Zum Problem unterjähriger Zinsen und Zahlungen in der Zinseszinsrechnung

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1 Zu Proble urjährger Zse ud Zahluge der Zsessrechug Gewöhlch geht a der Zsessrechug davo aus, dass de Zse ach ee Jahr de Kapl ugeschlage werde ud da weder Zse trage. Der Zssat, t de das Kapl ultplert wrd, u de Zse u bereche, st deswege auf das Jahr beoge, er st e Jahresssat. Ebeso wrd de Zet Jahre beesse. Mt K t = Kapl Zetpukt t K 0 = Kapl Zetpukt 0 = Jahresssat t = Zet [Jahre] ergbt sch de klasssche Zsessforel () ( ) t K = K + t 0 De Herletug deser Forel glt u wege der Aahe jährlcher Zsesse ur für gaahlge Wer vo t. Jedoch st de Fukto auch für cht gaahlge Wer defert. So glt bespelswese für t = 0,5, K 0 = 00 ud = 0, (2) 0,5 K0,5 = 00, = 04,88 Idesse würde kee Bak der Welt so reche. Zse errechet a, de das Kapl t de Zssat ultplert wrd. Hät das Kapl vo 00 e Jahr auf Zse vo 0 % gelege, wäre de Zse 00 0, = 0. We das Kapl ur für e halbes Jahr verst wrd, t a de halbe Jahresssat, her also 5 %, sodass de Zse 00 0,05 = 5 betrage. Nach ee halbe Jahr st das Kapl 05 ud cht 04,88. Werde u aber de Zse ach ee halbe Jahr de Kapl ugeschlage ud wrd deses eue Kapl weder für e halbes Jahr verst, so ergbt sch ,05 05 = 0,25 also ehr als be jährlche Zsesse. Dagege ergbt der Betrag vo 04,88 be jährlche Zsesse ach ee were halbe Jahr 04,88, 0,5 = 0. Das Edkapl hägt also davo ab, we häufg erhalb ees Jahres de Zse de Kapl ugeschlage werde. Be jährlche Zsesse wrd das u versede Kapl t ultplert, be halbjährlche Zsesse t 2, be verljährlche Zsesse t, be oatlche Zsesse t 4 2 ud be Zsahluge Jahr t. We Mal Jahr Zse geahlt werde, st der Zetrau wsche we Zsre Jahre. Dese Zetrau ka a auch als Zsperode oder Zsessperode beeche. Nach Ablauf der Zsperode trage Zse weder Zse. Für das Kapl ach Jahre glt K = K + K = K + (3) Nach 2 Jahre st das Kapl (4) K = K + + K + = K doc

2 Zu Proble urjährger Zse ud Zahluge der Zsessrechug ud ach 3 Jahre (5) K K = Ma erket, dass ach jeder Zsperode das Afagskapl t de Faktor + verehrt wrd. De Aahl der sgesat sttgefudee Kaplverehruge, also de Aahl der abgelaufee Zsperode, bldet de Epoe. Betracht a allgee de Zetrau vo t Jahre, da st de Zahl der Zsperode t. I Ide vo K sht de abgelaufee Zet Jahre, also t. De allgeee, auch für urjährge Zse gültge Zsessforel laut sot (6) t Kt = K0 + Es versht sch, dass dese Forel für = t der für jährlche Zsesse gültge Aufsugsforel () überestt. Mt de Da des Bespels t = 0,5, K 0 = 00, = 0, ud = 2 ergbt sch desse das erwar Ergebs für e Kapl, das e halbes Jahr auf Zse legt: 20,5 0, K0,5 = 00 + = 05 2 We oft Jahr köe u Zse de Kapl ugeschlage werde? Ee Obergree dafür gbt es cht. Der Fall st dekbar; ud a uss sch frage, we hoch Kt dese Fall st. Herfür wrd gesett (7) = sodass (8) t Kt K = 0 + Aus (7) folgt (9) = Glechug (9) (8) egesett: (0) t t Kt = K0 + = K0 + Geht gege, da geht ach Glechug (9) auch gege, sodass es geügt, de Greübergag vo Glechug (0) für durchuführe. Für de Glechug (0) ethale Ausdruck + glt () l + = e Des Glechug (0) egesett, ergbt de Forel für de stge Versug: (2) t K = K e t doc

3 Zu Proble urjährger Zse ud Zahluge der Zsessrechug Auf Ivesttoe ud Faeruge wrd de stge Versug wohl ur sel agewedet werde, sodass Folgede weder vo ee edlche ausgegage wrd. Es egt sch aber, dass ee Erhöhug der Häufgket vo Zsuschläge das Kaplwachstu cht bs s Uedlche sgert, soder dass es ee Obergree herfür gbt, de durch de Forel des stge Wachstus defert st. Wedet a u de Zsessrechug auf de Trasforato vo Kaplbeträge oder Zahluge a, so uss a festlege, we häufg Jahr Zse berechet werde. Welches st für de Aufud Absug ause? Es se K t ee als scher betrach Eahlug Zetpukt t. Durch de Aufahe ees Kredts ka dese Zahlug ee Eahlug Zetpukt 0 verwadelt werde. Der Kredt darf so hoch se, dass de Kaplrückahlug ebst Versug Zetpukt t gerade K t beträgt. We der Kredt Mal Jahr verst wrd, de Zse she blebe ud erst Zetpukt t usae t de Kredtbetrag urückgeahlt werde, etwckelt sch de Kredthöhe ebst Zse t geäß Glechug (6) t de Faktor +. Telt a K t durch dese Faktor, erhält a de Kredtbetrag Zetpukt 0 Kt (3) K0 = t + Deser auf de Barwert abges Wert vo K t ergbt be Zsre Jahr ach t Jahre gerade K t, wot der Kredt urückgeahlt werde ka: (4) K + t t t + = K t Ob u Zse ud Zsesse jährlch oder ee adere Rhythus afalle, hägt offeschtlch cht vo Zetpukt der u trasforerede Zahlug ab, soder vo de Kodtoe des Kredts, der ur Trasforato der Zahlug beutt wrd. Etsprechedes glt, we ur Trasforato vo Zahluge ee Kaplalage otwedg st. We K t ee Ausahlug darsllt, de auf de Zetpukt 0 abgest werde soll, da st des öglch durch ee Kaplalage Höhe des abges Wers vo K t etspreched Glechug (3). De Kaplalage u führt da u eer Eahlug Höhe vo K t Zetpukt t, t der de afallede Ausahlug gedeckt werde ka. Durch de Kaplalage trtt also per Saldo a de Slle der Ausahlug Zetpukt t ee Ausahlug Zetpukt 0 Höhe vo K 0, de t abges Wert vo K t. We sch eer Zahlugsrehe E- ud Ausahluge sche, kö a für de Absug der Eahluge ee adere Wert vo verwede als für de Ausahluge, älch für de Eahluge de Kredts ud für de Ausahluge de Zssat für Kaplalage. Der Zssat, auch als Kalkulatosssat oder Kalkulatossfuß beechet, würde sch da für de E- ud Ausahluge urschede. Mt ee derartg dffereer Kalkulatossfuß wäre de asos plt geset Prässe des vollkoee Kaplarks aufgehobe. I jede Fall uss a festslle, dass ee best Struktur der Zahluge keeswegs ee best Prässe hschtlch der Zsesse plert. De u trasforerede Zahluge sd gegebe, ud der Rhythus der Zsberechuge st davo völlg uabhägg. Wa Zse fällg werde, ob ach ee Jahr, ee halbe Jahr, ee Verljahr oder oatlch, das hägt alle davo ab, we de Kred oder de Kaplalage verst werde, t dee a de Zahluge etlch trasforert. Das bedeut für de Absug uküftger Zahluge ur Erttlug hrer Barwer ud auch für de Aufsug vo Zahluge ur Erttlug hrer Edwer, dass Zahluge belebger Zetpuk t belebge Rhythe der Zsessberechug kobert werde köe doc

4 Zu Proble urjährger Zse ud Zahluge der Zsessrechug Dese Erkets führt u eer geauere Scht auf ege Sdardproblee der Trasforato vo Zahluge. Betracht a uächst de Kaplserug vo Re, de For eer Autät als glech hohe ud regeläßge Zahluge afalle, da uss der Barwertsuefaktor u ee Paraer für de urjährge Zahlugsstruktur ud ee Paraer für de Zsre ergät werde. Es se werh der Jahresssat ud de Aahl der Zsre Jahr. De Sue der jährlche Zahluge se. Dese Sue wrd gleche Zahluge pro Jahr aufgelt. Für ee achschüssge Re, de Jahre geahlt wrd, ergbt sch folgedes Bld: 2 3 Für de Absug auf de Barwert BW wrd der Glechug (6) defer Faktor verwedet, wobe t =. Es ergbt sch t + BW = (5) 2 Multplert a dese geoetrsche Rehe t de se kosttuerede Faktor +, erhält a (6) BW = De Dffere vo (5) ud (6) st Heraus folgt BW BW = BW = BW = doc

5 Zu Proble urjährger Zse ud Zahluge der Zsessrechug + BW + = + (7) + BW = + + Mt BW = Barwert = Jährlcher Zahlugsbetrag = Aahl der Zahluge pro Jahr = Jahresssat = Aahl der Zsre pro Jahr = Aahl der jährlche Zahlugsbeträge st Glechug (7) de allgeee Forel für de Absug vo achschüssge Re For eer Autät. Der deser Glechug ethale Barwertsuefaktor wrd u de üblcherwese verwede, we = ud = gesett wrd, we a also vo der Prässe jährlcher Zahluge ud jährlcher Zsesse ausgeht: (8) ( + ) ( + ) BW = Für de Fall eer vorschüssge Re ergbt sch folgedes Bld: 2 3 Der Barwert deser Re st (9) BW = Des t + ultplert: = (20) BW 2 De Dffere vo (9) ud (20) st doc

6 Zu Proble urjährger Zse ud Zahluge der Zsessrechug BW BW = BW = BW = BW = BW = + + (2) + BW = + + Des st de allgeee Forel für de Absug vo vorschüssge Re For eer Autät. Für = ud = ethält de Bestugsglechug für de Barwert weder de üblcherwese verwede Barwertsuefaktor, we vorschüssge Re ur der Voraussetug jährlcher Zahluge ud jährlcher Zsesse abgest werde: (22) ( ) ( + ) BW + = Jedoch sd Autä Soderfälle. Ma ka cht davo ausgehe, dass de Zahluge eer Zahlugsrehe sts glech hoch sd ud gleche etlche Absd ueader afalle. Außerde sd cht alle Zahluge glechgercht. Deswege uss deutlch geacht werde, ob es sch be eer best Zahlug u ee Eahlug oder ee Ausahlug hadelt. Es se usätlch u de berets verwede Sybole defert: = Zetpukt eer Ausahlug = Zetpukt eer Eahlug A = Ausahlug Zetpukt E = Eahlug Zetpukt BW A = Barwert der Ausahluge doc

7 Zu Proble urjährger Zse ud Zahluge der Zsessrechug BW E = Barwert der Eahluge Da glt für de Barwert der Ausahluge eer Zahlugsrehe (23) BW A = A + ud etspreched für de Barwert der Eahluge eer Zahlugsrehe (24) BW E = E + We es sch be de Ausahluge ud Eahluge u ee Ivestto hadelt, sllt BW A de Sue aller auf de Zetpukt 0 etlch trasforer Ausahluge dar. We de Ausahluge cht oheh scho Zetpukt 0, de Beg der Ivestto, afalle, da lasse sch durch geege Kaplalage oder adere Ivesttoe uküftge Ausahluge u Zssat auf de Zetpukt 0 verlager. De auf de Zetpukt 0 verlager Eahluge aus der Ivestto werde durch BW E dargesllt. Möglch wrd dese etlche Trasforato durch Kred u Zssat, de Kalkulatossfuß. We auf dese Wese alle Zahluge auf de Zetpukt 0 beoge sd ud sch e Überschuss der Eahluge über de Ausahluge ergbt, da wrd deser Überschuss cht für de Faerug der Ivestto beötgt. Dat sllt de postve Dffere wsche de Barwert der Eahluge ud de Barwert der Ausahluge chts aderes als ee Gew dar. De Dffere wsche BW E ud BW A wrd als Kaplwert C 0 beechet: (25) C0 = BWE BW A Es legt u de Frage ahe, t welche aale Zssat das Geld der Kaplgeber für de Ivestto verst werde ka, ohe dass e Verlust etsht. Da verst sch de Ivestto gerade so hoch, we das Kapl der Kaplgeber u verse st. Deser krtsche Zssat wrd als re Red oder Effektvssat r der Ivestto beechet. De re Red st der Zssat, t de de abges Eahluge gerade de abges Ausahluge ergebe, also der Kalkulatosssat, be de BW A ud BW E eader glech sd. Sot glt folgede Bestugsglechug für de re Red: (26) A = E r r + + We der Ivestor e Kredtsttut st, sd see Ivesttoe Kred. De re Red der Ivestto, der Effektvssat des Kreds, egt da de Kredteher, t welche Zssat er de Kredtgeber desse Kapl verehre uss, aders ausgedrückt, was der Kredt kost. Der effektve Zs st dat e wchtges Krru für de Auswahl ur ehrere Kredgebo. Als es och kee Vorschrf gab, we der Effektvs ees Kreds u bereche st, ko a etwa Folgedes vo seer Bak höre: Der Kredts beträgt ur % pro Moat auf de verebar Kredtsue, ud Se ahle de Kredt bequee Moatsra urück. Solche ehrfacher Hscht useröse Aussage werde set 985 durch de Presagabeverordug (PAgV) verhdert. 6 Abs. PAgV bestt: Be Kred sd als Pres de Gesatkos als jährlcher Vohudertsat des Kredts augebe ud als effektver Jahress u beeche. Für de Berechug des effektve Jahresses st etspreched de Ahag u 6 PAgV folgede Forel auwede, de de her verwede Noto übersett st: (27) A E = ( + r) ( + r) doc

8 Zu Proble urjährger Zse ud Zahluge der Zsessrechug r Da deser Forel der Faktor + r ud cht + verwedet wrd, seht a utlbar, dass = st. Iplt werde vo der Presagabeverordug also jährlche Zsesse vorausgesett. Be urjährge Zahluge führt des u allerdgs u de egags dargesll Merkwürdgke der Zsberechug. Es se bespelswese e Kredt vo 00 betracht, der t 0 % pro Jahr u verse st. We de Kredtlaufet geau e Jahr beträgt ud das Koto wscheetlch cht abgerechet wrd, st der Kredt ach ee Jahr ebst Zse t 0 urückuahle. Dass dese Kaplverehrug für de Kredtgeber 0 % beträgt ud sot der Effektvs glech de Noals st, bedarf keer were Überleguge. We u aber de Kredtlaufet ur e halbes Jahr beträgt, da sd ur asos gleche Bedguge ,05 = 05 urückuahle. Dass 5 % für e halbes Jahr glechbedeud st t 0 % für das gae Jahr, dass also auch dese Fall der Noals vo 0 % glech de Effektvs st, leucht de Kaufa ebefalls utlbar e. Idesse ergbt sch ach 6 PAgV e Effektvs vo 0,25 %, we a durch Ese der Da des Bespels Glechug (27) erket. Es glt älch (28) 00 = 05 ( + r) 0,5 Heraus folgt r = 0,025 = 0,25 %. Der Grud für deses auf de ers Blck erkwürdge Ergebs legt dar, dass der Zsfaktor für jährlche Zsesse ( + r) t auf de urjährge Berech agewedet wrd. Tatsächlch falle urjährge Berech aber efache Zse a, das heßt, Zse trage kee Zse. Wächst e Kapl ur t efacher Versug, so würde e Kapl K 0 auf K t t ee Zssat r sch t Jahre folgederaße etwckel: (29) Kt = K0 + K0 r t Heraus folgt für r (30) K K r = K t t 0 0 Mt de Da des Bespels ergbt sch (3) r = = 0,= 0% 00 0,5 I frühere Fassuge der Presagabeverordug war de efache Versug für de urjährge Berech auch vorgeschrebe, ud de epoelle Versug t de Faktor ( + r) t galt ur für de gaahlge Berech der Laufet. Jett bestt 6 Abs. 2 Sat 3 PAgV ausdrücklch: Es glt de epoelle Versug auch urjährge Berech. Dat st de Berechug des Effektvssas t efacher Versug etspreched Glechug (30) cht ulässg. Der Kredt suchede Bakkude uss dese klee Merkwürdgket hehe. We er Kredgebo verglecht, st es für h oheh wchtger, dass alle Aber de Effektvs ach de gleche Regel bereche, dat de Effektvssä ader verglechbar sd. Ma kö ee Forderug ach efacher Versug urjährge Berech auch cht dat begrüde, dass Zahluge auf de Kredt urjährg erfolge. Wa Zse weder Zse trage, das hägt vo de Kredufaheöglchke ud de Kaplalageöglchke desjege ab, der de gegebee Zahluge etlch u trasforere wüscht. Der Kredteher ka de erhale Eahlug ee adere Zetpukt trasforere, de er ee Alage tätgt. De Gegebehe deser Alage, wa her Zse ud Zsesse geahlt werde, bes see Trasforatosöglchke ud dat de pler Voraussetuge hschtlch der Zsesse für de Erttlug des Barwerts. Allerdgs wrd der Kredteher wohl ur sel de erhale Kredt u eer Favestto beu, der Zse ugerechet werde doc

9 Zu Proble urjährger Zse ud Zahluge der Zsessrechug köe. Be Sachvesttoe käe es darauf a, wa Kaplverehruge hrersets u eue Kaplverehruge führe. Da ka a gu Gewsses be de jährlche Rhythus der Geschäftsjahre blebe. We der Kredtgeber de t de Kredt verbudee Zahluge etlch trasforere wll, ka er des für de Kredusahlug durch egee Faerug ud Refaerug tu ud für de folgede Rückflüsse aus Zse ud Tlgug durch ereu egee Alage. De Zsstruktur der egee Faerugs- ud Kaplalageöglchke bestt de Absug der Kredhluge durch de Kredtgeber. De gegebee Zahlugsstruktur des Kreds plert hgege bede Fälle kee Aahe über de Gesltug der Zsesse. De Presagabeverordug ethält also t der Vorgabe jährlcher Zsesse ee Aahe über de aderwetge Alage- ud Faerugsöglchke der Kredteher ud der Kredtgeber. Dese Vorgabe defert ee durchschttlche, für jede Markleher gültge Zusd, ud se st so jede Fall ee Voraussetug für de Verglechbarket verschedeer Kredgebo. I Iresse der Verglechbarket werde Übrge vo der Presagabeverordug och were Aussage über de, we a so wll, durchschttlche Wrklchket geacht. So werde de Schaltjahre cht beacht ud alle Moa als glech lag betracht (vgl. Nr. 4 Alage u 6 PAgV). Aus der Bestugsglechug für de Effektvssat lässt sch werh e Prp ur Bewertug vo Forderuge ud Verbdlchke able. Der Effektvs st derjege Zssat, t de de abges Eahluge aus eer Forderug oder eer Verbdlchket glech de abges Ausahluge sd. De Ausahluge des Kredtgebers sd de Eahluge des Kredtehers ud ugekehrt. Betracht a dese ökoosche Selbstverstädlchket ur de Geschtspukt der Trasforato vo Zahluge, da sd de t de Effektvs abges uküftge Eahluge des Kredtgebers glech de Wert seer Ausahlug Höhe der Kredtsue, de Wert des Kreds u Beg der Laufet. Deselbe Wert ergebe de t de Effektvs abges uküftge Ausahluge des Kredtehers für Tlgug ud Zse. Se slle für h de Wert seer Kredtverbdlchket dar, u Beg de Kredtsue. Dat ka der Wert ees Kreds grudsätlch als Barwert der t de Effektvs abges uküftge Eahluge für de Kredtgeber ud als Barwert der t de Effektvs abges uküftge Ausahluge des Kredtehers dargesllt werde. Bede Barwer sd logscherwese eader glech ud verkörper so de Glechwertgket vo Lestug ud Gegelestug. Deser Gedake, heutge Wer aus uküftge Zahluge u bes, hat Egag de ratoale Rechugslegugsvorschrf gefude. So bes de IFRS IAS 39.9: De Effektvsethode st ee Methode ur Berechug der fortgeführ Aschaffugskos ees faelle Verögeswers oder eer faelle Verbdlchket ud der Allokato vo Zserträge ud Zsaufweduge auf de jewelge Perode. Der Effektvssat st derjege Kalkulatosssat, t de de geschät küftge E- ud Ausahluge über de erwar Laufet des Fastruets... eakt auf de Nettobuchwert des faelle Verögeswers oder der faelle Verbdlchket abgest werde. Allerdgs st cht erschtlch, welche Aahe be der Absug hschtlch der Zsessperode u ache sd. Währed de Presagabeverordug jährlche Zsesse vorschrebt, blebt des de IFRS offe. Möglcherwese st de Schöpfer der IFRS der Gedake jährlcher Zsesse selbstverstädlch gewese; ee Klarsllug wäre her aber wüscheswert. Solage dese cht erfolgt st, ka de Bewertug uküftger Zahluge ach der Presagabeverordug u adere Ergebsse führe als ach de ratoale Rechugslegugsvorschrf doc