FInAL. Übungen mit Lösungen zur Mathematik für Wirtschaftsinformatik. Ulrich Hoffmann

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1 Jhrgg, Het, Otober, ISSN IAL Übuge t Lösuge zur Mthet ür Wrtschtsort Ulrch Ho Techcl Reports d Worg Ppers Leuph Uverstät Lüeburg Hrsg der Schrtrehe INAL: Ulrch Ho Schrhorststrße, D-5 Lüeburg

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3 Übuge t Lösuge zur Mthet ür Wrtschtsort Leuph Uverstät Lüeburg Pro Dr rer t Ulrch Ho Otober

4 De olgede Übugsugbe erorder gelegetlch ege egee Gede Btte lsse Se sch cht etutge, we Se cht er soort u de Lösug oe Btte versuche Se, de Augbe selbstädg zu löse Zu st lle Übugsugbe werde Lösuge beretgestellt De Übugsugbe sd ch de ezele Kptel der Vorlesug gruppert Wetere Übugsugbe de sch der gegebee Ltertur De Übugsugbe sd geäß hre Schwergetsgrd durch Stere de Augbeuer t olgeder Bedeutug lsszert: ohe Stere e Ster [ * ] zwe Stere [ ** ] De Augbe sollte selbstädg gelöst werde, chde der etsprechede Sto der Vorlesug behdelt wurde ud ohe de Musterlösug zu Hle zu ehe De Augbe st etws schwerger ud erordert evetuell ege egee Überleguge Se sollte jedoch trotzde selbstädg gelöst werde, ohe de Musterlösug zu Hle zu ehe Evetuell hlt uch e tesverer Blc ds Vorlesugssrpt oder de chltertur Se sollte sch zuächst ohe Zuhlehe der Musterlösug der Augbe versuche, uch we se Ihe ls schwerg erschet Hwes: De olgede Übugsugbe sd telwese der gegebee Ltertur etoe Übugsugbe zu Kptel 7 Ausgewählte Thee zur Whrschelchetstheore ud Sttst werde später beretgestellt

5 Ihltsverzechs Sete Übuge zu : Grudlegede Detoe ud Bezechuge 5 Übuge zu : Abblduge Übuge zu : Ausgewählte Thee der eleetre Zhletheore Übuge zu : Ausgewählte Thee der Kobtor 6 Übuge zu 5: Ausgewählte Thee der Alyss 9 Übuge zu 6: Ausgewählte Thee der Lere Algebr Lösuge der Übuge zu 6 Lösuge der Übuge zu Lösuge der Übuge zu 5 Lösuge der Übuge zu 65 Lösuge der Übuge zu 5 7 Lösuge der Übuge zu 6 99

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7 Grudlegede Detoe ud Bezechuge Augbe : ohe Lösuge Bewese Se de der Vorlesug cht bewesee Aussge us Stz - Augbe : ohe Lösuge Stelle Se de Whrhetstel ür de Tutologe Stz - u Augbe : Es see P, Q ud R Aussge Welche der olgede Aussge sd Tutologe? P Q R P Q P Q R P Q b P Q R P Q R c P Q R P Q R d P Q Q P e P Q P R Q R P Q Q R Augbe : Zege Se: Durch de estlegug geu d, we de Zhl ohe Rest telt wrd ee prtelle Ordug u N \ { } deert Ist dese Relto ee totle Ordugsrelto?

8 6 Grudlegede Detoe ud Bezechuge Augbe 5 [*]: Es se Zege Se: M N N Durch de estlegug, l, geu d, we l glt wrd ee Äquvlezrelto u M deert Gebe Se e, 5 t, 5 y 5, t y 5, ud z, t z, Beschrebe Se, 5, 5, ud,, Augbe 6: Es se ee Äquvlezrlto u der Mege M, ud es see Se: Es glt b b st geu d, we b ür jedes M ud jedes M c M M M ud b M Zege b st etweder b oder b u der le Sete des Glechhetszeches steht de Veregug ller Äquvlezlsse, de t Eleete us M blde Augbe 7: Ds DIN-A-ort ht de Egescht, dss ds Verhälts Läge der lägere Sete ees Bltts zu Läge der ürzere Sete ees ltts uch d erhlte blebt, we ds Bltt der Mtte der lägere Sete zuseltet Außerde sd bede Sete uterschedlch lg We lutet deses Verhälts? Ds DIN-A- -ort st ddurch deert, dss e Bltt ee läche vo bestzt Wrd e Bltt DIN-A--ort -l jewels der lägere Sete der Mtte geltet, so erhält e

9 Grudlegede Detoe ud Bezechuge 7 Bltt DIN-A--ort Welche Seteläge hbe de lägere ud de ürzere Sete ees Bltts DIN-A--ort? Augbe 8: De olgede Telugbe sd jewels durch vollstädge Iduto zu bewese Zege Se: 6 b Zege Se: c Zege Se: d Zege Se: ür jedes 6 st 7 e [*] Zege Se: De Sue st ee Qudrtzhl [**] Ee Aussge glt ür st lle N, we se ür lle N t höchstes edlch vele Aushe glt, dh we es e N gbt, so dss de Aussge ür lle glt Zege Se: ür st lle N st ür st lle N st ür st lle N st Es se N ee este türlche Zhl t D glt ür st lle N Hwes: Multplzert us, so erhält ds wrd spätere Kptel t gezegt

10 8 Grudlegede Detoe ud Bezechuge g Es se N ee -er-potez, dh t N Es gelte ür ür T T Zege Se: ür jedes N der or t N st T T Augbe 9: Ergäze Se de olgede Glechuge de durch? rerte Stelle:? 5? b?? c 7 6?? Augbe : Vereche Se de olgede Sue, sowet es geht: b 5

11 Grudlegede Detoe ud Bezechuge 9 Augbe : Bereche Se 5 t Hle der Prtlbruchzerlegug Augbe [*]: De edlche Sue wrd qudrert, dh es wrd or gebrcht Beste Se ud 5 gebldet, ud d de

12 Abblduge Augbe : Bewese Se Stz - ud Augbe : Gegebe see de bede Abblduge \ : R R ud 5 \ : g R R Zege Se, dss jetv st b Zege Se: \ \ R R c We lutet de Uehruto zu \ \ : * R R? d Bereche Se de utosvorschrt vo R R \ : g Augbe : Sd de olgede bede Abblduge surjetv bzw jetv? z y y z y,,, : R R R R R, y y y g,,, : R R R R R

13 Abblduge Augbe [*]: Es see A ud B Mege ud : A B ee Abbldug Beschrebe de olgede bede Vorschrte wrlch Abblduge zwsche de Potezege vo A bzw B? P A : U P B U P B P A G : V V Herbe st V v vv Verzere Se t ee eche Bespel ür, A ud B, dss ud G cht zueder vers sd Augbe 5 [**]: b c Jede Telege eer bzählbre Mege st bzählbr De Mächtget eer uedlch bzählbre Mege ädert sch cht, we edlch vele Eleete etert De Veregug bzählbr veler bzählbrer Mege st weder bzählbr Augbe 6: Es see A ud B Mege ud : A B ee Abbldug Zege Se: Durch ~ b geu d, we b glt wrd u A ee Äquvlezrelto deert Beschrebe Se de Äquvlezlsse vo we jetv st ~,

14 Ausgewählte Thee der eleetre Zhletheore Augbe : Es se p ee Przhl Zege Se: De Zhl 6 st e Teler vo p oder vo p 5, dh p od 6 oder p 5 od 6 b Zege Se: Ist vo 6 uederolgede Zhle de leste größer ls, so sd höchstes zwe deser Zhle Przhle Augbe [*]: Gegebe see uederolgede Zhle, dere leste st Zege Se: Uter dese Zhle sd destes 5 uederolgede zusegesetzte Zhle Wevele Przhle sd uter dese Zhle höchstes? Augbe : Bereche Se od ud 5678 od 5 Augbe : Zege Se: ür jedes Z glt etweder od oder od b Kee der Zhle Dezlschrebwese,,,, st e Qudrt Hwes: ühre Se de Ahe, de gegebee Zhle see Qudrte t Hle des Ergebsses vo Augbe u ee Wderspruch c [*] Kee der Zhle Dezlschrebwese,,,, st e Qudrt

15 Ausgewählte Thee der eleetre Zhletheore Augbe 5 [*]: Zege Se: Es gbt e Z t od 5 Hwes: Utersuche Se zuächst de älle, dss estellg oder zwestellg st, ud d erst de llgeee ll Augbe 6: ür welche N st e Teler vo? Augbe 7: Zege Se: Es gbt uedlch vele N t od 5 b Es gbt uedlch vele N t od c Es gbt uedlch vele N t od7 Augbe 8: Beste Se gze Zhle ud b t 8 b 5 ggt 8, 5 b Beste Se gze Zhle ud b t 98 b 8 ggt 98, 8 Augbe 9: Bereche Se ür jedes Z Z de Werte od, jewels ür =,, Bereche Se de Werte dbe durch suzessve -che Multplto, wobe Se ch jede Multpltosschrtt odulo reduzere Bespelswese wrd cht erst 96 berechet ud d odulo reduzert, soder es wrd berech- l

16 Ausgewählte Thee der eleetre Zhletheore et ud ch jeder ezele Multplto der Rest odulo bestt ud t dese Rest wetergerechet b Bereche Se we Augbe ür jedes Z 5Z de Werte od, jewels ür =,, Augbe [**]: Es see ggt N ud N, ür Beste Se ggt, 9,, 7 ggt ud Hwes: Beste Se zuächst ggt, 9 ud ggt, 7, de Se ege Werte ür usprobere Versuche Se d u de llgeee ll ggt, zu schleße [**] Augbe : Beste Se lle verterbre Eleete Z Z, dh lle Z Z, ür de es e b Z Z gbt t b od b Löse Se de Glechug 7 Z 5 Z Augbe : Bereche Se Augbe : Es se p ee ugerde Przhl ud N Wru st p e Teler vo p? b Wru hbe Dezlsyste ür lle Zhle N de Werte ud 5 deselbe Edzer? Augbe :

17 Ausgewählte Thee der eleetre Zhletheore 5 Mt Hle vo Stz - häug große Potezreste ech bereche Be spelswese st od Sche uter Awedug vo Stz - de Werte 5 Bereche Se ch dese 5 od 7 b 8 od7 c 7 od9 d [*] p od p t eer Przhl p 7 e od 7 Augbe 5: Zege Se t Hle vo Stz -: ür jedes N st e Teler vo b ür jedes N st 5 5 ee türlche Zhl

18 Ausgewählte Thee der Kobtor Augbe : Es se p de Azhl öglchlcher Tpps be Lotto us 9 Zhle werde 6 Zhle gereuzt De Whrschelchet, 6 Rchtge zu hbe, st d p Bereche Se dese Wert Augbe : Es see R ud N Bereche Se: b c Augbe : Es se p ee Przhl Zege Se: ür jedes R ud jedes R y st od p y y p p p Augbe : Zege Se: ür jedes N ud jedes R t glt

19 Ausgewählte Thee der Kobtor 7 Augbe 5 [**]: Es see N, N ud N Zege Se: Hwes: Wede Se u bede Sete der Glechug de Iterpretto der Boloezete, we se Stz - gegebe wrd Augbe 6: Es se M ee edlche Mege Zege Se, dss M geuso vele Telege t gerder Mächtget we Telege t ugerder Mächtget bestzt Augbe 7 [*]: Bereche Se! ür =,,, Versuche Se, us dese Ergebsse u de Azhl vo Nulle zu schleße, t dee! Dezlsyste edet b Es se N Zege Se de Gültget vo! 5! Augbe 8: Es see A,,,, 5 ud u, v, w,, y, z B Wevele jetve Abblduge : A B gbt es? b [**] Wevele jetve Abblduge : A B gbt es, de zusätzlch v ud w, u ud w, ud v ud ud y erülle?

20 8 Ausgewählte Thee der Kobtor Augbe 9: Beste Se t Stz - de Azhl der türlche Zhle t, de cht durch, oder 5 telbr sd b [**] Beste Se de Azhl der gzzhlge Lösuge der Glechug 8, t der Zustzbedgug 7 ür =,,,

21 5 Ausgewählte Thee der Alyss Augbe 5: Versuche Se durch uersche Rechuge estzustelle, welche Grezwert, we überhupt, de jewelge olge hbe: N, ür b,7,,7 ür,, ür c [**] Augbe 5: Beste Se de Grezwerte lls se überhupt estere der chstehede olge ür : b N N c N Augbe 5: Zege Se durch Awedug der Deto der Kovergez, dß ür de olge de Aussge l N t glt Mt welche N beged st?

22 5 Ausgewählte Thee der Alyss Augbe 5: Bereche Se 5 b c 5 d Augbe 55 [*]: Kovergere de olgede Rehe? Begrüde Se Ihre Atwort b! c! 5 Augbe 56 [*]: De olge se deert durch N Versuche Se estzustelle, we groß N se uß, dt bzw glt

23 5 Ausgewählte Thee der Alyss Hwes: Versuche Se, der chltertur ee orel zu de, t der sch bschätze läßt Stchwort: Hrosche Zhl Augbe 57: Gebe Se ür de olgede utoe : X R t X R de jewelge le Detosberech : 9 b 9 c d e Augbe 58: Gegebe se de uto, b, : Beste Se de Zhle ud b so, dß bjetv st Augbe 59: Welche Mootoeegeschte bestzt de durch deerte uto Itervll [, ]? Zege Se, dss se dese Itervll cht ove st

24 5 Ausgewählte Thee der Alyss Augbe 5: Szzere Se de olgede utoe :R R t b c d Zur Ererug: ür R st de größte gze Zhl Augbe 5: E Wert c X heßt put eer uto : X Y, lls c c glt Beste Se lle pute der uto R R : 8 b Beste Se lle pute der uto R R : c Der Detosberech X vo bestehe us lle Zecheette, de t Hle des Alphbets A = {A, B, C,, Z,, b, c,, z} gebldet werde öe schrebt dür uch X = A* De Abbldug bldet Zecheette us A* u dere Zecheette us A* b, ud zwr wrd durch ee Zecheette zz z z de hrer Buchstbeolge ugeehrte Zecheette bgebldet: zz z z zz z z De Läge eer Zecheette st ls de Azhl hrer Buchstbe deert

25 5 Ausgewählte Thee der Alyss Beste Se ee put der Läge ud ee put der Läge Beschrebe Se de pute der Läge ud der Läge ür jedes N Augbe 5: Beste Se lle reellwertge Nullstelle der durch olgede Glechuge p t R deerte Polyoe: 5 p 6 Hwes: Ee Nullstelle legt zwsche,5 ud,5 b p 5 c p d p t N Hwes: Uterschede Se de bede älle, dss gerde bzw ugerde st Augbe 5: Beste Se Detosberech, Nullstelle, Pole, behebbre Ustetgetsstelle ud Asyptote ür der olgede durch deerte gebroche rtole utoe, ud szzere Se de jewelge Kurveverlu b 5 c

26 5 Ausgewählte Thee der Alyss Augbe 5: Bereche Se l b l c [*] l t N ud N Augbe 55: I der Deto der olgede uto :R R ot ee Kostte R vor: ür ür ür,,, Ist der Stelle stetg? Welche Wert uss ür esetze, dt der Stelle stetg wrd? Augbe 56: De utoe ud g see durch ud g ür R deert Beste Se ud b Beste Se g g ud g g c We de Ergebsse ud b terpretere?

27 5 Ausgewählte Thee der Alyss 5 Augbe 57 [*]: I olgede sd jewels ver utoe :N R gegebe, de be wchsede Arguetwert verschede schell wchse Welche vo he wächst schellste, welche zwetschellste, welche drttschellste ud welche lgsste? 5 log log b log log log Augbe 58: Bereche Se de erste Abletug der olgede utoe : X R : b 6 5 c e l d e l l

28 6 5 Ausgewählte Thee der Alyss Augbe 59: Ds Polyo p vo Grd > bestze be ee doppelte Nullstelle Etschede Se, ob p be ee Etrewert oder ee Wedeput ht Hwes: M p p t p schrebe Wede Se zur Abletug u dese Glechug de Produtregel Augbe 5 [*]: Gegebe se ds Polyo p t N t ür welche N ht p be ee Wedeput, ud ür welche N ee Etrewert? Etschede Se, ob es sch u e Mu oder e Mu hdelt Augbe 5: Der Abstzverlu ees Produts se jede Zetput t durch de uto R R : t t t e Produtlebeszylusuto beschrebbr b c d W st der Abstz l? W t der Abstz zu, ud w t er b? W stegt der Abstz schellste? Beste Se le Bereche, dee de uto ove bzw ov st e Szzere Se de Kurveverlu vo

29 5 Ausgewählte Thee der Alyss 7 Augbe 5 [*]: Ee Größe wrd über ee gewsse Zetru beobchtet Dbe wrd estgestellt, dß de Werte,,, ud ee dere Werte t Gesucht wrd ee ür lle Beobchtuge repräsettve Größe s Es erschet verütg, s so zu wähle, dß s de ttlere qudrtsche Abwechug q S S ert, dh s st gerde der Wert uter lle öglche Werte vo S, der zur le ttlere qudrtsche Abwechug ührt Beste Se s Augbe 5: Bereche Se t Hle der Regel vo de l'hosptl 6 l 6 b e e l l c d l l e t N ud N e l l l Augbe 5: Beste Se de ezge postve Nullstelle des durch p deerte Polyos t Hle des Newtoverhres

30 8 5 Ausgewählte Thee der Alyss Augbe 55: Beste Se u Dezlstelle geu Augbe 56: Beste Se de Tyloretwclug -ter Ordug der Stelle ür de uto, : R Bereche Se dt ee Näherug ür Augbe 57: Ds Polyo p werde durch p deert Beste Se Zhle,,, ud so, dss p glt Etwcel Se dzu ds Polyo e Tylorpolyo t eer geegete Ordug Augbe 58 [**]: Bereche Se Hwes: Beste Se dzu de Tyloretwclug der Stelle der durch deerte uto

31 5 Ausgewählte Thee der Alyss 9 Augbe 59: Bereche Se ds Tylorpolyo 5-ter Ordug T 5 ür de durch e deerte uto der Stelle Köe Se ee ehetlche orel ür gebe, de ür jedes N glt? Gbt es och ee echere Weg, u T zu bereche? 5 Augbe 5: N I deser Augbe st de olge der bocc-zhle sehe Kptel 5 ud Zege Se: b c d ür e st geu d gerde, we durch telbr st [*] st geu d durch telbr, we durch 6 telbr st g [*] st geu d durch 5 telbr, we durch 5 telbr st h [*] Ist durch telbr, so st durch telbr Augbe 5: E Bärbu heßt vollstädger Bärbu, we jedes Nveu, bs u ds höchste Nveu, t der le Azhl Kote belegt st Au de höchste Nveu stehe lle Kote öglchst wet ls

32 5 Ausgewählte Thee der Alyss De Kote ees vollstädge Bärbus t Kote werde beged be der Wurzel ch ustegede Nveus ud u jede Nveu vo ls ch rechts t de Nuer,,, uerert b Welche Nuer beot dbe jewels der Kote ees Nveus, der gz ls steht? E Kote, der zwe Ncholger ht, hbe deser Nuererug de Nuer Welche Nuer hbe de bede Ncholger? Augbe 5: b Bereche Se d, ud zwr b c dret ch Ausultplzere t der Regel der prtelle Itegrto t Substtutosregel Augbe 5: Bereche Se d b Bereche Se d t c ür welche Wert ht de durch t e dt deerte uto ee Etrewert? Hdelt es sch u e Mu oder Mu? We groß st der Etrewert?

33 5 Ausgewählte Thee der Alyss Augbe 5: Beste Se de durch de Grphe der olgede utoe egeschlossee lächestüce, g,, b, 8, g h c 7, g, h Augbe 55 : b Bereche Se e d b Etwcel Se ür b dt l d ee Reursosorel ür b l d ud bereche Se c Bereche Se d l b

34 6 Ausgewählte Thee der Lere Algebr Augbe 6: Gegebe see de Mtrze 5 A B C=, ud 5 9 Bereche Se AB C ABC ud Augbe 6: Es see A ud B Mtrze Uter welche Bedguge glt der bosche Lehrstz AB A AB+B? Wähle Se ls Bespele ür A ud B de Mtrze A B ud bzw A B ud 5 Augbe 6: ee Mtr De zu A trspoerte Mtr st de Mt- Es se j r A T =A T,, j A=A,,,,, j,,,,, j,, t, j j, lso Zele vo A zu Splte vo A T ud ugeehrt Zege Se: A T T A, dh zwelge Trsposto hebt sch u; Be Vorgg der Trsposto werde T T AB B A T, dh Trsposto ehrt de Reheolge der Multplto u

35 6 Ausgewählte Thee der Lere Algebr b Welche Egeschte hbe de Mtrze AA A A T T ud? Sd dese Mtrze er deert? Augbe 6: Sd olgede Mege vo Vetore jewels ler-ubhägg oder ler-bhägg?,, b, c, d De Mege b c,, bestehed us dre Vetore se ler-ubhägg Glt deses d uch ür de Mege b b c c,, ud b b c c,,? Augbe 65: Löse Se de lere Glechugssystee 9 7 b c 7 9 5

36 6 Ausgewählte Thee der Lere Algebr d 8 e 5 Augbe 66: Gegebe se ds lere Glechugssyste t R ür welche Werte vo ht ds Glechugssyste ee edeutge Lösug, ee Lösug bzw uedlch vele Lösuge? Augbe 67: Beste Se de jewelge Rg der olgede Mtrze: b Augbe 68: Beste Se zu de olgede Mtrze jewels de verse Mtr: 5 b

37 6 Ausgewählte Thee der Lere Algebr 5 Augbe 69: Zege Se, dss ür de Mtr A A T A - T glt:

38 Lösuge der Übugsugbe Augbe : Es hdelt sch u ee Tutologe b P Q R P Q R st ee Tutologe: ür de Belegug vo P, Q ud R jewels t ALSCH ergbt sch ls der Whrhetswert WAHR d P de Whrhetswert ALSCH bestzt ud rechts der Whrhetswert ALSCH d P Q de Whrhetswert WAHR ud R de Whrhetswert ALSCH ht c Es hdelt sch u ee Tutologe d P Q Q P st ee Tutologe: ür de Belegug vo P t de Whrhetswert ALSCH ud vo Q t de Whrhetswert WAHR ergbt sch sgest der Whrhetswert ALSCH e Es hdelt sch u ee Tutologe Augbe : Zu zege st, dss relev, tsyetrsch ud trstv st D st, telt de Zhl ohe Rest, dh ; st relev Aus Dher st Aus ud olgt ud h t türlche Zhle ud h ud, lso ud l olgt ud l h t türlche Zhle ud h l h, dh telt l ohe Rest bzw l Dher st Dese Relto st ee totle Ordugsrelto: Bespelswese glt weder 7 och 7 Augbe 5: Wege st,, Relevtät

39 Lösuge der Übugsugbe 7 Es gelte, l Syetre,, dh l D glt uch l, lso, l, Aus,, l ud, l g, h olgt l ud h l g Dher glt l h l g De le Sete geschrebe werde ls h l rechte Sete ls g l Aus Ao der türlche Zhle olgt drus h g, dh, g, h Trstvtät ür, glt, 5 ; ür y, glt y 5, ; ür, z,, 5 st de Mege ller Pre 5, st de Mege ller Pre, st de Mege ller Pre : 5, :, :,, N, t, t, t, de z glt, N 5, N Augbe 6: Es gelte b Zu zege st b ud b : Es se c D glt c Wege der Trstvtät vo glt c b, dh b Geuso zegt b Es gelte ugeehrt b Zu zege st b : c Wege Relevtät st uch b, lso b b Ist b, d st ch b Es se b D glt ud b Mt der Syetre ud der Trstvtät der Äquvlezrelto olgt cheder:, b ud b Mt st dher b Ethlte lso zwe Äquvlezlsse e geeses Eleet, d sd se scho glech Dher st ür jedes M ud jedes b M etweder b oder b c Oeschtlch glt M M vo M Ist ugeehrt dh M M ; de lle Äquvlezlsse bestehe us Eleete M, d st wege der Relevtät : M, lso

40 8 Lösuge der Übugsugbe Augbe 7: De Läge der lägere Sete ees Bltts DIN-A--ort se h, de der ürzere Sete se b We ds Bltt el ltet, blebt ds Seteverhälts Läge der lägere Sete zu Läge der ürzere Sete erhlte Es glt lso d de ürzere Sete ch der ltug de Läge h ud de lägere Sete de Läge b uwese: h b b h h b, h lso b bzw h b I DIN-A--ort ht de lägere Sete de Läge h ud de ürzere Sete de Läge b De läche ees Bltts DIN-A--ort beträgt, dh b h bzw b h Ds ergbt h b h ud h bzw h De lägere Sete ees Bltts DIN-A--ort st lso glech = 9,7 c Augbe 8: De Behuptug glt ür Se gelte ür Zu zege st, dss us deser Ahe uch de Gültget der orel ür olgt ch Idutoshe De orel glt lso uch ür

41 Lösuge der Übugsugbe 9 b De Behuptug glt ür Se gelte ür Zu zege st, dss us deser Ahe uch de Gültget der orel ür olgt ch Idutoshe c De Behuptug glt ür Se gelte ür Zu zege st, dss us deser Ahe uch de Gültget der orel ür olgt ch Idutoshe d ür 6 st 7 9 De Behuptug gelte ür 6 Zu zege st, dss us deser Ahe uch de Gültget der orel ür olgt 7 7 De erste Uglechug st de Idutoshe, de zwete glt wege 6 e ür st de Sue ee Qudrtzhl, älch glech De Behuptug, dss ee Qudrtzhl st, gelte ür Zu zege st, dss us deser Ahe olgt, dss uch ee Qudrtzhl st Zuächst werde ege leere Werte vo usprobert: : : : 9 : 6 6

42 Lösuge der Übugsugbe : 5 : : 6 5 De olge der utretede Zhle, de qudrert voroe, st,,, 6,, 5, Dese Zhle hbe de or De Verutug legt dher he, dss glt ür =,,, 6 stt dese Verutug De Behuptug gelte ür D st 6 ch Idutoshe Also stt de Behuptug uch ür ür lle N t 5 st : ür 5 stt de Behuptug Se gelte ür 5 D st 5 De Behuptug glt lso uch ür ür lle N t st : ür stt de Behuptug Se gelte ür D st ür lle N t 7 st : ür 7 stt de Behuptug Se gelte ür 7 D st 6 6 7

43 Lösuge der Übugsugbe Es se N ee este türlche Zhl t ür =,,, glt ür st lle N ür = st es lr, ür =,, sehe de obge Idutosbewese Es gelte 5 Es wrd gesetzt D glt ür jedes : ; de: ür de Idutosg wrd gesetzt:, de ch obge Idutosbewes st ür jedes 5 Es gelte ür Zu zege st, dss us deser Ahe olgt Geäß Hwes der Augbestellug st t ort dese orel och etws u, so erhält Dese Uglechug wrd obe egesetzt, ud erhält: g Her wrd vollstädge Iduto über durchgeührt: ür st T De Behuptug gelte ür Zu zege st, dss us deser Ahe de Gültget der orel uch ür olgt ch Idutoshe T T Augbe 9: 5 b 6

44 Lösuge der Übugsugbe c 6 7 Augbe : b 5 Augbe : A B A B A B A B 5 5, lso AB ud 5A B Drus olgt A ud B Augbe : I der ttlere Sue st de höchste Potez 99, der rechte Sue st de höchste Potez 99 = 98 Also st = Zur Berechug vo 5 wrd de qudrerte Ausggssue ders ugetelt: 5 5 b b b t 5 ud b 5

45 Lösuge der Übugsugbe Alle Poteze b ud b sd größer ls 5, lso uch lle Poteze b M brucht lso ur zu utersuche: I erste Sud st der Koezet vo 5 glech, zwete Sud etsteht der Koezet vo 5 9 us ud st glech, drtte Sud etsteht der Koezet vo 5 8 us ud st glech usw Isgest ot 5 5-l vor, dh 5 = 5

46 Augbe : Stz - : Es se c C Zu zege st: es gbt A t g c D g surjetv st, gbt es st D st g g gb c b B t g b c Zu b gbt es A t b, d surjetv Stz - : Zu zege st, dss g g : g g g g g lsedeutg st, dh ür A ud A olgt us plzert wege der Ijetvtät vo g: Wege der Ijetvtät vo olgt drus Augbe : R \ : R ud \ R g : R 5 Es see ud t R \ Drus olgt cheder R \, dh, 8 6 8, 6 5, 5 b R \ R Zu zege blebt: ür jedes R \

47 Lösuge der Übugsugbe 5 Ageoe, es glt ür e R \ Ds bedeutet Drus olgt chreche! der Wderspruch 8 c De Glechug y wrd ch ugelöst: y y, dh * lutet \ \ : * R R d g g Augbe : z y y z y,,, : R R R R R : Zu R R u v, wrd gesetzt: v u z y,,,, D st v u v u v u z y,,,,,, Ds zegt, dss surjetv st ür de bede verschedee Trpel z,, ud,, z glt,,,,,, z z z z Also st cht jetv y y y g,,, : R R R R R : Ds Trpel R R R,, ht e Urbld uter g, lso st g cht surjetv Es see R R, y ud R R, y t,, y g y g Ds bedeutet,,,,,, y g y y y y y g Also glt ud y y De uto g st lso jetv

48 6 Lösuge der Übugsugbe Augbe : Ds Bespel A R, B R ud sd Nt etw U, U A B : zegt, dss ud G cht zueder vers U, A U, d st U ud Augbe 5: Ist de Ausggsege A edlch, so st jede Telege ebells edlch ud dt bzählbr De Ausggsege A se lso bzählbr uedlch t der Bjeto : N A, ud es se B A Ist B edlch oder B A, so st B bzählbr B se uedlch ud A \ B D B A st, hbe lle Eleete vo B durch de uto : N A ee Nuer Eleete A \ B trge ebells durch ee Nuer, so dss ür de Nuererug vo B cht ech de uto ehe N B ; de de Zuordugsvorschrt h : st ee Abbldug ür e Eleet N t A \ B bldet h cht ch B b, so dss h cht lstotl st Ee Bjeto zwsche N ud B wrd dher we olgt deert: h : N B t h B ud h B \ h ür b Es se A ee uedlch bzählbre Mege, us der vele Eleete etert De Abzählug vo A se : N A De Nuer der eterte Eleete see,, j, j,, t j j D st de olgede uto g ee bjetve Abbldug, de A,, \ bzählt: ür st g Der Wert st Jeder Wert t wrd cht u Velehr wrd wrd u wrd u bgebldet, d ds Eleet u bgebldet, we bgebldet Der Wert bgebldet lls j gerde etert wurde cht gerde glech

49 Lösuge der Übugsugbe 7 zugeordet usw Allgee lutet de Ab- st Jedes t wrd u t wrd jewels bldugsvorschrt zur Nuererug vo A,, bgebldet De Werte \ : N g : A \,, ür j ür j j j j ür t j c Zu zege st, dss de Veregug bzählbr veler bzählbrer Mege weder bzählbr st Es wrd her ur der ll gezegt, dss lle betelgte Mege uedlch bzählbr sd sehe Beerug Ede der Lösug Es se I ee bzählbre uedlche Mege t eer Nuererug durch de Bjeto : N I De Mege A ür Bjeto g : N A Ist I I see jewels uedlch bzählbr t der t, so lässt sch de Mege A = A drstelle ls t eer edeutg bestte Nuer A g, g, g, g, g, g, Es wrd ee Abzählug Bjeto dss es ür jedes h : N A gegebe Dzu st zu bechte, N ur edlch vele Zhle j ud t j gbt: I : j, : j ud, j ud, : j ud, j ud, j ud, : j ud, j ud,, j ud De Eleete vo A werde olgeder Reheolge bgezählt: I Zuerst oe lle Eleete der or g j t j ds st ur ds Eleet g ; d oe lle Eleete g j t j ds sd de Eleete g ud g ; schleßed oe de Eleete g j t j ds

50 8 Lösuge der Übugsugbe sd de Eleete g, g ud g usw Zu bechte st, dss g ds -te Eleet der Mege g N A j : j A j st t der ür j j A zustädge Abzählug Der Ag der Abzählug lutet lso: g, g, g, g, g, g, Ählch we be der Abzählug der postve rtole Zhle wrd u ee Bjeto h : N A ostruert: I Zu jede N t gbt es ee edeutg bestte Zhl N t De olgede Tbelle zegt ege Werte vo ud : Jede deser Zhle ht lso ee edeutge Drstellug N De Zuordug h :,,, bjetve Abbldug Abzählug vo gebe : N N ür ür t st dher ee N N, t dere Hle u h : N A I N h : A I g t, h Beerug: Ist de Ideege I edlch, so A ählch bzähle we de postve rtole Zhle ls Pre türlcher Zhle Ist ee der betelgte Mege edlch, etw A t A g, g, g,, g l, so st de obge Abbldug h so bzuwdel, dss hre Bld ee Pre, t l etstehe I

51 Lösuge der Übugsugbe 9 Augbe 6: Oeschtlch st ~ Es gelte ~ b, dh b, lso uch b bzw b ~ Aus ~ b ud b ~ c olgt b ud b c, lso c, dh ~ c Ist jetv, so bestehe de Äquvlezlsse vo ~ ~ us eeleetge Mege:

52 Augbe : Vo de sechs uederolgede Zhle p 5, p, p, p, p ud p sd geu zwe durch telbr De Przhl p ud de Zhl p sd cht durch telbr Ist p od, d st p od ud p durch telbr Ist p od, d st p 5 od ud p 5 durch telbr Bede Zhle p 5 ud p sd gerde Dher st 6 e Teler vo p oder vo p 5 b Es see,,,, ud 5 t gegebe Ist ee deser Zhle ee Przhl, so stt de zu bewesede Behuptug Ist Przhl, so sd, ud 5 ls gerde Zhle ee Przhl Ist Przhl, so st ch Augbe oder durch 6 telbr Ist durch 6 telbr, d uch durch, ud olglch st uch durch telbr, ws ber der Ahe wdersprcht, se Przhl Also st durch 6 ud dt uch durch telbr Drus olgt, dss durch telbr st Sd lso ud Przhle, so sd uter,,,, ud 5 ee wetere Przhle Sd ud Przhle, so sd ch Augbe oder durch 6 telbr Weder schedet us de sost wäre durch telbr Also st durch 6 ud dt uch durch telbr, ud olglch st durch telbr Sd dher ud Przhle, so sd uter,,,, ud 5 ee wetere Przhle Geht stelle vo ls Przhl vo eer dere der Zhle,,,, ud 5 ls Przhl us, so rguetert geuso Augbe : De uederolgede Zhle see,,, 9 Sd de erste ü Zhle sätlch zusegesetzt, so st chts ehr zu zege Dher wrd geoe, dss uter de erste ü Zhle ee Przhl p st dbe se p de leste Przhl t deser Egescht Es st p Nch Augbe st 6 e Teler vo p oder vo p 5 ll: p od 6, dh p od ud p od

53 Lösuge der Übugsugbe 5 Ist p od 5 d sd de ü uederolgede Zhle p,, p 5 zusegesetzt, de es glt: p od, p od, p od, p od 5 ud p 5 od Ist p od 5 d sd de ü uederolgede Zhle p 7,, p zusegesetzt, de es glt: p 7 od, p 8 od 5, p 9 od, p od ud p od Es st p 5 9 Ist p od 5 d sd de ü uederolgede Zhle p,, p 5 zusegesetzt, de es glt: p od, p od 5, p od, p od ud p 5 od Ist p od 5 d sd de ü uederolgede Zhle p 5,, p 9 zusegesetzt, de es glt: p 5 od, p 6 od 5, p 7 od, p 8 od ud p 9 od ll: p 5 od 6, dh p od ud p od Ist p od 5 d sd de ü uederolgede Zhle p,, p 7 zusegesetzt, de es glt: p od, p od 5, p 5 od, p 6 od ud p 7 od Ist p od 5 d sd de ü uederolgede Zhle p 7,, p zusegesetzt, de es glt: p 7 od, p 8 od 5, p 9 od, p od ud p od Ist p od 5 d sd de ü uederolgede Zhle p,, p 5 zusegesetzt, de es glt: p od, p od 5, p od, p od ud p 5 od Ist p od 5 d sd de ü uederolgede Zhle p,, p 7 zusegesetzt, de es glt: p od, p od, p 5 od, p 6 od 5 ud p 7 od De uederolgede Zhle see,,,, 5, 6, 7, 8, 9,,,,,, Nch Augbe b sd uter,,,, 5, 6 höchstes zwe Przh-

54 5 Lösuge der Übugsugbe le Sd es ud, so de ächstöglche Przhl 7 se; geuso verhält es sch, we es ud 5 sd De 7 ächstöglche schleßede Przhle öe etweder 9 oder ud d erst weder se usw D es 5 Sechserblöce uederolgeder Zhle sd, gbt es sgest lso uter de Zhle höchstes Przhle Augbe : od Wege od ud od st Es st od 5, lso od 5 Augbe : ür jedes Z st etweder gerde oder ugerde I erste ll st t Z, zwete ll st t Z D st etweder Dher st etweder od oder od oder b De Zhle,,,, hbe de or t -l -l Wäre e Qudrt, so st ch Augbe od oder od D od glt, st od ud od ; od glt wege Dher st de Zhl e Qudrt De Zhle Dezlschrebwese,,,, hbe de or t Es glt od, lso geht de Arguetto über Augbe cht D st Ageoe, st e Qudrt, dh D gerde st, cht gerde se; de d st ugerde Also ht de or t N D st

55 Lösuge der Übugsugbe 5 Es st 5 ud 5, dh edet t der Dezlzerolge 5 Es st t N, N ud 9 st de edrgstwertge Dezlzer vo D st De letzte Dezlzer des Produts vo bestt lso de letzte Dezlzer, de glech 5 st De olgede Tbelle gbt lle Möglchete der letzte De- : zlzer vo letzte Zer 6 6 M seht, dss de Zer 5 cht vorot Dher st de Ahe, se e Qudrt, lsch Augbe 5: Es werde ur de chtegtve Z utersucht, d st ll: st estellg, dh N t 9 De olgede Tbelle zegt lle Werte ür N t 9: M seht: ür dese Werte glt od 5

56 5 Lösuge der Übugsugbe ll: st zwestellg, dh 99 ht de or t,, 9 ud,,, 9 Es st, dh od = od De zu utersuchede Behuptug reduzert sch lso u de rge, ob es ee Zhleobto ud gbt, so dss 5 ür e N st De letzte Zer st dbe ee 5 Der Atel leert ee Zhl t Edzer, dh der ezge Kddt, der 5 bzw 5 leer öte, st Obge Tbelle zegt, dß ur 5 rge ot I dese ll st 5, dh od = 5 5 ll: ht ehr ls zwe Stelle, dh D st Es wrd ud y gesetzt, dh = + y ür y glt y 99 Nu st od= + y od= y y od= y od Augrud der Überleguge zu ud ll ergbt y od t y 99 ber cht de Wert 5 Augbe 6: ür ud st e Teler vo Es glt Es se e Teler vo Wäre e Teler vo, d wäre Wege st ggt,, ud sot wäre e Teler vo Ds st wege cht öglch Also st ür der Wert e Teler vo Augbe 7: ür jedes N t od 5 glt 5 od 5 Ebeso glt ür jedes N t od 5 : 5 od 5 ür jedes 5 oder glt od 5 ; ds sd uedlch vele Werte

57 Lösuge der Übugsugbe 55 Ebeso glt ür je- b ür jedes N t od st 65 od des N t 9 od st 5 od c ür jedes N t od7 st 7 od7 Ebeso glt ür jedes N t 5 od7 st 9 od7 Augbe 8: ggt 8,5, 7, b b ggt 98, 8 6,, b 7 Augbe 9: ür st ür etoe werde od od ür,, ür,, De übrge Werte öe der olgede Tbelle,, 8, 6, 6,,, 9, 8 5,, 7,, 9, 7,, 9, 7,, 9, 7,, 9, 7, 6,, 8 9, 6,,, 6,, 8 9, 6, 5 5, 5, 6 8,, 5, 5, 6 8,, 5, 5, 6 8, 6 6, 6, 6 8, 8 9, 5,, 7 7,, 8 5,,, , 9, 7 5, 5 9, 6, 77, 8 6,, 8, 56, 8, 8 8, 6, 96 5,, 8, 6, 96 5,, 8, 6, 96 5, 9 9, 8, 7, 9, 8, 7, 9, 8, 7, 9, 8, 7, 9, 9,,,,, 9, 9,,,,, 5, 55, 7, 77,, 9, 99 8, 88, 6, 66,,,,,,,,,,,

58 56 Lösuge der Übugsugbe b ür st ür etoe werde od5 od5 ür,, ür,,,, 8, 6,,, 8, 6,,, 8, 6,, De übrge Werte öe der olgede Tbelle, 9, 7, 6 6, 8, 9, 7, 6 6, 8, 9, 7, 6 6, 8, 9, 6,, 6,, 6,, 6,, 6,, 6,, 6 5 5, 5, 5 5, 5, 5 5, 5, 5 5, 5, 5 5, 5, 5 5, 5, 5 5, 5 6 6, 6 6, 6 6, 6 6, 6 6, 6 6, 6 6, 6 6, 6 6, 6 6, 6 6, 6 6, 6 6, , 9, 8, 9, 7, 9, 8, 9, 7, 9, 8, 9, 7, 9 8 8, 6,, 6, 8, 6,, 6, 8, 6,, 6, 8, 6 9 9, 8 6, 5 9, 8 6, 5 9, 8 6, 5 9, 8 6, 5 9, 8 6, 5 9, 8 6, 5 9, 8 6,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 9, 8, 6 6, 7, 9, 8, 6 6, 7, 9, 8, 6 6, 7, 9, 69, 5 7, 9,, 69, 5 7, 9,, 69, 5 7, 9,, 69, 96,, 96,, 96,, 96,, 96,, 96,, 96 Augbe : 9 st, oe ls D ggt, 9 ur de Zhle, oder 9 rge Zuächst werde ege Werte ür usprobert: ggt,

59 Lösuge der Übugsugbe 57 Seht sch de drtte Zele, so legt olgede Verutug he: ür jedes gerde ür jedes ugerde N st ggt, 9 N der or t,, 7,, - soste st ür ugerdes ggt, 9 ud d uch bewese: st ggt, 9 9 Dese Verutug zusesse ür t N, dh ür gerdes ggt 9 ür t N ud od, 9 ür t N ud od oder od Bewes: Es se N gerde, dh ür e N, 9 ggt od Also telt cht de Wert ud Es se N ugerde, dh ür e N od utersuche blebt, w od 9 usgerechet:, dh st durch telbr Zu uch durch 9 telbr st, w lso glt Dzu werde zuächst ege Werte od 9 od 9, od 9, 6 7 od 9, 7 8 od 9, od 9, od 9 usw Oeschtlch oe ür od 9 ur de Werte, oder 7 vor: od 9 od 9 7 od 9 ür od ür od ür od D Also st ür od : od 9, ür od : od 9, ür od : od 9 7 st, oe ls, 7 ggt ur de Zhle,, 9 oder 7 rge Dt durch 7 telbr st, uss es durch ud 9 telbr se Alle Werte ür gerdes sd cht durch telbr Alle Werte ür ugerdes t ür e N ud od oder od sd cht durch 9 telbr Dt durch 9 oder

60 58 Lösuge der Übugsugbe 7 telbr st, uss de or ür e N t od hbe Vo dese Zhle sd ege durch 9 ber cht durch 7 telbr U ee Hwes u dese Zhle zu beoe, werde ege lee Werte berechet: telbr durch 7? 9 e 5 j e 975 e 779 j e e j olgede Verutug legt he: ür jedes N t od glt: Ist od 9, d st de Zhl durch 7 telbr ür od 9 oder 7 od 9 st de Zhl durch 9, ber cht durch 7 telbr Bewes: ür de Reste odulo 9, älch r =,,, 8, glt ur ür r =, r = ud r = 7: r od Also sd ür N t od ur de älle od 9, od 9 ud 7 od 9 zu utersuche Nch de obge Überleguge st ür dese der Wert durch 9 telbr ür od 9 schrebe ls l 9 t l N 9 6 od 7 : D st wege l9 l 9 9 od 7 ür od 9 schrebe ls l 9 t l N 5 od 7 : l9 l9 l l od 7 l9 5 l9 l9 D glt wege ür 7 od 9 schrebe ls 7 l 9 t l N od 7 : D glt wege

61 7l9 l l 8 8 od 7 7 l9 l9 Lösuge der Übugsugbe l9 l9 Zusessed glt lso: ggt, ür t N, dh ür gerdes ür t N ud ür t N ud ür t N ud od 9 od oder od 9 oder 7 od 9 od Es se ugerde, dh t N ür de Telbret vo durch t brucht ur dejege zu utersuche, ür de od glt E Tel deser Zhle st durch 9 ud cht durch 7 oder ee höhere er-potez telbr, e derer Tel durch 7 ud ee höhere er-potez, e weterer Tel durch 8 ud ee höhere er-potez telbr usw I der olgede Tbelle sd dejege Werte ugeührt, ür de durch lee er-poteze der Kopzele telbr st: 9 = Zur Utersuchug des ggt, 67 werde ege Hlsbehuptuge ugestellt

62 6 Lösuge der Übugsugbe I olgede se N t D glt: od b od c Mt ud t st od Bewes vo : ür = stt de Behuptug, ud se gelte ür Zu zege st, dss us deser Ahe de Behuptug uch ür olgt od od ch Idutoshe t t t t Bewes vo b: ür = stt de Behuptug, ud se gelte ür Zu zege st, dss us deser Ahe de Behuptug uch ür olgt od od ch Idutoshe t t t t Bewes vo c: ch b od Ist t, d glt

63 Lösuge der Übugsugbe 6 t t od t ch t t Mt c olgt u ds Ergebs: Ist t N, d st, ggt Ist t N ud st j N der größte Wert t j ud j j j, d st od ggt, Augbe : Nch Stz - st Z Z geu d verterbr, we ggt, st Also sd,,, 5, 7, 8,,,, 6, 7, 9 ud lle verterbre Eleete Z Z b 7 od 5 st glechbedeuted t 7 od 5 Geäß Stz -5 werde Zhle ud bestt t 7 5 ggt 7, 5 CAL-uto vers erttelt ud Mt 7 od 5 glt 7 od 5 De PAS- Augbe : 5 Dher st t Stz - ud :

64 6 Lösuge der Übugsugbe Augbe : Es se N Ist gerde, etw t N p p p p, d st ebells gerde Ist ugerde, etw t N, d st p p p p p p p p, lso ee gerde Zhl Dher st e Teler vo p p p Glt ggt, p, d st ch Stz -: od p Drus olgt cheder p od p, p od p, ud p telt p, l- Glt ggt, p p, d p so st uch her p e Teler vo p p p p p p ud p p p p 5 de- b Mt Augbe ür p = 5 glt: st e Teler vo 5 Dher hbe ud selbe Edzer Augbe : Es glt ch Stz - : 6 od 7 Wege st od 7 b Es glt ch Stz - : 6 od7 D st od7

65 Lösuge der Übugsugbe 6 c U 7 od9 zu bereche, u leere er-poteze ubue: Es olgt cheder 8 6 od9, 9 od9, od9, 7 od9 p d Nch Stz - st p p od p t p t p p sbesodere D p ugerde ud p p t Es glt: t p od p p t p t t N, lso gerde st, t ur ugerde se, ; de p t p od p Außerde st p, so dss p p od p olgt e Es glt ch Stz - : od ud od Dher st od ud od Dt st od od Augbe 5: 7 Es sd sgest 8 älle zu utersuche, je chde, ob bzw bzw 7 de Zhl telt oder cht Eeplrsch werde her ur de bede olgede älle drgestellt: ll : Weder och och 7 telt Nch Stz - glt: 6 od 7, od ud od D glt uch: 6 od ud 6 od Dt tele 7, ud ud dt 7 jewels de Wert ll : telt ud weder och 7 telt Nch Stz - glt: 6 od 7 ud od D glt uch 6 7 od Dt tele 7 ud jewels de Wert telt ch llhe de Wert Also st e Teler vo 7 7 b Es st Es wrd gezegt, dss ür jedes N der Wert 5 7 durch 5 5 telbr st

66 6 Lösuge der Übugsugbe ll : Weder och 5 telt Nch Stz - glt: od 5 ud 5 od, dh 5 telt, ud telt D telt 5 de Wert 5 ud de Wert 5 5 Es 5 5 st Also telt 5 de Wert ll : telt Aus der llhe olgt: telt Ist ggt, 5, so glt ch Stz - : od 5, ud dt telt 5 de Wert 5 Ist ggt, 5 5, d telt 5 5 de Zhl ud dt uch de Wert Nu we ll weter rguetere ll : 5 telt Her verläut de Arguetto we ll

67 Augbe : 6 9 p, dh -8 7, p Augbe : Es see R ud N Bereche Se: b c Augbe : od p y y p y y p y p p p p p p p p p, d lle Werte p de tor p ethlte Augbe : ür ud stt de Behuptug Es se D st

68 66 Lösuge der Übugsugbe Augbe 5: Es see A ud B dsjute Mege t A ud B Au der le Sete des Glechhetszeches steht de Azhl -eleetger Telege vo A B Es se C ee - eleetge Telege vo A B Ht C t A geu Eleete gees, d ht C t B geu Eleete gees Ds bedeutet, dss jeder -eleetge Telege vo A B, de geu Eleete us A ethält, lle -eleetge Telege vo B zuorde Ds sd geu vele Dher glt Augbe 6: De Mege M bestze geu Eleete De Azhl der Telege t geu Eleete st Stz - besgt u gerde de zu zegede Behuptug: od od Augbe 7: ! Verutug: b 5! ee Null ehr, b! ee wetere Null ehr Beerug: De Azhl der Nulle Ede vo! glt lutet

69 Lösuge der Übugsugbe 67 b!! I Zähler st jede zwete Zhl gerde, lso vo der or : Der Zähler lutet: 5 I der letzte Zele stehe der erste Kler de ugerde tore vo! I der zwete Kler stehe de usgelerte e us de gerde tore vo! I der drtte Kler stehe de Reste us de gerde tore vo!, chde de e usgelert wurde Durch Kürze ergbt sch lso! 5! Augbe 8: Es see A,,,, 5 ud u, v, w,, y, z B, lso A 5 ud B 6 De Azhl jetver Abblduge : A B st ch Stz - glech 6! 6! 7 6 5! b Es se M de Mege ller jetve Abblduge : A B Mt A : A B ud st jetv ud v oder w, A : A B ud st jetv ud u oder w A : A B ud st jetv ud, A : A B ud st jetv ud v oder oder y, st de gesuchte Azhl glech der Azhl der Eleete M, de eer der Mege A,, A lege Nch Stz - st dese gesuchte Azhl glech M I,, l ud I I A t l = I Nch Augbe st M 7

70 68 Lösuge der Übugsugbe 5! Es st A, de ür A st berets estgelegt, dh es üsse och! ür =,,, 5 bestt werde, ud der Zelege sd durch de estlegug vo ur och 5 Eleete verügbr Also gbt es t der estlegug v A 5! 5! vele jetve utoe Etspreched gbt es t der estlegug w och el 5! 5! vele jetve utoe Geuso olgt ud 5! A! 5! A,! 5! A! Es se A A D sd zwe utoswerte estgelegt, älch ud, ud de Zelege ht ur och öglche cht estlegte Eleete Außerde ür w cht uch w gelte, de st j jetv Dher st! A A!!! Etspreched olgt A A, A A 5,!!!! A A 6 ud A A!!! A A,! Es werde jetzt de Schtte us jewels Mege A betrchtet: Dbe gbt es be eer getroee estlegug ür jewels Eleete!! jetve Abblduge Dher st öglche! A A A,!! A A A 7,!! A A A,!! A A A! Mt deselbe Überleguge olgt

71 Lösuge der Übugsugbe 69! A A A A! Isgest ergbt sch ür de gesuchte Azhl 7 85!! 7!! 6 Augbe 9: Es bezeche ud, ud telt A N A 5, A ud A 5 A 6 A, A A5 ud A A5 6 A A A5 D st ch Stz - de Azhl der türlche Zhle t, de cht durch, oder 5 telbr sd, glech b Es wrd zuächst de Azhl der gzzhlge chtegtve Lösuge der Glechug r bestt: De Zhl r sch ls ee olge vo r e vorstelle, ud de Autelug des Werts r u Ubestte ddurch beschrebe, dss de olge der r e Trestrche eügt De Wert etsprcht d de Azhl der e vor de erste Trestrch, de Wert de Azhl der e zwsche de erste ud de zwete Trestrch usw, ud de Wert etsprcht de Azhl der e ch de letzte Trestrch De Azhl der gzzhlge chtegtve Lösuge der Glechug r wrd lso durch de Azhl der Möglchete bestt, us de r Postoe ür e ud Trestrche r Postoe ür de e uszuwähle Ds sd r r Möglchete

72 7 Lösuge der Übugsugbe I der Augbe st r 8 ud Also gbt es gzzhlge Lösuge 8 der Glechug 8 t ür =,,, Es bezeche L ür =,,, de Lösuge t 7 bzw 8 Es glt us Syetregrüde: L L L L Jeder Lösug der Glechug 8 t 8 etsprcht ee Lösug der Glechug 8 Dher glt L Geuso etsprcht jeder Lösug der Glechug 8 t us L L der Lösug der Glechug 8 Dher st 8 5 L L De gleche Überleguge gelte ür de dere Kobtoe us Schtte zweer Mege L D der Schtt dreer Mege L ud der Schtt ller ver Mege L leer st, ergbt sch ür de gesuchte Azhl 5 6 6

73 Augbe 5: Grezwert b Grezwert,7985 c Ke Grezwert, soder zwe Häuugspute be,797 bzw,86 Augbe 5: l l b Der Ausdruc wrd durch geürzt ud ergbt l l c l l l l Augbe 5: Es se Wr wähle N so, dss glt D st sbesodere ür jedes N t glt u, de Ab = 9999 st

74 7 Lösuge der Übugsugbe Augbe 5:,5 9 = 5 9 l 5 l 5 b l l c s s l l t Zu bechte st, dss her der Sutosde der Utergreze be = begt Es glt s , lso l, s 5 d 6 l l l Augbe 55: Nch de Quoteterteru Stz 5- st chzuwese, dss b ee Ide N stets q ür ee Wert q t q glt Her st D ud dt st, dh de olge ooto ällt, gbt es ee Wert q t q ud q b

75 Lösuge der Übugsugbe 7 ee Ide N es st,89, dh ds Verhre utoert t q,89 b, so dss de Rehe overgert b!! ep e c Es st! 5! 5!!!! 6 6 ür olgt cheder: der letzte Bruch dher 5,, Dt st Nch de Mjorterteru Stz 5- overgert!, d overgert Augbe 56: ür glt be =, =,, = de Abschätzug I der Ltertur det ür de Abschätzug l l, dh l 8 ür e, 8565 glt Augbe 57: Der gesuchte le Detosberech werde jewels t X bezechet Es uss 9 gelte Ds ergbt X

76 7 Lösuge der Übugsugbe b Es uss 9 gelte Ds ergbt X,, c st ür = cht deert, lso X = R\{} d Es uss gelte Dher st X = R\{,, } e Es uss gelte ür R st ür R st Dher glt X = R Es uss gelte ür R st ür R st Dher glt X R Augbe 58: Es st Der Grph der uto st de u ch obe ud u ch rechts verschobee Norlprbel De uto bestzt geu d ee Uehruto, we = ud b = glt Augbe 59: Es see, ud, t D st ud dt De uto st lso Itervll [, ] streg ooto lled Wäre [, ] ove, so üsste ür jedes, ud l R t < l < gelte: l l l l bzw l l l l, t ud jedes ür =, = ud l st ber ud,, dh st [, ] cht ove

77 Lösuge der Übugsugbe 75 Augbe 5: ür ür b ür ür

78 76 Lösuge der Übugsugbe c st der gzzhlge Atel vo d st der gebrochee Atel vo Augbe 5: Es bezeche de putege der uto, dh c, we c = c glt c c 8 c st glechbedeuted t c, dh b c c c c c

79 Lösuge der Übugsugbe 77 c E put der Läge ht de or c z z z t c zzz zzz Dher st de Mege der pute der Läge glech c c t Aud A Etspreched st de Mege der pute der Läge glech c c = t A, dh c st put der Läge, we ud glt, zb OTTO ud ANNA sd pute der Läge De Mege der pute der Läge st glech der Mege der Zecheette der Läge, de vorwärts ud rücwärts gelese glechlute De Mege der pute der Läge st glech c c uu R ud A ud ua * ud Läge vo u ds Wort, ds us der ugeehrte Buchstbeolge vo u be- Herbe bezechet u R steht Augbe 5: p, dh ee Nullstelle st Es st 6 z z 6 t z Aus z z 6 olgt 69 z, 6, dh z 9 ud z De Nullstelle vo p sd lso,,,, 5 Ee dere Lösugsöglchet versucht zuächst durch Probere ee Nullstelle vo 6 zu erttel M det lecht D wrd 6 durch dvdert: 6: 9 8 Der Lösugshwes der Augbestellug lässt ee Nullstelle be verute Also 9 8 durch dvdere: 9 8: Ds leert de restlche Nullstelle Oeschtlch st ud 5

80 78 Lösuge der Übugsugbe b De Nullstelle lute, 5 ud c Setzt z, so erhält p z z De Nullstelle z lute z,, dh z 6 6, 6 6 I lute de Nullstelle d- her, Wetere reelle Nullstelle gbt es cht, d z st 6 d Aus olgt ür de Nullstelle Als reelle Nullstelle oe höchstes de Zhle + ud - rge Es st ll: st ugerde D st gerde Setzt - + e, so seht, dss sch jewels zwe uederolgede Poteze uhebe ud dss der Sud übrg blebt de Sue ethält + = vele Sude Dher st ee Nullstelle vo : Es gbt ur de reelle Nullstelle ll: st gerde D st ugerde Setzt + e, so seht, dss sch jewels zwe uederolgede Poteze uhebe Dher st Nullstelle vo : Es gbt de reelle Nullstelle + ud Augbe 5: M det ee Nullstelle des Zählerpolyos zb durch Probere be M dvdert ds Zählerpolyo durch ud erhält

81 Lösuge der Übugsugbe 79 : De Nullstelle des Zählerpolyos sd lso, ud Ds Neerpolyo ht de Nullstelle ud 5 Der Detosberech vo lutet lso X R \, De Nullstelle vo lege be ud Be 5 ht ee Polstelle Be legt ee behebbre Ustetgetsstelle t l l De Polyodvso : : ergbt 5 5 ür ht lso de Asyptote s Szze: =- = y=- =- - -, -,6 -,9 -, -,5,,9,6,,7

82 8 Lösuge der Übugsugbe b Ds Zählerpolyo 5 ht de Nullstelle, ud 5, de z z t z leert de Nullstelle z: z, 6 6 ud :, 6 6 Ds Neerpolyo ht de Nullstelle ud 5 Der Detosberech vo lutet lso X R \, De Nullstelle vo lege be ud Be ht ee Polstelle Be legt ee behebbre Ustetgetsstelle t l l,8 5 De Polyodvso : : ergbt 6 8 ür ht lso de Asyptote s 8 6 Szze: c Ds Zählerpolyo ht de Nullstelle ud Ds Neerpolyo z z z z ht de reelle Nullstelle ud X R \, Der Detosberech vo lutet lso ht ee Nullstelle ud ee Polstelle Be ud lege behebbre Ustetgetsstelle t l Szze: 5 bzw l 5 Es glt l

83 Lösuge der Übugsugbe 8 Augbe 5: De uto ht be ee Pol, d Nullstelle des Neerpolyos, ber cht des Zählerpolyos st Dher glt l, geuer: l ud l b l l c l l Augbe 55: st be stetg, we der Grph deser Stelle ee Sprug cht, dh we l l : l l glt ür de erste Les l glt ch Deto vo De Kostte uss so gewählt werde, dss uch be = e Sprug etsteht, dh dss l l glt, lso bzw 75,

84 8 Lösuge der Übugsugbe Augbe 56:, b g g g g, g c Ergebs :, dh be Vergrößerug des Arguetwerts u wächst ur lgs, sbesodere be sehr große Werte vo Trotzde ververcht sch der utoswert be Verdoppelug des Arguetwerts Ergebs b: g g zegt, dss sch der utoswert jedesl verdoppelt, we u wächst schelles, epoetelles Wchstu der uto g Ds schelle Wchstu zegt sch sbesodere der Glechug g g Verdoppelug des Arguets wrd der utoswert qudrert, dh be Augbe 57: lgses Wchstu schelles Wchsstu log 5 log b log log log

85 Lösuge der Übugsugbe 8 Augbe 58: b c e e e l l d e l h h t l l l l Augbe 59: p p p t, p p p, p p p p p Es glt p ud p p Also ht p der Stelle ee Etrewert

86 8 Lösuge der Übugsugbe Augbe 5: p, p ür,, p ür, p p p! p, zu erste Ml, p p ür! ür gerdes ht p be = ee Etrewert; es hdelt sch wege p u e Mu ür ugerdes ht p be = ee Wedeput Augbe 5: Der Abstz st zu de Zetput l, de e Mu t: t t e e t, t t t t e t e t t t t t e t t t e t De erste Abletug wrd = gesetzt Ds ergbt e t t t ud wege e de bede Lösuge t ud t De erste Lösug legt cht Detosberech vo, lso ot ür e Mu höchstes de zwete Lösug Betrcht t e, lso legt be t wrlch e Mu vor t de Wert e t b Der Abstz t zu, we t st, ud ällt de Berech, de t glt Es st t geu d, we t t Etspreched st t ür t > st, dh wege t >, we t < glt c Der Abstz stegt schellste, we de Abstzstegerug t l st, dh we t ud t glt t leert wege e t de Glechug t t t de Lösuge t,, dh t =,9 ud t =,77 Es

87 Lösuge der Übugsugbe 85 glt t, lso legt her ttsächlch e Wedeput vo vor Der Abstz stegt schellste zu Zetput t =,9; Berech t > ällt der Abstz, ud zwr schellste zu Zetput t =,77 d st ove I, we t ür lle t I glt Des st geu d der ll, we t t t st her wrd weder e geutzt Uoruge deser Glechug ergebe cheder t t, t t ud t Dher glt t oder t st ove,, ud ov, e,,,,8,6,,,5,,75,,5,8,5,5,85 Augbe 5: sd de Zhle,,, Kostte Dher st Bezüglch q S S d q S q S S De Abletug wrd u gesetzt ud ch S ds ugelöst ud ergbt cheder S, S, S

88 86 Lösuge der Übugsugbe ud S dher st s gerde der Mttelwert der Beobchtuge,,, Dss ttsächlch e Mu vorlegt, seht q S Augbe 5: ll / : l 6 6 l 6 l b ll / : e e l l e e l l l e e e e e e c ll / : l l d ll / : l e l e h g g h e l l l l l t h l ud g l Jetzt legt der ll vor Epoetere ührt u de ll / :

89 Lösuge der Übugsugbe 87 e g h g h l e e e h g e l e e ud l l Also st g h g h e e l l l l l l l l,697 Augbe 5: Zuächst st ds Erülltse der Bedguge Newto-Verhre zu überprüe ür p st p ud p 6 I, b t =,5 ud b = Wr wähle ds Itervll Bedgug : I I wechselt ds Vorzeche vo p: p,5 =,75 ud p = Bedgug : De Nullstelle vo p sd ud, lege lso cht I Bedgug : D p 6 ooto stegt ud p, 5 9 ud p sd, glt p ür jedes I Bedgug : p p 5,,75 ud p b p 7 Mt c =,5 glt pc p c Wr wähle,75, 75, 5, b,75 p p De olgede Tbelle zegt 8 Itertosschrtte deses Verhres t ee Tbellelultosprogr M seht, dss berets ch Itertosschrtte ee Äderug der Dezlstelle ch de Ko gerudet utrtt De drtte Splte zegt, dss der utoswert sehr dcht be legt: de Abwechug st leer ls -5 Mt der vo Tbellelultosprogr beretgestellte Bereche-ür -uto erhält ch Itertoe =, ud,5e - 6, lso e wesetlch schlechteres Ergebs

90 88 Lösuge der Übugsugbe,75 -,55, ,67,89755,9, ,979E-9, ,88E-6 5, ,88E-6 6, ,88E-6 7, ,88E-6 8, ,88E-6 9, ,88E-6, ,88E-6, ,88E-6, ,88E-6, ,88E-6, ,88E-6 5, ,88E-6 6, ,88E-6 7, ,88E-6 8, ,88E-6 Augbe 55: De Approtosolge lutet N 57,, De olgede Tbelle zegt ds Verhre ch 6 Itertoe:,57 -, , , , , , , E-9, ,77687E-6 5, ,77687E-6 6, ,77687E-6 Mt der vo Tbellelultosprogr beretgestellte Bereche-ür -uto erhält ch Itertoe =, ud wesetlch schlechteres Ergebs 7,88E - 6, lso weder e

91 Lösuge der Übugsugbe 89 Augbe 56:, Ds Tylorpolyo Ordug ür der Stelle lutet: T! , 5,, lso, 5 T, 5, 7975 Beerug:, 5, 77678, dh, 5 T, 5, 8788, Augbe 57: M de gesuchte Werte,,, ud ls Koezete des Tylorpolyos vo p der Stelle beste: p p = 5 p 9 p 9 p 8 p 5 p 8 p 5 p p Dher st T p p 6 p p vorlegede ll T p glt, st p D

92 9 Lösuge der Übugsugbe p , dh 5 9,, = 7, = 9 ud Augbe 58: Zuächst wrd de durch deerte uto u ee Tylorrehe etwcelt: Verutete Gesetzäßget de sch zb durch vollstädge Iduto bewese lässt: ür! Ds -te Tylorpolyo vo der Stelle lutet lso: T!!! lls ür ds Restgled R chwese, dss es t gege overgert, glt sogr!! z z z z R Herbe st z e Wert zwsche ud lls cht zu groß wählt, overgert R t gege wr bruche :

93 Lösuge der Übugsugbe 9 Es wrd lso R ür utersucht: Wege st z ud z z z z R Wr setze c z D glt c ud c z c z z R D de Poteze c c bzw scheller gege overgere ls de Polyoe bzw gege, glt l R Es st lso ür der Tt des sogr ür zege Augbe 59: e e e e e e e 6 6 e e e e e e e e e 5

94 9 Lösuge der Übugsugbe 5 Dher st T5 6 Echere Lösug: e! 5 Also st T5 =! 6 6 Augbe 5: ür steht ls ud rechts D st, ch Idutoshe De Behuptug gelte ür ch Deto der bocc - Zhle lso glt de Behuptug uch ür b ür steht ls ud rechts De Behuptug gelte ür D st, ch Idutoshe ch Deto der bocc - Zhle lso glt de Behuptug uch ür c ür glt de Glechug: D st De Behuptug gelte ür

95 Lösuge der Übugsugbe 9, Zhle ch Deto der bocc - ch Idutoshe lso glt de Behuptug uch ür d De orel ür wrd durch vollstädge Iduto über bewese ür ud stt de Behuptug Se gelte ür ud de Vorgäger Ds heßt: ud D st ch Idutoshe e st gerde Es wrd gezegt: ür N t sd gerde ud ud ugerde ür stt de Behuptug, ud se gelte ür D sd ud jewels ls Sue eer ugerde ud gerde Zhl ugerde, ud st ls Sue zweer ugerder Zhle gerde Es werde zwe Rchtuge der Aussge bewese: Ist durch telbr, d st durch 6 telbr Ist durch 6 telbr, d st durch telbr

96 9 Lösuge der Übugsugbe Zu : Ist durch telbr, d st gerde, ud ch Augbe e st durch telbr Nch Augbe c st D ls ee durch 6 telbre Zhl gerde st ud ud ugerde sd ud dt ugerde st, glt ud dt durch 6 telbr Dt st gerde Also st durch ud durch Zu : Es wrd gezegt: ür 6 st durch telbr Es st 6 8 durch telbr De Behuptug gelte ür D st de bocc-zhl her wrd ds Ergebs us Augbe d verwedet durch telbr, d ch Idutoshe 6 durch telbr st g Es wrd olgede Aussge durch vollstädge Iduto über bewese: ür N t glt: 5 od 5, 5 l od 5 t ür l =,,, ür st 5 5 od 5, 5, 5, 5, 5 De Behuptug gelte ür Zu zege st, dss us deser Ahe olgt: 5, 5 l od 5 t ür l =,,, od 5 Mt de Ergebs us Augbe h, ds ubhägg vo Ergebs vo Augbe g bewese wrd, olgt uttelbr: h od 5 Mt de Ergebs us Augbe d ergbt sch: 5 5 l 5 5l 5 5 l 5 l 5 5 l 5 l 5 od 5 od 5 5 l Nch Idutosvorussetzug st od 5 t ür l =,,, We 5 l lecht chprüt, st d uch 5 od 5 od 5 Dher glt de Behuptug uch ür l h Behuptet wrd: Ist l t l N, so glt h t eer Zhl h N Dese Behuptug wrd durch vollstädge Iduto über l bewese, wobe ür l chts zu zege st

97 Lösuge der Übugsugbe 95 I Augbe d wrd ud gesetzt D st ür ergbt sch h Dt st de Behuptug ür l ud l gezegt Se gelte ür l D st l l h l l h l l ch Idutoshe Dt glt de Behuptug uch ür l Augbe 5: Der ezge Kote u Nveu de Wurzel ht de Nuer Der gz ls stehede Kote u Nveu trägt de Nuer Ds Nveu ethält Kote Nuer ud, so dss der erste Kote u Nveu de Nuer beot usw Allgee: Es se j de Nuer ees Nveus t < j <, wobe de Nuer des höchste Nveus st D der Bärbu vollstädg st, gbt es bs zu Nveu j eschleßlch j j vele Kote Also trägt der gz ls stehede Kote u Nveu j de Nuer j b Der Kote t der Nuer stehe u Nveu j Vor h u Nveu j stehe l j vele Kote Also st ch l Dese Kote vor h hbe u Nveu j + jewels zwe Ncholger, so dss vor de le Ncholger des Kotes t der Nuer u Nveu j + sgest l vele Kote stehe Der le Ncholger ht lso j d er u Nveu j + steht de Nuer l, der rechte Ncholger de Nuer