Arithmetische Schaltkreise
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- Harry Beltz
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1 Kptel Arthmetsche Schltkrese. Adderer. Sutrherer Multplzerer ALU Berd Becker Techsche Iformtk I Wederholug: Se -... ee Folge vo Zffer, {,} Bärdrstellug: <> Zweerkomplemet: [ -... ] Recheregel: mt [ ] [ ]... BB TI I./
2 Adderer Gegee: postve Bärzhle <> < -... >, <> < -... >, Eggsüertrg c {,} Gesucht: Schltkres, der Bärdrstellug s vo <> <> c erechet Wege <> <> c ( ) - geüge Ausgäge des Schltkreses. BB TI I./3 Defto. E -Bt Adderer st e Schltkres, der de folgede Boolesche Fukto erechet: : B B, ( -,...,, -,...,, c) (s,..., s ) mt <s> <s... s > < -... > < -... > c BB TI I./4
3 Bespel Addere ch der Schulmethode: Eggsüertrg BB TI I./5 Der Hldderer (HA) Der Hldderer det zur Addto zweer -Bt-Zhle ohe Eggsüertrg. Er erechet de Fukto: h : B B mt h(, ) (s, s ) mt s s BB TI I./6 3
4 Fuktostelle des HA h h Folglch: h h BB TI I./7 Schltkres ees Hldderers HA s s de: C(HA), depth(ha) s s BB TI I./8 4
5 Der Volldderer (FA) Der Volldderer det zur Addto zweer -Bt-Zhle mt Eggsüertrg. Er erechet de Fukto: f : B 3 B mt f(,, c) (s, s ) mt s s c BB TI I./9 Fuktostelle des FA c f f BB TI I./ 5
6 Volldderer ls Fukto vo HAs Aus der Telle folgt: f c h (c, h (, )) f c ( h (, ) h (c, h (, )) ) Koste ud Tefe ees FA: C(FA) 5, depth(fa) 3 BB TI I./ Schltkres ees Volldderers c HA c FA HA s s s s BB TI I./ 6
7 Relsere der Schulmethode: Crry Rpple Adderer (CR ) Herrchsches Vorgehe: (duktve Defto) Für : Für >: CR FA Schltkres CR we folgt defert Bezechug: Bezeche de Eggsüertrg mt c -, de Üertrg vo Stelle ch mt c. BB TI I./3 Aufu ees Crry Rpple Adderers c - FA FA FA FA c - c -3 c c - s - s - s s s 7
8 Schltld des -Crry Rpple Adderers (CR ) c c - FA CR -... s s s Stz. Der Schltkres CR st e -Bt-Adderer. Bewes durch Idukto: é : é - : Ege CR : ( -,...,, -,..., c - ) Zege für Ausge (s,..., s ) vo CR <s> <s... s > < -... > < -... > c - BB TI I./6 8
9 Stz. (ff) Nch I.V.: ) <c, s > c - (FA) ) Für CR - : <s... s > < -... > < -... > c Isgesmt: <s... s > <s... s > s I.V.) (< -... > < -... > c ) s I.V.) < -... > < -... > c - <> <> c - BB TI I./7 Komplextät ees Crry Rpple Adderer Schltld ees -Bt-Adderers: c Koste ees CR : C(CR ) C(FA) 5 Tefe ees CR : depth(cr ) 3 (-) s BB TI I./8 9
10 Ege wetere wchtge Schltkrese: é Der -Bt Ikremeter é Der -Bt Multplexer BB TI I./9 Defto. E -Bt Ikremeter erechet de Fukto: c : B B, ( -,...,, c) (s,..., s ) mt <s... s > <> c BB TI I./
11 Ikremeter E Ikremeter st e Adderer mt Ersetze CR de FA durch HA. Koste ud Tefe: C(INC ) C(HA) depth(inc ) depth(ha) BB TI I./ Defto.3 E -Bt-Multplexer (MUX ) st e Schltkres, der de folgede Fukto erechet: sel : B B mt sel (,...,, (,...,, s) (... ),flls... ), flls s s ( sel ) s s BB TI I./
12 - - s Schltld zum -Bt Multplexer... sel - sel Komplextät ees -Bt MUX Koste ud Tefe: C(MUX ) 3 depth(mux ) 3 s sel BB TI I./4
13 Rückkehr zum Adderer Gt es llgere Adderer ls CR? Utere Schrke: C( ), depth( ) log() Bäre Bäume mt Blätter he ere Kote. Bäre Bäume mt Blätter he mdestes Tefe log. Im folgede se k. BB TI I./5 Der Codtol Sum Adderer (CSA) Idee: Nutze Prllelverretug, um Tefe zu reduzere! c c s s... s s... s BB TI I./6 3
14 Schltld des CSA h h l l / / / CSA / CSA / CSA / c - (/) MUX (/) / s h s l Zur Komplextät des CSA é E CSA esteht us 3 CSA / é De steht x h für de / höchstwertge Bts, x l für de / ederwertge Bts der Ege é Es glt: CSA FA BB TI I./8 4
15 Stz.. Der CSA ht de Tefe O(log ). Bewes: : depth(csa ) depth(fa) 3 >: depth(csa ) depth(csa / ) depth(mux (/) ) depth(csa / ) 3 depth(csa /4 ) 3 3 depth(csa /8 ) depth(csa k /( ) ) k 3 3 (k ) 3 log() 3 BB TI I./9 Koste ees CSA C(CSA ) C(FA) 5 C(CSA ) 3 C(CSA / ) C(MUX (/) ) 3 C(CSA / ) 3 / 4 Zu löse st lso e Glechugssystem der Form f ( ) f ( ) g( ) ud f ( ) c Betrchte de ur k BB TI I./3 5
16 6 BB TI I./3 Koste ees CSA (ff) ( ) ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) M f g f g f g g g f g g f g f BB TI I./3 Koste ees CSA (ff) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) c g c g f g... g g g f log log k k c f k k k k k
17 Lemm. Se f : N N mt ( ) c, f k ( ) f( ) g( ) f D glt für lle f k log log ( ) c g( ) Bewes durch Idukto üer k. BB TI I./33 Bespel zu Lemm. Se 3,, c 5, g 3 () 4 C log log 3 ( CSA ) ( ) 4 BB TI I./34 7
18 Bespel (ff) log3 log log log3 log3 ( ) ( ) log ) 3 ) 4 log 3 log log ( 3 ) ) log 3 ) 3 ( ) 3 log log3 ( ) 3 log ( 3 ) log 3 3 BB TI I./35 Bespel (ff) ),),) ( ) C CSA 5 log3 log3 log3 3 3 log3 3 Bemerkug: M k CSA efcher Wese modfzere, so dss Tefe O(log ) ud Koste O( log ). BB TI I./36 8
19 Der Crry Lookhed Adderer (CLA) Gt es Adderer mt lere Koste ud logrthmscher Tefe? Crry Lookhed Adderer Idee: M k ds Prolem reduzere uf de schelle Berechug des Üertrgts c. Sd c ekt, so ergt sch s durch c -. Berechug der c durch prllele Präfx-Berechug! BB TI I./37 Prllele Präfx-Berechug Se M ee Mege, o : M M M ee ssoztve Aldug. Prolem: Relsere de prllele Präfx-Fukto PP o durch PP y o :M M, x o... o x PP o (x,...,x für. ) (y,...,y ) mt BB TI I./38 9
20 Prllele Präfx-Berechug (ff) Ahme: o wrd durch e spezelles Gtter erechet: Idee: Nutze Assoztvtät vo o! Bespel: - Fukto für. o st ssoztv. o BB TI I./39 Grudgtter für prllele Präfxerechug () Relserug vo PP o : x x y y BB TI I./4
21 Fuktoswese der prllele Präfxerechug Se k. y x o x o... o x o x ( x o x ) o... o ( x o x ) ( {,..., } ) y x x o x o o x o... o x o x ( x o x ) o... o ( x o x ) ( {,..., } ) BB TI I./4 Fuktoswese der prllele Präfxerechug (ff) Mt x ': x o x glt lso: ( {,..., } ) ( {,..., } ) y x' o... o x' : y' y M x x y x o x' o y o... o x x ' o y' BB TI I./4
22 Verefchte Beschreug des Vorgehes.Schrtt: Fsse jewels echrte Pre x, x zusmme: x' x o x BB TI I./43 Verefchte Beschreug des Vorgehes (ff).schrtt: Beutze Schltkres P / mt Iputs x, / : y' y' y' x' x' y' x' ox' x' ox' ox' M M o... o x' x ( x3 o x) o ( x o x ) ( x o x ) o ( x o x ) o ( x o x ) 5 o x ( x o x ) o... o ( x o x ) 4 3 y y y M y 3 5 BB TI I./44
23 Verefchte Beschreug des Vorgehes (ff) 3.Schrtt: Ergäze de fehlede y mt gerde: y y ( x o... o x ) x o x o y x Schltkres P zur Relserug vo PP o BB TI I./45 Schltkres P x - x - x 3 x x x x / -... x x P / y / - y... y y - y - y -3 y 3 y y y 3
24 Lemm. P ht Koste C(P ) ud Tefe depth (P ) log() für k. Bewes: k, lso C(P ) k, depth(p ) k- ) Koste: k: k- k: C(P ) C(P k ) C(P k k ) k k k BB TI I./47 Lemm. (ff) Bewes: ) Tefe: k: k- k: depth(p ) depth(p k ) depth(p k ((k ) ) k ) BB TI I./48 4
25 5 BB TI I./49 Kostrukto des Crry Lookhed Adderers Für < : Schelle Berechug der c - geügt c s c j j j K K c K K c j j K K BB TI I./5 Schelle Berechug der c - Betrchte Stelle s j, j. Für Beleguge vo ( j... ) ud ( j... ) köe geu 3 Fälle uftrete: ) c j uhägg vo c -, d.h. für c - ud c - Sprechwese: Stelle s j geerere ee Üertrg.
26 Schelle Berechug der c - (ff) ) c j c - Sprechwese: Stelle s j propgere ee Üertrg. 3) c j uhägg vo c -, d.h. für c - ud c - Sprechwese: Stelle s j elmere ee Üertrg. BB TI I./5 Fuktosdefto Defere de Fukto g j,, p j, : {,} f {,} für j < mt g j, p j, (,) (,) : : : : Stelle sost sost s Stelle s j geerere Üertrg j propgere Üertrg Bemerkug: g j, ud p j, häge ur vo j,...,, j,...,! BB TI I./5 6
27 Egeschfte vo g j,, p j, ) p, für < g, für < ) Für k < j: g g p j, j, p j,k k, p 3) Für < : c g, p, ( g p ) k, j,k c j,k BB TI I./53 Egeschfte vo g j,, p j, (ff) Es geügt lso, g,, p, ( < ) zu ereche. s c s s c g, c p p,, p, ( g p c ) c, c, für < Um prllele Präfxerechug wede zu köe, eötgt m ee geegete ssoztve Opertor o BB TI I./54 7
28 Der Opertor o Wähle M ( B ), o : ( B ) ( B ) ( B ) ( g,p ) o ( g,p ) ( g ( g p ),p p ) mt Dmt läßt sch ) schree ls ( g,p ) ( g,p ) o ( g, ) j, j, j,k j,k k, p k, o Es glt: C( ) 3 o depth( ) BB TI I./55 Bsszelle der Operto o g p g p BB TI I./56 8
29 Lemm.3 De Operto o st ssoztv. Bewes: Nchreche uter Verwedug vo Gesetze der Boolesche Alger. BB TI I./57 Bedeutug für de prllele Präfxerechug Aus ) ud der Assoztvtät folgt: ( g,p ) ( g,p ) o... o ( g,p ) o ( g, p ),,,,,,,, Wede u prllele Präfxerechug. (,p ) ( ) g,, < estmme mt Koste ud Tefe lsse sch us g,, p, C( o) 6 ( log() ) depth( o) 4 log() - BB TI I./58 9
30 Gesmtschltkres - - c -... g -,- p -,- g, p, g, p, P g -, p -, g, p, g, p,... c - c- c c s s - s s Gesmtkoste Koste: C(CLA ) 6 3 Tefe: depth(cla ) 4 log() 3 4 log() BB TI I./6 3
31 Addto vo Zweerkomplemetzhle Wederholug: Formle Drstellug: [... ] [... ] ( ) ( ) BB TI I./6 Behuptug Zur Addto vo ()-Bt-Zweerkomplemetzhle k m ()-Bt-Bärdderer eutze. Der Test, o ds Erges durch ee ()-Bt- Zweerkomplemetzhl drstellr st, d. h. o ds Erges us R {-,..., -} st, läßt sch zurückführe uf de Test c c -. BB TI I./6 3
32 -Bt Adderer c c - ADD c s s - s Üerluf BB TI I./63 Stz.3 See, B, c - {,} ud s {,}, so dss <c,s> <> <> c -. D glt: ) [] [] c - R c c ) [] [] c - R [] [] c [s] Bewes durch Flluterschedug [],[] ede postv, ede egtv zw. O.E. [] egtv, [] postv ud Nchreche... BB TI I./64 3
33 Bemerkug: Steht c - cht zur Verfügug (z.b. CSA), so k m de Üerluftest [ ] [] c R s verwede. BB TI I./65 33
Carl Friedrich Gauß (Deutscher Mathematiker, 1777 bis 1855) formulierte die folgende Formel n
mthphys-ole Alyss. Klsse Techk Itegrlrechug Vertefug des Itegrlegrffs De Itegrlrechug ht ds Zel, de Flächehlt krummlg egrezter Flächestücke zu ereche. Be der äherugswese Berechug der Fläche uter Polyomfuktoe
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