1. Zufallsbewegung und Binomialverteilung. Statistische Betrachtungsweise bezieht sich stets auf ein Ensemble.

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1 . Zfallsbewegg d Boalvertelg Statstsche Betrachtgswese bezeht sch stets af e Eseble. Eseble: Gesathet eer sehr große Zahl N detscher Systee. Wahrschelchket für das Etrete ees Eregsses A: Brchtel der Systee, de drch das Etrete deses Eregsses charaktersert sd. A N A N Ee statstsche Beschrebg ka sch ach af ee Stato bezehe, be der e Exeret a e d deselbe Syste sehr oft wederholt wrd. Besel: Würfe (glechzetg) t sehr vele Würfel oder wederholte Würfe t e d deselbe Würfel. Edesoale Zfallsbewegg l -3 l - l -l 0 l l 3 l X t 0 : Telche befdet sch be x 0. t > 0 : Das Telche bewegt sch jewels gleche Zettervalle t jewels ee Schrtt ach rechts ( x l) oder ach lks ( x l ). Wahrschelchket für ee Schrtt ach rechts: Wahrschelchket für ee Schrtt ach lks: wobe.a.. Da ach jede Zettervall e Schrtt erfolgt, glt. Eseble: ele Telche N, de sch hrer Bewegg cht störe. 5

2 Frage: Welcher Brchtel der Telche befdet sch ach Schrtte be De Schrtte erfolge abhägg voeader. x l t : Zahl der Schrtte ach rechts : Zahl der Schrtte ach lks Es glt: d Wahrschelchket für ee bestte Realserg (zetlche Afeaderfolge) vo Schrtte ach rechts d Schrtte ach lks: ( ) K K w, Faktore Faktore De Schrtte ach rechts d Schrtte ach lks köe terschedlcher Rehefolge erfolge, ohe daß das Edergebs verädert wrd, z. B. zächst alle Schrtte r ach rechts, daach r ach lks: Schrtte: ( ).... ( ). Wahrschelchket: Ee adere Realserg (we obe, aber zweter Schrtt ach lks, ( ). Schrtt ach rechts) : Schrtte:. ( ) ( ).... ( ). Wahrschelchket: De Zahl der öglche Realserge Z hägt vo d ab. Dat st de Wahrschelchket dafür, daß sch e Telche ach Schrtte be l befdet: (, ) Z( ), t de och bekate Asdrck für Z (, ). 6

3 . Besel:, 0, 3 3 Es gbt r ee öglche Realserg: Besel:,, 3 : öglchkete,. 3.. aber jewels 3... sd detsch Es blebe effektv r 3 öglchkete: Allgee: Es gbt verschedee öglchkete (ertatoe), de Schrtter af de Seez K K z vertele. Alle ertatoe erhalb der Klasse d alle erhalb der Klasse sd cht z terschede. Dat ergbt sch: Z (, ) ( ) 3 Z (, ) sd de sog. Boalkoeffzete. I obge Besel: Z (,) 3 6 gl. daz de Bosche Satz: ( a b) a 0 b 7

4 t der obge Forel für Z ergbt sch de geschte Wahrschelchket z (, ) Wege kost. wrd dese Wahrschelchketsvertelg be vorgegebee r drch de arable (oder ävaleterwese charaktersert): ( ) ( ) Des et a de Boalvertelg. I obge Besel gbt se de Wahrschelchket dafür a, daß sch e Telche ach Schrtte gea Schrtte ach rechts d ach lks bewegt hat, d sch daher a der osto ( ) befdet. Für e Eseble gbt de Brchtel der Telche a, für de des glt. Astelle vo (oder ) ka a ach verwede:, ( ) falls ttelwerte d Strege se ee arable, de dskrete Werte aehe ka:,...,, t de,, Wahrschelchkete: ( ) ( )...,. 8

5 ... ttelwert: ( ) ( ) ( ) oder für Fktoe f ( ) : f ( ) f ( ) Ege Regel: Für Fktoe f ( ) d ( ) f g glt ( ) g( ) ( )[ f ( ) g( )] ( ) f ( ) ( ) g( ) ( ) g( ) f Ist c ee Kostate glt: c c d cf ( ) c f ( ) Abwechg des Wertes vo ttelwert: ( )( ) ( ) ( ) ; ttelwert der Abwechg vo ttelwert verschwdet. ttlere adratsche Abwechg vo ttelwert (ttlere adratsche Abwechg, Schwakgsadrat): ( ) ( )( ) 0 aß für de Streg der vo ageoee Werte de ttelwert. ( ) ( ) 9

6 0 Asführlch: : Stadardabwechg ttelwertberechge für de -desoale Zfallsbewegg. Wege, st de Norergsbedgg erfüllt.. Efaches erfahre zr Berechg der Se: wege glt wege, lasbles Resltat: Gesatzahl der Schrtte Wahrschelchket, daß Schrtte ach rechts. Wege glt

7 3. ttlere adratsche Abwechg, Berechg etwas afwedger { bekat berets ; oerator al Dfferet 443 [ ] [ ] A der s teresserede Stelle glt: [ ]

8 Relatve Stadardabwechg: Isbesodere glt für : Für 3 4, , dese Glechg st vo zetraler Bedetg für de gesate statstsche hysk. Se besagt, daß de relatve Bedetg der Flktatoe be akroskosche Systee verschwded gerg st. Berechge für arable : ( ) ( ) Für Brete der ertelg wrd charaktersert drch ( )

9 E aderes Besel für de Boalvertelg roble der Zfallsbewegg st atheatsch detsch z de folgede roble: Uabhägge Aftelg vo sgesat Telche af zwe Telvola d t Wahrschelchket, e besttes Telche bzw. aztreffe:, t Wahrschelchket, bestte Telche (Nererg), de restlche z fde: w ( ), kroskosche ertelg: Welche Telche befde sch welche ole? akroskosche ertelg: Wevel Telche (abhägg vo Nererg) befde sch wo? 3: Gleche akrozstäde, aber 3 terschedlche krozstäde. Das kobatorsche roble der Berechg der Zahl der krozstäde für gegebee akrozstad st das gleche we be der edesoale Zfallsbewegg. a erhält af aaloge Wese:, 3