Mathematische Modellierung Lösungen zum 1. Übungsblatt

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1 Mathematsche Modellerug Lösuge zum Klaus G. Blümel Lars Hoege 6. Oktober 005 Aufgabe 1 a) Der Raumhalt vo eem Kubkmeter etsprcht gerade 1000 Lter, d.h. 1 m 3 = 1000 l. Reche zuächst 1 m 3 cm 3 um. E Meter etsprcht dabe 100 Zetmeter, d.h. 1 m = 10 cm. 1 m 3 = 10 cm) 3 = 10 3) cm 3 = 10 6 cm 3 Da 1 m 3 = 1000 Lter, muß ma u och durch 1000 = 10 3 tele, d.h cm l = cm3 10 l 6 3) cm3 = 10 l = 10 3 cm3 l E Lter etsprcht also dem Raumhalt 1000 cm 3. b) Betrachte zuächst, wevel e Dezmeter Klometer st. Wr wsse, daß 10 dm = 1 m ud daß 1000 m = 10 3 m = 1 km. Es sd also dm = dm = 10 4 dm = 1 km bzw. 1 dm = km = 10 4 km. Damt etsprcht 1 dm = 10 4 km) = 10 4) km = 10 8 km. c) Betrachte zuächst, wevel e Mllmeter Klometer st. Wr wsse, daß 1000 mm = 10 3 mm = 1 m ud daß 1000 m = 10 3 m = 1 km. Es sd also mm = mm = 10 6 mm = 1 km bzw. 1 mm = km = 10 6 km. Gegebe st e Kres mt dem Radus r = 0, 5 mm = mm = km = km. Bereche Umfag U ud Fläche A ach de bekate Formel: U = πr = π km = 10 π 10 7 km = π 10 6 km = 3, km A = πr = π km) = π km = 78, km 1

2 d) Wr wsse, daß de Bezechug µ für de Faktor 10 6 steht, d.h. 1 µm = 10 6 m bzw µm = 1 m. Der Radus des Kreses mt eer Fläche vo A = 10 m = µm) = µm ergbt sch durch Umforme der c) geate Flächeglechug: A A = πr r = π 10 r = 13 µm = 3, π 1 µm = 1, µm e) Zur Lösug deser Aufgabe sd zwe Umrechuge ötg. Zuächst muß de Läge umgerechet werde. Wr wsse, daß 1 Å = m bzw Å = 1 m ud damt 1 km = 10 3 m = Å = Å. Für de Zet glt: Ee Woche etsprcht 7 4 = 168 Stude bzw. ee Stude etsprcht 1/168 Woche Formel ausgedrückt: 1 h = w). Setze u bedes de Formal e ud löse auf: 60 km h = Å w = Å w = 1, Å w Das Auto bewegt sch also mt eer Geschwdgket vo 1, Ågstrøm pro Woche. Aufgabe Wr möchte de gegebe Werte durch ee Kosusfukto approxmere. Betachte dazu de efache Kosusfukto Et) = cost). Dese wrd mehrere Schrtte a de gegebee Werte agepaßt: 1. Skalerug des Wertebereches auf das Itervall 0,1]: Der Werteberech der Kosusfukto legt omalerwese m Itervall 0, π], se verhält sch zu desem Itervall perodsch. Um de Werteberech auf 0,1] zu skalere, muß de Varable der Fukto mt π multplzert werde. Et) = cosπt) 1). Skalerug des Wertebereches auf das Itervall 0,365]: Da de gegebee Werte de Verlauf der agesmttelwerte der Soeestrahlug über e Jahr beschrebe, muß der Werteberech der Fukto auf 0,365] etspreched 365 age m Jahr erwetert werde. Des errecht ma durch Dvso des Kosus-Argumets mt 365: ) πt Et) = cos ) 365 d Klaus G. Blümel, Lars Hoege Sete

3 3. Apassug des Fuktosmaxmums a das Estrahlugsmaxmum: De Kosusfukto aus Glechug ) hat hr Maxmum be 0. Das Estrahlugsmaxmum legt aber am 1. Ju vor, also am 17. ag. Um das Maxmum der approxmerede Fukto herher zu verschebe, wrd vo der Varable der Wert 17 subtrahert: ) πt 17 d) Et) = cos 3) 365 d 4. Apassug des Bldberechbrete a de Werteberech der Messwerte: Der Bldberech der Kosusfukto aus Glechug 3) legt m Itervall -1,1], de Messwerte lege hgegege m Itervall.01, 98.54]. Das Itervall der Messwerte hat ee Brete vo E = W/m. De Kosusfukto hat ee Ampltude, de der halbe Itervallbrete des Wertebereches etsprcht. Dese ka durch ee Faktor gedeht oder gestaucht werde. Um u de gewüschte Apassug des Bldbereches zu erreche, strecke wr de Ampltude durch Multplkato mt 1 E: Et) = W ) πt 17 d) m cos 365 d 5. Apassug des Bldbereches a de Werteberech der Messwerte: De Kosusfkto 4) legt och symmetrsch um de Abszsse bzw. um 0. Der Werteberech der Messwerte hgege legt symmetrsch um de Mttelwert E = W/m. Um de Fukto a dese Werteberech azupasse, hebe wr dese mttels Addto des Mttelwertes E a: Et) = W m cos πt 17 d) 365 d 4) ) W m 5) Mt Glechug 5) habe wr de gewüschte Approxmato gefude, we de Abbldug 1 zegt. 350 Approxmato Meßwerte Estrahlug W/m ) ag Abbldug 1: Dagramm der Messwerte für de mttlere Soeestrahlug über de age des Jahres mt approxmerter Fukto Et) gemäß Glechug 5) Klaus G. Blümel, Lars Hoege Sete 3

4 Aufgabe 3 I der Vorlesug wurde für de Summe der Abstadsquadrate de Formel Qm, b) = y mt b] 6) hergeletet. 1 De Summe wrd gerade da mmal, we der Gradet vo Qm, b) glech Null st. Blde daher de partelle Abletuge ach m ud b vermttels der Ketteregel ud setze dese glech Null: Qm, b) m = y mt b) t )] = Qm, b) b = y mt b) 1)] = y t mt ]! bt = 0 7)! y mt b] = 0 8) Glechug 8) ka ma u umforme, um ee Ausdruck für b zu erhalte. Dabe mache wr us zuutze, daß b ud m cht vom Laufdex abhägg sd. 0 = =:Y {}}{ y ] m b = Y m =: {}}{ t ] b] b = 1 Y m ) 9) b = 1 y ] m 1 t ] = y mt 10) } {{ } =:y } {{ } =:t Setzt ma u Glechug 9) 7) e ud formt um, erhält ma ee Ausdrück für m: 0 = 0 = y t mt 1 ] Y m )t y t mt 1 Y t + 1 ] m t y t ] 1 Y t ] = m t ] m 1 t ] m = y t Y ] 11) t Um ee Ausdruck mt der Covt, y) zu erhalte, setze wr Glechug 10) 7) e ud forme 1 Zur bessere Uterschedug verwede wr für de Begrezug des erms der Summe eckge Klammer. Klaus G. Blümel, Lars Hoege Sete 4

5 geschckt um : 0 = y t mt ] yt + mtt y t ] y ) ] t ] = m t t t ] y t ] yt t ] t y t ] yt yt + yt t ] t t + t y t ] yt ty + yt t ] t t + t y t ] yt ] y t] + yt] ] t t t + t ] y t yt y t + yt ] t tt + t ] t t)y y) ] Covt, y) t t) ] = Vt) 1) q.e.d. Aufgabe 4 a), b) ud e) Abbldug zegt ee Darstellug der gegebee Ewoherzahle über de Jahre mt egezecheter Regressoskurve. De Kurve wurde über über das Verfahre der Logarthmerug ud aschleßeder Awedug der Methode der kleste Quadrate gewoe sehe Aufagetel d)). Abbldug 3 zegt ee halblogarthmsche Darstellug der gegebee Ewoherzahle mt egezecheter Regressosgerade. De Gerade wurde über de Methode der kleste Quadrate ermttelt sehe Aufgabetel c)). c) Zuächst habe wr de Werte für de Ewoherzahle als log 10 ausgedrückt ud da de Methode der kleste Quadrate agewedet, um de Regressosgerade zu ermttel. Des st möglch, da de Darstellug gemäß der Form log 10 Ewoherzahl) = m Jahr + b 13) P Als Hlfestellug: t = 1 t t = P t t = t + t t = P {z } t Summade Klaus G. Blümel, Lars Hoege Sete 5

6 400 Azahl der Ewoher logarthmsche Regresso Ewoherzahl Mo Jahr Abbldug : Dagramm der Ewoherzahleetwcklug der USA m Zetraum 1900 bs 004 mt egezecheter logarthmscher Regressoskurve gemäß Glechug 13) ach Abbldug 3 schebar ee leare Zusammehag darstellt. De der Abbldug zugrude legede logarthmerte Werte sd abelle 1 egetrage. Jahr Ew. Mo log 10 Ew. 1,881 1,964,05,09,11,179,53,307,4,467 abelle 1: abelle der Ewoherzahle der USA verschedee Jahre Setzt ma de Werte der Jahre ud des log 10 Ew.) de Glechuge 11) ud 9) e, so erhält ma für de Stegug de Wert m = 5, Mo. Ew. Jahr ud für de Achseabschtt de Wert b = 8, 51 d) Mo. Ew. Jahr. De Regresoskurve ergbt sch durch Umkehre des Logarthmeres aus Glechug 13) log 10 Ewoherzahl) = m Jahr + b Ewoherzahl = 10 m Jahr+b 14) mt de Werte aus Aufgabetel c). Klaus G. Blümel, Lars Hoege Sete 6

7 .6.5 Azahl der Ewoher Regressosgerade.4 log 10 Ewoherzahl Mo.) Jahr Abbldug 3: Dagramm der Ewoherzahleetwcklug der USA m Zetraum 1900 bs 004 halblogarthmscher Darstellug mt egezecheter Regressosgerade gemäß Glechug 14) Aufgabe 5 A de gebeee Werte solle de Fuktoe f 1 t, a 0, a 1, b 1 ) = a 0 + a 1 cos π t ) f t, a 0, a 1, a, b 1, b ) = a 0 + a 1 cos π t + b 1 s ) + b 1 s π t π t ) ) + a cos 4π t ) + b s 4π t ) 15) 16) agepasst werde. Da de gegebe Werte zu äqudstate Zetpukte ermttelt wurde, köe wr ee verefachte Foureraalyse durchführe. De Parameter lasse sch da gemäß de Formel a 0 = 1 N N y a k = N N y cos π k t ) b k = N N y s π k t ) ermttel. Mt Hlfe ees abellekalkulatosprogramms Ope Offce) habe wr folgede Parameter berechet gerudet): a 0 = 9, 458 h a 1 = 8, 450 h a =, 849 h b 1 = 5, 333 h b =, 713 h 18) I Abbldug 4 sd de Messwerte gege de Zet aufgetrage, wobe de Datepukte jewels der Mtte des zugehörge Zettervalls egezechet sd. De dargestellte Fuktoe f 1 ud f habe ebefalls dese Korrektur erhalte. 17) Klaus G. Blümel, Lars Hoege Sete 7

8 emperatur C] emperaturwerte f 1 t,a 0,a 1,b 1 ) f a 0,a 1,a,b 1,b ) Zet h] Abbldug 4: Dagramm des emperaturverlaufs a eem Septembertag Studemttel) mt egezechete Fourer-Approxmatoe erster f 1 ach Gl. 15)) ud zweter Ordug f ach Gl. 16)) mt de Parameter 18) Klaus G. Blümel, Lars Hoege Sete 8