(0) = 0 mit Mittelwert μi

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1 Semarvortrag vo Xaotog Guo am 26. Ma Da dvduelle Romodell 5. Eletug Geamtchadeumme (olletve Romodell) - N : de Azahl Ezelchde,ZV N S = X - X : de Schadehhe,ZV X t detch vertelt - N, X, X,... tochatch uabhgg 2 Geamtchadeumme (dvduelle Romodell) - : de Azahl Vertrge (Polce) S = S - S : Schade der -te Polce,ZV S tochatch uabhgg, cht ubedgt detch vertelt 5.2 Da dvduelle Modell Notato : Erwartugwert ud Varaz vo der Geammtchadeumme E( S) = E( S ) ud V( S) = V( S ) (5.) Notato2 : fall e Schade der -te Polce etrtt, de Schadeumme wrd al Zufallvarable mt Vertelugfuto 2 F modellert, o da F () = mt Mttelwert μ ud Varaz σ, S t defert al zuamegeetzte bomal vertelug, da de Schadeazahl der -te Polce B (, ) vertelt. Folgt au dem Paragrah de Formel (4.5) ud (4.6) ES = μ ud 2 V S = σ + μ (5.2) 2 ( ) t de Sterbewahrchelchet de Vercherugehmer der -te Polce. Wr ehme de folgede zwe Paragrahe a, da de Letug eer Lebevercherug fert t, o da μ Nebetrag vo -te Polce ud = fr alle. σ De Prl Reuroformel Ma a de Geamtchadevertelug m dvduelle Romodell mttel der De Prl Reuroformel aromere.

2 2 De Vertrge ee Portfolo werde Nebetrag- ud Sterblchetlae egeordet Aahme : Nebetrag eer Polce mt =, 2,..., I (I t gaze Zahl ) Sterbewahrchelchet der Polce dembetrachtete Haftugzetraum mt =, 2,..., J Azahl der Polce mt Sterbewahrchelchet ud Nebetrag mt =, 2,..., I =, 2,..., J g = Pr( S = ) de Wahrchelchet, da S geau Ehete betrgt. De Wahrchelcheterzeugedefuto der Schadeumme ee VN mt ud : P () r = + r Wege der Uabhägget der VN ergbt ch de Wahrchelcheterzeugedefuto der ZV S : I J () P r = + r = r g = Nach der Logarthmegeetze ergbt ch : = = + (5.3) = log P( r) log( r ) Idee : Da Zel t e, ee Idettät aufzubaue, de au der Erzeugedefuto P ud hrer Abletug beteht, ud dee Idettät auch al Potezfolge r darzutelle. Da öe wr mttel oeffzeteverglech der Poteze vo r, ee Formel für Abletug ach r : g herlete. d log P( r) dr P r r ' P () r = = () = + Multlzere rp () r, o da ' () = () = + rp r P r () = + = P r + = P() r =

3 3 = P r () ( ( )) = = P() r ( ) = = = P() r () = = Mt <, Verefache wr dee Formel al : rp r P r r ' () = () () = = (5.4) Wr defere de Futo Für =, 2,... I ot So da J (, ) = = h rp '() r P () r r h(, ) I = = (5.5) We wr de Wahrchelcheterzeugedefuto der ZV S : ud P () r = r g = = = = = rp '() r r r g r g I (5.5) Summeformel : Für =,2,3,... I I + = = = = = = = r g rg rh (, ) r gh (, ) (5.6) Auf der le Sete, der oeffzet vo r t g Auf der rechte Sete, um de oeffzet vo r zu fde, Summato vo gh(, ) über alle, mt, [ ] t de ächtleere gaze Zahl vo, o da [ ] g = g h(, ) =, 2, 3,... =

4 4 Dewege [ ] g = gh(, ) =, 2,3,... = Wel h (, ) = für > I,d.h. ollte m. vo ud I e, [ I] [ ] m, g = gh(, ) =, 2,3,... = Der Startwert der Reuroformel t g I J = ( ) = Se ee otve gaze Zahl, def. g = g (5.7) Ud g [ ] = [ ] m I, m(, ) = g (, ) h (5.8) Für =, 2,3,... I der Pra t = 4 aureched, ee gute Aromato für de Wahrchelchetfuto vo S erhalte. e < 2 Mt * m = { δ } g g e ( ) m * I J = = der mamale Geamtchadebetrag. Ud δ ( ) = (5.9) = 5.4 orya Methode orya Methode lefert u e Mttel, de Vertelug vo S zu aromere. Notato : = De Wahrchelcheterzeugede Futo vo S t P() r = ( + r ) Da + =, folgt : = + = + r +

5 5 = ( + r )( + ) I der Wahrchelcheterzeugede Futo vo S eetze, habe wr : P () r = ( + r ) ( + ) = A : < 2, da glt fr < Nach der Logarthmegeetze : log P( r) = log( + r ) log( + ) = Mt der Logarthmurehe + l = ud = + r bzw + = Def. Def. So da Ud def. = + ( r ) = = = Q () r = log P() r ud + ( r ) = = S() r = ( r ) = + Q() r = S() r = + Q() r = S() r = So da Wr we Q de erte -Terme vo Q ethlt Def. () = e { () } = = P r Q r r g ( ) { } P () r e Q () r r g = = (5.) =

6 6 Da Zel t de Werte vo g zu betmme, damt wr ( ) y ( ) g al Aromato fr = y g awede. = Wr utze her abolut Betrge vo mmer otv d. Wr chrebe Q () r al g, da de otruto cht gewhrletet, da dee Werte ( ) Q() r = r b = ( ) + = ( r ) (5.) = = Betmme b fr =, 2,3,... betrachte wr der oeffzet vo ( ) r der oeffzet vo r b ( ) = = = Um der oeffzet vo r mt ummere wr ber alle der oeffzet ft = + J = =, 2,3,... zu fde, wr me = zu lae, De Greze vo d folgede () mu der Teler vo e. () t der Nebetrag, I t der mamale Nebetrag. we = ud I, folgt I bzw. I. (B: = 6 ud I = 4, da = 2,3,6 ) () De obergreze der Geamtchadeumme etweder oder. (B: =4, de obergreze t 3, wel 4 t cht Teler vo 6.) Dewege, b ( ) m(, ) + J, = { I}, = = (5.2) Wobe bedeute telt, { I } bezechet de lete gaze Zahl groer glech I. we Für I, de utergreze der Geamtchadeumme t. g ( ) ( ) ( ) = b = =, 2,3,... mt ( ) { ( g ) = e b }. Vo Glechug (5.) ehe wr I der Summeformel P () r = Q () r P () r ' ' g (5.3)

7 7 ( ) ( ) y ( ) r g = r b r gy = = y= Vo der Glechug (5.3) folgt durch Suche vo der oeffzet Start Werte fr Reuroformel folgt vo { } { } P () = g = e Q () = e b ( ) ( ) Se > I, de Utergreze vo Summato (5.2) t groer al de Obergreze, b = für > I Dewege für =, 2, 3,... g m( I, ) ( ) ( ) ( ) = b g = Je grer t, deto beer de Aromato I der Praa a ma cho be der Werte vo =4 gute Reultate aromere. Uter der Aahme, < 3 fr alle wobe y ( ) g g { σ } u e y = = y 8 σ ( ) = 3( ) = + + (5.4) ory Methode t e effzet rechebetot Tool, welche efach awedbar t 5.5 De Zuammegeetzte Poo Aromato r De Vertelug der Geamtchadeumme a durch ee Zuammegeetzte Poo Vertelug aromert werde ud Fehlerchrae deer Aromato agegebe. De Aahme vo letztem zwe Paragrah, de Schadeumme fert, wrd achgelae. Dewege lafzere wr de Vercherugehmer cht mehr Sterbewahrchelchete ud Nebeträge der Polce. Se G de Vertelugfuto der Schadehöhe, de uter -te Polce augezahlt wrd. G efach Zuammegeetzte bomal vertelt. A : de Schädeumme d cht egatve ud = G ( ) = + F ( ) für ud für =, 2,..., ud G t gegebe durch, Wr habe G = G* G*...* G = * G 2 E t cht efach, de Faltug vo Zuammegeetzte bomal Vertelug darzutelle Idee : für =, 2,...,, Wr öe G durch P aromere, wobe P Zuammegeetzte Poo vertelt t ud aromere wr G durch P wobe

8 8 Da t P P * P = ee Zuammegeetzte Poo Vertelug, wr lege fet P e F * = =! für ud für =, 2,..., G, P Sd bede Zuammegeetzte Vertelug, habe uterchedlche chadeazahlvertelug, aber gleche dvduale Schadeummevertelug. E gbt zwe Wege :. =, o da erwartete Schadeazahl eate bomal Vertelug ud aromerte oo Vertelug glech t. 2. { } e =, o da Wahrchelchet vo ee Schade etrtt bede Vertelug glech t. Tabelle5.Methode Verglech vo Wähle vo = { } e = Pr( N > ) Pr( N > ) Tabelle 5. zegt u de Werte vo mt verchedee, ud de Werte vo Pr( N > ) mt N ~ P( ). E t lar, für lee, de zwe Methode fat gleche Werte vo zegt ud e gute Aromato zur B (, ) roduzert. De Wahrchelchet, da vo mehr al e Schade etrtt t uter ede aromato der oo Vertelug cht Null, aber geüged ahe zu Null. Da Hautergeb dee Paragrah t folgede : ( + e ) G P ( e + ( e ) ) (5.5) Für alle, wobe z + = ma(, z) ud z = m(, z ) Um dee Ergeb zu bewee, beötge wr zwe Hlfauage: ()See FGH,, Vertelugfuto ud ab, otate, o da für alle, da a F G b a F* H G* H b (5.6)

9 9 für alle Bew : F* H = F( y) dh( y) [ ] F* H G* H = F( y) G( y) dh( y) a F( y) G( y) b F = G = ()See { } ud { } Vertelugfuto ud a F G b Für alle ud für =, 2,...,, da glt a * F * G b (5.7) Bew : = a F G b = a * F * G b (5.8) a (* F)* F (* G)* F b (5.9) Alo a F G b Ereg (5.6) a F *(* G) G (* G) b (5.2) Addere (5.9) ud (5.2) t de Behautug. Jetzt bewee wr (5.5) Ererug Def. Vo G ud P : * G G = ud P = * P Wege (5.7) we wr Glechug (5.5) glt für alle Dewege zege wr für, wr habe G = + F ud P e F * = =! Zuert zur zege : Daher für () ( 2) ( + e ) G P ( e + ( e ) )

10 * = + =! G P F e F * * * = 2! = + F e F e F e F * ( e ) ( e ) F e F = 2! = + ( e ) + ( e ) F ( e ) + ( e + Da we ( e ) <, glt ( e ) F < = ( e ) + Oder we ( e ), glt ( e ) F = ( e ) F ( e ) Für (2) ) + + We F F für = 2,3, 4,... da * G P F e F * = + =! * =! + F e F e F ( e ) ( e ) F! = + = = ( e ) + ( ( e e )) F ( )!! = = ( e ) + ( ( e e )) F! = = ( e ) + ( ( e e e )) F = ( e ) + ( ( e )) F = ( e ) + ( e ) F ( e ) + ( e ) Da we e, glt ( e ) = ( e ) F Oder we e, glt < e ( F = e F e ) Wel z+ ( z) = z wr habe bewee G P ( e )

11 Wege Auage () habe wr (5.5) für abgechloe. 5.6 Numerche Illutrato Tabelle 5.2 zegt de Azahl der Vercherugahmer mt Nebetrag ud Sterbewahrchelchet m Alter für hyothetche Portfolo vo Lebevercherugolce. Tabelle5.2 Sterbewahrchelchet ud Nebeträge Ne- Sterbewahrchelchet Azahl der Alter Betrag 3 rate, Vercherugehmer Tabelle5.3 Eacte ud aromerte Werte vo Pr( S ) DP DPA 2 3 CP CP2 N Tabelle 5.3 zegt de eate ud aromerte Werte vo Pr( S ), welche durch bherge Verfahre ermttelt. DP bezechet de eate Werte, berechet mttel De Prl Reuroformel ; 2. DPA bezechet de Aromato baert auf De Prl Reuroformel gegebe be Formel (5.7)(5.8) mt =2 ; 3. 2 bezechet de Aromato be ory Methode mt =2 ; 4. 3 bezechet de Aromato be ory Methode mt =3 ; 5. CP bezechet de zuammegeetzte Poo Aromato mt = ; 6. CP2 bezechet de zuammegeetzte Poo Aromato mt = log( ), wobe de Sterbewahrchelchet de Vercherugehmer ; 7. N bezechet de Normale Aromato, wobe de Aromato ormal vertelt mt Mttelwert 7,3 ud Varaz 73,6

12 Au Tabelle 5.3 t de Aromato DPA,2,3 alle ehr gut, CP,CP2 t o, N(ormal Aromato) t chlecht. Bezüglch de erforderte Rechezet, alle Aromato a fat ofort alulert werde, da de eat Rechug och lagamer t. Für de Aromato baert auf De Prl ud orya Methode, t le, aber Fehler ede Aromato t auch le. De Prl Methode mt δ (2) =,9934 = 2 au der Formel (5.9) 4 2 Somt * m = { δ } g g e ( ) =,9934 ( ) 4 Wobe * m = 39 orya Methode mt σ (2) =,264 = 2 au der Formel (5.4) Somt y y ( ) u g g, 264 y = = Tabelle5.4 Werte vo h(,) h(,) h(,2) h(,3) h(,4) Ee Dartellug vo dee Argumet Paragrah 5.3 über de Wert vo h (, ) t fertgt, da h (, ) lee für groer. Tabelle 5.4 zegt h (, ) für =, 2, 3, 4 Für de zuammegeetzte Poo Aromato au (5.5) we wr, da de Dfferez zwche Vertelugfuto ud Aromato vo CP m Itervall (.38,.38) legt, de Dfferez vo Aromato CP2 m Itervall (,.39) legt. Au Tabelle 5.3 we wr zwche de eate Werte ud zuammegeetzte Poo Aromato de Dfferez gerade deem Itervall legt. De oeuez der Wahl vo Poo Parameter Aromato CP2 t, da de Aromerede Vertelugfuto mmer weger Werte al de echte Vertelugfuto emmt.