält ls Approto für ds rthetsche Mttel: k H ( K ) Approto des rthetsche Mttels us der Klssehäufgketstbelle. Bespel : We groß st de ttlere Lebesduer vo Msche, dere Lebesduervertelug durch folgede Tbelle gegebe st: K H (K ) bs Jhre (-4] Jhre (4-6] Jhre (6-8] Jhre (8-] Jhre Tb.. ( ) Lösug: 4, 99 Jhre De ttlere Lebesduer beträgt etw 5 Jhre De Streuug Ist dskret t {,..., k } so glt: k s ( ) H ( ) Betrchte wr u klssfzerte Dte. Flls für jede Klsse K der Mttelwert ller Dte, de Klsse K j flle, bekt wäre, so köte ls Approto vo s de Größe: k s ( ) H ( K ) verwede. Sd de Klssettelwerte cht bekt, so ersetzt se durch de u Klssette + ud wrd durch de Approto für Klssehäufgketstbelle ersetzt. M erhält d de folgede Approto für de Streuug: k ' s * ( ) H ( K ) Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk 38 HTW des Srldes (/5)

43 Stchprobekewerte Utersuchuge hbe folgedes gezegt: Ist de Klssezhl k kle Verglech zu Stchprobeufg, so wrd de Streuug s durch s * überschätzt! Es wrd deshlb stelle vo s * häufg de sogete Shepprdsche Korrekturforel verwedet: Shepprdsche Korrekturforel: Hbe lle Klsse de gleche Klssebrete B, so lässt sch der Wert s * korrgere: s k B ' s, wobe s* ( ) H ( K ) ** * Beerkug: Be Verwedug klssfzerter Dte berechet sch s * k ' s * [ ( ) H ( K ) ' ] lechter we folgt: Bespel: We groß sd de ttlere Lebesduer ud de Streuug vo 3 Glühbre? Klsse K j [6, 7) [7, 8) [8, 9) [9, ) [, ) Tb.. H (K j) ' ' 843,33, k 5 5 ' ( 843,33) H ( K ) 57367, 8 s *, 9 j s ** 56543,48 Verfzere Se de obge Ergebsse für ' ud s* ud s **!.3.3 De Qutle Für klssfzerte Dte (d.h., we ur och de Klssehäufgketstbelle, cht ber de ~ Urlste vorlegt) verwede wr de Klssesuehäufgketsfukto F ( ), u ee ~ Approto ~ α für ds α - Qutl α zu erhlte.. D F ( ) äherugswese glech de Atel ller Dte,,...,, für de glt:, st, ud α der Wert st, für de deser Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk 39 HTW des Srldes (/5)

44 Stchprobekewerte Atel glech α st, köe wr erhlte. ~ äherugswese ls Lösug der Glechug: F ( ) α α Ds gescheht uf folgede Wese: M beste zuächst de Klsse der ds α-qutl legt, d.h. für de glt: h( ) < α h( ) Ds pproerte α - Qutl ~ α ergbt sch d durch de Ustellug der Forel: F ch ~ α. Wr erhlte: ( ~ u ( ~ α α ) h( ) + h ( K ) o ( u ) ~ u ( α h( )) o u α + ( ). h ( K ) De grfsche Bestug vo ~ α us der eprsche Vertelugsfukto zegt chstehede Skzze: h ( K ) K Flächehlt α ) α ~ F () ~ α Abb..8 α ~ α Abb..9 Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk 4 HTW des Srldes (/5)

45 Stchprobekewerte Bespel: Wr betrchte de Klssehäufgketstbelle des Bruttootsverdestes vo 5 Beschäftgte eer Fr (sehe Tbelle.3, Kptel.4.4). Es soll der Med, d.h. der Verdest berechet werde, de de Hälfte der 5 Beschäftgte uter- bzw. überschretet! Klsse Nr Bruttootsverdest EURO 5 bs 8 über 8 bs über bs 4 über 4 bs 7 über 7 bs über bs 3 über 3 bs 6 über 6 bs 9 über 9 bs 3 über 3 bs 35 Beschäftgte Azhl H (K ) Atel h (K ),4,5,88,8,6,68,56,4,8, 5, Suehäufgkete Beschäftgte Kuulerte Kuulerter Azhl H() Atel h() ,4,76,64,9,45,6,776,9,98, Lösug: Der Med legt der Klsse, der de Suehäufgketsfukto de Wert,5 errecht: D.h., für de Klsse, de de Med ethält, uss gelte: h <, 5 h. Der Tbelle etehe wr: 6. h( K) K,5 ~, 5 Abb.. Mt 6 ergbt sch für de Med: ~ (,5,45),5 + 3,68 85,7EURO EURO D.h., 5% der Beschäftgte der Fr verdee ehr ud 5% cht ehr ls EURO. Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk 4 HTW des Srldes (/5)

46 Stchprobekewerte Uter Beutzug der grfsche Drstellug der eprsche Vertelugsfukto ergbt sch ee grfsche Näherugslösug für de Med, we ute stehede Skzze zegt. ~ F (),5, Me Bruttootsverdest EURO () Abb..: Grfsche Bestug des Meds be klssfzerte Dte Bereche Se de Boplot der Lebesduer vo Msche, dere Lebesduervertelug durch folgede Tbelle gegebe st: K H (K ) bs Jhre (-4] Jhre (4-6] Jhre (6-8] Jhre (8-] Jhre Iterpretere Se de Boplot! Vergleche Se de Med t de pprotve Mttelwert ' 4, 99! Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk 4 HTW des Srldes (/5)

47 Stchprobekewerte.4 Awedbrket der Mßzhle für de verschedee Skletype Mße Skl Nolskl Ordlskl Itervllskl Verhältsskl Lgeße Modus Med α-qutle Arth. Mttel () Streuugsße Spwete Qutlbstäde Mttlere bsolute Abwechug vo Med Streuug Stdrdbwechug Vrtoskoeffzet Stb-, Blkedgr Klsseetelug Hstogr Tb..3: Awedbrket der sttsche Mßzhle für verschedee Skletype ) Begrüde Se, wru der Vrtoskoeffzet cht für tervllsklerte Merkle wedbr st! b) Begrüde Se, ws be der Mttelwertberechug be ordlsklerte Merkle bechte uß! (Uter welche Bedguge köe Mttelwerte verwedet werde? Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk 43 HTW des Srldes (/5)

48 Stchprobekewerte.5 Übugsufgbe. Beste Se zu Aufgbe 4 der. Sere jewels uter Verwedug der 3 Stchprobedte ud uter Verwedug der Klsseetelug ) de Atel der Glühlpe, dere Lebesduer ehr ls 4 ud 6 Stude beträgt! b) We vele (Azhl) bestze ee Lebesduer > 6 Stude c) We hoch st der Atel der Lpe, dere Lebesduer 4 Stude cht überschretet? d) Welche Lebesduer wrd vo % der Lpe überschrtte?. Bereche Se zu Aufgbe 4 der. Sere: ) de Mttelwert us der Stchprobe ud pprotv t Hlfe der Klsseetelug. Vergleche Se bede Werte! b) de Streuug s us der Stchprobe ud de Shepprd sche Korrekturforel s ** t Hlfe der Klsseetelug! Vergleche Se bede Werte! c) de le ud le Beobchtugswert, sowe de Med, ds.5 ud.75 %-Qutl us der Stchprobe ud pprotv uter Verwedug der Klsseetelug. Zeche Se für bede Fälle (Stchprobe ud Klsseetelug) de zugehörge Boplot! Ist de Vertelug lks- oder rechtsstel? d) de Modlwert uter Verwedug der Klsseetelug! 3. Bereche Se für Aufgbe der. Sere Mttelwert, Modus ud Med der Kudeküfte! 4. Zege Se: ) Für de Beobchtuge eer dskrete Vrble t de verschedee Relseruge,,..., k glt: k ( ) H ( )! b) Be der Trsforto (Stdrdserug) vo Dte,..., geäß de Mttelwert ud Streuug der trsforerte Dte: * ud s * * s glt für 5. I zwe Betrebstele ees Uterehes werde Kühlggregte glecher Sorte hergestellt. Zur Utersuchug der Qultät der Produkto wurde Lebesduerlyse t je eer Stchprobe vo Ufg. Ud. Betrebstel gecht. Für de ttlere Lebesduer ud de Streuug ergb sch: 3 J, s 5 J, s 5 J, ; 6 J, 5 ; Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk 44 HTW des Srldes (/5)

49 Stchprobekewerte We groß sd Mttelwert, Streuug ud Vrtoskoeffzet der geese Stchprobe vo Ufg +? 6. Lebesduer zwsche Motore: Typ Jhre H (K ) > Typ Jhre H (K ) > 8 ) Vergleche Se de Lebesduer beder Type uf geegete Wese! b) Bereche Se de Med, Modlwert,,5,,75, vo bede Type! c) Wevel % der Motore vo Typ bzw. hbe ee Lebesduer zwsche 3 ud 7 Jhre? 7. Be Plote kot es druf, dss se öglchst schell uf optsche Sgle regere. U de Rektoszet zu verbesser, wurde ee Trgsethode etwckelt. Ee Utersuchug Persoe ergb folgede Rektoszete vor Awedug ud ch Awedug der Trgsethode ( Sekude): Perso Vorher Nchher Utersuche Se t eer geegete Methode der deskrptve Sttstk, ob ds Trg ee Verbesserug der Rektoszet (zudest der Stchprobe) bewrkt! Fertge Se gegebeeflls Zechuge ud begrüde Se Ihre Aussge! Prof. Dr. rer. t. B. Grbowsk 45 HTW des Srldes (/5)