$Id: reihen.tex,v /12/11 13:20:28 hk Exp $

Transkript

1 Mathemat für de Phys I, WS 2017/2018 Motag $Id: rehe.tex,v /12/11 13:20:28 h Exp $ 5 Rehe 5.2 Grudegeschafte vo Rehe Wr wolle desem Abschtt och ee letzte allgemee Aussage festhalte. Wr wsse das ee Folge geau da overgert we se ee Cauchyfolge st, ud damt st es aheleged zu frage wa de Folge der Partalsumme eer Rehe ee Cauchyfolge st. Des führt da zum sogeate Cauchy-Krterum für de Kovergez vo Rehe. Tatsächlch st deses das ursprüglche Cauchy-Krterum, de Verso für Folge wurde erst später formulert. Satz 5.9 (Cauchy Krterum für Rehe) Se K {R, C}. Da st ee Rehe K geau da overget we es für edes ɛ > 0 e 0 N mt m a < ɛ für alle, m N mt m 0 gbt. Bewes: Ist (s ) N de Folge der Partalsumme der Rehe, so glt m a = s m s 1 = = für alle, m N mt m. De Behauptug folgt also aus dem Cauchy Krterum 4.Satz 16 für Folge. Das Cauchy-Krterum st eher für theoretsche Überleguge vo Bedeutug, be der Behadlug oret gegebeer Rehe ommt es ur selte zum Esatz. 5.3 Absolute Kovergez Im der letzte Stzug hatte wr berets , > 0, 86 > egesehe, be Äder der Summatosrehefolge eer Rehe a sch also der Grezwert der Rehe äder. Das st atürlch e eher uerfreulches Phäome. Vo 15-1

2 Mathemat für de Phys I, WS 2017/2018 Motag besodere Iteresse sd etzt de gute Rehe, de uabhägg vo der Summatosrehefolge mmer gege deselbe Wert overgere. Derartge Rehe et ma machmal ubedgt overget, es wrd sch aber glech herausstelle, dass es ee efache äquvalete Beschrebug gbt, de sogeate absolute Kovergez. Defto 5.2 (Absolute Kovergez) Se K {R, C}. Ee Rehe K heßt absolut overget, we de reelle Rehe overget st, we also < st. Letzteres glt dabe ach Satz 4.(b). Bespelswese st ede overgete reelle Rehe mt ur cht egatve Summade trvalerwese auch absolut overget, was scho ee große Tel userer bsher behadelte Bespele abdect. Nach Satz 1 st für edes q C mt q < 1 de geometrsche Rehe q absolut overget de de Rehe der Beträge q = q st weder ee overgete geometrsche Rehe. De geometrsche Rehe wrd sch als ees der wchtgste Bespele absolut overgeter Rehe herausstelle. Ncht absolut overget st dagege de Rehe =1 (1) /. Am Ede der letzte Stzug hatte wr de Begrff eer absolut overgete Rehe egeführt, des war ee Rehe be der de aus de Beträge der ezele Summade gebldete Rehe overgert. Wr wolle us überlege, dass de absolute Kovergez eer Rehe ee stärere Egeschaft als hre Kovergez st, des st zwar ahad der Defto cht offeschtlch, läßt sch aber mt dem Cauchy-Krterum des vorge Abschtts bewese. Lemma 5.10 (Absolute Kovergez mplzert Kovergez) Se K {R, C} ud se ee absolut overgete Rehe K. Da st auch overget ud es glt de Dreecsuglechug. Bewes: Für alle, m N mt m glt m a = m a ud de Kovergez vo folgt mt dem Cauchy-Krterum Satz 9 für Rehe. Mt 4.Lemma 2.(b) ud 4.Lemma 5.(a) folgt auch = lm a = lm 15-2 = a lm a =.

3 Mathemat für de Phys I, WS 2017/2018 Motag Damt st auch de Dreecsuglechug bewese. Geau we de Kovergez omplexer Rehe läßt sch auch de absolute Kovergez deser Rehe a Real- ud Imagärtel ablese. Lemma 5.11 (Absolute Kovergez omplexer Rehe) Ee omplexe Rehe st geau da absolut overget we de bede reelle Rehe Re() ud Im() absolut overget sd. Bewes: = Se absolut overget, d.h. es st <. Nach 3.Lemma 3.(a) ud Satz 4.(a) st da auch Re( ) Im( ) < ud <, d.h. de bede reelle Rehe Re() ud Im() sd absolut overget. = Da de bede Rehe Re() ud Im() absolut overgere sd A := Re(a ) < ud B := Im(a ) <. Nach 3.Lemma 3.(a) glt für edes N stets a 2 max{ Re(a ), Im(a ) } 2( Re(a ) Im(a ) ), also folgt für edes N auch a ( 2 Re(a ) ) Im(a ) 2(A B). Damt st 2(A B) < ud de omplexe Rehe st absolut overget. Isbesodere st damt ee reelle Rehe geau da absolut overget we se als omplexe Rehe absolut overget st, wr öe us also ereut de omplexe Fall als de allgemee Fall dee. We scho bemert sd de absolut overgete Rehe geau deege, dere Wert sch be belebger Umsorterug der Summade cht ädert. Wr werde etzt glech bewese, dass de absolut overgete Rehe tatsächlch dese Egeschaft habe. Zuvor müsse wr aber de Begrff des Umsorteres formal och etwas geauer fasse. Ee umsorterte Verso eer Rehe a 0 a 1 a 2 st ee Rehe der deselbe Summade ur eer ade- re Rehefolge auftrete, also ee Rehe der Form a π(0) a π(1) a π(2) wobe 15-3

4 Mathemat für de Phys I, WS 2017/2018 Motag π(0), π(1), π(2),... de etsprechede Idzes der Orgalrehe sd. Dass eder Idex N uter de π(0), π(1), π(2),... a geau eer Stelle auftaucht, bedeutet das es für edes N geau ee umsorterte Idex N mt π() = gbt. I adere Worte soll de Abbldug π : N N betv se. Damt öe wr usere Umordugssatz für absolut overgete Rehe formulere. Der Bewes wurde der Vorlesug ur sehr grob szzert, her wolle wr de vollstädge, exate Bewes vorführe. Lemma 5.12 (Umorduge absolut overgeter Rehe) Se K {R, C} ud see ee absolut overgete Rehe K ud π : N N ee betve Abbldug. Da st auch de umgeordete Rehe a π() absolut overget ud es glt a π() =. Bewes: Ist N, so setze wr := max{π(0), π(1),..., π()}, ud habe de Iluso {π(0), π(1),..., π()} {0,..., }, also auch a π() a a <. Nach Satz 4.(b) st a π() overget, d.h. auch a π() st absolut overget. Damt st de erste Aussage bewese. Isbesodere sd a π() ud ach Lemma 10 bede overget. Bezeche s := a ud s := a π() für edes N de ewelge Partalsumme. Wr wolle zege, dass de Dffereze (s s ) N ee Nullfolge blde. Se ɛ > 0. Nach dem Cauchy Krterum Satz 9 für Rehe exstert 1 N mt m a < ɛ = für alle, m N mt m 1. Wr setze 0 := max{ 1, π 1 (0),..., π 1 ( 1 )}. Se etzt N mt 0 gegebe. Da sd 0, 1,..., 1 1, π 1 (0), π 1 (1),..., π 1 ( 1 1) {0,..., }, also auch 0, 1,..., 1 1 {π(0), π(1),..., π()}. 15-4

5 Mathemat für de Phys I, WS 2017/2018 Motag Blde wr also de Dfferez s s = a a π(), so ommt eder der Summade a 0,..., 1 1 sowohl s als auch s vor, ud verschwdet der Dfferez. Vo s ud s verblebe da ur och Summade der Form a mt 1 ud {0,...,, π(0),..., π()}. Deege davo de s ud s voromme verschwde der Dfferez, ud de adere blebe mt evetuelle Vorzeche stehe. Setze wr also m := max{, π(0),..., π()}, so st m 1 ud es gbt ee Mege M { 1, 1 1,..., m} ud Vorzeche σ {1, 1} für M mt s s = M σ a. Mt der Dreecsuglechug folgt s s = σ a m a a < ɛ. M M = 1 Damt st (s s ) N ee Nullfolge. Mt de Grezwertsätze 4.Satz 6.(a,b) folgt schleßlch a π() = lm s lm s = lm (s s ) = 0. We scho erwäht sprcht ma auch davo das ee absolut overgete Rehe ubedgt overget st, also uabhägg vo der Summatosrehefolge stets deselbe Wert hat. Tatsächlch hadelt es sch be de absolut overgete Rehe auch geau um de ubedgt overgete Rehe. Wr wolle us etzt urz überlege, dass ma ee overgete, aber cht absolut overgete, Rehe stets so umorde a das se dvergert. Zuächst betrachte wr herzu de reelle Fall, es se also ee overgete reelle Rehe de cht absolut overget st. Da ee overgete Rehe mt ur postve oder ur egatve Summade auch absolut overget st, müsse da sowohl uedlch vele postve als auch uedlch vele egatve Summade voromme. Damt öe wr de Folge ( ) N ee postve Telfolge ( ) N ) N etele, es soll also ud ee egatve Telfolge ( { N} = { N 0} ud { N} = { N < 0} 15-5

6 Mathemat für de Phys I, WS 2017/2018 Motag gelte. Da = st, müsse = ud = gelte. Des bedarf eer lee Begrüdug, ehme also emal a, dass etwa der postve Tel < st. Wr betrachte da de durch { b, 0, := 0, < 0 für N deferte Folge. De Partalsumme der Rehe b sd da m wesetlche deselbe we deege der Rehe ur das edes Folgegled evetuell edlch oft wederholt wrd. Also st auch b overget. Damt st aber auch = 2 b overget, m Wderspruch dazu das als cht absolut overget vorausgesetzt st. Also st = ud aalog folgt auch =. Wege lm = lm = 0 gbt es e p N mt 1 < a < 0 für alle N mt > p. Setze q 0 := 1. Ist N ud st q N {1} berets defert, so st wege l=0 = auch l l=q 1 =, ud somt exstert e q 1 N mt l q 1 > q ud q 1 l=q 1 > 2. Weter defere wr de Zahle l 1 m := p 1 (q l1 q l 1) = q p 2 l=0 für alle N, also p 1 = m 0 < m 1 < m 2 < m 3 <.... Defere etzt de Umordug l, 0 l p, π : N N; l q lm 1, m l < m 1 1 für e N, p1, l = m 1 1 für e N. Setze M := p. Für edes N gelte m 1 2 l=m a π(l) = q 1 l=q 1 l > 2 ud m 1 1 l=m a π(l) = m 1 2 l=m also st für alle N ud alle m N mt m m 1 auch m a π(l) M. l= a π(l) > 1, p1

7 Mathemat für de Phys I, WS 2017/2018 Motag Des zegt a π() = ud sbesodere st de umgeordete Rehe dverget. Damt habe wr bewese, dass ma ee overgete, aber cht absolut overgete, reelle Rehe mmer so umorde a das de etstehede Rehe dverget st. Des a ma etzt lecht auf de omplexe Fall ausdehe. Ist z ee overgete, aber cht absolut overgete, omplexe Rehe, so sd ach Lemma 2 auch de bede reelle Rehe Re(z ) ud Im(z ) overget ud ach Lemma 11 st ee der bede Rehe cht absolut overget. We berets gezegt gbt es damt ee betve Abbldug π : N N so, dass Re(z π()) oder dvergert, ud weder ach Lemma 2 st damt auch habe wr damt de folgede Satz bewese: Im(z π()) z π() dverget. Isgesamt Satz 5.13 (Absolute Kovergez st ubedgte Kovergez) Se K {R, C}. Da st ee Rehe K geau da absolut overget we für ede betve Abbldug π : N N auch de umgeordete Rehe a π() overget st. Usere Argumetato m reelle Fall des obge Satzes a ma och etwas verfeer, ud erhält da de sogeate Remasche Umordugssatz: Satz 5.14 (Remascher Umordugssatz) Se ee overgete, aber cht absolut overgete, reelle Rehe. Da gbt es für edes a R stets ee betve Abbldug π : N N mt a π() = a. Bewes: Wr überehme de Bezechuge der obge Überlegug. Ist a = so habe wr berets alles bewese ud für a = a ma alles aalog zu obe bewese. Wr müsse also ur och de Fall a R betrachte. Wr setze p 0 := 0. Wege Wege =p = exstert e p 0 N mt p 0 > 0 ud p 0 1 < a. mt p 1 =0 p 1 =0 < a see scho defert. Se etzt N ud p, p = exstert da e mmales p 1 N mt p 1 > p ud p 1 1 =0 p 1 =0 > a. De Mmaltät vo p 1 ergbt da p 1 2 =0 p 1 =0 a, also st Da auch =p a < p 1 1 =0 p 1 =0 a p 1 1. = glt, gbt es aalog e mmales p 1 > p mt a p 1 1 p 1 1 =0 p 1 1 =0 < a. 15-7

8 Mathemat für de Phys I, WS 2017/2018 Motag Damt werde dutv zwe Folge (p ) N, (p ) N N defert, ud mt dese defere wr de betve Abbldug π : N N durch p π : N N;, we = p mt p 1 < p, N, 1 p, we = p mt p < p 1, N, wobe p 1 := 0 gesetzt st. I adere Worte sortert π de atürlche Zahle als 0,..., p 1, 0,..., 0 p 1,,..., 1 p 0 p 1,,..., 1 p 1 p 1,... 2 um. Wr behaupte das für dese Umordug a π() = a glt. Bezeche herzu (s ) N de Folge der Partalsumme deser Rehe. Se ɛ > 0 gegebe. Da ( ) N ach Lemma 3 ee Nullfolge st, exstert e 1 N mt < ɛ für alle N mt 1. Wähle, N mt 1 ud 1. Weter gbt es 1, 2 N mt p 1 ud p 2. Setze schleßlch 0 := 1 max{ 1, 2 } ud 0 := p 0 p 0 N. Se N mt 0. Da öe zwe verschedee Fälle auftrete. Fall 1. Es gebe, N mt p 1 < p ud = p. Wege 0 = p 0 p 0 st da 1 0 also 0 1 ud sbesodere 1. Weter sd p > p 0 p 1 ud p > p 0 p 2 also auch p 1 1 ud p 1 1, d.h. p 1 < ɛ ud p 1 < ɛ. Weter st s = a π() = p 1 p 1 p 1 a p 1 ud also sgesamt s = p 1 p 1 p 1 1 a p 1, a p 1 s a p 1, also s a max{ p 1, p 1 } < ɛ. Fall 2. Es gebe, N mt p < p 1 ud = p. Wege 0 = p 0 p 0 st 0 ud sbesodere 1. Weter sd p p 0 > p 1 ud p 1 > p 0 p 2 also auch p 1 1 ud p 1 1 1, d.h. < ɛ ud p 1 < ɛ. Weter ergbt sch p 1 1 s = p 1 p 1 1 p 1 a p

9 Mathemat für de Phys I, WS 2017/2018 Motag ud s = also st desem Fall p 1 p 1 p 1 a p 1, a p 1 s a p 1 1, also ereut s a max{ p 1, p 1 1 } < ɛ. Damt st bede Fälle s a < ɛ gezegt. Isgesamt habe wr damt a π() = lm s = a egesehe. Es verblebt de Frage wewet e aaloger Satz auch für omplexe Rehe glt? Dese Frage wrd durch ee Satz vo Stetz vollstädg beatwortet. Ageomme st ee overgete, aber cht absolut overgete, omplexe Rehe. Da betrachte wr de Mege { } L := a C Es exstert ee betve Abbldug π : N N mt a π() = a aller omplexe Zahle, de als Summe eer umgeordete Verso der Rehe auftrete öe. Der Satz vo Stetz sagt da, dass etweder L = C st oder L st ee Gerade. Des st scho e etwas omplzerteres Ergebs, desse Bewes wr her cht emal adeute wolle. Wr omme etzt zum rechersche Problem eer vorgelegte Rehe azusehe, ob se absolut overget st oder cht. Es gbt herfür zwar e allgeme awedbares mmer futoeredes Verfahre, aber doch ege Krtere de oft scho ausreche. I gewsse Se st de absolute Kovergez eer Rehe besser zu behadel als de Kovergez, da erstere ur vo der Größeordug der Summade aber cht vo Vorzeche oder Argumet abhägt. Das Grudrterum zum Eree absoluter Kovergez st das u zu formulerede Maoraterterum. Satz 5.15 (Maoraterterum für de absolute Kovergez) Se K {R, C} ud se ee Rehe K. Es gebe ee reelle Rehe M mt M 0 für alle N ud M <. Weter gebe es ee Kostate c 0 R ud ee Startdex 0 N mt cm für alle N mt 0. Da st de Rehe absolut overget. Bewes: Für edes N mt 0 st a 0 1 a c = 0 M 0 1 a c M <, also st de Folge der Partalsumme der Rehe ach obe beschrät, de Rehe st also ach Satz 4.(b) overget. Damt st absolut overget. 15-9

10 Mathemat für de Phys I, WS 2017/2018 Motag I dese Zusammehag et ma de Rehe M auch ee Maorate der Rehe. Wr wolle us e lees Bespel zur Awedug des Maoraterterums aschaue ud betrachte de Rehe s. 2 =1 Für edes N mt 1 habe wr wege s 1 auch s ud da wr berets wsse das de Rehe =1 1/2 overgert lefert das Maoraterterum de absolute Kovergez der Rehe =1 s()/2. Isbesodere st dese Rehe overget. De Kotraposto des Maoraterterums, bezehugswese ee lee Umformulerug deser, wrd gelegetlch als Moraterterum bezechet. Deses a ma bespelswese we folgt ausspreche, sd ee reelle oder omplexe Rehe ud b ee dvergete reelle Rehe mt b 0 für alle N, so st cht absolut overget. I der Tat, dass de chtegatve Rehe b dvergert bedeutet ach Satz 4.(b) a b = ud ach Satz 4.(a) st damt auch b =. Da deses Moraterterum damt ur e Spezalfall vo Satz 4 st, wolle wr es her auch cht als egee Satz festhalte. Spezalsere wr das Maoraterterum auf ee geometrsche Rehe als Maorate, so ergbt sch das sogeate Wurzelrterum, ud als ee wetere Spezalfall werde wr das Quoteterterum ee lere. Wr wsse das de geometrsche Rehe q für q C mt q < 1 absolut overget st, ud sbesodere trfft des auf reelle q mt 0 q < 1 zu. Dese Tatsache führt us auf das erwähte Wurzelrterum. Korollar 5.16 (Wurzelrterum für de absolute Kovergez) Se K {R, C} ud se =1 ee Rehe K. Da gbt es geau da e q R mt 0 q < 1 so, dass =1 q ee Maorate vo =1 st, we lm sup < 1 st. Isbesodere glt damt de Implato lm sup a < 1 = st absolut overget. =1 Bewes: Wr bege mt der erste Aussage ud zege deser bede Implatoe. = Es gebe also ee reelle Zahl q [0, 1) so, dass =1 q ee Maorate vo =1 st, d.h. es gbt ee wetere Kostate c 0 ud ee Idex 0 N mt 15-10

11 Mathemat für de Phys I, WS 2017/2018 Motag ud cq für edes N mt 0. Durch evetuelles Vergrößer vo c öe wr dabe c > 0 aehme. Für alle N mt 0 st da auch a c q, d.h. es glt ach 4.Lemma 12.(a) ud 4.Satz 11.(b) lm sup a lm sup ( c q) = lm ( c q) = q < 1. = Se u lm sup < 1 vorausgesetzt. Nach 4.Satz 11.(e) exstere da ee reelle Zahl q R ud e 0 N mt q < 1 ud < q für alle N mt 0. Isbesodere st auch q > 0 ud für edes N mt 0 glt q, d.h. =1 q st ee Maorate vo =1. Damt st de erste Aussage bewese. Setze wr also lm sup < 1 voraus, so bestzt =1 ee overgete geometrsche Rehe als Maorate ud st ach Satz 15 absolut overget. Ma a das Wurzelrterum auch ohe Verwedug des Lmes Superor formulere. Nach 4.Satz 11.(e) st de Bedgug a de Lmes Superor äquvalet zu (c R, 0 c < 1) ( 0 N) ( N, 0 ) : a < c. Oftmals wrd auch dese äquvalete Formulerug als das Wurzelrterum bezechet. I de allermeste Fälle, zumdest solage ma be de typsche Recheaufgabe blebt, st de Folge ( ) 1 sogar overget, ud da stmmt hr Grezwert ach 4.Satz 11.(b) mt dem Lmes Superor übere, also ergbt sch desem Fall de Implato a < 1 = st absolut overget. lm =1 Als e efaches Bespel wolle wr de Rehe =1 uter Verwedug des Wurzelrterums auf absolute Kovergez utersuche. Herzu bereche wr für edes N mt 1 2 = ud beachte lm 2 = 1 2 < 1, d.h. de Rehe st ach dem Wurzelrterum absolut overget. Bald werde wr auch der Lage se, hre Grezwert zu bereche. Das Wurzelrterum st cht dazu der Lage de absolute Kovergez oder hre Vereug scher zu etschede, das st auch vo vorhere cht zu erwarte, wr hatte a gesehe das das Wurzelrterum ur testet ob sch de Rehe durch ee overgete geometrsche Rehe maorsere 15-11

12 Mathemat für de Phys I, WS 2017/2018 Motag läßt. Ma a dem Wurzelrterum aber zumdest och ee recht prmtve Dvergeztest hzufüge, ämlch lm sup a > 1 = st dverget. =1 Um des achzuwese, beachte zuächst das der Lmes Superor der Folge ( ) 1 ach 4.Satz 11.(a) e Häufugsput deser Folge st, es gbt also ee Telfolge ( a ) N, de R gege s = lm sup > 1 overgert. Folglch gbt es auch e 0 N mt a > 1 für alle 0 ud damt st auch > 1 für alle 0, de Folge ( ) N st also scher ee Nullfolge. Damt st aber ( ) N ach 4.Lemma 1.(a) ebefalls ee Nullfolge ud ach Lemma 3 st de Rehe =1 dverget. Im verblebede Fall lm sup = 1 a ma dagege chts sage, de Rehe a overgere oder auch dvergere. Ist bespelswese N mt 1, so glt 1 lm = 1 ( lm ) = 1, aber für = 1 habe wr de dvergete harmosche Rehe währed de Rehe für 2 overgert. Aufgrud des Auftauches der -te Wurzel st das Wurzelrterum gelegetlch rechersch ur schwer zu überprüfe. Es gbt e weteres Krterum, das sogeate Quoteterterum, das oftmals zu lechtere Rechuge führt. Deses st e gewsser Spezalfall des Wurzelrterums, ud beruht auf eem allgemee Lemma über Folge des m Wurzelrterum vorommede Typs. Lemma 5.17: Se ( ) 1 ee Folge R >0. Da gelte (a) Es st lm sup a lm sup 1. (b) Es st lm f a lm f 1. (c) Ist de Folge (1 / ) 1 R overget, so st auch de Folge ( ) 1 R overget ud es glt lm 1 a = lm. Bewes: (a) Ageomme es wäre lm sup a > lm sup

13 Mathemat für de Phys I, WS 2017/2018 Motag Nach 4.Satz 11.(e) exstere da ee reelle Zahl q R ud ee atürlche Zahl 0 N mt q < lm sup, 0 1 ud 1 / < q für alle N mt 0. Isbesodere st q > 0 ud für edes N mt 0 st auch 1 < q. Für edes N mt 0 ergbt sch mt tererter Awedug deser Uglechug auch < q1 < q 2 2 <... < q 0 0, d.h. q 0 0. Für edes N mt 0 st folglch a a0 q 0 q ud mt 4.Satz 11.(b), 4.Satz 6.(b) ud 4.Lemma 12.(a) ergbt sch ( ) ( ) lm sup a0 a lm sup q q a0 = lm 0 q q = q < lm sup 0 a, e Wderspruch. Deser Wderspruch zegt (a). (b) Des st völlg aalog zu (a). Ageomme es wäre lm f a < lm f 1. Nach 4.Satz 11.(e) exstere ee reelle Zahl q R ud ee atürlche Zahl 0 N mt q > lm f, 0 1 ud 1 / > q für alle N mt 0. Isbesodere st q > 0 ud für edes N mt 0 st auch 1 > q. We (a) ergbt sch heraus auch q 0 0 für edes N mt 0. Für edes N mt 0 habe wr damt a a0 q 0 q ud mt 4.Satz 11.(b), 4.Satz 6.(b) ud 4.Lemma 12.(a) folgt ( ) ( ) lm f a0 a lm f q q a0 = lm 0 q q = q > lm sup 0 a, ereut e Wderspruch. Deser Wderspruch zegt (b). (c) Nach (a,b) ud 4.Satz 11.(b,c) glt 1 lm = lm f 1 lm f a lm sup a lm f 1 = lm 1, also st lm f a = lm sup a = lm

14 Mathemat für de Phys I, WS 2017/2018 Motag ud 4.Satz 11.(b,c) ergbt de Behauptug. Damt ergbt sch etzt das ageüdgte Quoteterterum. Korollar 5.18 (Quoteterterum für de absolute Kovergez) Se K {R, C} ud se ee Rehe K mt 0 für alle N. Da besteht de Implato lm sup 1 < 1 = st absolut overget. Bewes: Nehme wr lm sup 1 / < 1 a, so st ach Lemma 17.(a) auch lm sup 1 a lm sup < 1 ud das Wurzelrterum Korollar 16 lefert de Behauptug. Geau we bem Wurzelrterum wrd das Quoteterterum oft auch der Form (c R, 0 c < 1) ( 0 N) ( 0 ) : 1 < c formulert. I Aufgabe st ( 1 / ) 1 oft sogar overget, ud de Bedgug des Quoteterterums wrd da zu lm 1 / < 1. De obe behadelte Rehe =1 /2 a ma auch mt dem Quoteterterum reche, für edes N glt ( 1)/2 1 = 1 / < 1. Für e zwetes Bespel se z C gegebe ud wr wolle de absolute Kovergez der Rehe z! esehe. Für z = 0 st des lar, wr öe also z 0 aehme ud versuche das Quoteterterum azuwede. Für edes N habe wr z1 (1)! z = z 1 ( 1)!! z = z 0 < 1, 1! also lefert das Quoteterterum de absolute Kovergez userer Rehe auch für z

15 Mathemat für de Phys I, WS 2017/2018 Motag Das Lemma 17 zegt, dass das Wurzelrterum stärer als das Quoteterterum st, wa mmer ma de absolute Kovergez eer Rehe mt dem Quoteterterum esehe a, so würde auch das Wurzelrterum futoere. Es gbt Rehe be dee das Wurzelrterum awedbar st, das Quoteterterum aber cht. Wr wolle auch herfür e Bespel agebe, de Rehe also =1 mt , = { 1, 2 (1)/2 st ugerade, 1, 3 /2 gerade. Versuche wr zuerst emal das Quoteterterum. Für edes N mt 1 st {( a 2 (1)/2 1 = 3), st ugerade, ) /2, st gerade, 1 2 ud dese Folge hat de bede Häufugspute 0 ud, also st ( 3 2 lm sup 1 =. Das Quoteterterum läßt sch her also cht awede. Für das Wurzelrterum reche wr dagege für edes N mt 1 a = { , 1 3, st ugerade, st gerade, also habe wr desmal de bede Häufugspute 1/ 2 ud 1/ 3 ud es folgt lm sup a = < 1. Das Wurzelrterum st also awedbar, ud lefert de absolute Kovergez der Rehe. Beachte das deses Bespel sbesodere zegt, dass aus lm sup 1 / > 1 cht de Dvergez der utersuchte Rehe folgt. De Dvergez folgt dagege aus lm f 1 / > 1, de da habe wr ach Lemma 17.(b) ud 4.Satz 11.(c) auch lm sup a lm f 1 a lm f ud wr hatte berets gesehe das des de Dvergez der Rehe mplzert. Ist de Folge ( 1 / ) N overget mt lm 1 / > 1, so st ach 4.Satz 11.(b) auch lm f 1 / = lm 1 / > 1, ud de Rehe st dverget > 1,