Seminar aus reiner Mathematik

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1 KARL FRANZENS UNIVERSITÄT RAZ Semar aus reer Mathemat E Lob der Uglechuge Tscherutter Dael 4. November 03

2 INHALTSVERZEICHNIS Eletug 3 Bewese der Uglechuge 4. Cauchy-Schwarz-Uglechug Formulerug Bewes Uglechug vom harmosche, geometrsche ud arthmetsche Mttel Formulerug Bewes Bewes Awedug der Uglechuge 9. Satz vo Laguerre Formulerug Bewes Satz vo Erdős ud alla Vorberetug Formulerug Bewes Satz vo Matel Vorberetug Formulerug Bewes Bewes raz, November 03

3 EINLEITUN Dese Semararbet behadelt das Kaptel aus dem Wer Proofs from the Boo vo Mart Ager ud üter Zegler (drtte eglsche Auflage, Sprger, 003) mt dem Ttel e Lob der Uglechuge. Es werde zuächst zwe der wohl beateste Uglechuge auf besoders elegate ud dem Ttel des Buches würdge Art bewese. De Erste der bede st de Cauchy-Schwarzsche Uglechug, de zwete st de Uglechug vom harmosche, geometrsche ud arthmetsche Mttel. Im Aschluss werde mehrere teressate Sätze behadelt, de mt de bede Uglechuge bewese werde öe. raz, November 03 3

4 BEWEISE DER UNLEICHUNEN. CAUCHY-SCHWARZ-UNLEICHUN De erste Uglechug, de m Folgede betrachtet wrd, geht zurüc auf Cauchy, Schwarz ud Buaows. De Heruft des agegebe Beweses st ular ud wrd eher als mathematsches Allgemegut betrachtet... FORMULIERUN Se < a, b > e eres Produt auf eem reelle Vetorraum V (mt der Norm a = < a,a >), da glt: < a,b > a b für alle Vetore a,b V, wobe lechhet geau da glt, we a ud b lear abhägg sd... BEWEIS Ma betrachte de folgede quadratsche lechug: λa + b =< λa + b,λa + b > =< λa,λa > + < λa,b > + < b,λa > + < b,b > = λ a + λ < a,b > + b der Varable λ. Falls a = 0 oder b = µa so glt trvalerwese de lechhet der obge Uglechug. Sd a ud b jedoch lear uabhägg so glt: λ a + λ < a,b > + b = λa + b > 0 λ R Daraus a ma Folgedes herlete: Ageomme λ a + λ < a,b > + b = 0 λ = < a,b > ± 4 < a,b > 4 a b a λ = < a,b > ± < a,b > a b a Da es aber ee reelle Nullstelle gebe, a muss < a,b > a b < 0 gelte ud damt de Behauptug. raz, November 03 4

5 . UNLEICHUN VOM HARMONISCHEN, EOMETRISCHEN UND ARITHMETISCHEN MITTEL De ächste Uglechug de behadelt wrd, st de Uglechug vom harmosche, geometrsche ud arthmetsche Mttel. Herzu werde glech zwe äußerst elegate Bewese vorgestellt. Der erste vo he wrd Cauchy zugeschrebe ud st e etwas ugewöhlcher Idutosbewes, der zwete geht auf de deutsche Mathemater Horst Alzer zurüc... FORMULIERUN See a,..., a postve reelle Zahle, da glt: + + a a a a a + +a wobe lechhet da ud ur da etrtt, we alle a glech sd... BEWEIS We berets erwäht, wrd de Aussage dutv bewese. Wr betrachte zuächst de rechte Sete der Uglechug folgeder Form: Idutosbeg ( = ): a... a ( a + +a ) Idutosschrtt: a a ( a + a ) a a a + a a + a 4 0 a a a + a Der Idutosschrtt erfolgt zwe Schrtte: P() P( ) P() ud P() P() 0 (a a ) aus dee schleßlch de vollstädge Behauptug folgt. Zum erste der bede Pute: raz, November 03 5

6 Setze A = a =, da glt: ( = a )A P() ( = a + A ) = ( ( )A + A ) = A Bede Sete mt A (ma mmt a, dass cht alle a = 0 sd, das sost trvalerwese de Uglechug glt) multplzere gbt: Zum zwete Put: = a A = ( = a ) = a = ( = a )( =+ a ) P() ( = a ) ( =+ a ) a = (( )( P() = ( = a = ( =+ a = ) ) a )) Um u och de zwete Sete der Uglechug zu zege, ersetzt ma efach der erste a,..., a durch a,..., a. Ageomme a + +a = a... a. Ma a o.b.d.a aehme, dass gerade st. Falls ämlch = für e N defert ma efach a = a + +a = a... a ud es folgt a +... a + + = a +... a + a + +a + = (+ )(a + + a ) + = ( + )(a + + a ) + = a + + a = a... a = ((a... a ) + ) + = ((a... a ) + ) + = (a... a ) + ((a... a ) ) + = + a... a + a + = + a... a + raz, November 03 6

7 Für gerade glt de lechhet soweso. Se also m Folgede =. Nu defert ma u = a + +a ud v = a ++ +a ud es folgt u + v = a + + a = a... a = (a... a ) (a +... a ) a + + a = uv u + v a a Also müsse alle Uglechhete lechhete se ud damt folgt wederum uv = u + v uv = u + uv + v 4 0 = u uv + v = (u v) Daher muss u = v gelte. Nmmt ma u a, dass alle a geordet sd also a a a ud cht alle glech, da muss u < v gelte, was aber e Wderspruch wäre...3 BEWEIS Deser Bewes lefert egetlch ee stärere Uglechug als jee vom arthmetsche ud geometrsche Mttel. Tatsächlch a ma ämlch zege, dass sogar Folgedes glt: Für belebge postve Zahle a,..., a ud p,..., p mt = p = glt: a p ap... ap p a + p a + + p a Im Folgede wrd für de Ausdruc auf der le Sete der Uglechug verwedet ud A für jee auf der Rechte. Ma a ohe Beschräug der Allgemehet aehme, dass de a s aufsteged geordet sd, also a a a glt. Ma seht lecht, dass a a gelte muss ud daher exstert e mt a a +. Daraus folgt u: p = ( t )dt + a p =+ a ( )dt 0 (.) t raz, November 03 7

8 da a {,...,} ud t = t t 0 m Itervall (a,) ud a { +,...,} ud t = t t Nu erhält ma aus.: 0 m Itervall (, a ) p = a a p = t dt dt + p = =+ a p De le Sete auftegrert ergbt: dt + =+ a dt p p = a a dt t dt + =+ =+ p = a p p a a t dt 0 t dt 0 dt p = a t dt = p a = p a = währed de rechte Sete auftegrert ergbt: p = A = = p (log a log) = log(a p ) p log() = = = = log( a p ) log() = log() log() = 0 Daraus folgt also sgesamt A 0 also A. Falls u A = gelte sollte, muss. ull ergebe. Also müsse alle Itegrale. glech ull se ud des st ur der Fall, falls a = {,...,}, da de Itegrate alle größer glech ull sd. raz, November 03 8

9 ANWENDUN DER UNLEICHUNEN Als ächstes wrd auf de Awedug der bede Uglechuge egegage ud welche teressate Aussage durch dese gezegt werde öe.. SATZ VON LAUERRE Be dem erste Satz hadelt es sch um e schöes Resultat der Theore der Polyome, das erstmals vo Laguerre bewese wurde... FORMULIERUN Satz vo Laguerre Ageomme de Nullstelle des Polyoms p(x) = x + a x + + a 0 sd alle reell. Da lege se dem abgeschlossee Itervall mt de Ecpute a ± a a.. BEWEIS Se y ee Nullstelle vo p ud mt y,..., y bezeche ma de Restlche. Da a p der Form p(x) = (x y)(x y )...(x y ) geschrebe werde. Multplzert ma de Learfatore aus, a ma eree, dass gelte muss ud daher a = y + y + + y a = y(y + y + + y )+ y y j <j a = y + y(y + + y )+ <j a a y = = y y y j + y = (y + +y ) raz, November 03 9

10 Wedet ma u de Cauchy-Schwarz sche Uglechug auf de bede Vetore y = (y,..., y ) ud = (,...,) mt Eträge a, erhält ma: (a + y) = (y + + y ) =<,y > y = ( ) = ( )(a a y ) Ausmultplzere ud ausquadrere beder Sete gbt: y = a + a y + y ( )a ( )a ( )y y + a y ( )a + ( )a 0 y + a ( ) y + a a 0 Fatorsert ma deses Polyom y u (y )(y ), so erhält ma für ud, = a ± ( a ) ( ) a + a = a ± a + a a ( ) a = a ± ( + )a ( ) a = a ( ) ± a ( ) a = a ± a a Da (y )(y ) 0 gelte muss ud < glt, folgt daraus y y ud da y belebg gewählt wurde, damt de Behauptug.. SATZ VON ERDŐS UND ALLAI De ächste Awedug geht zurüc auf de bede Mathemater Erdős ud alla. Be dem Bewes des vo he formulerte Satzes, hadelte es sch zuächst um ee geschcte Idutosbewes, doch eorge Pólya erlärte, we de erste Uglechug auch mt der Uglechug des arthmetsche ud geometrsche Mttels bewese werde a... VORBEREITUN Um de ächste Satz zu formulere, müsse zuerst de Begrffe tagetales Dreec sowe tagetales Rechtec gelärt werde. Des wetere werde Formel für de jewelge Flächehalte agegebe ud der Satz vo Erdős ud alla motvert. raz, November 03 0

11 Defto: Se p(x) e Polyom mt p(x) > 0 x (,) ud p( ) = p() = 0 da assozere wr das tagetale Dreec ud das tagetale Rechtec we de bede Szze. De Fläche der bede Objete werde auf folgede Wese ermttelt: Fläche des tagetale Rechtecs: Se p(x) e Polyom mt p(x) > 0 x (,) ud p( ) = p() = 0 da st de Fläche des tagetale Rechtecs gegebe durch: R = p(b) wobe b sodassp(b) = max x (,) p(x) Fläche des tagetale Dreecs: Se p(x) e Polyom mt p(x) > 0 x (,) ud p( ) = p() = 0 da st de Fläche des tagetale Dreecs gegebe durch: 0 falls p () = p ( ) = 0 T = p ()p ( ) p () p sost ( ) Erläuterug: Ma a lecht sehe, dass de Fläche des tagetale Dreecs geau y 0 se muss, falls (x 0, y 0 ) der Schttput der bede Tagete st. De lechuge der Tagete sd gegebe durch y = p ( )(x + ) ud y = p ()(x ). Daraus folgert ma lecht, dass x 0 = p ()+p ( ) p () p ( ) gelte muss ud somt y 0 = p ()( p ()+p ( ) p () p ( ) ) = p ()p ( ) p () p ( ). Im Fall p () = p ( ) = 0 ollabert das Dreec zu eer erade ud damt st de Fläche ull. Der Fall raz, November 03

12 p () = p ( ) 0 a uter gegebee Vorraussetzuge cht etrete, we folgedes Lemma zegt. Lemma Se p P mt p( ) = p() = 0 ud p ( ) = p () 0 da folgt x (,) sodass p(x) < 0 Bewes: Ageomme p P mt p( ) = p() = 0 ud p ( ) = p () 0 ud p(x) > 0 x (,). Ma ehme o.b.d.a a, dass p ( ) = p () > 0 ud stelle p der Form p(x) = p()+ p ()(x )+R p (x,) dar, wobe R p (x,) = x (x t) p (t)dt das Lagrage Restgled darstellt. Se u ɛ (0,), da folgt p( ɛ) = p ()( ɛ) ( ɛ t) ɛ p (t)dt. Durch partelle Itegrato erhält ma: p( ɛ) = p (( ɛ) t) ()( ɛ) p (t)dt ɛ = p ( ɛ) ( ɛ)t + t ()( ɛ) p (t)dt ɛ = p ()( ɛ) ((p (t) ( ɛ) ( ɛ)t + t = p ()( ɛ) ((p () ɛ + 0) = ( ɛ ɛ ) p ()+ ɛ ɛ (t +ɛ)p (t)dt = ( ɛ ɛ ) p ()+((p(t)(t +ɛ)) ɛ = ( ɛ ɛ ) p () >0 <0 <0 p(t) dt ɛ >0 >0 ) ɛ ɛ (t +ɛ)p (t)dt) ɛ p(t)dt) (t +ɛ)p (t)dt) < 0 zu p(x) > 0 x (,) raz, November 03

13 Motvato: esucht sd Schrae für T A ud R wobe A de Fläche uter der Kurve (,) des gegebee Polyoms st, also A = A p(x)dx ud R ud T de Fläche des tagetale Rechtecs ud des tagetale Dreecs. Betrachtet ma bespelswese de Polyome p (x) = x : so glt A = 4 +,T = ud R = ud daher T A > ud R A = + also erhält ma als Schrae ledglch T A < ud R R A. Dese Resultat st jedoch cht befredeged A ud es stellt sch de Frage, uter welche zusätzlche Bedguge teressatere Schrae gefude werde öe... FORMULIERUN Satz vo Erdős ud alla Se p(x) e reelles Polyom vom rad mt p(x) > 0 x (,) ud p( ) = p() = 0, desse Nullstelle alle reell sd, da glt: 3 T A 3 R lechhet glt bede Fälle geau da, we =...3 BEWEIS We berets erwäht lässt sch de le Uglechug mt Hlfe der Uglechug vom arthmetsche ud geometrsche Mttel zege. Des gelgt we folgt: Da p ur reelle Nullstelle bestzt, vo dee ee m Itervall (,) legt, a ma p folgedermaße darstelle. p(x) = L( x ) (α x) (β j + x) (.) j raz, November 03 3

14 wobe L > 0 der Letoeffzet des Polyoms p st ud α,β j glt. De Fläche A a somt we folgt berechet werde: L A = Durch de Substtuto x = x erhält ma ud somt L A = L A = ( x ) (α x) (β j + x)dx j ( x ) (α + x) (β j x)d x j ( x ) (α x) (β j + x)+( x ) (α + x) (β j x) j j dx Der Ausdruc m Itegral stellt u de arthmetsche Mttelwert zweer Zahle größer ull dar ud a daher mt der berets beate Uglechug folgedermaße abgeschätzt werde: = 4 3 ( x ) ( x ) (α ) j (α x ) (β j x )dx (α ) j (β j ) da j (β j )dx x dx = (x x3 3 ) = 3 ( 3 ) = 4 3 Nu berechet ma p ( ) ud p (), wobe ageomme werde a, dass bede uglech ull sd, da asoste T = 0 gelte würde ud damt de Uglechug trvalerwese erfüllt wäre. Ma seht u p p(x) p() p(x) () = lm = lm x x x x L( x)(+ x) (α x) j (β j + x) = lm x x = lm L(+ x) (α x) (β j + x) x = L (α ) (β j + ) j p ( ) = L (α + ) (β j ) erhält ma aalog j p ()p ( ) = 4L (α ) j p ()p ( ) = L j (α ) j (β j ) (β j ) raz, November 03 4

15 ud damt L A 4 p ()p ( ) 3 L A p 3 ()p ( ) Wedet ma u de Uglechug vom harmosche ud geometrsche Mttel auf p () 0 ud p ( ) 0, a so erhält ma A 3 p () + = 4 p ()p ( ) 3 p p ( ) () p ( ) = 3 T Ee ähere Betrachtug des Falls dem lechhet all dese Uglechuge glt, ergbt sofort de zwete Behauptug des Satzes. raz, November 03 5

16 .3 SATZ VON MANTEL We ma seht, st de Aalyss voll vo Uglechuge. Doch das ächste Awedugsbespel zegt, dass se auch der raphetheore vo Bedeutug sd. Der Bewes des ächste Satzes, be dem es sch streg geomme um ee star verefachte Form des Satzes vo Tura hadelt, wrd auf zwe Arte geführt, wobe eer de Uglechug vom arthmetsche ud geometrsche Mttel braucht ud der adere mt Hlfe der Cauchy-Schwarz sche Uglechug geführt wrd..3. VORBEREITUN Um de Satz zu formulere, braucht ma aber zuerst och de Begrff des vollstädg bpartte raphe. Defto: Se = (V,E) e efacher raph, da heßt bpartt falls glt: () A,B V A B = V ud v v j E (v A v j B) (v B v j A) heßt vollstädg bpartt falls () glt ud v A ud v j B v v j E Bespel für ee vollstädg bpartte raphe.3. FORMULIERUN Satz vo Matel Se e raph mt Ece ohe Dreece. Da hat höchstes Kate, wobe lechhet geau da glt, we gerade st ud der vollstädg bpartte raph K 4,. raz, November 03 6

17 .3.3 BEWEIS Se V = {,...,} de Ecemege ud E de Katemege vo. Mt d bezeche wr de rad der Ece. Es glt V d = E, was ma efach durch doppeltes Abzähle der Mege S V E erhält, wobe (v,e) S geau da, we de Ece v e Edput der Kate e st. Weters seht ma efach, dass d + d j gelte muss. Wäre ämlch d + d j > würde das bedeute, dass de Ece ud j mt mehr als Ece durch Kate verbude sd, was zur Folge hätte, dass mdestes ee Ece mt bede durch ee Kate verbude st ud somt e Dreec etstehe würde. Somt folgt d + d j E j E Da d de Azahl der Kate agbt, de vo der Ece ausgehe, seht ma, dass jedes d geau d mal der Summe vorommt ud daher glt E d + d j = d j E V Defert ma u de Vetore d = (d,...,d ) ud = (,...,) so glt d = V d ud =. Daher folgt aus der Cauchy-Schwarz sche Uglechug ud somt E d ( d ) = 4 E V E 4 Falls lechhet vorlegt sd. alle Uglechuge lechuge ud da de Cauchy-Schwarz sche Uglechug ur da ee lechug st, falls de Vetore lear abhägg sd, folgt d = λ ud damt sbesodere d = d j ud j. Aus V d = E = a ma u folger, dass d = gelte muss. Mt dese Egeschafte a es sch be ur um de vollstädg bpartte raphe K, hadel, we das folgede Lemma zege wrd. Lemma Se = (V,E) e efacher raph mt Ece der ee Dreece ethält ud es gelte E = 4 ud d =, da muss der vollstädg bpartte raph K, se. (.) Bewes: Se e belebger Kote V, da blde de Nachbar vo ee Mege A vo Kote, erhalb derer ee Kate verlaufe, da sost Dreece ethalte würde. Da ach Vorraussetzug aber d = glt, muss jeder Kote A mt de verblebede Kote verbude se. Be hadelt es sch u um ee efache raphe, also sbesodere um ee ugerchtete raphe, daher muss also auch jeder der Kote V A mt jede A verbude se, woraus sch auch ergbt, dass erhalb vo V A ee Kate verlaufe. Somt a es sch be ur um de vollstädg bpartte raphe K, hadel. raz, November 03 7

18 .3.4 BEWEIS Für de zwete Bewes müsse wr och de Begrff der uabhägge Mege defere. Defto: Se = (V,E) e efacher raph. Ee Mege U V heßt uabhägg falls für je zwe Kote U glt, dass se cht beachbart sd. Mt deser Defto lautet u der zwete Bewes we folgt: Se α de maxmale röße eer uabhägge Mege A ud β = a. Da ee Dreece ethält, blde alle Nachbar eer Ece ee uabhägge Mege ud daher glt scher d α. Se u B = V A, da exstert zu jeder Kate aus mdestes e Edote B. Zählt ma u de Kate vo, so erhält ma, dass E B d glt. Aus der Uglechug vom arthmetsche ud geometrsche Mttel folgt u E d αβ ( α+β B ) = 4 raz, November 03 8