Ralf Korn. Elementare Finanzmathematik

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1 Ralf Kor Elemetare Fazmathematk

2 Ihaltsverzechs. Eletug Exkurs : Akte Begrffe, Grudlage ud Geschchte. We modellert ma Aktekurse? 4. Edlche E-Perode-Modelle 6. Edlche Mehr-Perode-Modelle 3.3 Das Black-Scholes-Modell als Grezwert edlcher Mehr-Perode-Modelle 8.4 Neuere Presmodelle 3. Was sd Optoe ud we vel sd se wert? 5. Optoe: Begrffe ud Grudlage 5 Exkurs : Hstore des Optoshadels 7. Grudlage der Optospresbestmmug 8.3 Der Optospres m Bomalmodell 3.4 De Black-Scholes-Formel für europäsche Calls ud Puts 38.5 Modelluabhägge Presgreze für Optoe ud de Put-Call-Partät 43.6 Exotsche Optoe 5.7 Das Tromalmodell als Bespel uvollstädger Märkte 55.8 Wetere Aspekte der Optosbewertug Bestmmug optmaler Ivestmetstratege: Portfolo-Optmerug Der Erwartugswert-Varaz-Asatz Erwartugsutze-Maxmerug Wetere Aspekte der Portfolo-Optmerug Fazmathematk m Schuluterrcht 74 Ahag A: Stochastsche Prozesse, bedgte Erwartug ud Martgale 75 Ahag B: Smulato vo Zufallsgröße 78 Ahag C: Lösug quadratscher Optmerugsaufgabe 8 Übuge zur Elemetare Fazmathematk 8 Themegebet Zse 83 Themegebet Modellerug vo Aktekurse 84 Themegebet Optoe 86 Themegebet Optmales Ivestmet 87

3 Elemetare Probleme der Fazmathematk. Eletug I de vergagee Jahre hat sch der Hadel mt Akte, Optoe ud adere Arte vo Wertpapere stark de Vordergrud des öffetlche Iteresses gespelt. Des hat see Ursache spektakuläre Neu-Emssoe vo Akte bekater Uterehme we z.b. Deutsche Telekom oder Ifeo, der rasate Etwcklug des deutsche Aktedex DAX ( bede Rchtuge...), der verstärkte Berchterstattug über de Börse de Mede ud cht zuletzt der Tatsache, dass aufgrud der Retedskusso Ivestmet Akte, Akte- ud Retefods verstärkt als ee Möglchket zur prvate Altersvorsorge agesehe wrd. E weterer Pukt schet auch der zu se, dass sch vele prvate Aleger kurzfrstg hohe Gewe durch rskates Ivestmet Akte oder Akteoptoe erhoffe. Dabe st auch och zu bemerke, dass der Atel des Akte ud Aktefods vesterte prvate Vermöges Deutschlad m Verglech zu de USA oder Großbrtae deutlch gerger st, es deser Bezehug also auch och Nachholbedarf zu gebe schet. Währed also der Aktehadel Deutschlad regelrecht aufblüht ud auch a Schule ud Uverstäte sogeate Börsespele, be dee ma ohe Kaptalesatz auf spelersche Art Aktehadel betrebe ka, extrem populär sd, st es der große Öffetlchket wetgehed verborge geblebe, dass auch de mathematsche Modellerug des Wertpaperhadels (heute allgeme als Fazmathematk bezechet) de vergagee Jahrzehte ee rasate Etwcklug vollzoge hat, zur Zet ees der am stärkste bearbetete Gebete mathematscher Forschug darstellt ud dere Resultate tagtäglch vo Bake agewedet werde. Es st herbe für de Mathematk eer der seltee Fälle egetrete, be dem tatsächlch aspruchsvolle modere Mathematk agewedet wrd (für ee Überblck über de theoretsche Grudlage ud hre Aweduge wrd auf Kor ud Kor (999) verwese). De Bedeutug deser modere Fazmathematk wrd auch durch de Tatsache uterstrche, dass sowohl mt H. Markowtz 99 als auch mt Robert Merto ud Myro Scholes 997 führede Vertreter der Fazmathematk mt dem Nobelpres für Wrtschaftswsseschafte ausgezechet wurde. De dre wesetlche Probleme der Fazmathematk, de desem Artkel vorgestellt werde, bestehe der Modellerug vo Fazmärkte ud sbesodere der Wertpaperprese, der Bewertug vo Optoe ud adere dervatve Wertpapere, der Bestmmug optmaler Ivestmetstratege. Dese Theme werde de folgede dre Abschtte behadelt werde, wobe Exkurse auch auf hstorsche Aspekte egegage wrd.

4 Was st ee Akte? Exkurs : Akte Begrffe, Grudlage ud Geschchte Ee Aktegesellschaft st (u.a.) dadurch gekezechet, dass hr Grudkaptal vele klee Atele aufgetelt st, de Akte. Es gbt sowohl Akte mt kostatem Newert (z.b. 5 ¼SUR6W FNDOVDXFKVRJHQDQQWHQuoteakte, be dee der Ihaber ee feste Atel (z.b. /) am Uterehme bestzt. I Deutschlad herrsche Akte mt festem Newert vor. Allerdgs spelt deser Newert für de tatsächlche Wert der Akte hre Pres oder Kurs kee wesetlche Rolle. Der Aktekurs ergbt sch velmehr aus Agebot ud Nachfrage ach der etsprechede Akte am Aktemarkt a der Börse. Deser Mechasmus vo Agebot ud Nachfrage wederum wrd gaz wesetlch vo zwe Dge bestmmt: - der Höhe der jewelge Dvdedeausschüttug pro Akte (quas dem Aktezs ), de je ach Ertragslage des Uterehmes schwakt ud auch gaz ausfalle ka - dem (vermetlche) Potezal der Akte, wetere Kursgewe zu erzele, was auch gaz wesetlch vo der Eschätzug der Ertragslage des Uterehmes durch de Markt abhägt Der Name Akte kommt aus dem Hollädsche (dem Geburtslad der Akte, sehe auch m geschchtlche Überblck) ud letet sch aus dem latesche Wort acto ab, was sovel we eklagbarer Aspruch bedeutet, ud tatsächlch st ee Akte ja auch sowas we e Aspruch auf ee Tel der Aktegesellschaft ud auf de desem Tel zustehede Gew. Für wetere rechtlche ud wrtschaftlche Detals ud Htergrüde wrd auf de eschlägge Lteratur aus dem Berech der Betrebswrtschaft verwese. Warum beötgt ma Akte? Akte stelle für große Uterehme ud Uterehmuge ee alteratve Quelle zur Fremdfazerug (also zur Kredtaufahme) am Kaptalmarkt dar. De Aktegesellschaft erhält durch Verkauf hrer Atele, der Akte, Kaptal Höhe des Aktepreses, das m Gegesatz zum Kredt cht zurück gezahlt werde muss. Als Kompesato für deses gezahlte Kaptal erhalte de Aktoäre zum ee de jährlche Dvdedezahluge sowe e Mtspracherecht be wchtge Uterehmesetscheduge auf der emal jährlch stattfdede Hauptversammlug aller Aktoäre der Aktegesellschaft. Allerdgs st deses Mtspracherecht aufgrud der Größe der Aktegesellschafte faktsch ur auf ezele Großaktoäre (also Bestzer sehr großer Aktepakete oder sogar Bestzer der absolute Mehrhet der Akte) beschräkt, da jeder Aktoär pro besesseer Akte ee Stmme ethält. So bestzt de Mortät der Aktoäre zwar Stmmrechte, doch recht de Gesamthet hrer Stmme der Regel be wetem cht aus, um Beschlüsse durchzusetze. De Ausgabe euer Akte oder de Grüdug eer Aktegesellschaft (z.b. durch Umwadlug eer Persoegesellschaft, de sch vergrößer wll) st oft da zweckmäßg, we sehr große Summe a Egekaptal beötgt werde, um e sehr großes Projekt we z.b. de Bau

5 der erste Esebahle, de Grüdug der erste Überseehadelsgemeschafte oder als eueres Bespel de Bau des Tuels uter dem Ärmelkaal vorzufazere. Warum vestert ma Akte? Akte stelle wege der Uscherhet der Höhe der jewelge jährlche Dvdede sowe hrer Kursschwakuge ee sehr rskate Ivesttosmöglchket dar. Ma wrd deshalb ur da Akte erwerbe, we ma sch bespelswese ahad seer persölche Eschätzug der zuküftge Etwcklug des Uterehmes ee hohe Dvdedezahlug ud kräftge Kursgewe der Akte versprcht, de der Summe deutlch über dem Ertrag eer rskolose Ivestto we z.b. eer Festgeldalage lege. Tatsächlch sd lagfrstg de Erträge aus Aktevestmets der Regel höher als de rskoloser Geldalage. Geerell sollte ma sch egal we gut de persölche Eschätzug der ausgewählte Akte() st mmer darüber m Klare se, dass kee Akte schere Gewe verspreche ka. Vor jedem Aktevestmet st deshalb mmer zu prüfe, ob ma das zugehörge Rsko auch egehe ka. Ege wchtge Date aus der Geschchte der Akte: 6 : Grüdug der erste Aktegesellschaft der Welt, der Veregte Ostdsche Kompae, de Nederlade zur Fazerug eer Überseehadelsgemeschaft Ede des 7. Jahrhuderts : Zuahme des Aktehadels vor allem Eglad ud Frakrech 756 : Hadel der erste deutsche Akte, der Preußsche Koloalgesellschaft, Berl 79 : Grüdug (des Vorläufers) der New Yorker Börse, ab 863 New York Stock Exchage 844 : I Eglad st es rechtlch möglch, alle Erwerbszwege Aktegesellschafte zu grüde 848 : Grüdug der erste deutsche Aktebak Köl 884 : Der erste amerkasche Aktedex, der Ralroad Average, der Akte amerkascher Esebahgesellschafte behaltet, wrd otert 99 : Schwarzer Fretag ( Börsecrash ) am a der New Yorker Börse 959 : Ausgabe der erste deutsche Volksakte (PREUSSAG) 96 : Ausgabe der zwete deutsche Volksakte (VW)...

6 . We modellert ma Aktekurse? Bevor überhaupt a de Bestmmug optmaler Ivestmetstratege oder de Bewertug vo Optoe gedacht werde ka, muss zuächst als wchtgste Zutat e Modell für de Aktekurse gefude werde. Her st es, dem Przp Vo der Realtät zum Modell folged, wchtg, emprsche Beobachtuge ud Egeschafte realer Aktekurse zu erkee ud s Modell zu übertrage. Wr betrachte herzu de folgede bede Dagramme, de de zetlche Etwcklug der Kurse vo Deutsche Telekom, SAP ud der Allaz der Zet vom bs zum..998 zege. De wesetlche Egeschaft der gezegte Kurse legt hrer schebar zufällge Etwcklug. So sd zwar bs Afag Jul 998 jewels stegede Tedeze zu erkee, doch des muss cht otwedg bedeute, dass ma auch über kurze Zeträume Gewe erzelt. Ivestert ma zum Bespel mtte der stegede Phase am de Telekom-Akte, so muss ma dafür 46,65 DM zahle. Bs zum st der Kurs da auf 4, DM gesuke, was ee kräftge Verlust darstellt (der allerdgs m wetere Verlauf mehr als kompesert wrd). Hätte ma hgege kapp ee Woche vorher am de Akte zum Kurs vo 4,65 DM gekauft, so würde der Kurs vo 4, DM am trotz des obe beschrebee Ebruchs ee Gew bedeute. Wchtg st, dass sch her schebar zwe Effekte überlager, e lagfrstg bestmmeder Tred ud kurzfrstge Eflüsse, de zu lokal stark varerede Aktekurse führe DEUTSCHE TELEKOM (XETRA) Okt 97. Mrz 98. Jul 98. Nov 98 Bld : Aktekursverlauf Deutsche Telekom Dese Erkets wrd auch durch de Kursverläufe vo Allaz ud SAP bestätgt. Auch her spegel sch de starke, kurzfrstge Schwakuge eem gezackte Kursverlauf wder. Es wäre u aheleged, ach zufällge Fuktoe (Realseruge vo stochastsche Prozesse ) zu suche, de geau de obe beschrebee Egeschafte habe. De starke lokale Schwakuge ud der gezackte Kursverlauf lasse sch auch bem mathematsche Modell (etsprecheder Dmeso) für de Browsche Molekularbewegug, dem sogeate Weer Prozess (oder auch: Browsche Bewegug) beobachte (sehe Kor ud

7 Kor (999)). Tatsächlch spelt deses Modell auch ee zetrale Rolle der Fazmathematk. ALLIANZ (XETRA) SAP (XETRA) Okt 97. Mrz 98. Jul 98. Nov 98 Bld : Aktekursverläufe Allaz ud SAP Ee Realserug des auf desem Modell baserede Aktekursmodells, auf das wr auch Abschtt.3 egehe werde, sehe wr Bld 3. Smulerter Aktekurs (mt Tredkurve),95,75,55,35,5,95,75,,4,6,8 Bld 3: Aktekursverläufe m Browsche Modell Allerdgs wolle wr vor der ähere Beschrebug des Modells zuächst darauf hwese, was be ukrtscher Überahme ees schebar passede Modells passere ka. Des soll zuächst a eem gaz efache Modell, eem sogeate E-Perode-Bomalmodell, demostrert werde.

8 . Edlche E-Perode-Modelle Wr bege mt dem efachste Fall, dem E-Perode-Bomalmodell. Be desem Modell gehe wr davo aus, dass e Ivestor be der Wahl seer Ivestmetmöglchkete erhalb ees Zetraums zwsche dem Halte vo Bargeld ud der Alage ee Akte wähle ka, dere Kurs sch gemäß dem folgede Dagramm etwckelt: t = t =T Bld 4: Aktekurs m E-Perode-Bomalmodell D.h. der Aktekurs ka vo heute etweder auf am Ivestmethorzot stege oder aber auf 8 falle. Wchtg st herbe, dass zum ee der küftge Kurs der Akte uscher st ud es sowohl ee Möglchket gbt, dass Aktevestmet besser als das Halte vo Bargeld st, als auch e Zustad exstert, dem Aktevestmet zu eem Verlust führt. Wäre das Aktevestmet mmer besser als das Halte vo Bargeld, so würde ma se gazes Vermöge Akte vestere. Iterpretert ma das Halte vo Bargeld als Festgeldalage zum Zs Null, so wäre es da sogar möglch, durch Geldaufahme zum gleche Zssatz ud aschleßedes Ivestmet deses Geldes de Akte, ee rskolose Gew ohe Esatz vo egeem Kaptal zu erzele, de das gelehee Geld köte m Ivestmethorzot durch Verkauf der zu Beg der Perode erworbee Akte zurück gezahlt werde, wobe sogar och e postver Rest verblebe. Ma sprcht da vo eer Arbtrage-Möglchket. Ee solche Arbtrage-Möglchket würde aber vo alle Markttelehmer ausgeutzt werde. Des wederum würde so lage zu eer Presapassug be der Akte zu Beg der Perode führe, bs de Arbtrage-Möglchket verschwude wäre. Ma fordert daher mmer m Modell, dass der betrachtete Markt fre vo Arbtrage-Möglchkete se soll ( Absece of arbtrage ). Mt eer aaloge Argumetato darf de Aktekursetwcklug obgem Bespel auch cht mmer schlechter als das Halte vo Bargeld se. Wr werde dese Voraussetzug später och präzsere. Wr betrachte u e etwas komplzerteres E-Perode-Modell, dem ma zwe Akte (ud Bargeld) vestere ka, dere Kursetwckluge durch das folgede Dagramm beschrebe se solle: 8

9 t = t = T (,5) (,) (8, 9) Bld 5: Aktekurse m E-Perode-Bomalmodell mt zwe Akte d.h. etweder stege bede Aktekurse oder se falle bede glechzetg. Verglecht ma deses Dagramm zum vorherge Bespel, so schet zuächst ke wesetlcher Utersched vorzulege. De Akte stege etweder bede oder falle gemesam. Isbesodere schedet also kee Akte jedem möglche Zustad besser oder jedem Zustad schlechter ab als das Halte vo Bargeld. Auch domert kee Akte de adere. Zwar stegt de erste Akte stärker, falls sch de Aktekurse ach obe bewege, dafür fällt se aber auch stärker be eer egatve Kursetwcklug. Es schet also auch her kee der dre Alteratve ee Arbtrage-Möglchket zuzulasse. Des st aber ur vordergrüdg so. Wll ma zum Bespel be obgem Modell e Edvermöge vo geau DM erzele, so lässt sch des mt folgeder Stratege ohe (!) Esatz vo egeem Kaptal ermöglche: Kaufe heute 4 Stück der zwete Akte, verkaufe 5 Stück der erste Akte leer (d.h. der Verkäufer erhält berets heute de Kaufpräme, muss aber erst am Ivestmethorzot de verebarte Azahl vo Akte lefer) ud ehme ee Kredt vo 5 DM auf. Der Wert der gehaltee Postoe t = (also heute) beträgt da tatsächlch DM, d.h. es st ke Egekaptal ötg, um de vorgegebee Stratege zu verfolge. Im Edzetpukt erhält ma da als Edwert der gehaltee Postoe jewels: - Im Fall gestegeer Aktekurse: = - Im Fall falleder Aktekurse: = Ma erhält also mmer e Edvermöge vo DM, wobe ma m erste Fall davo proftert, dass ma mehr Atele der zwete Akte bestzt als ma vo der erste leerverkauft hat. Deshalb wächst das de zwete Akte vesterte Vermöge da stärker als de durch de Asteg der erste Akte verursachte Schulde. Im zwete Fall macht der stärkere Verlust der erste Akte de getätgte Leerverkäufe so proftabel, dass de Verluste aus dem Kursverfall der zwete Akte mehr als kompesert werde. Allgeme ka ma be obger Kostellato e belebges (!) Edvermöge X ohe egee Kaptalesatz erzele, dem ma de t = zu haltede Stratege (ϕ,ϕ,ϕ ) als edeutge Lösug des Glechugssystems ϕ + ϕ + ϕ = ϕ + ϕ + 5 ϕ = X ϕ + 8 ϕ + 9 ϕ = X

10 bestmmt. Herbe beschrebt de erste Glechug gerade de Bedgug, dass der Gesamtwert der zu Beg gehaltee Postoe glech Null st. De zwete ud drtte Glechug ergebe sch aus der Forderug, dass das Edvermöge uabhägg vom möglche Zustad glech X se soll. We ma lecht achprüft st de Systemmatrx des Glechugssystems regulär. Deshalb lässt sch zu eem belebge Afagsvermöge x (also der rechte Sete der erste Glechug) ee gewüschte Edauszahlug X (de sogar je ach Zustad verschede gewählt werde ka) mttels Halte eer geegete Stratege, ämlch der edeutge Lösug (ϕ,ϕ,ϕ ) des Glechugssystems, erzeuge. Es blebe u zwe Frage: We müsse sch de Prese m obge Modell etwckel, damt kee Arbtrage-Möglchket vorhade st? Was st der aschaulche Grud für das Vorhadese vo Arbtrage-Möglchkete obgem Bespel? Zur Beatwortug der erste Frage st es atürlch otwedg, dass de Systemmatrx des obge Glechugssystems, das de Wertetwcklug eer Hadelsstratege mttels der Preszuwächse beschrebt, cht regulär st. Mehr och: Hält ma de Null der erste Kompoete der rechte Sete fest, so darf höchstes da ee Lösug (ϕ,ϕ,ϕ ) des Glechugssystems exstere, we de bede übrge Kompoete der rechte Sete verschedees Vorzeche habe. Löst ma u de erste Glechug ach ϕ auf ud setzt de etstadee Ausdruck de bede adere Glechuge e, so erhält ma ϕ + 5 ϕ = X ϕ ϕ = X we ma berets mt verschedee rechte Sete X ud X arbetet. De obge Forderug, dass ur höchstes da ee Lösug (ϕ,ϕ,ϕ ) exstert, we X ud X verschedees Vorzeche bestze, ka offebar ur erfüllt werde, we de zwete Zele der Matrx des eue x Systems e egatves Velfaches der erste st, also de Vektore der bede Zuwächse auf eer durch de Ursprug laufede Gerade ud glechzetg verschedee Quadrate lege, d.h. also m Bespel, we de zwete Akte m Falle des Kursverlustes auf 85 (ud cht auf 9) abrutsche würde. Drückt ma dese Sachverhalt etwas allgemeer aus, so erhält ma: Ke Arbtrage : Geometrsche Iterpretato Im obge E-Perode st kee Arbtrage-Möglchket vorhade, we de Gerade, de durch de bede Vektore der Zuwächse geht, durch de Ursprug (,) läuft ud deser de bede Zuwächse tret, er also m relatve Ier des Geradeabschtts legt, der durch de kovexe Hülle der bede Zuwächse erzeugt wrd. Des st ke Zufall soder Spezalfall eer tefere Bezehug zwsche de geometrsche Egeschafte der Zuwächse der Aktekurse ud dem Ncht-Vorhadese vo Arbtragemöglchkete, der ute verallgemeert wrd. Er wrd m Bespel auch m Bld 6 llustrert,

11 dem de cht durch de Ursprug laufede Verbdugsgerade zwsche de bede Aktekurszuwächse ee Arbtragemöglchket sgalsert, währed de durch de Ursprug laufede Gerade azegt, dass das zugehörge Modell arbtragefre st. Bomalmodell mt zwe Akte (ohe Zs) Bld 6: Aktekurszuwächse ud Arbtrageüberprüfug Ma ka de obge geometrsche Iterpretato auch auf algebrasche Art ud Wese auffasse. Se besagt ämlch folgedes: Ist es möglch, e Paar (α,α ) zu fde, so dass das Skalarprodukt deses Paars mt de Kurszuwächse der Akte uabhägg vom jewelge Zustad (Kursasteg oder verfall) cht-egatv st, so muss das Skalarprodukt alle Zustäde mmer glech Null se, allgemeer: Ke Arbtrage : Algebrasche Iterpretato Im obge E-Perode st kee Arbtrage-Möglchket vorhade, we für de bede ( ) ( ) Vektore Y,Y der Zuwächse der Akte (wobe de jewels erste Kompoete deser Vektore de Zuwächse der erste Akte ud de zwete Kompoete de Zuwächse der zwete Akte ethält) ud alle Paare α = (α,α ) glt: ( ) ( ) α Y für =, α Y = für =,. Bevor wr auf ee Verallgemeerug deser bede Iterpretatoe egehe, wolle wr och ee wahrschelchketstheoretsche Kosequez aus dem Ncht-Vorhadese vo Arbtragemöglchkete obgem Bespel zehe. Des st auf de erste Blck überrasched, da ja bsher de Wahrschelchkete für das Etreffe der bede Zustäde egetlch kee Rolle spelte außer der, dass bede Zustäde möglch se solle. Ke Arbtrage : Wahrschelchketstheoretsche Iterpretato Im obge E-Perode st kee Arbtrage-Möglchket vorhade, we de Wahrschelchkete q ud q für das Etreffe der bede möglche Zuwächse so gewählt werde köe, dass mt dem zugehörge Wahrschelchketsmaß Q glt: E Q ( ) ( ) ( Y ): = qy + ( q) Y =

12 Zwar werde wr auch dese Bezehug ute och geauer bewese, aber ma ka sofort sehe, dass de obge Forderug a de Erwartugswert de Voraussetzug der geometrsche Iterpretato mplzert. Se besagt ämlch geau, dass es ee Kovexkombato der bede möglche Vektore der Zuwächse gbt, de glech dem Nullvektor st. Des wetere lässt se sch so terpretere, dass ee Eschätzug der zuküftge Kursetwcklug möglch st, ach der der mttlere Zuwachs de Akte glech dem des Bargelds (also glech Null) st. So gesehe habe also alle Ivestmetmöglchkete Bargeld ud Akte de gleche mttlere Wertzuwachs. Legt ma dese Eschätzug seer Marktmodellerug zugrude (d.h. wählt ma das Wahrschelchketsmaß Q m Modell), so sprcht ma vo eem rsko-eutrale Markt, ud Q heßt da e rsko-eutrales Maß. Deses Maß wrd m wetere Verlauf (sbesodere be der Optosbewertug) och ee große Rolle spele. Das obe beschrebee E-Perode-Modell st für vele Egeschafte des allgemee E- Perode-Modells typsch. Des wrd sch auch zege, we wr de obge verschedee Iterpretatoe m allgemee Fall auf hre Bezehuge utereader utersuche werde. Um dese allgemee Fall utersuche zu köe, beötge wr zuächst de Beschrebug des allgemee E-Perode-Marktes. Voraussetzuge Allgemeer E-Perode-Markt ( Ω, f, P) Se e edlcher Wahrschelchketsraum mt, ( ω ) > P für alle. Es gbt also ur edlch vele möglche Zustäde des Marktes am Ede der Perode, de aber alle ee postve Etrttswahrschelchket bestze. De Akteprese see durch ee (k+)-dmesoale Zufallsvarable S beschrebe, ud es gelte: S ( ) se zur Zet t = bekat S j ω für alle, j =,..., k ( postve Prese ) ( T, ) > S ω für alle ω Ω ( Bargeld ) ( T, ) = Isbesodere habe wr also uter de obge Aahme kee hellsehersche Fähgkete, da wr de Aktekurse zur Zet T als Zufallsvarable modellere. Allerdgs ehme wr a, dass de Mege aller möglche verschedee Werte der Kurse edlch ud bekat st. Der Ivestor hat u de Möglchket, t = se Afagsvermöge auf de verschedee Akte aufzutele bzw. Tele davo als Bargeld zu halte. Herbe werde egatve Azahle als Kredt oder Leerverkauf terpretert. Uter eer Hadelsstratege verstehe wr u ee (k+)-dmesoale Vektor ψ(), desse ezele Kompoete de jewels gehaltee Stückzahle der ezele Akte (bzw. des Bargelds) agebe. Das zugehörge Afags- ud ψ V ψ T bezechet ud sd durch das zugehörge Edvermöge werde mt V ( ) bzw. ( ) V ψ k ψ ( ) = ψ ( ) ( ), V ( T, ω ) = ψ ( ) + ψ ( ) S ( T ω ) = S k, = gegebe. Ma beachte weder, dass das (zuküftge) Edvermöge ee Zufallsvarable st.

13 De erste wchtge Defto, de wr beötge, st ee formale Defto der Arbtragemöglchket: Defto. Ee Hadelsstratege ψ() heßt ee Arbtragemöglchket, falls für das zugehörge Afags- bzw. Edvermöge gelte: ψ V ( ) = ud V ψ ( T, ω ) für alle ω Ω, wobe sogar V ψ ( T, ω ) > für mdestes e ω Ω gelte muss. Ee Arbtragemöglchket st also ee Stratege, de ma ohe Egekaptal verfolge ka, de e zu Schulde, aber m güstgste Fall zu eem postve Edvermöge führt. Ma hat somt ohe Rsko Geld aus chts gemacht. Wäre ee solche Möglchket am Markt (über lägere Zet) vorhade, so würde des alle Markttelehmer merke, ud de Prese würde da durch de Mechasmus vo Agebot ud Nachfrage so agepasst werde, bs de Arbtragemöglchket verschwude wäre. Ma betrachtet daher der Theore ur arbtragefree Märkte. Der folgede Satz gbt ee umfassede Charakterserug arbtragefreer Märkte, de alle obge Charakterseruge der Arbtragefrehet behaltet. Um h formulere zu köe beötge wr och ee Bezechug De kovexe Hülle cov{y(ω) ω Ω} der Kurszuwächse Y(ω) mt st defert durch Y(ω) := ( S ( T ω ) S ( ),..., S ( T, ω ) S ( ) ), k k k cov{y(ω) ω Ω} := x R x = λ ωy ( ω), wobe λ ω =, λ ω. ω Ω ω Ω Das relatve Iere deser kovexe Hülle, r(cov{y(ω) ω Ω}), st durch all de Pukte aus der kovexe Hülle gegebe, be dee sämtlche Koeffzete λ ω der Summedarstellug postv sd. Satz. Arbtragefree E-Perode-Modelle De folgede Aussage sd äquvalet: ) Das allgemee E-Perode-Modell st arbtragefre. ) Der Nullvektor wrd vo der kovexe Hülle der möglche Aktezuwächse überdeckt. Geauer, es glt: r(cov{y(ω) ω Ω}) ) Für alle α R k glt: α Y ( ω ) ω Ω α Y ( ω ) = ω Ω v) Es exstert e zu P äquvaletes Wahrschelchketsmaß Q (d.h. her es glt Q ω > ω ) mt E Q ( Y ) =. ( ) Ω Da deser Satz vo fudametaler Bedeutug st, wolle wr her sogar see Bewes führe.

14 Bewes: Wr zege de Behauptug ach folgedem Schema: ) v) ) ) v) a) Da Q e zu P äquvaletes Wahrschelchketsmaß se soll, folgt aus v) sofort ), de der Erwartugswert st ee Kovexkombato der Zuwächse, be der alle Koeffzete (ämlch de ezele Wahrschelchkete Q({ω})) strkt postv sd. Glt umgekehrt ), so wählt ma efach de Koeffzete λ ω, mt dere Hlfe sch der Nullvektor als Kovexkombato der Zuwächse darstelle lässt ud setzt Q({ω}) := λ ω. Mt desem Wahrschelchketsmaß (de ötge Egeschafte, de e Wahrschelchketsmaß auf eem edlche Wahrschelchketsraum defere, folge aus de Egeschafte der λ ω ) folgt da v). b) Es se u v) vorausgesetzt. Da folgt sbesodere (+) E S ( T ) ψ Es se u V ( ) = ud ψ ( T, ) ( ) S ( ) j =,, k =. Q j j..., V ω für alle ω Ω ud ee Hadelsstratege ψ() erfüllt. Da folgt mt Glechug (+) de Glechug E k ψ ( V ( T )) ψ ( ) E S ( T ) = k ψ ( ) = ψ ( ) S ( ) = V ( ) = Q j Q j j j, j= j= was da aber mt der Aahme der Ncht-Negatvtät des Edvermöges auf ( T, ω ) = V ψ für alle ω Ω führt. Somt exstert kee Arbtragemöglchket, d.h. ) glt. c) Wr zege zuächst, dass de Gültgket vo ) de folgede Hlfsaussage mplzert: (*) Glt für ee Hadelsstratege ψ() de Bezehug ψ ( T, ω ) V ψ ( ) so muss berets ψ ( T, ω ) V ψ ( ) = V für alle ω Ω gelte. V für alle ω Ω, Des st lecht ezusehe. Wäre ämlch für e ω Ω de echte Uglechug > gültg, so rechet ma lecht ach, dass de Hadelsstratege ψ*(), gegebe durch ψ * ( ) =ψ ( ), =, k, * ( ) = ψ ( ) ( )..., k ψ, S = ee Arbtragemöglchket darstellt. Heraus folger wr u Aussage ): Wr ehme dazu a, dass e Vektor α R k exstert mt (&) α Y ( ω ) ω Ω ud α ( ω ) > für e ω Ω 'Y. Aus dem Vektor α mt Egeschaft (&) lässt sch u e Wderspruch zur Aussage (*) herlete. Wählt ma ämlch ( ), =,..., k, ( ) = so folge ψ ( T, ) ψ ( ) = α ψ, V ψ ω V für alle Ω ω ud V ψ ( T, ω ) V ψ ( ) >

15 wege Egeschaft (&), was da de gewüschte Wderspruch zu (*) darstellt. Folglch ka also ke Vektor α R k mt Egeschaft (&) exstere, womt ) gezegt wäre. d) Es blebt och de letzte Implkato zu zege. Wr beötge herzu weder e Hlfsresultat, dass wr allerdgs desmal cht bewese wolle. Es folgt drekt aus dem Lemma vo Farkas, das jedem belebge Buch der leare Optmerug achzuschlage st. Das beötgte Hlfsresultat lautet: Se M R k,n. Da glt etweder Aussage a) oder Aussage b), wobe a) Mx = bestzt ee Lösug x* R N, de ur strkt postve Kompoete hat. b) Es exstert e α R k mt α M ud α M. Aus der Aahme der Gültgket vo ) folgt drekt, dass für de aus alle möglche Kurszuwächse gebldete Matrx M = ( Y ( ω ),..., Y ( ω N )) de Aussage a) m obge Hlfsresultat glt, wobe de Elemete ω Ω belebger Wese durchummerert worde sd. Mt dem Vektor x* aus a) defere wr e Wahrschelchketsmaß Q durch Offebar st Q zu P äquvalet, ud es glt E N Q ω = x * Q( ω ): = >. N = x * j j ( Y ) = Y ( ) = Mx* =. x * N N x * = x j j j= Somt st auch de letzte gewüschte Implkato gezegt ud der Bewes vollstädg.. Edlche Mehr-Perode-Modelle De offeschtlche Verallgemeerug der E-Perode-Modelle besteht de Mehr-Perode-Modelle, wobe wr aehme, dass Hadel zu de Zetpukte {,,..., T} möglch se. Wr betrachte weder ee Markt, a dem d Akte gehadelt werde ud de Möglchket eer rskolose Geldalage besteht. Allerdgs beötge wr och ege allgemeere Deftoe ud Kozepte, da wr ja jetzt e Zufallsexpermet m Zetablauf, de zetlche Etwcklug der Aktekurse, beobachte. Voraussetzuge Allgemeer T-Perode-Markt (, f, P) Ω se e edlcher Wahrschelchketsraum mt = N j * Ω, ( ω ) > P für alle ω Ω. Es gbt also weder ur edlch vele möglche Zustäde des Marktes am Ede der Perode, de alle ee postve Etrttswahrschelchket bestze. De zetlche Etwcklug der Wertpaperprese se durch ee (k+)-dmesoale stochastsche Prozess S = {S(t), t {,,..., T}} beschrebe, ud es gelte: S ( ) se zur Zet t = bekat S j ω für alle ω Ω, t {,,..., T}, j =,..., k ( postve Prese ) ( t, ) > S ω für alle ω Ω, t {,,..., T} ( Bargeld ) ( t, ) =

16 De Ivestore müsse hre Etscheduge über hre Kaptalalage auf der Bass der Beobachtug der gegewärtge ud vergagee Wertpaperprese treffe. Es stehe kee wetere Iformatoe (we z.b. Isderformatoe) zur Verfügug. Wr modellere des dadurch, dass de Hadelsstratege alle adaptert a de vo de Prese erzeugte Flterug se solle (sehe ute). = σ { S( ),..., S( t) }, t,, T mt = {, Ω} f t : =..., f, f T = f Der Ivestor hat u de Möglchket, t =,,..., T se Vermöge auf de verschedee Akte aufzutele bzw. Tele davo als Bargeld zu halte. Ee Hadelsstratege wrd als e (k+)-dmesoale stochastscher, a de Flterug f t adapterter Prozess ψ(t), t =,,..., T, defert (d.h. ψ(t) muss f t -messbar se). Weder stelle desse ezele Kompoete de jewelge gehaltee Stückzahle der ezele Akte (bzw. des Bargelds) dar, wobe de Etschedug über de zu haltede Stückzahle ψ(t) mmer m Zetpukt t ach der Beobachtug der Wertpaperprese S(t) getroffe werde muss. Dese Stückzahle blebe da bs zur ächste Umschchtug m Zetpukt t+ kostat. Der zugehörge Vermögesprozess wrd mt V ψ ( t) V ψ k ( t) = ψ ( t) S ( t) V ψ = k bezechet ud durch, t =,..., T, ( T ) = ψ ( T ) S ( T ) = defert. Wr forder u, dass sch der Ivestor selbst-fazered verhalte muss, d.h. se Vermöge vor eer Umschchtug st glech dem ach der Umschchtug, also k = ψ ( t ) S ( t) = ψ ( t) S ( t) k =, t =,..., T. Bemerkug: Zwar st de Verwedug der Begrffe Flterug, messbar ud σ-algebra für de Kürze der Formulerug der Voraussetzuge, de wr a de Hadelsstratege stelle sehr vo Vortel, doch werde herdurch auch weder techsche Begrffe egeführt, de ma mttels eer lägere Erklärug oder aber eer verefachte aschaulche Beschrebug umgehe köte. So bedeutet userem efache Rahme de Forderug, dass de Hadelsstratege ψ(t) a de Flterug f t adapterter stochastscher Prozess ψ(t) st, ledglch, dass de Werte der Zufallsvarable ψ(t) ee Fukto der bs zum Zetpukt t beobachtete Wertpaperprese S(),..., S(t) se soll. Des mplzert auch, dass de Azahl der möglche Werte vo ψ(t) mt der Zet t wächst oder kostat blebt. De Flterug, also de aufstegede Folge der mt wachseder Zet mmer größer werdede σ-algebre f t, stellt herbe chts aderes als de durch Beobachtug der Akteprese gewoee Iformatosfluss dar, der dem Ivestor als Bass seer Etscheduge det. Ma köte also m Schuluterrcht auch mt eer solch verbale Umschrebug auskomme, um de Eführug zusätzlcher techscher Hlfsmttel zu vermede.

17 Us teressert auch her weder de Frage, welche Klasse vo Modelle überhaupt arbtragefre st, also welche Klasse e zulässges Aktemodell darstellt. Herbe wrd auch weder das rsko-eutrale Maß ee wchtge Rolle spele. Allerdgs beötge wr zu seer Defto ee wetere Klasse vo stochastsche Prozesse, de der Martgale. Defto.3 E a ee Flterug f t adapterter stochastscher Prozess M(t) heßt Martgal, falls für s t ( ) ( t) E M ( s) M = glt. Isbesodere folgt daraus auch ( M ( t) ) E( M ( ) ) f t E = für alle t =,...,T. De deferede Egeschaft ees Martgals besagt, dass der Erwartugswert des Prozesses gegebe de beobachtete Iformato bs zur Gegewart gerade glech dem gegewärtge Wert st (zur Defto der bedgte Erwartug sehe Ahag A). Egal a welchem Pukt der Zukuft ma sch also befdet, ma wrd vo dort aus mmer m Mttel geau so vel Gew we Verlust der wetere Zukuft mache. Isofer st also e Martgal ee Verallgemeerug ees stochastsche Prozesses mt kostatem Erwartugswert. Typsche Bespele für Martgale sd de Vermögesverläufe ees Spelers, der a fare Glücksspele telmmt. Das efachste solche Spel st der fare Müzwurf, be dem e Speler mmer ee DM zahlt, we Kopf obe legt ud ee DM ethält, we Zahl erschet. Wetere Egeschafte vo Martgale fde sch m Ahag A. Mt Hlfe des Martgalbegrffs lässt sch u auch m Mehrperode-Fall e rsko-eutrales Maß defere: Defto.4 Äquvaletes Martgalmaß E zu P äquvaletes Wahrschelchketsmaß Q heßt e äquvaletes Martgalmaß oder auch rsko-eutrales Maß, falls de (abgezste) Aktekurse S ( t) (=S (t)/ S (t)) Martgale bezüglch dem Maß Q sd, d.h. es glt: ( ) S ( t) = E S ( s) f für s t {,,..., T}, =,..., k. Q t Wr habe u de ötge Deftoe besamme, ud de m E-Perode-Modell gelestete Arbet zahlt sch jetzt aus. Wr müsse quas ur arbtragefree E-Perode-Modelle geeget zusamme klebe. Herzu müsse wr och zu de ezele Zetpukte t =,..., T de jewels möglche Eregsse defere. Wr betrachte herzu de Folge der mmale Zerleguge P t vo f t gegebe durch t Pt = A,.., A A ft, f = U A, A = A = für t j, j ke A f t mt A A (also de Mege aller der Mege, de zu f t gehöre ud f t cht weter zerlegbar sd) ud erhalte de folgede Satz über de Charakterserug arbtragefreer edlcher Mehr- Perode-Modelle.

18 Satz.5 Arbtragefree edlche Mehr-Perode-Modelle De folgede Aussage sd äquvalet: ) Das obe beschrebee Aktemarktmodell st arbtragefre. ) Für alle t {,,..., T }, A Pt glt: r(cov{y t+ (ω) ω A}) ) Für alle t {,,..., T }, A P, t α IR k glt: ( ω) ω A α Y ( ω) = A α Y t+ t+ ω v) Es exstert e äquvaletes Martgalmaß Q. Bewes(skzze): Wr verwede das Bewesschema ) ) ) v) ). Herbe glt da: a) De Bezehug ) ) folgt we m Bewestel c) vo Satz., we ma jetzt ur de ω A betrachtet ud sch somt auf de Telraum A vo Ω eschräkt. Der Wderspruch m Bewes durch das Kostruere eer Arbtragestratege muss her ur sowet modfzert werde, dass der t+ erzelte Arbtragegew sch mttels scherem Ivestmet bs de Zethorzot T wetertrasportere lässt (ud sch e Afagsvermöge vo t atürlch mmer durch de Nullstratege bs t (also ke Ivestmet vor t) erzeuge lässt). b) Um de Äquvalez ) ) zu zege beötge wr de folgede allgemee Treugssatz (sehe Rockafellar Covex Aalyss, S.96): Für zwe cht-leere kovexe Mege C,C glt: r(c ) r(c )= Es exstert ee Hyperebee, de C,C tret (d.h. es exstert e Vektor α mtα x < < α y für alle x C, y C ) Heraus folgt de Behauptug sofort für de Wahle C = {} ud C = cov{y t+ (ω) ω A}. c) Um ) v) zu zege muss m wesetlche der etsprechede Bewestel aus Satz. geeget verwedet werde. Herzu se zuächst zu festem ω Ω ee Folge... d) Se zum Bewes vo v) ) Q e äquvaletes Martgalmaß ud ψ(.) ee Hadelsstratege mt V ( ) =,V ( T ). Da ψ ψ glt E Q ψ ψ ( V ( T )) = E E V ( T ) ψ Q ( Q ( ft ) = EQ ( ψ( T ) S ( T )) = EQ ( V ( T )) = ψ ( EQ ( V ( T ) ft ) = EQ ( EQ ( ψ( T ) S( T ) ft )) = EQ ( EQ ( ψ( T ) S( T ) ft )) = ψ ψ ( ψ( T ) E ( S( T ) f )) = E ( ψ( T ) S( T ) ) = E ( V ( T ) ) =... = E ( V ( ) ) = = E Q = E Q Q T woraus wege der Nchtegatvtät des Edvermöges sofort ψ ( T ) = Q V folgt. Ma beachte, dass der obge Glechugskette sowohl de Martgalegeschaft der Wertpaperprese uter Q als auch bem Schrtt vo T zu T exemplarsch de Egeschaft eer selbstfazerede Hadelsstratege verwedet wurde. Q Q,

19 Bemerkuge. Edlche Märkte mt rskoloser Geldalage Bsher habe wr mmer Marktmodelle betrachtet, be dee das Halte vo Bargeld de Alteratve zum rskate Aktevestmet darstellte. Des st der Praxs atürlch cht so, da es dort bessere Alteratve gbt, de ee rskolose Geldalage zu eer feste Verzsug ermöglche we z.b. Festgeld oder Sparbuch. Falls wr e Modell mt eer solche Möglchket betrachte wolle, modellere wr des, dem wr de Pres des. Wertpapers, S, als ee etsprechede determstsche Fukto der Zet S (t) wähle. De obe gegebee Charakterseruge der Arbtragefrehet blebe da mt eer klee Äderug rchtg: I der Defto des äquvalete Martgalmaßes st u zu forder, dass de mt S (t) abgezste Aktepresprozesse S Sˆ ( t) : =, =,..., k S Martgale bezüglch dem äquvalete Martgalmaß Q se solle. ( t) ( t). Gazzahlgket der Zet Bsher habe wr mmer gazzahlge Zetpukte betrachtet. Es st atürlch ke Problem, zu eer adere Zetskala zu wechsel z.b. vo de bsher gazzahlge Tage zu Woche. Da erhält ma de Tage als etsprechede Bruchtele der Woche. Es hat sch deshalb der Lteratur egebürgert, ebe der Wahl eer gazzahlge Zetskala auch ee solche Zetetelug zu betrachte, be der e fester Zethorzot T ud feste Hadelszetpukte j T/ mt j =,..., gewählt werde. E solches Vorgehe betet sbesodere bem Übergag zu de zet-stetge Modelle Vortele. 3. Bomalmodell (Cox-Ross-Rubste-Modell) Das Paradebespel ees arbtragefree Mehr-Perode-Modells st das -Perode-Bomalmodell, das der Lteratur auch uter der Bezechug Cox-Ross-Rubste-Modell bekat st. Es fde her jewels Presäderuge zu de Zete j T/ mt j =,..., statt. Zu dese Zete ka e Ivestor auch se Vermöge umschchte. De Etwcklug des Aktekurses m Cox-Ross-Rubste-Modell st durch das folgede Dagramm gegebe, wobe wr us her der efachere Darstellbarket halber auf de Fall = beschräke: u S us S uds ds d S Bld 7: Aktekurs m Zwe-Perode-Bomalmodell Der Aktekurs verhält sch also we e Baum, der aus ezele E-Perode-Bomalmodelle zusammegesetzt st (ma sprcht deshalb auch vo Baummodelle). De Vermehrugsfaktore u ud d sd geau we de Wahrschelchkete p für ee Kursasteg je-

20 dem Kote glech, so dass der Pres der Akte zur jewelge Zet j T/ edeutg durch de Azahl der vorher statt gefudee Aufwärtsbeweguge des Aktekurses bestmmt st. Der Name Bomalmodell st dar begrüdet, dass de Azahl X der Aufwärtsbeweguge m - Perode-Bomalmodell eer Bomalvertelug mt Parameter ud p geügt, da X Summe vo uabhägge Null-Es-Varable X st, de jewels da de Wert Es aehme, we zur Zet T/ e Kursasteg statt fdet. Typscherwese betrachtet ma als Alteratve zur Akte m Bomalmodell ee rskolose Alagemöglchket mt Zssatz r pro Perode, be der de Zszahluge zu jedem Hadelszetpukt j T/ dem jewels vesterte Kaptal zugeschlage werde. Es ergbt sch da für de Etwcklug S (t) eer Geldehet, de zur Zet t = rskolos agelegt wrd, S (t) = ( + r) t, t =, T/, T/,..., T. Es lässt sch lecht überprüfe, dass das so etstadee Marktmodell geau da arbtragefre st, we de Bezehug d < ( + r) T/ < u glt..3 Das Black-Scholes-Modell als Grezwert edlcher Mehr-Perode-Modelle Das der Theore der Fazmathematk populärste Wertpaperpresmodell st das sogeate Black-Scholes-Modell. Es basert auf der Aahme, dass m efachste Fall für de rskolose Geldalage ( Bod ) ee Wertetwcklug der Form ud für de Aktepres ( t) rt ( t) e B = S (der Efachhet halber betrachte wr her ee Markt mt eem Bod ud ledglch eer Akte, für de allgemee Fall verwese wr auf Kor ud Kor (999)) de Form S ( t) = se b σ t+σw ageomme werde, wobe r, b, σ reelle Zahle sd, dere Bedeutug wr glech herlete werde. W(t) se ee Zufallsvarable, de ormal vertelt st mt Erwartugswert Null ud Varaz t, also W ( t) N (,t) Zusätzlch soll W(t) als Fukto vo t (also als stochastscher Prozess) ee stetge Fukto se ud de Forderuge ) W ( ) = ) W ( t) W ( s) N (, t s). für t > s ormal vertelte Zuwächse ) W ( t) W ( s) st uabhägg vo ( r) W ( u) ( t ) W für t > s r > u uabhägge Zuwächse geüge. Ma bezechet ee solche stochastsche Prozess als Browsche Bewegug oder auch Weer Prozess. Wr wolle her cht weter auf see Egeschafte egehe, soder ledglch ee smulerte Pfad (also e Ergebs des zugehörge Zufallsexpermets) der Browsche Bewegug Bld 4 präsetere. E zugehörger smulerter Pfad vo S(t) wurde berets Bld 3 gezegt.

21 , W(t),6,,4,6,8 t -,6 Bld 8: Smulerter Pfad eer Browsche Bewegug W(t) Im Rahme deses Abschtts soll das Black-Scholes-Modell auf efache Wese als Grezwert eer Folge vo Mehrperode-Bomalmodelle motvert werde. Ee exakte Herletug der Kovergez würde de Rahme deser Arbet sprege. Wr bege mt der Motvato des Bodpreses. We ma ee Geldehet zum Zssatz r für ee Zetraum der Läge t alegt ud de Zse am Ede des Zetraums gezahlt werde, so hat sch de ee Geldehet zur Zet t auf +rt erhöht. Würde ma hgege berets ach der Hälfte des Zetraums, also zur Zet t/, Zse erhalte, so hätte sch user Vermöge zur Zet t/ auf +rt/ erhöht. Legt ma auch de erhaltee Zse ab t/ zum Zssatz r a, so erhält ma m Zetpukt t e Gesamtvermöge vo t t t rt + r + + r r = +. Erhält ma u allgeme mmer zu de äqudstate Zetpukte jt/, j=,...,, Zszahluge gemäß Zssatz r auf das m Zetraum [(j )t/, jt/] agelegte Kaptal, so bestzt ma m Zetpukt t e Gesamtvermöge vo rt +. Lässt ma u de Zetdfferez zwsche de Zszahluge gege Null gehe (bzw. de Azahl der Zszahluge gege uedlch), so kovergert deser Ausdruck gege de Bodpres m Black-Scholes-Modell, geauer: Es glt rt rt e. + Wr betrachte somt m Black-Scholes-Modell ee rskolose Geldalage, be der sch das agelegte Vermöge kotuerlch der Zet mt Zssatz r verzst. Da m Bakegeschäft Alagemöglchkete zum Tageszs möglch sd, st dese Idealserug ( kotuerlche Verzsug ) gar cht so realtätsfremd, we ma auf de erste Blck vermutet. Da der Zssatz r m allgemee recht kle st, sd sogar de Abwechuge zwsche kotuerlcher ud jährlcher Verzsug cht soderlch groß. Des wetere exstert atürlch zu jedem Zssatz r m kotuerlche Modell e Zssatz r* m Modell mt jährlcher Verzsug, so

22 dass de Vermögesetwcklug uter bede Verzsugsarte mmer zum volle Jahr übere stmme. Im folgede Bld wrd der Utersched zwsche jährlcher, halb- ud verteljährlcher sowe kotuerlcher Verzsug verdeutlcht. De ezele Kurve zege (vo ute ach obe) de jewels zugehörge Wertetwcklug eer Geldehet erhalb ees Jahres. Herbe musste e urealstsch hoher Zssatz vo r = (also %!!!) gewählt werde, damt de ezele Uterschede auch tatsächlch optsch erkebar ware. Für realstsche Zssätze sd de Uterschede wetaus weger deutlch. B(t) 3 Dskrete ud kotuerlche Verzsug,5,5,5,5,75 t Bld 9: Etwcklug ees Vermöges be dskreter ud kotuerlcher Verzsug Exstert u für de Aktepres ee ählch efache Grezbezehug? De Atwort lautet ja ud basert der vo us präseterte efache Varate auf dem Satz vo de Movre-Laplace. Deser Satz besagt, dass für große Werte vo de Bomalvertelug B(, p) mt Parameter, p (also de Vertelug der Azahl der Erfolge be uabhägg vo eader durchgeführte --Expermete, be dee de Erfolgswahrschelchket jewels p beträgt) mt Hlfe der Stadardormalvertelug (geauer: eer Normalvertelug mt glechem Erwartugswert p ud glecher Varaz p( p)) approxmert werde ka. Geauer: Satz.6: Satz vo de Movre-Laplace Bestzt X ee B(, p)-vertelug, so st X p p ( p) = X E Var ( X ) ( X ) für große approxmatv stadardormal vertelt, d.h. es glt für große P X p p ( p) x N( x),

23 x wobe N(x)= exp( y ) dy de Vertelugsfukto der Stadardormalvertelug st. π Dese Kovergezbezehug lässt sch zum Bespel ahad des Galtosche Bretts auch vsuell vorführe. I Bld verdeutlche wr se durch Verglech der (als Hstogramm dargestellte) Wahrschelchketsfukto eer B(,.5)-Vertelug mt der N(, 5)-Vertelug, der Normalvertelug mt Erwartugswert ud Varaz 5. De Abwechuge sd also berets für recht klees N sehr gerg., Bomal- ud Normalvertelug,5 B(;.5) N(;5),,5 5 5 Bld : Verglech zwsche der Dchte der Normalvertelug ud der Wahrschelchketsfukto der Bomalvertelug Mt Hlfe des Satzes vo de Movre-Laplace lässt sch u der Aktepres m Black-Scholes- Modell als Grezwert eer Folge vo Bomalmodelle mt wachseder Perodezahl motvere. Wr betrachte herzu de Etwcklug ees Aktekurses S m Bomalmodell () mt Zethorzot t. X se de Azahl der Kursastege uter de Presäderuge, p de jewelge Erfolgswahrschelchket. De Veräderugsfaktore des Aktekurses see weder u ud d. Ma hat da: X B(, p), S ( ) = s u X d X = s exp u ( X l( ) + l( d )) Damt u der Aktekurs m Bomalmodell gege de Aktekurs S(t) m Black-Scholes- Modell für wachsede Perodeazahl kovergere ka, müsse zumdest zwe Dge erfüllt se: De Zetspae zwsche zwe Hadelsperode m Bomalmodell, t = t/, muss gege Null gehe, damt e zet-stetges Modell mt dauerde Hadlugsmöglchkete als Grezfall auftrete ka Glechzetg müsse de Vermehrugsfaktore u ud d gege Es kovergere, damt der etstehede Grezprozess e stetger Prozess (als Fukto der Zet) se ka Ma ka sch u mdestes zwe Arte der Approxmato deke. Zum ee wäre da de Approxmato ees gegebee Aktepreses vom Black-Scholes-Typ durch ee Folge geegeter Mehr-Perode-Bomalmodelle. Zum adere betet sch de Motvato des Black- Scholes-Typs als e Grezmodell eer Folge sch mmer weter verfeerder Bomalmo- d.

24 delle a. Wr werde de zwete Zugag wähle, da er für usere bsherge Vorgeheswese der atürlche st. Wr setze herzu u ud d we folgt a: u = ( ) ( b ~ p u t = exp t + σ t ), ( ) ( b ~ p d = d t = exp t σ t ), p( p ) p( p) ~ wobe b, σ gegebee reelle Zahle (mt σ > ) sd ( desem Fall ergebe sch da u ud d aus obge Glechuge). Wr ehme weter a, dass t berets so kle st, dass u > > d ~ glt. b, σ habe da de Darstellug ~ l( d ) + p b = ( l( u) l( d )) t, ( d ) l( u) l σ = p t ( p) Wr habe u Folge vo Werte vo u ud d vorlege, de jewels für wachsedes gege Es kovergere (ud zwar mooto vo obe bzw. vo ute). Da folgt mt obger Darstellug vo u ud d S ( ) ( ( ) ( )) ( ) X p u ~ = s exp X l d + l d = s exp σ T + b T p p ud dem Satz vo de Movre-Laplace, dass de Vertelug des Expoete auf der rechte Sete obger Glechug asymptotsch (d.h. für ) glech der des Expoete vo S ( t) = se b σ t+σw ~ st, we ma b = b + σ setzt. Wr erhalte also sgesamt de Kovergez des Bomalmodells zur Zet t gege de Aktekurs m Black-Scholes-Modell zum gleche Zetpukt. De gemesame Kovergez alle Zetpukte t des durch leare Iterpolato aus de Bomalmodelle zet-stetg gemachte Aktekurses gege das Black-Scholes- Modell ka ur mt tef legede mathematsche Resultate gezegt werde (sehe z.b. Kor ud Kor (999)). Es legt u atürlch auf der Had, zu frage, warum egetlch der Parameter b egeführt wurde ud welche Iterpretato de Parameter b, σ des Aktekursmodells m Black-Scholes- Modell bestze. Tatsächlch st dere Bedeutug sogar recht aschaulch. Es glt ämlch: E bt ( S( t) ) s e =. D.h. b st quas de mttlere Zsrate der Akte (we ma sch a de Bezechug aus der rskolose Geldalage aleht) ud wrd deshalb auch als mttlere Ertragsrate bezechet. Schaut ma sch de Expoete des Presprozesses a, so seht ma auch sofort, dass σ als Rate der Varaz (ud somt als Maß für de mttlere Schwakug des Aktepreses) agesehe werde ka, de es glt: S s ( t) ( t ) l N ( b σ ) t, σ t). Ma sagt deshalb auch, dass der Aktekurs log-ormal mt Parameter b ud σ vertelt st. σ wrd als Volatltät der Akte bezechet.

25 Ee alteratve Motvato der Aktekursmodellerug m Black-Scholes-Modell ohe Rückgrff auf de Kovergez zet-dskreter Modelle wrd Kaptel II Kor ud Kor (999) gegebe. Allerdgs erfordert deser Zugag Vorketsse auf dem Gebet der zet-stetge stochastsche Prozesse. Wr wolle och kurz de obge Behauptug über de Erwartugswert des Aktekurses m t N,t glt Black-Scholes-Modell bewese: Wege W ( ) ( ) + x ( x t ) ( ( )) ( b ) t x t bt t E S t = s e + σ σ +σ e dx = se e dx = se πt πt Herbe folgt das letzte Glechhetszeche aus der Tatsache, dass der Itegrad m Itegral auf der lke Sete der Glechug de Dchte der N(σt, t)-vertelug st, das Itegral somt de Wert bestzt. Natürlch exstere auch mehrdmesoale Varate des Black-Scholes-Modells zur Modellerug vo Wertpapermärkte mt mehrere Akte. Her werde da de zufällge Schwakuge der Aktekurse durch ee mehrdmesoale Browsche Bewegug modellert, d.h. durch ee Vektor (W (t),...,w (t)), desse ezele Kompoete voeader uabhägge edmesoale Browsche Beweguge sd. De ezele Aktekurse habe da de Gestalt b ( ) j j t j jw j t σ + σ = = S ( t) = se, =,...,d, j =,..., mt geegete Marktkoeffzete b ud σ. Mehr zu allgemee Marktmodelle vom Black- Scholes-Typ (mt z.b. zufällge oder zetabhägge Marktkoeffzete) fdet ma z.b. Kor ud Kor (999)..4 Neuere Presmodelle Obwohl das Black-Scholes-Modell de Realtät der Aktekursbeweguge recht gut wedergbt ud auch der Praxs akzeptert st, hat es auch Schwäche, de zur Etwcklug och komplexerer ud realstscherer Modelle für Akteprese geführt habe. Zwar solle dese Modelle her cht vorgestellt werde, aber es solle zumdest e paar Grüde für de Notwedgket des Black-Scholes-Modells agegebe werde. ) Uabhäggket der relatve Preszuwächse Ahad emprscher Date st es lecht zu überprüfe, dass de Redte vo Akteprese (also de relatve Zuwächse) zwar oft fast ukorrelert, aber cht uabhägg sd. ) Kostate Volatltät De Aahme kostater Volatltät müsste sch der Praxs dar äußer, dass de Redte der Akteprese über de Zet alle glech vertelt wäre. Statt desse beobachtet ma aber sehr oft e sogeates Volatlty Clusterg, d.h. hohe Ausschläge ach obe folge auf hohe Ausschläge ach ute (ud umgekehrt), währed es glechzetg auch Phase gbt, dee ur klee Werte der Redte beobachtet werde. Des wrd auch Bld deutlch, wo de Tagesredte (S(t+) S(t))/S(t) des Kurses der Deutsche Bak-Akte abgetrage sd. Ma hat deshalb Presmodelle mt stochastscher Volatltät etwckelt. Geauer: de Kostate σ wrd durch ee egee stochastsche Prozess ersetzt, der sch ählch we ee wetere Browsche Bewegug verhält. bt.

26 , Redte Deutsche Bak,8,4 3. Okt -,4 97 -,8. Dez Feb Mrz Ma Jul Aug Okt 98 -, Bld : Tagesredte der Deutsche Bak-Akte vom ) Logormal-vertelte Redte Erstellt ma e Hstogramm der logarthmsche Redte l(s(t+)/s(t))der Akteprese, so stellt ma fest, dass ma typscherwese mehr sehr klee ud mehr sehr große Werte beobachtet als bem Vorhadese eer Normalvertelug. Aus desem Grud wurde de zurück legede Jahre verstärkt ach Verteluge gesucht, de der Lage sd, deses am Markt beobachtete Verhalte besser zu erkläre als de Normalvertelug. Als geegete Kaddate habe sch hyperbolsche Verteluge ud t-verteluge erwese. Ee Darstellug der Htergrüde der zugehörge Presprozesse spregt de techsche Rahme deses Mauskrpts. Es blebt aber festzuhalte, dass das Black-Scholes-Modell trotz eger Uzuläglchkete ach we vor de überragede Rolle sowohl der Theore als auch der Praxs der Fazmathematk spelt ud deshalb mmer als Bechmark für eu etwckelte Modelle glt.

27 . Was sd Optoe ud we vel sd se wert?. Optoe: Begrffe ud Grudlage Der Begrff der Opto st zuächst cht ur aus dem Berech der Fazwelt bekat. Er wrd auch m tagtäglche Sprachgebrauch verwedet ud bedeutet dort sovel we, ee Möglchket habe ( ch habe auch och de Opto, deses Agebot azuehme... ). Das wesetlche Merkmal eer solche Opto st, das ma se zwar utze ka, we ma wll, se aber cht ubedgt wahrehme muss. Isofer stellt ee Opto mmer etwas postves dar. Deselbe Merkmale bestzt auch ee Opto m Se der Fazwelt. Im allgemee versteht ma uter eer Opto, ee Vertrag, der seem Käufer ee chtegatve Zahlug uscherer Höhe zu eem feste zuküftge Zetpukt zuschert. Ma wrd also schlmmstefalls chts (das heßt ee Zahlug der Höhe Null), m gute Fall aber ee echt postve Zahlug erhalte. De bekateste Forme vo Optoe sd de europäsche Kauf- ud Verkaufsoptoe (egl. Calls ud Puts) auf Akte. Se scher hrem Bestzer das Recht (cht aber de Pflcht!) zu, ee Akte eer bestmmte Frma zum festgelegte Edzetpukt T zum festgelegte Pres K (dem Ausübugspres oder Strke) vom Zecher der Opto zu erwerbe (m Falle des Calls) oder aber a de Zecher der Opto zu verkaufe (m Fall des Puts). Ist u der Pres ( T ) P der Akte m Zethorzot größer als K, so wrd der Bestzer des Calls se Recht wahrehme ud de Akte bllg zum Pres K erwerbe. Er köte se da drekt zum Pres P ( T ) am Markt veräußer ud hätte somt durch Ausübe der Opto ee Gew der Höhe P ( T ) K gemacht. Ist hgege der Pres P ( T ) der Akte m Zethorzot kleer als K, so wrd der Bestzer des Calls se Recht verfalle lasse. Wollte er ämlch mmer och de Akte erwerbe, so wäre es für h güstger des am Markt zu tu. Der Bestz des Calls führt desem Fall zu keer postve Zahlug. Ma detfzert daher ee europäsche Call mt der Edzahlug B call = ( ( T ) K ) + P, + wobe x der Postvtel der reelle Zahl x st. Graphsch wrd de Edauszahlug des europäsche Calls durch das folgede Payoff-Dagramm dargestellt: Payoff ees Calls Aktekurs Bld : Edauszahlug ees Calls mt Ausübugspres K=

28 Wchtg st also: Ee Opto lefert ee cht-egatve zuküftge Zahlug Ee Opto lefert ee Zahlug uscherer Höhe Aus der erste Egeschaft ergbt sch u sofort, dass ma für de Erwerb eer Opto heute ee Zahlug ( Präme ) zu leste hat. De zwete Egeschaft lefert auch drekt das Problem ach, es st ämlch cht klar, we hoch dese Präme se soll. Das allgeme akzepterte Grudprzp zur Bestmmug des Optosprese st der Gegestad des ächste Abschtts, der auf de egeschobee Exkurs zur Geschchte des Optoshadels folgt. Wer hadelt mt Optoe ud warum? Da Optoe kee orgäre Wertpapere sd, soder sch mmer auf e zugrude legedes Gut (z.b. Akte, Hadelsgüter, Wetter (!),...) bezehe, st es atürlch ee berechtgte Frage ach dem Nutze vo Optoe überhaupt zu frage. Der erste wchtge Aspekt st der der Abscherug gege uerwüschte Presschwakuge des zugrude legede Guts. Bestzt ma z.b. ee Akte mt heutgem Wert vo ¼VR ka ma durch de Kauf eer Put-Opto mt Ausübugspres 5 ¼I UGLH/DXI]HLWGHU Opto ee utere Greze des Werts des Pakets aus Put-Opto ud Akte vo 5 ¼ festschrebe. Fällt ämlch der Aktekurs uter de Wert vo 5 ¼ VR NDQQ PDQ VHLQ Optosrecht utze ud dem Verkäufer der Put-Opto de Akte zum Stückpres vo 5 ¼ verkaufe. Fällt der Aktepres e uter dese Greze, so muss ma auch se Optosrecht cht ausübe. Aalog ka ma durch de Kauf eer Call-Opto auf ee Akte de zuküftge Kaufpres deser Akte begreze. E aderer Aspekt besteht der Presetwcklug der Opto. Wr werde us zwar erst später um de exakte Bestmmug ees Preses eer Opto kümmer, aber es wrd auch so eleuchte, dass sch ee Opto m Pres aders etwckelt als z.b. de zugrude legede Akte. We ma als Bespel ee Call-Opto auf ee Akte betrachtet, ka ma sch lecht überlege (oder aber emprsch am Markt beobachte): Stegt der Aktekurs, so stegt auch der Call-Pres auf dese Akte. Stegt der Aktekurs um ¼VRVWHLJWGHU&DOO-Pres der Regel um weger als ¼DEHU der prozetuale Asteg des Call-Preses st größer, als der der Akte. Aalog gelte dese Überleguge auch für Kursverluste. Wege des höhere prozetuale Gews/Verlusts der Call-Opto sprcht auch vo eem Hebeleffekt (eglsch: Leverage effect), de sch Spekulate gere zu Nutze mache. Allerdgs sollte ma ubedgt auf folgede zwe Rske des Optoshadels hwese: Optoe sd auslaufede Wertpapere, d.h. se exstere ur zetlch begrezt Ma ka be eem Optosvestmet ee TOTALVERLUST erlede Zusammegefasst ergebe sch also zwe wesetlche Beweggrüde für de Optoshadel: Abscherug ud Spekulato.