F Fehlerrechnung 1. Systematische und statistische Fehler

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1 -F.- F Fehlerrechug. Systematsche ud statstsche Fehler Jede Messug eer physkalsche Größe st mt eem Fehler verbude. Es st daher otwedg be der Agabe des Messwertes ee Fehlerabschätzug azugebe. Ma uterschedet systematsche ud zufällge, das heßt statstsche Fehler. De erste Fehlersorte hat hre drekte Ursache m Messsystem ud st häufg dara zu erkee, dass das Messergebs grudsätzlch zu groß bzw. zu kle gegeüber theoretsche Werte oder Ergebsse aus adere Messarte st. Um systematsche Fehler zu mmalsere muss das Messsystem, also de Versuchsapparatur geädert werde ud/oder es müsse umersche Korrekture des Messergebsses agestellt werde. E statstscher Fehler etsteht durch zufällge postve ud egatve Abwechuge bem Messe. Bespelswese fällt be eer Lägebestmmug de zu messede Strecke cht mt eem Telstrch ees Maßstabes zusamme ud ma muss daher Zwschewerte schätze. Oder aber der agezegte (dgtale oder aaloge) Wert be eer Spaugsmessug st zetlch cht kostat soder schwakt um ee mttlere Wert, so dass durch de Schätzug ees zetlche Mttelwertes oder durch de Zetpukt der Messug e statstscher Fehler etsteht. Statstsche Fehler sd durch ee Wahrschelchketsvertelug charaktersert, welche agbt, we wahrschelch ee gemessee Abwechug vom eakte (wahre), das heßt wahrschelchste Wert (Erwartugswert) st. Je häufger e Messvorgag wederholt wrd, desto geauer wrd de Wahrschelchketsvertelug ud damt auch der wahrschelchste Wert ermttelt bzw. desto gerger wrd desse statstsche Messuscherhet (sehe ute).. Mttelwert, Stadardabwechug, Messuscherhet De beste Schätzug für de wahrschelchste Wert eer Messgröße aus verschedee Ezelmessuge erhält ma durch Bldug des arthmetsche Mttelwertes : () Häufg wrd der Lteratur be statstsche Formel mt Summeausdrücke ee verkürzte Schrebwese verwedet, de de Summatosgreze ud de Laufde uterdrückt: () Dese abkürzede Schrebwese wrd auch m wetere Tet beutzt. Ist der Mttelwert bekat, so gebe de Dfferezbeträge de Abwechuge der ezele Messergebsse vom Mttelwert a ud sage so berets etwas über de

2 -F.- Geaugket der Messuge aus. Aus umersche Grüde mmt ma statt der Dfferezbeträge de Dfferezquadrate ( ) ud defert als Stadardabwechug s: s ( ) > (3) De Stadardabwechug gbt de mttlere statstsche Fehler eer Ezelmessug a. De (postve) Wurzel wrd egeführt, damt de Größe s de gleche Ehete bestzt we de Messgröße selbst ud somt mt hr verglechbar wrd. De Dvso durch - statt berückschtgt de Tatsache, dass be ur eer Messug ( = ) kee statstsche Aussage gemacht werde ka, das heßt s udefert st. De Glechug (3) agegebee Deftosglechug für de Stadardabwechug wrd deser Form m Allgemee cht beutzt. Alle gägge Tascherecher verwede de äquvalete Glechug s ( ) > (4) da her cht de Messergebsse ezel gespechert werde müsse, ledglch dere Summe bzw. Quadratsumme. Nebe der Agabe vo Mttelwert ud Stadardabwechug st häufg auch de Agabe der statstsche Scherhet des Mttelwertes vo Iteresse, da deser ja ledglch ee Schätzug des Messergebsses gem. Glechug () darstellt, de für ee gerge Azahl vo Ezelmessuge sehr uscher st. De statstsche Messuscherhet u st e Maß für de mttlere (statstsche) Fehler des Mttelwertes: u s ( ) ( ) > (5) (5) Währed de Stadardabwechug s als Maß für de statstsche Streuug der Ezelmessuge für ee große Azahl gege ee bestmmte Wert > 0 strebt, wrd de statstsche Messuscherhet u des Mttelwertes mt wachseder Azahl gerger ud strebt für sehr große gege Null. Sehr oft sd de Messwerte ormalvertelt, das heßt hre relatve Häufgket wrd durch ee sogeate Normal- oder Gauß'sche Vertelug φ() beschrebe: φ() e ς π ( 0 ) ς (6)

3 -F.3- Herbe gbt das Itegral P(, ) φ() d (7) a, mt welcher Wahrschelchket de Messwerte (für ee große Azahl der Messuge, ( ) m Itervall (, ) lege. Der Verlauf der Fukto φ() st, we Abbldug. zegt, symmetrsch um de wahrschelchste Wert 0 (de Erwartugswert) ud hat de Form eer Glockekurve mt der Halbwertsbrete vo etwas mehr als σ. Für sehr große strebt der aus der Messrehe bestmmte Mttelwertgege de Wert 0 der Fukto φ(), de Stadardabwechug s gege de Wert σ. De Wahrschelchket, dass das Ergebs eer Ezelmessug m Itervall ± s, das heßt 0 ± σ legt, beträgt mt Glechug (7) ca. 68 %, für das Itervall 0 ± σ ca. 95 % ud für 0 ± 3σ scho 99,7 %. Ählches glt für de statstsche Messuscherhet u des Mttelwertes: De Wahrschelchket, dass der wahre Wert 0 m sogeate (efache) Vertrauesberech vo ± u legt, beträgt ca. 68 %, für de zwe- bzw. drefache Vertrauesberech ± u bzw. ± 3u scho etwa 95 % bzw. 99,7 %. Abbldug : Fukto φ() der Gauß'sche oder Normalvertelug mt wahrschelchstem Wert 0 ud de Bereche 0 ± σ, 0 ± σ ud 0 ± 3σ für de relatve Häufgket ees Messwertes vo 68 %, 95 % ud 99,7 %

4 -F.4- Zu beachte st jedoch, dass de Agabe eer statstsche Messuscherhet bzw. ees statstsche Vertrauesbereches für de Mttelwert eer Messrehe ur Verbdug mt dem Schätzwert für möglche systematsche Fehler svoll st. Der sgesamt resulterede Fehler ees Messergebsses st mmer de Summe der Beträge aus systematsche ud usystematsche Fehler. So st es zum Bespel cht svoll, ee Messug belebg oft zu wederhole, bloß um de statstsche Messuscherhet zu reduzere, we glechzetg der Schätzwert für systematsche Fehler vel größer st. Bespel: Im Versuch A 9 (Bestmmug des Elastztätsmoduls) soll der E-Modul ees Metallstabes aus der Begug bestmmt werde. Es glt der Zusammehag: z 3 l F 3 4Ebh (8) bzw. 3 l E E (9) 4bh z 3 mt: z = Durchbegug, l = Läge, b = Brete, h = Höhe des Stabes, E = E-Modul, F = agrefede Kraft Typsche Werte sd zum Bespel l = m, b = 5,5 mm, h = 8,0 mm, sowe Damt ergbt sch: F [N] Z [mm] F/z [N/mm] 0 0-4,9,69,899 9,8 3,56,753 4,7 5,4,805 9,6 6,95,80 4,5 8,84,77 9,4 0,47,808 für de Mttelwert des Verhältsses F/z: für de Stadardabwechug: für de Messuscherhet des Mttelwerts: F / z =,809 N/mm s = 0,050 N/mm u = 0,00 N/mm also F/z = (,8 ± 0,0) N/mm =,8 N/mm ± 0,7 % Werde de Größe l, b ud h als fehlerfre ud kee systematsche Messfehler ageomme, ergbt sch als Edergebs für de E-Modul: E = 9, Nm - ± 0,7 % = (9,05 ± 0,06) 0 0 Nm -

5 -F.5- Zu beachte st be der Agabe vo Ergebsse, dass der ermttelte Fehler cht mt mehr als e bs zwe Zffer bzw. zwe Stelle hter dem Komma agegebe wrd. Etspreched der Fehleragabe st auch das Edergebs auf- oder abzurude. Es macht mestes kee S ud täuscht ur Geaugket vor, de vele Nachkommastelle ees Tascherecher- Dsplays azugebe. 3. Fehlerfortpflazug Im Allgemee st zur Bestmmug eer physkalsche Größe y de Messug mehrerer ezeler (verschedeer) Parameter,,... erforderlch. Es stellt sch da das Problem, we de ezele Fehler Δ be der Messug der Parameter de Uscherhet Δy be der Bestmmug der gesuchte Größe y beeflusse. Für cht zu große Fehler Δ glt. Näherug: y Δy kos tat Δ j (0) Als Abschätzug für de größtmöglche Fehler uter Berückschtgug aller Ezelfehler wrd folgede Bezehug defert: y y (Δy) Δ Δ... ma () Bespel: Im Versuch A3 (Dchte fester Körper) wrd de Dchte ρ vo Metallzylder aus hrer Masse m mttels Wägug ud hrem Volume V mttels Messug der Ausdehug (Durchmesser d, Höhe h) bestmmt. Es glt: ρ m V 4m πd h () De Dchte ρ st damt vo der Bestmmug der 3 Ezelgröße m, d ud h abhägg. Für de relatve Größtfehler (Δρ /ρ) ma ergbt sch damt: Δρ ρ ρ ρ Δm Δd Δh Δm Δd Δh ρ ρ m d h m d h ma (3) Typsche Messergebsse sd: m = 3,980 g d =,50 cm h = 3,50 cm Δm = mg Δd = 0,0 cm Δh = 0,0 cm

6 -F.6- Damt ergbt sch: ρ = 7,74 g cm-3 (Δρ/ρ) ma =, , ,9 0-3,09 0 -, % ρ = 7,74 g cm -3 ±, % = (7,74 ± 0,09) g cm -3. Bespel: Im Versuch B (Bestmmug der spezfsche Wärmekapaztät fester Körper) soll der Wasserwert des verwedete Kalormeters bestmmt werde. Es glt: T T W m m M K TM T (4) Herbe st: W K = Wasserwert des Kalormeters m, T = Masse, Temperatur des kalte Wassers m Kalormeter m, T = Masse, Temperatur des hzugefügte heße Wassers T M = de sch estellede Mschugstemperatur W K st vo der Bestmmug der 5 Ezelgröße m, m, T, T ud T M abhägg. Damt wrd der absolute Größtfehler (ΔW K ) ma : W W W W W ΔW Δm Δm ΔT ΔT ΔT K K K K K K ma M m m T T TM (5) bzw. ΔW Δm (T T )Δm (T T )m ΔT M M K ma TM T (TM T ) m ΔT (T T )m ΔT T T (T T ) M M M (6) Typsche Werte sd: m = 64,5 g Δm = 0, g T = 5,8 C ΔT = 0, C m = 9,7 g Δm = 0, g T M = 34,9 C ΔT M = 0, C T =,4 C ΔT = 0, C

7 -F.7Damt ergbt sch: WK = 3,53 g (ΔWK)ma = 0, g + 0,4 g +,38 g +,76 g + 4,3 g 8,5 g WK = (33 ± 9) g = 33 g ± 6 % Be der Berechug des größte Fehlers ach der Fehlerfortpflazug sollte ma de Efluss ees jede Parameters dskutere. Im obge Bespel seht ma, dass de Fehler der Temperaturmessug de größte Efluss auf de Geaugket der Wasserwertbestmmug habe. 4. Ausglechsgerade Oft soll der Physk e theoretsch begrüdeter Zusammehag zwsche zwe Größe ud y m Epermet bestätgt werde. Ncht selte besteht zwsche de Größe ud y e learer Zusammehag, das heßt y b (7) Da bekatlch jede Messug mt eem Fehler behaftet st, werde de Messwerte (, y) be eer graphsche Darstellug y = f() mehr oder weger um ee Gerade streue. Gesucht st dejege Gerade, de de fehlerbedgte Abwechuge bestmöglch ausglecht. Dese ka m efachste Fall durch ee vsuelle Schätzug, das heßt das Zeche eer geegete Gerade mt eem Leal gefude werde. Objektver lasse sch de Kostate a ud b der Geradeglechug ach der Methode der kleste Fehlerquadrate bereche. Ma utersucht, für welche Kostate a ud b der Ausdruck: (a b y) (8) e (absolutes) Mmum emmt. De Kostate erfülle da de Bedgug: a b (a b y) 0 (9) (a b y) 0 (0) De Dfferetato lefert das Glechugssystem: a b a b y () y ()

8 -F.8- mt der Lösug: a y y ( ) (3) b y y ( ) (4) Beachte: Für ee Ausglechsgerade, welche durch de Koordateursprug verlaufe soll (a = 0), das heßt y = b lautet de etsprechede Lösug: b y (5) Das Verfahre der kleste Fehlerquadrate wrd fast mmer be der Suche des beste Fts agewedet. De Geradeglechug st (ach der Mttelwertbldug) der efachste ud gebräuchlchste Fall ud daher auf fast jedem Tascherecher verfügbar. Der häufg beutzte Regressoskoeffzet R st mt Vorscht zu verwede. Mt hm ka de Güte der Ftfukto mehrerer uabhägger Messrehe mteader verglche werde. Der Regressoskoeffzet vo ur eer Messrehe hat physkalscher Hscht kee drekte Aussagekraft. I Fälle, dee de Größe Y(X) cht lear vo X abhägt, ka oft der gesuchte formale Zusammehag durch geegete Trasformato y(x,y), (X,Y) ee Geradeglechug der Form y = a + b übergeführt werde, zum Bespel: Y = AX B y = l(y) = l(x) a = l(a) b = B Y = A ep(bx) y = l(y) = X a = l(a) b = B Y = AX + BX 3 y = Y/X = X a = A b = B