Versicherungsmathematische Formeln und Sätze WS 2001/02

Transkript

1 Pof. D. Detma Pfefe Vescheugsmathematsche Fomel ud Stze WS 200/02

2 Zsechug effete Zssatz: totale Zsetag aus dem fagsaptal "" ehalb ees Jahes Bawet des ach eem Jah fllge Kaptals "" Edwet des ach eem Jah fllge Kaptals "" d Dsot auf dem ach eem Jah fllge Kaptal "" Umechugstabelle d = = = d = d d d d 2

3 Reteechug 2 a Bawet ee jhge achschüssge Rete "" 0 Bawet ee jhge oschüssge Rete "" 2 s 0 Edwet ee jhge achschüssge Rete "" s Edwet ee jhge oschüssge Rete "" Umechugstabelle a s s a s ds s s d d a s ds s s s d a a s d d s d a a s d a ds s d a ds s 3

4 Lebesescheugsmathemat Symbol Bedeutug K gestutzte Lebesdaue ee jhge Peso K zufllge Bawet ee Rso-Todesfallescheug de E Höhe, ubegezte Decug K Netto-Emalpme ee Rso-Todesfallescheug de Höhe, ubegezte Decug zufllge Bawet ee Rso-Todesfallescheug de K K Höhe, jhge Decug K E Netto-Emalpme ee Rso-Todesfallescheug K de Höhe, jhge Decug zufllge Bawet ee Elebesfallescheug de K K Höhe E P K Netto-Emalpme ee Elebesfallescheug de Höhe K zufllge Bawet ee Kaptal-Lebesescheug de Höhe Netto-Emalpme ee Kaptal-Lebesescheug K K K de Höhe ewatete Retebawet de Höhe be lebeslage E K Zahlug ewatete Retebawet de Höhe be mamal Jahe dauede Zahlug ( ) jhlche Netto-Pme ee Rso-Todesfallescheug de Höhe, ubegezte Decug P jhlche Netto-Pme ee Rso-Todesfallescheug de Höhe, jhge P Decug P P P P V P V P : : V P : : jhlche Netto-Pme ee Elebesfallescheug de Höhe jhlche Netto-Pme ee Kaptal-Lebesescheug de Höhe Decugsaptale (Rücaufswete) 4

5 Kolletes Modell de Rsotheoe: Schadeescheugsmathemat S Gesamtschade Schadezahl N Schadehöhe ahme:, N stochastsch uabhgg mt P P, 0; N. Z Ezeugede Futo: Z (): t E t fü Zufallsaable 0 Z ud 0, t mt () t () t S N Vetelug Z P Name ezeugede Futo Z Bp (, ) Bomal-Vetelug ( p pt) ( ) Posso-Vetelug ( t ) ( p) geometsche Vetelug Bp (, ) egate Bomal-Vetelug ( ) Epoetal-Vetelug, Gamma-Vetelug e p ( pt ) p ( pt ) l t l t Foue-Tasfomato: t t Se N e, t Rüctasfomato be athmetsche Schadehöheetelug, Schttwete : 2 M t t 2 j / M 2 j / M PS Se e dt Se e, 2 M 0 5 j0

6 mt Glechhet be beschtem Tge 0,, M fü S /. Schelle Foue-Tasfomato: Bezechuge: fü s, 0,, M: 2 s / M s s s e, V :, V /, M f : P, g : P S, f : f, g: g FFT : fˆ V f ˆ FFT : g V f Reusosefahe be athmetsche Schadehöheetelug (ach Paje): Ist N o de Fom so glt fü : N () t t B/ fü B, 0 Bt ( ) e B fü 0, 0 g ( f ) 0 N 0 g g f ( j) B( j) j j ( )( f0) j0 Wobe we obe Bedeutug de Paamete: f : P, g : P S,. p (0,), p :, B : : N ( t) [egate Bomal-Vetelug] ( pt ) 0, p:, B: : N ( t) p pt [ Bomal-Vetelug] 0, B0 : Gezfall fü 0 [Posso-Vetelug] 6

7 Pmealulatospzpe llgemees Vescheugspoblem: Ist 0 e fast sche cht-ostates eschebaes Rso (d.h. es glt : E ( ) ) ud gege de Pme eschet, so glt fü jede uabhgge Folge Rse mt P P : o glechatge lmf fast sche Pmeaufomme Schadeaufomme Pmealulatospzp: Rso Pme H( ) mt: Y P P H( ) H( Y) d.h. de Pme hgt u o de Vetelug, cht o de futoale Fom des Rsos ab. Fodeug: H( ) E( ) Bespele: dete Pzpe: H( ) ( ) E( ) : Ewatugswetpzp mt Schehetszuschlag 0 H( ) E( ) Va( ) : Vaazpzp mt Schehetszuschlag 0 H( ) E( ) Va( ) : Stadadabwechugspzp mt Schehetszuschlag 0 dete Pzpe: Eu H( ) 0 : Nullutzepzp mt stt oae Nutzefuto u: ud omeede Egeschafte: u(0) 0, u'(0) es glt heugswese (appomates Vaazpzp): u"(0) H( ) E( ) Va( ) 2 (beachte: u"(0) 0 wg. Koatt) 7