Schiefe-, Wölbungs- und Konzentrationsmaße
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- Christa Schubert
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1 Statstk für SozologIe Schefe-, Wölbugs- ud Kozetratosmaße Uv.Prof. Dr. Marcus Hudec
2 Höhere Vertelugsmaßzahle E stetges Merkmal wurde 3 Gruppe beobachtet ud Form der folgede Häufgketstabelle berchtet: Klasse m Gruppe A Gruppe B Gruppe C Berechug vo Mttelwert ud Streuug 2 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße
3 Berechug vo Mttelwert ud Streuug Gruppe A Gruppe B Gruppe C Gruppe A Gruppe B Gruppe C Klasse m Gruppe A Gruppe B Gruppe C m * m * m * m ²* m ²* m ²* ,76 5,76 5,76 2,4 2,4 2,4 x m m x k k Das arthmetsche Mttel st a alle 3 Gruppe glech 7. De Varaz st a alle 3 Gruppe glech 5,76 bzw. st de Stadardabwechug alle 3 Gruppe 2,4. 3 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße
4 Vsualserug Obwohl Mttelwert ud Varaz glech sd, uterschede sch de dre Verteluge Bezug auf Ihre Form erheblch wr beötge Maßzahle höherer Ordug 4 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße
5 Maßzahle der Schefe Koveto: Postv rechtsschef bzw. lksstel Negatv lksschef bzw. rechtsstel Be multmodale Verteluge st kee efache Iterpretato möglch Umodale symmetrsche Vertelug rechtsschef lksschef 5 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße
6 Typsche Maße Pearso scher (zweter) Schefekoeffzet: S k 3 xx x x Quartlskoeffzet der Schefe S q Q3Q2Q2 Q Q Q 3 6 Q Q 2 Q 3 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße
7 Mometekoeffzet der Schefe (Fsher) Im Fall vo Ezeldate: Be klasserte Date Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße m x x zm S s x x k 3 m 3 2 m x S m x
8 Wölbug (Kurtoss) eer Vertelug De Wölbug oder Kurtoss beschrebt de Stelhet bzw. Sptzgket eer (egpfelge) Häufgketsvertelug. Verteluge mt gerger Wölbug streue relatv glechmäßg; be Verteluge mt hoher Wölbug resultert de Streuug mehr aus extreme, aber seltee Eregsse. Um das Ausmaß der Wölbug besser eschätze zu köe, wrd se mt der Wölbug eer Gauß sche Glockekurve (Normalvertelug) verglche, dere Wölbug kostat 3 st. Der Exzess gbt de Dfferez der Wölbug eer emprsche Vertelug zur Wölbug eer Gauß sche Glockekurve a. Der Exzess eer Vertelug st daher defert als: Exzess = Wölbug -3 8 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße
9 Wölbug (Kurtoss) eer Vertelug Verteluge werde etspreched hres Exzesses egetelt : = 0: ormalgpflg oder mesokurtsch Emprsche Wölbug etsprcht der Wölbug eer Gauß sche Glockekurve > 0 : stelgpflg oder leptokurtsch. Im Verglech zur Normalvertelug ee sptzere Vertelug, d.h. mt stark ausgeprägte Peak. < 0 : flachgpflg oder platykurtsch. Im Verglech zur Normalvertelug abgeflachte Vertelug. 9 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße
10 Mometekoeffzet der Wölbug (Kurtoss) Ermttlug des Exzesses Im Fall vo Ezeldate: 4 x x zm s x x Be klasserte Date k 2 4 m x m x Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße
11 Bespel vo Fole-2 (sehe auch XLS) Klasse m Gruppe A Gruppe B Gruppe C Schefe Wölbug ,694 0,967 0,9352 0,2222 S k m m x m x k 2 4 m x m x 2 3 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße
12 Kozetratosmessug We telt sch de gesamte Merkmalssumme auf de ezele Merkmalsträger auf? Auftelug der Gesamtbevölkerug Gemede verschedeer Größeklasse Auftelug des gesamte Steueraufkommes auf de ezele Steuersubekte Auftelug der gesamte Schadesumme eer Verscherugssparte auf de ezele Verträge Auftelug des gesamte Marktumsatzes ees Produktes auf verschedee Abeter 2 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße
13 3 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße
14 Kozetratosmessug Absolute Kozetrato: Vertelug der Merkmalssumme auf ee bestmmte Azahl der Merkmalsträger Relatve Kozetrato: Vertelug der Merkmalssumme auf ee bestmmte Atel der Merkmalsträger Maxmale Kozetrato: De gesamte Merkmalssumme etfällt auf ee Merkmalsträger; alle adere habe de Merkmalssumme Null. Mmale Kozetrato: De Merkmalssumme telt sch glechmäßg auf alle Elemete der Grudgesamthet auf. Jeder Merkmalsträger hat deselbe Merkmalsausprägug. 4 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße
15 Maßzahle der absolute Kozetrato P x x Gesamte Merkmalssumme Kozetratosrate: Merkmalssumme der m- größte Merkmalsträger C m m x x Gesamte Merkmalssumme P m x x... x 2 Atel des -te Merkmalträgers a der gesamte Merkmalssumme der geordete Stchprobe Atel der gesamte Merkmalssumme, der auf de m-größte Merkmalsträger etfällt Nachtel: Aussage mmer ur für e gegebees m 5 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße
16 Bespel (sehe auch XLS) Uterehme A Produkt Umsatz Atel b 0 0% c 0 0% C(2) = 00% d 0 0% C(3) = 00% e 0 0% a % 000 Uterehme B Produkt Umsatz Atel e 60 6% d 80 8% C(2) = 66% c % C(3) = 86% b % a % 000 Uterehme C Produkt Umsatz Atel Kozetratosrate a % b % C(2) = 40% c % C(3) = 60% d % e % 000 Iterpretato: Auf de 2 bzw. 3 umsatzstärkste Produkte etfällt x% des Gesamtumsatzes 6 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße
17 Herfdahl-Idex (Hrschma-Idex) C: P 2 4 x x 4 x 3 x Der HI st de Summe der quadrerte relatve Atele der Merkmalsträger a der Merkmalsumme x 2 x Egeschafte: () () () x x 2 x 3 x 4 maxmale Kozetrato C mmale Kozetrato C Fuso zweer Merkmalsträger erhöht mmer de Idex 7 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße x +2 4 x x
18 Bespel (sehe auch XLS) Uterehme A Produkt Umsatz Atel Atel² b 0 0% 0% c 0 0% 0% d 0 0% 0% e 0 0% 0% a % 00% % <<< Herfdahl Idex Uterehme B Produkt Umsatz Atel Atel² e 60 6% 0% d 80 8% % c % 4% b % 9% a % 3% % <<< Herfdahl Idex Uterehme C Produkt Umsatz Atel Atel² a % 4% b % 4% c % 4% d % 4% e % 4% % <<< Herfdahl Idex 8 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße
19 Lorezkurve grafsche Darstellug der Kozetrato: Abszsse : Ordate: kumulerte Atele der Merkmalsträger k kumulerte Atele a der Merkmalssumme l E Pukt (k, l ) der Lorezkurve gbt a, dass auf de k 00% kleste Merkmalsträger l 00% der gesamte Merkmalssumme etfalle. Lorezkurve: Verbdugsle zwsche alle (k, l ) be = 0,...,q mt (k 0, l 0 )=(0,0) ud (k q, l q )=(,) 9 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße
20 Bespel Umsatz m Produkt Uterehme a b c d e Gesamtumsatz A B C Uterehme A Produkt Umsatz Atel Merkmalsträger Atel Merkmalssumme kumulerter Atel Merkmalsträger (k ) kumulerter Atel Merkmalssumme (l ) b 0 0,20 0,00 0,20 0,00 c 0 0,20 0,00 0,40 0,00 d 0 0,20 0,00 0,60 0,00 e 0 0,20 0,00 0,80 0,00 a 000 0,20,00,00,00 000,00,00 20 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße
21 Bespel: Vertelug Uterehme A Kumulerte Atele am gesamte Merkmalsbetrag Lorezkurve Kumulerte Atele der Merkmalsträger 2 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße
22 Bespel B,C Uterehme B Produkt Umsatz Atel Merkmalsträger Atel Merkmalssumme kumulerter Atel Merkmalsträger (k ) kumulerter Atel Merkmalssumme (l ) e 60 0,20 0,06 0,20 0,06 d 80 0,20 0,08 0,40 0,4 c 200 0,20 0,20 0,60 0,34 b 300 0,20 0,30 0,80 0,64 a 360 0,20 0,36,00,00 000,00,00 Uterehme C Produkt Umsatz Atel Merkmalsträger Atel Merkmalssumme kumulerter Atel Merkmalsträger (k ) kumulerter Atel Merkmalssumme (l ) a 200 0,20 0,20 0,20 0,20 b 200 0,20 0,20 0,40 0,40 c 200 0,20 0,20 0,60 0,60 d 200 0,20 0,20 0,80 0,80 e 200 0,20 0,20,00,00 000,00,00 22 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße
23 Bespel: Vertelug Uterehme B Kumulerte Atele am gesamte Merkmalsbetrag Lorezkurve Kumulerte Atele der Merkmalsträger 23 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße
24 Bespel: Vertelug Uterehme C Kumulerte Atele am gesamte Merkmalsbetrag Lorezkurve Kumulerte Atele der Merkmalsträger 24 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße
25 Kozetratosmessug Fläche st svolle Bass für e Kozetratosmaß Kozetratosmaß ach Lorez- Müzer (G-Maß) LKM = 2F F... Fläche zwsche Dagoale ud Lorezkurve 25 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße
26 Relatve Kozetratosmessug Notato: 26 a a2... aq H... H q h... h q Azahl der Merkmalsträger: q H Merkmalssumme: x q a H q geordete Merkmalsauspräguge absolute Häufgket relatve Häufgket kumulerte Atele der Merkmalsträger: k H kumulerte Atele a der Merkmalssumme: a l q a h H H Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße
27 Kozetratosmessug F l F l Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße
28 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße 28 Kozetratosmessug De Fläche F ka durch de Summe der Trapezfläche F abzüglch der Fläche des obere Dreecks berechet werde:,...,q für H a H a 2 k k H a H a H a 2 k k ) l (l 2 k k F mt 0,5 F F q q q
29 Kozetratosmessug Damt berechet sch das Lorezsche Kozetratosmaß q LKM (k k ) q a H a H, H wobe glt: k für,...,q ud k0 0. Für das Lorezsche 0 LKM ; Kozetratosmaß glt: LKM=0, falls alle Merkmalswerte der Beobachtugsrehe glech sd, ud (-)/ be maxmaler Kozetrato auf ee Merkmalsträger. Ee Normerug auf [0,] erzelt ma daher mt: LKM Norm LKM ( ) 29 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße
30 Uterehme A Produkt Umsatz Atel Merkmalsträger ah Atel kumulerter Atel Merkmalssumme Merkmalsträger (k ) kumulerter Atel Merkmalssumme (l ) k - +k b 0 0,20 0,00 0,20 0,00 0,200 0,000 c 0 0,20 0,00 0,40 0,00 0,600 0,000 d 0 0,20 0,00 0,60 0,00,000 0,000 e 0 0,20 0,00 0,80 0,00,400 0,000 a 000 0,20,00,00,00,800, ,00,00 LKM= 0,800 LKM Norm=,000 Uterehme B Produkt Umsatz Atel Merkmalsträger Atel kumulerter Atel Merkmalssumme Merkmalsträger (k ) kumulerter Atel Merkmalssumme (l ) k - +k e 60 0,20 0,06 0,20 0,06 0,200 0,02 d 80 0,20 0,08 0,40 0,4 0,600 0,048 c 200 0,20 0,20 0,60 0,34,000 0,200 b 300 0,20 0,30 0,80 0,64,400 0,420 a 360 0,20 0,36,00,00,800 0, ,00,00 LKM= 0,328 LKM Norm= 0,40 Uterehme C Produkt Umsatz Atel Merkmalsträger q ah Atel kumulerter Atel Merkmalssumme Merkmalsträger (k ) kumulerter Atel Merkmalssumme (l ) k - +k LKM a 200 0,20 0,20 0,20 0,20 0,200 0,040 b 200 0,20 0,20 0,40 0,40 0,600 0,20 c 200 0,20 0,20 0,60 0,60,000 0,200 d 200 0,20 0,20 0,80 0,80,400 0,280 e 200 0,20 0,20,00,00,800 0, ,00,00 LKM= 0,000 LKM Norm= 0,000 q (k LKM Norm k ) q a H a H, LKM ( ) 30 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße
31 Darstellug als Lorez-Kurve Atel Atel kumulerter Atel kumulerter Atel Merkmalsträger Merkmalssumme Merkmalsträger Merkmalssumme 0% 0,0% 0% 0,0% 20% 2,2% 20% 2,2% 20% 9,5% 40%,7% 20% 7,% 60% 28,8% 20% 24,5% 80% 53,3% 20% 46,7% 00% 00,0% 00,0% 00,0% kumul. Atel a de gesamte Bruttobezüge 80,0% 60,0% 53,3% 40,0% 28,8% 20,0%,7% 0,0% 0,0% 2,2% 0% 20% 40% 60% 80% 00% kumul. Atel der Arbetehmer geordet ach Ekomme 3 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße
32 Berechug des LM-Koeefzete Atel Merkmalsträger Atel Merkmalssumme kumulerter Atel Merkmalsträger (k) kumulerter Atel Merkmalssumme (l) k - +k 0,20 0,02 0,20 0,0220 0,200 0,004 0,20 0,0 0,40 0,70 0,600 0,057 0,20 0,7 0,60 0,2880,000 0,7 0,20 0,25 0,80 0,5330,400 0,343 0,20 0,47,00,0000,800 0,84,00 LKM= 0,46 LKM Norm= 0,520 LKM q (k k ) q a H a H, 32 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße
33 Wer sd de Merkmalsträger? > Staate oder > Persoe 33 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße
34 Kozetrato des BSP auf Staate bzw. auf Bevölkerug Produkt Azahl BSP Atel Merkmalsträger Atel Merkmalssumme kumulerter Atel Merkmalsträger kumulerter Atel Merkmalssumme Ärmste Staate ,29 0,02 0,29 0,02 0,0 Arme Staate ,28 0,09 0,57 0,2 0,08 Arme Staate ,7 0,09 0,74 0,20 0, Reche Starte ,26 0,80,00,00, ,00,00 0,59 Produkt Azahl BSP Atel Merkmalsträger Atel Merkmalssumme kumulerter Atel Merkmalsträger kumulerter Atel Merkmalssumme Ärmste Staate ,35 0,02 0,35 0,02 0,0 Arme Staate ,39 0,09 0,74 0,2 0,0 Arme Staate ,0 0,09 0,84 0,20 0,4 Reche Starte ,6 0,80,00,00, ,00,00,34 0,7 LKM LKM Bezeht ma de Auftelug des BSP cht auf de Azahl der Staate, soder auf de betroffee Bevölkerug, so ergbt sch ee deutlch höhere Kozetrato 34 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße
35 Paradoxo Für 2 große Grudgesamthete () werde 2 haltlch uterschedlche Phäomee relatver Kozetrato beobachtet: A: De Hälfte der Merkmalsträger hat ee Merkmalsausprägug vo Null, vo der adere Hälfte habe alle deselbe Merkmalswert > 0 B: E Merkmalsträger veregt 50% der Merkmalssumme auf sch, de restlche 50% der Merkmalssumme vertele sch glechmäßg auf alle adere Merkmalsträger I bede Fälle glt: LKM = 0,5 35 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße
36 Paradoxo Fall A Fall B Lorezkurve Lorezkurve 36 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße
37 Bespelsverteluge Verso Produkt Produkt Produkt Produkt Produkt Summe A B C D E F Verso Herfdahl-Idex Lorez Müzer Koeffzet A B C D E F Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße
38 Lorezkurve der Verteluge A ud B Lorezkurve - Verso A Lorezkurve - Verso B 38 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße
39 Lorezkurve der Verteluge C ud D Lorezkurve - Verso C Lorezkurve - Verso D 39 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße
40 Lorezkurve der Verteluge E ud F Lorezkurve - Verso E Lorezkurve - Verso F 40 Statstk - Schefe- ud Kozetratosmaße
Spannweite, Median Quartilsabstand, Varianz und Standardabweichung.
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