Die Methode des 2.Moments

Transkript

1 De Methode des 2.Momets Chrstoph Schmdt July 13, Eletug De Varaz eer Zufallsvarable st hre mttlere quadratsche Abwechug vo hrem Erwartugswert. V ar[x] = E[(X EX) 2 ] = E[X 2 ] E[X] 2 Der Term E[X 2 ] wrd auch als 2.Momet bezechet. Ist u de Varaz sehr kle (vel kleer als E[X] 2 ), so st X fast mmer fast glech seem Erwartugswert. De Methode des zwete Mometes st u e Verfahre, welches mthlfe deses Sachverhaltes de Exstez eer kombatorsche Struktur mt bestmmte Egeschafte bewest. 2 De Chebyshev-Uglechug Mathematsch präzser wrd obger Sachverhalt durch de Chebyshev-Uglechug dargestellt: P ( X E[X] λ) V ar[x]/λ 2 (1) Wählt ma als ee Spezalfall λ = E[X], so erhält ma P (X = 0) P ( X E[X] E[X]) V ar[x]/e[x] 2 (2) Heraus ergbt sch ee erste Awedug der Methode des zwete Mometes: Betrachtet werde soll ee zählbare Egeschaft, z.b. de Azahl der Krese der Läge 5, de e Graph ethält. Wll ma u de Exstez ees Objektes, das mdestes ee solche Struktur ethält, bewese, so legt ma über alle möglche Objekte ee Wahrschelchketsraum, modellert mt eer Zufallsvarable X de Azahl der zählbare Egeschaft eem Objekt ud bewest mt obger Glechug, dass P (X = 0) < 1. Folglch muss e Objekt mt der gewüschte Egeschaft exstere, da P (X 1) > 0. Allgeme bezechet ma als,,methode des zwete Momets de Awedug der probablstsche Methode uter Zuhlfeahme der Chebyshev- Uglechug. 1

2 3 Mathematsche Grudlage 3.1 Varazrechug Se X = X X de Summe vo Zufallsvarable. Da st V ar[x] = Cov[X, X j ] = Cov[X, X j ],j=1 V ar[x ] + j Herbe st de Kovaraz Cov[X, X j ] = E[X X j ] E[X ]E[X j ]. Sd X ud X j stochastsch uabhägg, so glt E[X X j ] = E[X ]E[X j ] = Cov[X, X j ] = 0. Der Term Cov[X, X j ] lestet also kee Betrag zur Varaz vo X. 3.2 Arthmetsch-geometrsche Uglechug Im erste Vortrag wurde de arthmetsch-geometrsche Uglechug bewese. Se wrd her als bekat vorausgesetzt : See a 1,..., a cht egatv. Da glt: 1 a ( a ) 1 (3) 3.3 Markov-Uglechug Aus der Stochastk st de Markov-Uglechug bekat: P ( X > c) E( X ) c 3.4 Chebyshev-Uglechug für Folge c > 0 (4) Ebefalls uter dem Name Chebyshev-Uglechug bekat st folgede Uglechug für zwe Zahlefolge, wobe a 1,..., a mooto steged ud b 1,..., b mooto falled st. Es glt : a b 1 ( a )( b ) (5) Bewes : a b 1 a b = 1 = j (a b a b j ) = 1 2 = 1 2 j (a (b b j ) a j (b b j )) = 1 2 a b 1 a b j j (a b + a j b j a b j a j b ) j (a a j )(b b j ) 0 de da a 1,..., a mooto steged ud b 1,..., b mooto falled st, glt (a a j )(b b j ) 0 für alle, j. j 2

3 4 Awedug 1 : Megeseparatore E Telberech der Komplextätstheore aalysert de Komplextät der Berechug vo boolesche Fuktoe. Um sowohl de Zet- als auch de Specherplatzkomplextät der Berechug zu berückschtge, verwedet ma als Modell sogeate,,brachg programs : E brachg program (kurz BP) st e gerchteter, azyklscher Graph mt eem bestmmte Startkote. Jeder Kote, der kee Seke st, st mt eer Varable beschrftet; de vom Kote ausgehede Kate etspreche de möglche Werte der Varable, 0 oder 1. De bede Seke sd mt de Ausgabewerte 0 bzw. 1 beschrftet. Um de Fuktoswert eer Varablebelegug zu bestmme, folgt ma dem Pfad vom Startkote bs zu eer Seke, wobe de Werte der Egabevarable, mt dee de Kote beschrftet sd,bestmme, welche Kate ma folgt. Der Ausgabewert st da der Wert der Seke, de ma gelagt. De Zetkomplextät eer Fukto st u de maxmale Läge ees Pfades vom Startkote zu eer Seke; de Platzkomplextät st de Azahl der Kote des Graphe. Nchtdetermstsche BPs bestze zusätzlch och,,rate kote mt zwe ausgehede Kate. Führt ee der aus desem Kote ausgehede Kate mt der aktuelle Varablebelegug zu eer 1-Seke, so wrd dese Kate der Berechug ausgewählt. E Ratekote etsprcht also eem logsche,,. Nchtdetermstsche BPs werde zur Abschätzug der Zetkomplextät eer Fukto ach ute verwedet. Für ee Fukto f mt Varable lässt sch mmer e BP der Tefe kostruere, das f berechet. I vele Fälle lässt sch dese Berechugstefe mthlfe des Nchtdetermsmus verbesser. Des wrd u a eem Bespel demostrert: Se f = (a b) (c f) (b d) (c e). f ethält 6 Varable. Daher st de max. Berechugsläge 7. Betrachte u folgedes BP (der,,? -Kote st e Ratekote, de utere Kote stehe für de BPs der etsprechede Telformel):,,(a b) (b d)?,,(c f) (c e) 3 Varable Berechugsläge 4 3 Varable Berechugsläge 4 We berets erwäht etsprcht der,,rate kote eem logsche,,. Durch Treug der Dsjuktosgleder zwe Gruppe, de jewels weger Varable ethalte, wrd ee Redukto der Berechugsläge errecht. I desem Bespel hat das chtdetermstsche BP ee Berechugsläge vo = 5. We gut st de Redukto für ee gegebee Formel? Ee Atwort darauf lefert der Satz vo Beame, Saks ud Thathatchar(1998). Dazu formulere wr obge Fragestellug megetheoretsch um: 3

4 Se F = {F 1,...F m } ee Famle vo Telmege eer Mege X. E Separator für F st e Paar (S,T) dsjukter Telmege vo X, wobe jedes Elemet vo F dsjukt zu S oder zu T st. De Größe ees Separators st das Mmum vo S ud T. Der Grad d x ees Elemetes x X F st de Azahl der Elemete vo F, de x ethalte.der durchschttlche Grad vo F st d = 1 d x (6) X x X Auf obges Problem agewedet st X de Mege der Varable, F st de Mege der Varablemege der Dsjuktosgleder, ud de Separatormege S ud T ethalte jewels de Varable, de ma aus eem Tel-BP elmere kote. Also : X = {a, b, c, d, e, f} F = {{a, b}, {c, f}, {b, d}, {c, e}} S = {c, e, f}, T = {a, b, d} Der Grad d x etsprcht der Azahl des Auftretes der Varable x. Mthlfe der Methode des zwete Mometes zegte Beame, Saks ud Thathachar folgede Satz über de Exstez ees Separators : Satz: Se F ee Famle vo chtleere Telmege eer -elemetge Mege, de jewels höchstes r Elemete ethalte. Se d der durchschttlche Grad vo F. Da hat F ee Separator der Größe mdestes (1 δ)2 d, wobe dr2 d+1 δ = (7) Bewes: Zum Bewes lege wr ee Wahrschelchketsraum über alle möglche Separatore ud bewese, dass mt postver Wahrschelchket e Separator der Größe mdestes (1 δ)2 d exstert. Des gescheht we folgt: Se X = F F F ud = X. Nu wrd jedes F F uabhägg ud glechvertelt mt Wahrschelchket 1 2 rot oder blau gefärbt. Se S de Mege der Elemete x, für de glt: alle F mt x F sd rot gefärbt. Aalog se T de Mege der Elemete x, für de glt: alle F mt x F sd blau gefärbt. Da jedes x X mdestes eem F ethalte st, folgt, dass S ud T dsjukt sd. Außerdem glt für alle F F etweder F S = (F st blau gefärbt) oder F T = (F st rot gefärbt). Nu muss ur och mthlfe der Methode des 2. Momets gezegt werde, dass mt postver Wahrschelchket S ud T mdestes (1 δ)2 d Elemete ethalte. Se Z x de Idkatorvarable des Eregsses {x S}. Es glt P (Z x = 1) = P (x S) = 2 dx ud E[Z x ] = P (Z x = 1) = 2 dx. Nu se Z = x Z x. Es glt Z = S. Mt der arthmetsch-geometrsche Mttelwertuglechug (3) folgt: E[Z] = x E[Z x ] = x 2 dx 2 x dx/ = 2 d (8) 4

5 Mthlfe der Methode des 2. Momets soll m Folgede gezegt werde, dass Z mt hoher Wahrschelchket fast glech seem Erwartugswert st. Dazu beschräke wr de Varaz V ar[z] = x V ar[z x ] + x y Cov(Z x, Z y ) (9) ach obe. Da Z x ee Beroull Zufallsvarable (bäre ZV mt Träger {0,1}) st, glt: V ar[z x ] = E[Z x ] E[Z x ] 2 0 E[Z x ] Heraus folgt: V ar[z x ] E[Z] (10) x We für zwe Elemete x,y ke F F bede Elemete ethält, so sd Z x ud Z y stochastsch uabhägg, also ukorrelert Cov(Z x, Z y ) = 0. Iteressat sd also ur x,y, wobe es e F F gbt mt x, y F. Für e festes x st de Azahl deser möglche Paare maxmal (r 1)d x. Für e solches Paar x,y glt Cov(Z x, Z y ) = E[Z x Z y ] E[Z x ]E[Z y ] 0 E[Z x Z y ] E[Z x ] = 2 dx Es folgt: x y Cov(Z x, Z y ) (r 1) x d x 2 dx (11) Sortere {d x } aufsteged. Da st {2 dx } mooto falled ud cht-egatv. Mt der Chebyshev-Uglechug für Folge (5) lässt sch der Term we folgt abschätze : x y Cov(Z x, Z y ) r 1 ( x 2 dx )( x d x ) = d(r 1)E[Z] (12) Nu setzt ma (10) ud (12) (9) e ud erhält für de Varaz vo Z V ar[z] (d(r 1) + 1)E[Z] dre[z], da jedes x X md. eem F vorkommt ud somt d = 1 x d x 1 glt. Schleßlch wedet ma de Chebyshev-Uglechug (1) a: P (Z < (1 δ)e[z]) P ( Z E[Z] > δe[z]) < V ar[z] δ 2 E[Z] 2 dr δ 2 E[Z] Setzt ma u δ aus (7) ud Z = S e, so folgt : 5

6 P ( S < (1 δ)e[z]) < dr dr2 d+1 E[Z] 2 d+1 2 d = 1 2 Aalog lässt sch für T P ( S < (1 δ)e[z]) < 1 2 zege. Also habe mt postver Wahrschelchket S ud T de Mächtgket vo md. (1 δ)e[z] (1 δ)2 d. Somt exstert e Separator (S,T), der das Theorem erfüllt. 5 Schwellwertfukto für ee 4-Clque m Zufallsgraphe E Zufallsgraph G(,p) st e Graph mt Kote, wobe jede Kate stochastsch uabhägg mt Wahrschelchket p m Graphe vorhade st. Ist p gerg, so ethält G(,p) wahrschelch wege Kate, st p hoch, so ethält G(,p) wahrschelch vele Kate. We hoch st u de Wahrschelchket, dass so e Graph ee 4-Clque ethält, Abhäggket vo p? Ma köte aehme, dass dese Wahrschelchket lear mt p stegt. Tatsächlch gbt es aber ee scharf begrezte Schwellwert p(), so dass glt: Ist p etwas kleer als p(), so ethält G(,p) wahrschelch kee 4-Clque; st p etwas größer als p(), so ethält G(,p) wahrschelch ee 4-Clque. Folgeder Satz bestmmt de Schwellwertfukto für ee 4-Clque: Satz: De Schwellwertfukto für ee Zufallsgraphe G(,p), ee 4- Clque zu ethalte, st p = 2/3. Bewes: Se S ee Mege vo 4 Kote, A S das Eregs, dass S ee 4-Clque G(, p) duzert, ud X S de Idkatorvarable des Eregsses A S. Da ee 4-Clque 6 Kate ethält ud dese stochastsch uabhägg mt Wahrschelchket p m Graphe vorkomme, st P (A S ) = p 6 P (X S = 1) = p 6 E[X S ] = p 6, wobe letztere Folgerug glt, da X S ee Idkatorvarable st. Se u X = X S de Azahl der 4-Clque G(, p). Um zu zege, dass p = 2/3 e Schwellwert des Eregsses,,G ethält ee 4-Clque st, bewese wr: 1. P (X 1) 0 für p 2/3 2. P (X 1) 1 für p 2/3 Bewes zu 1): Aus der Markov-Uglechug (4) folgt mt X 0 ud c=1 berets de Behauptug: ( P (X 1) E[X] = )p 6 4 p für p 2/3 6

7 Bewes zu 2): Se p 2/3. P (X 1) 1 st äquvalet zu P (X = 0) 0. Der Spezalfall der Chebyshev-Uglechug(2) lefert P (X = 0) V ar[x] E[X] 2 Da X de Summe vo Zu- Es recht also, de Varaz Var[X] abzuschätze. fallsvarable X S st, glt mt V ar[x] = S V ar[x S ] = E[X S ] E[X S ] 2 0 V ar[x S ] + S T Cov(X S, X T ) E[X S ] = p 6 Es gbt ( 4) = O( 4 ) Mege S, also ergbt der erste Tel der Summe ee Atel vo O( 4 p 6 ). Nu werde Paare S,T mt S T betrachtet: Ethalte de vo S ud T duzerte Graphe kee gemesame Kate, so sd X S, X T s.u. Cov(X S, X T ) = 0, der Summad lestet kee Betrag. Wrksame Atele etstehe für S T = 2 (ee gemesame Kate) ud S T = 3 (dre gemesame Kate). Es gbt ( 4 )( 4 ) 4)( 2 2 O( 6 ) Paare S,T mt S T = 2, für se st Cov(X S, X T ) = E[X S X T ] E[X S ]E[X T ] 0 E[X S X T ] = O(p 11 ), da S T elf Kate duzert. Des führt zu eem Betrag vo O(p 11 6 ). Aalog gbt es ( 4)( 4 3) ( 4) O( 5 ) Paare S,T mt S T = 3, für se st Cov(X S, X T ) = E[X S X T ] E[X S ]E[X T ] 0 E[X S X T ] = O(p 9 ), da S T eu Kate duzert. Des führt zu eem Betrag vo O(p 9 5 ). Isgesamt ergbt sch ee Varaz vo V ar[x] = O( 4 p p p 9 ) = o( 8 p 12 ) = o(e[x] 2 ), da p 2/3. Daher glt P(X=0)=o(1). Somt ethält G(,p) wahrschelch ee 4-Clque. 6 Zusammefassug De Methode des zwete Momets bezechet de Verwedug der Chebyshev- Uglechug probalstsche Exstezbewese. Se lefert mmer da svolle Abschätzuge, we de Varaz der utersuchte Zufallsvarable X kle gegeüber E[X] 2 st. Besoders Bewese kombatorscher Fragestelluge lasse sch mt hr elegat löse, we ma ee geegete Zufallsraum modellert hat. 7