Grundlagen der Mathematik/ Mathematik

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1 Arbets-Skrpt zur Vorlesug Grudlge der Mthetk/ Mthetk Alyss SS 204 Prof. Dr. Dr. Herbert Popp

2 .4 Arthetk Deser Betrg st sehr wörtlch etoe us Frz Pfuff, Mthetk für Wrtschftswsseschftler,. Aufl, veweg, 995, S "Jede türlche Zhl st teresst. De geoe es gäbe ee uteresste türlche Zhl. D gäbe es uch ee kleste uteresste Zhl. Des cht dese Zhl wrklch teresst! Also st des doch ee teresste Zhl. Deser Wderspruch zegt, dss es kee uteresste Zhl gbt." De Mege IR der reelle Zhle st so kostruert, dss hr de Ausführuge der ver Grudrecherte öglch st. Für je zwe Zhle, b R st lso uch Addto + b IR Subtrkto b IR Multplkto * b IR Dvso (für b 0) / b IR Dbe sd de bekte Regel bezüglch der Vertuschbrket der Zhle ud der Klerultplkto (Assoztvtät, Kouttvtät, Dstrbutvtät) erfüllt. Wr fsse her de grudlegede Recheregel für reelle Zhle och el zuse. Gegebe sd de reelle Zhle, b, c. + b = b + * b = b * ( + b) + c = + (b + c) ( * b) * c = * (b * c) + 0 = + (-) = 0 * = * / = für lle Werte vo ußer der Null. * 0 = 0 * (b + c) = * b + * c. Der ugekehrte Vorgg zu Ausultplzere vo Kler st ds sogete Auskler, d.h. es wrd us eer Sue e geeser Fktor der Sude herusgezoge. b + c = ( b + c) U de Drstellug eer Sue oder ees Produktes vo edlch vele Zhle zu verefche, beützt häufg de Sybole (Sg) ud (P)..4. Ds Suezeche (.4.) Defto De Sue der reelle Zhle,..., k bkürze der For K + = (sprch: Sue der, für = bs ). Dbe heße Lufdex, uterer ud oberer Sutosdex (,, Z; ). Der Ausdruck stellt lso ee Awesug dr, de Sue der Zhle zu blde, wobe lle gze Zhle vo bs durchläuft. 27

3 Häufg trtt der Spezlfll eer Sue Bespel: Bereche se de Sue vo =4, 2=7, =2, 4=8 t de Suezeche. 0 oder uf. Beerkug: Ee größere Bedeutug ht ds Suezeche, we es öglch st, de zu suerede Größe explzt ls ee Fukto des Sutosdex drzustelle. Für ds Erkee vo Gesetzässgkete Zhlefolge, de ufddert werde, epfehlt sch folgede Fustregel:. Uterschede sch de Folgegleder u gleche Betrg (hbe er de Wert d), d st der Ausdruck etws t *d (wobe der Lufdex st), z.b ; her st gleche Dfferez, lso st Forel *, u geht es t Strtwert los. Strte ch t, so wäre *= ud zu hoch, lso uss ch ee Ausdruck, we ch t strte, u reduzere. Forel lutet d Sue bs 4 vo *- 2. K ch Regel ) cht wede, zerlege ch jede Sude, u zu sehe, dss sch de zerlegte Tele je Sud u de Bestdtele erhöhe, z.b Ich zerlege 2*2+*+4*4+5*5 lso je Sud werde de zwe Fktore des Produktes u größer, geu ds ch j uch der Sutosdex, strte ch t 2 wäre * der erste Sud 2*2 ud d stegt uf ud der zwete Sud wäre *, so dss ch hbe: Sue 2 bs 5 vo *. Ds Vorzechelterere be de Sude lässt sch t (-) relsere ((-)^=-;(- )^2=; (-)^=-; (-)^4=), wobe de Potez so vrere uss (, +), so dss er erste Sud ds rchtge Vorzeche ht, z.b.,-2,.-4 beötgt (-) -, d erstes postv se uss ud we be begt uss zwe ls Potez be erste Sude rus koe. Bespele () K+ = (2) + + K + = () K 99 =. (4) = Für ds Reche t Sue gelte llgee folgede Regel: (.4.2) Stz () c = c (c = cost). 28

4 (b) ( ± b ) = ± b ; (c) (d) (e) k c = c (c IR); = + k + k + =. k k + ( k - ); Be vele für de Prxs wchtge Problee trete doppelt dzerte Sude j uf. I dese Flle k ee so gete Doppelsue blde, de über bede Idces suert. (.4.) Defto Gegebe see de Zhle,..., IR. D bezechet de folgede Sue: j= j = j + K + j = ( + K ) + K+ ( + K j= ls Doppelsue. j= Bespele E Betreb verbrucht 8 Rohstoffe. Der Verbruch Rohstoffe Geldehete (GE) pro Mot se gegebe. ) J Feb Mrz Apr M Ju Jul Aug Sep Okt Nov Dez Rohstoff Rohstoff 2 2 Rohstoff : Rohstoff 4 : Rohstoff 5 Rohstoff 6 Rohstoff 7 Rohstoff Für Doppelsue sd de zu Stz (.4.2) loge Recheregel erfüllt. Dbe glt sbesodere (.4.2.) Stz 29

5 j= j = j= j Es st lso glechgültg, ob zuerst über de Idces oder j suert wrd. Bespel Bereche Se de Doppelsue 2 j= 0 (6 + j).4.2 Ds Produktzeche (.4.4) Defto Ds Produkt der reelle Zhle,..., k bkürze der For + K = (sprch: Produkt der, für = bs ). Ee wchtge Spezlfll stellt ds Produkt = (für N ud 0 = ) dr. Für ee belebge reelle Zhl bezeche wr ls de - te Potez vo. Dbe heßt Bss ud de Hochzhl Expoet. Wr wolle u och kurz de us der Arthetk bekte Recheregel für Poteze wederhole. Bespel: Schrebe Se t Hlfe des Produktzeches * * * * Beerkuge: Recheregel = für lle belebge Werte vo ußer der Null. Wr ee de Kehrwert vo. Be ee Bruch werde Zähler ud Neer so behdelt, we we se Kler stüde. Zwe Brüche ud, 0 werde ultplzert, de de Zähler teder ud de Neer teder ultplzert: = Der Kehrwert ees Bruchs st der Bruch. 0

6 Zwe Brüche ud, 0 werde dvdert, de de Zählerbruch h t de Kehrwert des Neerbruchs h ultplzert: =. K ee Bruch t Hlfe ees Wertes so ufore, dss = erhält, k de Bruch t kürze ud erhält. Der Wert des eue Bruches ht sch cht verädert.,, 0. Es glt d lso = =. Brüche werde so ddert:. De Brüche werde glechg gecht. Es werde lso lle Brüche durch Erweter so ugefort, dss se de gleche Neer 0 hbe. 2. De Zähler, de durch ds Glechg-Mche resulterte, werde ddert zur Sue.. I Ergebs steht Zähler de Sue ud Neer der glechge Ausdruck :. Ee Potez st e Ter, der der For x drgestellt werde k, wobe x Allgeee größer ls 0 ud belebg sd. Be ugerdzhlge N k uch us egtve Zhle de -te Wurzel gezoge werde (.4.5) Stz Es see,b IR ud, Z. D glt: () * = + ; (b) ( ) = * ; (c) = für 0; (d) = für 0; (e) b = (b) (f) = = Dese Regel sd uch d gültg, we de Begrff der Potez uf reellwertge Expoete verllgeeert. So k ds Wurzelzehe ls de Ukehrug des Potezeres uffsse.. Wr wolle u och de Forel für de Lösug eer qudrtsche Glechug x² + bx + c = 0 t, b, c IR ud 0 gebe. Es gbt herbe zwe Lösuge x ud x 2 2 b ± b 4c geäß x,2 =, flls b² - 4c 0. 2 I Flle vo b² - 4c < 0 exstert kee reellwertge Lösug.

7 .4. Bolkoeffzet ud Fkultät (.4.6) Defto See, k N {0} t k. D setze wr ()! = = 2 K ud 0! = (sprch: - Fkultät);! st de Azhl der öglche Aorduge ( ) K ( k + )! (b) = = k 2 K k ( k)! k! (sprch: über k). M bezechet ls Bolkoeffzete. k Bolkoeffzet über k st Azhl der k-eleetge Telege us eer - eleetge Mege. Bespele () 0! =,! =, 2! = 2,! = 6, 4! = (2) =. 0 (.4.7) Stz Für de Zhle, k N t k glt:. ( + )! = ( + ) *! 2. =, = 0. = k k Bespel: Verefche se folgede Ausdruck: ( + )! ( + ) Mt Hlfe der Bolkoeffzete st es ußerde öglch, ee Ausdruck der For ( + b) uszuultplzere, d.h. ee Sue zu etwckel we folgt: (.4.8) Stz See, b IR ud N. D glt: 2

8 ( + b) = + b + 2 k k = b k= 0 k Bespele () ( + b) =. 2 b 2 + K + b + b.4.4 Logrthus turls (l) Logrthe sd der Wsseschft e uverzchtbres Werkzeug, de dt köe bespelswese sehr koplzerte Forel efchere Ausdrücke überführt werde. Eführugsbespel: Betrchte wr de Glechug 5 x = 25. Wr suche de Wert x, der de Glechug löst. Slopp köte ds schrebe ls? 5 = 25. De klee Kopfrechug 5 = 5; 5 5 = 25; = 25 verrät us, dss 5 = 25 st. Wr köe de Lösug so hschrebe log525 = ud so spreche: Der Logrthus zur Bss 5 vo 25 st. Es sd de bede Aussge Der Logrthus zur Bss vo y st x. Der Logrthus gbt, welche Potez x de Glechug Bespele:? 4 = 64 4 = 64, lso log4 64 =. 5 = 25 ud log525 = äquvlet, ws glechwertg heßt. x = y ergbt:? = y. Spezeller Logrthus zur Bss e, wobe dese de eulersche Zhl e 2,72 st. x y = e log y = x. =l y e Wr ee h de türlche Logrthus. See Kurzschrebwese st l y. De Bezechug türlch ht sch egebürgert, wel deser Logrthus - we de Bss e - sehr efch der Awedug st. So fdet er ählche Aweduge we e, bespelswese be Wchstusprozesse. Allerdgs k her cht ohe Tscherecher uf ds zugrude legede y schleße.

9 Recheregel für Logrthe De Recheregel gelte für lle Bse e. Der Logrthus vo y st ur für Werte y > 0 defert. l =0 l (y*z)=l y + l z Wr teressere us für l(5 0). Es st l(5 0) = l50 = 5,0 oder ber t l5 =,6 ud l 0 =,40 : l(5 0) = l 5 + l 0 =,6 +,40 = 5,0. l(y/x) = l(y)- l(x) Bespel: Wr teressere us für l(528/22). Es st l(528/22)=l(24)=,8. l(528/22)=l 528-l 22=2,72-,4=,8 l (/y)= -l y l z b = b l z Bespel: l 5 =l 75 =,528 l 5=*,76=,528 Ee Recheregel, de ee ds Auflöse vo Glechuge sehr erlechter k, st l e x =x Bespele: l e = 20. e 2 l x = x 2. x e x y. l l e l e x y. y e = = l( x x e e ) = l e + l e = 2x Wr wolle vor: verefche ud gehe ehrere Schrtte e 4 l( e 5) l e l x l( e 5) l e l = l e + l 5 l e l e e 4 ( x ) x 4

10 = l + l ( ( ))l + e l5 e x e = l 5 ( ( x ) ) = + l 5 ( x + ) = + l 5 + x 9 = x + l 5 6 = x +, 6 6 = x 4, 9. Wr bechte: Der Ausdruck l e bedeutet cht l e, soder er bedeutet l( e ), lso der Logrthus vo e. Zusefssed köe wr feststelle, dss de Recheregel für Logrthe de Ugg t Poteze etspreche. Logrthe köe ur de obe beschrebee Regel. Ausdrücke we l(x+y) dürfe dher cht weter zerlegt werde - uch, we us ds chl ubefredged erschet. l(x+y)<>l(x)+l(y) Aufgbe 2. Schrebe Se t Hlfe des Suezeches: () (b) (c) (d) (e) (f) (g) + + K (h) + + K () (j) (k) (l) () () (o) Gegebe see de folgede Tbelle vo Zhle: j j

11 k b jk J Sowe de Vrble x, x 2, x ud y, y 2, y, y 4. Bereche Se de Sue: () jb j 2, j= (b) j x j ud 2 y, j= 2 (c) ( ) k= j= j+ k b 4 4. Bereche Se de Doppelsue: 4 j= (6 + j) 5. Gegebe see de Zhle: jk Stelle Se t Hlfe des Suezeches dr: () De Sue der Eleete uf der Huptdgole (b) De Sue der Eleete oberhlb der Huptdgole (c) De Sue der Eleete vo der zwete bs zur verte Zele (Splte) (d) De Sue ller Eleete 6. Schrebe Se t Hlfe des Produktzeches () * * * * (b) 7 * 9 * *... * 49 (c) * (-2) * 4 * (-8) *... * (-28) (d) Löse Se de folgede qudrtsche Glechuge: () x² - 4x + = 0 2 (b) 45 = 0 x ² x 8. Bereche Se de folgede Fkultäte: ( +)! ( ² + )! ( + )! () (b) (c) (d) 2 4 ( + )! ( + 2)! ( + ) 9. Schrebe Se t Hlfe des Fkultätszeches: () (b) (c)

12 0. Bereche Se de folgede Bolkoeffzete: () (b) (c) (d) Zege Se de Gültgket folgeder Recheregel: () = k k 2. Sechs Persoe werde etlch ee Lste egetrge. Auf we vele verschedee Arte st ds öglch? M bereche ds Produkt der Bolkoeffzete vo 2 * 2 4. Stelle Se folgede Rehe t Hlfe des Suezeches dr (deke se Fkultät) Bereche Se de Doppelsue: 2 0 (6 + j) j= 2 6. Stelle Se de Aufddto folgeder Zhle t de Suezeche dr! j M bereche de Bolkoeffzete vo Bereche Se ds Doppelprodukt 2 j= 6 + j 8. M erttle de Wert der folgede Sue 4 k k = 2 * j j= 2 9. Welche Wert ht folgedes Produkt be >0? 20 ( ) Gegebe se de Mtrx (j)=

13 Bereche Se j j= 2. Führe Se t EXCEL Sue-, Produkt- ud Fkultätsberechug durch! Gegebe se de Mtrx (j)= Bereche Se j j= 2. M erttle de Wert der folgede Sue! 4 k 4 = 2 j * j= 2 k 24. Schrebe Se folgede Ausdruck t Hlfe vo Suezeche: Bereche Se de Sue! (2 + j) j= 26. Schrebe se de Forel (Brwert zuküftger Zhluge be veräderlche Zssätze) usführlcher For h! Z (/( + r j j= )) 27. Gegebe se de Mtrx (j)= 0 2 c 0 2 j Mt c ee reele Zhl. Bereche Se j= 8

14 28. Beste Se x t Logrthus: ) 0 x = b) 2 x = Verefche Se: ) b) l 5+ e 20 l e 9