Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Institut für Mathematik. Risikotheorie

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1 Prof. Dr. Detmar Pfefer Isttut für Mathemat Rsotheore Stad: 5. Aprl 5

2 Ihalt Vorbemerug... 3 I Persoeverscherugsmathemat... 6 I.. Bewertug vo Fazströme... 6 I.. Lebesdauerverteluge ud Sterbetafel... I. 3. Lebesverscherugspräme... I. 4. Decugsrücstelluge... 3 I. 5. Verbudee Lebe I. 6. Kosterechug ud Überschussbetelgug... 4 I. 7. De prvate Kraeverscherug I. 8. Kopfschäde ud Schadeprofle I. 9. Alterugsrücstelluge ud Prämeapassuge II Sachverscherugsmathemat... 5 II.. Das olletve Modell der Rsotheore... 5 II.. De Pajer-Reurso... 7 II. 3. De dsrete Fourer-Trasformato II. 4. Rücverscherug... 8 II. 5. Schadeabwclug ud -reserverug II. 6. Prämeprzpe... III Credblty-Theore... III.. De Credblty-Präme... 9 III.. De learserte Credblty-Präme... III. 3. De emprsche Credblty-Präme... 5 III. 4. Modellerweteruge... 7 IV Rutheore... 3 IV.. Zetdsrete Ruprobleme... 3 IV.. Zetstetge Ruprobleme... 4 V Verallgemeerte leare Modelle V.. Epoetalfamle V.. Leare statstsche Modelle V. 3. Verallgemeerte leare Modelle Verzechs der Deftoe, Sätze, Lemmata ud Bespele Lteratur Dasagug... 86

3 I Persoeverscherugsmathemat Vorbemerug Uter Verscherug versteht ma aus betrebswrtschaftlcher Scht de Decug ees m ezele ugewsse, sgesamt geschätzte Mttelbedarfs auf der Grudlage des Rsoausglechs m Kolletv ud der Zet. Aders ausgedrüct bedeutet des de Etausch ees (zufallsbehaftete) Rsos des Verscherugsehmers (VN) gege ee (determstsche) Präme a das Verscherugsuterehme (VU), welches sch dadurch zur Überahme der mt dem Rso verbudee Asprüche oder Lestuge verpflchtet. Der VN erauft sch damt ee gewsse fazelle Schutz, da de der Regel verglechswese ostegüstge Verscherugspräme hrer Größeordug beat ud damt für de VN alulerbar st,. Allg. cht jedoch de möglche Belastug eem Schadefall (z.b. cht gedecte Hypothe für ee Immoble ach eem Todesfall, Koste eer aufwädge Operato ach eem Ufall, Beschädgug oder Verlust ees Gebäudes durch ee Bradschade usw.) De mt solche Rse verbudee fazelle Gefahre a das VU auf der adere Sete ur durch Vertelug auf vele Verscherte (Ausglech m Kolletv) bzw. de Umstad der Ncht-Glechzetget aller Schadefälle (Ausglech der Zet) mmere. Ee gute Überscht über de eher wrtschaftswsseschaftlche Aspete vo Verscherug (Verscherugsbetrebslehre) gbt FARNY (). Tradtoell uterschedet ma de Verscherugsgeschäfte ach Persoeverscherug (z.b. Lebes-, Krae- ud Pesosverscherug), Sachverscherug (z.b. Feuerverscherug, Elemetarschadeverscherug), Vermögesverscherug (z.b. Haftpflchtverscherug) ud Rücverscherug (das st de Verscherug der Verscherer ). I jügerer Zet werde verstärt auch alteratve Verscherugsozepte egesetzt, de mt Istrumete des Kaptalmars arbete (Stchworte: Ide- ud Fodsgebudee Lebesverscherug, Captves, Catastrophe Bods ud Futures/Optos, Securtsato, Alteratve Rs Trasfer). Naturgemäß fällt damt de Rsotheore ud spezell de Verscherugsmathemat als Grudlage der Prämealulato ud der Rsomodellerug de Berech der Stochast; zu hre Themeschwerpute zähle sbesodere de Schätzug vo Wahrschelchetsverteluge ud dere Parameter für de ezele Rse (etwa auf der Bass vo Sterbe- ud Ivaldtätstafel m Berech der Persoeverscherugsmathemat oder vo Schadefrequez- ud Schadehöheverteluge m Berech der Sach- ud Rücverscherug), de Modellerug vo zetabhägge Rsoprozesse (sbesodere m Zusammehag mt der Problemat vo lagfrstge Abwcluge vo Schadefälle [Loss Reservg] ud der sog. Rutheore) oder de auf der zetlche Schadeerfahrug baserede Prämedfferezerug (Credblty Theory [Bayes-Verfahre], Bous-Malus-Systeme [z.b. m Kfz-Haftpflchtberech]). De Verscherugsmathemat zählt aufgrud hrer große wrtschaftlche ud sozalpoltsche Bedeutug mt zu de älteste mathematsche Dszple, we der folgede, telwese ergäzte Auszug aus MILBRODT UND HELBIG (999) zegt (vgl. auch KOCH (998) ud KNOBLOCH UND VON DER SCHULENBURG ()): 3

4 I Persoeverscherugsmathemat Jahr Eregs 38 Ältester beater Lebretevertrag, geschlosse zwsche dem Erzbschof vo Köl ud dem Kloster St. Des be Pars. 37 Erste Seeverscherugsverträge Geua (gemeh agesehe als Ursprug der Rücverscherug). 583 W. Gybbos uterzechet Lodo de erste beate Lebesverscherugsvertrag der Welt (ee Wettvertrag): Auszahlug vo 4 be Tod be ees Jahres (be eer Emalpräme vo 3 ). 585 S. Stev stellt der Schrft Practque d Arthmétque ee Zstafel sowe ee Tabelle vo Edwerte vo Zetrete Abhägget vo der Laufzet auf. 59 Abschluss des sog. hamburgsche Seeverscherugsvertrags. 59 Hamburger Feuercotract zur Verscherug der städtsche Brauhäuser. 66 J. Graut verfasst auf Aregug vo W. Petty de Schrft Natural ad poltcal observatos made upo the blls of mortalty mt eer Sterbetafel, de auf dem Lodoer Todesregster beruht. 669 C. ud L. Huyges tausche sch eem Brefwechsel über Erwartugswert ud Meda der zuüftge Lebesdauer uter Zugrudelegug vo Grauts Sterbetafel aus, auch für verbudee Lebe ud Persoegruppe, de bem letzte Tod erlösche. 67 Kampeer Kommualtote, etspreched eer Idee vo L. Tot, gestaltet als Retealehe. 67 J. de Wtt verfasst de Schrft Waerdye va Lyf-Rete aer Proporte va Los-Rete (Prämeberechug für Lebrete, Rechugsgrudlage erster Ordug ) zum Zwec der Armee-Fazerug m Nederlädsch-Frazössche Kreg. 676 Grüdug der Hamburger Feuerasse, des erste öffetlch-rechtlche Verscherugsuterehmes der Welt. 68/83 Zahlreche Schrfte vo G.W. Lebtz zu verschedee Probleme der Verscherugsud Fazmathemat, u.a. mt de Theme Öffetlche Asseuraze (mt Bezug auf de urz zuvor gegrüdete Hamburger Feuerasse), verschedee Arte der Zsrechug, Lebrete, Pesoe, Lebesverscheruge (auch auf mehrere Lebe), Bevölerugsetwclug. 693 Der Astroom E. Halley verfasst de Schrft A estmate of the degrees of mortalty of mad, draw from curous tables of the brths ad the fuerals at the cty of Breslaw; wth a attempt to ascerta the prce of auttes upo lves. Kostruto eer Sterbetafel (Todesfälle vo 687 bs 69 Breslau), Darstellug vo Lebretebarwerte. 76 Grüdug der Amcable Socety, der erste Lebesverscherugsgesellschaft der Welt, Lodo. 75 A. de Movre verfasst das erste Lehrbuch der Verscherugsmathemat mt dem Ttel Autes upo Lves. Sterbegesetz als Appromato vo Halleys Sterbetafel, Reursosformel für Lebretebarwerte. 74 J.P. Süßmlch verfasst de Schrft De Göttlche Ordug de Veräderuge des meschlche Geschlechts, aus der Geburt, dem Tode ud der Fortpflazug derselbe. Sterbetafel für Deutschlad, mehr als Jahre m Gebrauch. 4

5 I Persoeverscherugsmathemat 755 J. Dodso verfasst The Mathematcal Repostory. Lebesverscherug gege laufede ostate Präme, Eführug des Decugsaptals. 76 Deed of Settlemet (Grüdugsurude) der Socety for Equtable Assuraces o Lves ad Survvorshps. Erste Lebesverscherugsgesellschaft auf statstsch-mathematscher Bass. Wahl des auf Dodso zurücgehede Begrffs des Actuary (Atuar) als Berufsbezechug des Verscherugsmathematers. 765 D. Beroull verfasst de Schrft Essa d ue ouvelle aalyse de la mortalté cuasée par la pette vérole, et des avatages de l oculato pour la préver. Zusammegesetzte Ausschedeordug mt de Ausschedeursache Tod ohe vorherge Poceerraug ud Ausschede durch Poceerraug. 767/76 L. Euler verfasst de Schrfte Recherches géérales sur la mortalté et la multplcato du gere huma sowe Sur les retes vagères ud Eclarcssemets sur les établssemets publcs e faveur tat des veuves que des morta avec la déscrpto d ue ouvelle espèce de tote auss favorable au publc qu utle à l état. Erweterug der Halleysche Sterbetafelostruto auf de Fall eer chtstatoäre Bevölerug. Jahresettopräme für Lebrete (auch reursv), Bruttopräme. Beschrebug eer otuerlche (zugagsoffee) Toteverscherug. 785/86 N. Tetes verfasst de Schrft Eletug zur Berechug der Lebrete ud Awartschafte, de vom Lebe eer oder mehrerer Persoe abhage. Erstes deutschsprachges Lehrbuch der Lebesverscherugsmathemat (zwebädg); Eführug der Kommmutatoszahle. 79 Grüdug der erste Hagelverscherug Neubradeburg. 8/5 B. Gompertz beschrebt das ach hm beate Sterbegesetz de Tete A setch of a Aalyss ad Notato applcable to the Value of Lfe Cotgeces ud O the Nature of the Fucto Epressve of the Law of Huma Mortalty ad o a ew Method of Determg the Values of Lfe Cotgeces. 845/5 C.F. Gauß erstellt e Gutachte zur Prüfug der Professore-Wtwe- ud Waseasse zu Göttge. 846 Grüdug der Kölsche Rücverscherugsgesellschaft. 86/66 W.M. Maeham erwetert das Gompertz sche Sterbegesetz de Schrfte O the Law of Mortalty ud O the Prcples to be observed the Costructo of Mortalty Tables. 863 A. Zllmer etwcelt Beträge zur Theore der Prämereserve be Lebesverscherugsastalte ee Darstellug des Decugsaptals uter Eschluss vo Abschlussoste. 87/8 Erste Allgemee Deutsche Sterbetafel (ADSt) für das gesamte Deutsche Rechsgebet. 898 Erste teratoale Stadardserug verscherugsmathematscher Bezechugswese. De Grudprzpe deser Notato gehe zurüc auf Davd Joes (843): O the Value of Autes ad Reversoary Paymets. 9 L. Bacheler letet der Schrft Théore de la Spéculato ee Optospresformel uter Zugrudelegug eer Brow sche Bewegug für de Ateursetwclug her. Beg der sog. Stochastsche Fazmathemat. 5

6 I Persoeverscherugsmathemat I. Persoeverscherugsmathemat I.. Bewertug vo Fazströme I der Persoeverscherugsmathemat spele der Regel Fazströme ee wesetlche Rolle, z.b. be der Pesosverscherug durch regelmäßge Zahluge des VU a de VN, aber auch Form vo Prämezahluge a das VU durch de VN z.b. der Kaptal-Lebesverscherug oder der Kraeverscherug. Herdurch etsteht das Problem der faztechsche Bewertug solcher Zahlugsströme, etweder zum Ede der Laufzet (Verzsug) oder zum Afag der Laufzet (Dsoterug). Wr gehe m folgede davo aus, dass E- ud Auszahluge K j zu feste äqudstate Zetpute j =,,, erfolge (z.b. jährlch, moatlch usw.) ud dass der Zssatz erhalb der ezele Perode ostat blebt. De Verzsug erfolgt grudsätzlch zum Ede der jewelge Perode. De Größe r= + heßt dabe Zsfator, de Größe v = r = + Dsotfator. Häufg wrd auch och de Größe d = - v betrachtet, de als Dsot (auf e Kaptal der Höhe ) bezechet wrd. Zur Herletug der zugehörge Bewertugsformel betrachte wr folgede Graph: Zahlugszetput K rk r K r K - K rk r K -3 K3 r K3 K rk r K r K r K å j= r - j K K j Wertetwclug vo K Wertetwclug vo K Wertetwclug vo K Wertetwclug vo K 3 Wertetwclug gesamt Der sog. Edwert W des durch de Zahluge K,, K gegebee Fazstroms st also gegebe durch de Bezehug - j W = å r K j= j. Durch Dsoterug mt dem Fator v erhält ma heraus de sog. Barwert B des Fazstroms: - j j = å j = å j j= j= B v r K v K. 6

7 I Persoeverscherugsmathemat I pratsche Aweduge uterschedet ma och de Fälle K = (achschüssge Zahlugswese) ud K = (vorschüssge Zahlugswese). Bespel. E Sparer zahlt zum..3 de Betrag vo,- auf e Sparoto e, zum..4 ud..5 jewels de Betrag vo,- ud hebt ohe wetere Zuzahluge zum 3..6 de Betrag vo 3,- ab. Der jährlche Zs betrage = 3%, also =,3. We groß st der Barwert des zum 3..6 verblebede Kaptals? Nach der obge Bewertugsformel ergbt sch mt = 4, K =, K= K =, K3 = ud K 4 =- 3 der Barwert (gerudet) 4 4 å j= j 4 B = v K = + v + v -v 3 = 6, 48. j Der Sparer hätte also alteratv auch zum..3 de Betrag vo 6,48 als Emalelage ezahle öe, um zum 3..6 auf deselbe Edwert vo 43,76 zu omme. Barwerte spele also sbesodere da ee Rolle, we mehrere zuüftge Zahluge durch ee Emalzahlug zum Zetput abgelöst werde solle. Vo besoderer Bedeutug der Verscherugs- ud Fazmathemat sd wederehrede Zahluge (sog. Rete) derselbe feste Höhe. Obge Bewertugsformel ergebe da durch Awedug der Formel für de geometrsche Rehe sofort folgede verefachte Ergebsse, für de der Verscherugsmathemat besodere Symbole verwedet werde: v a : = v + v v = v v å = - v = Barwert eer -perodge achschüssge Rete der Höhe - v ä : = + v v = v å = - v = Barwert eer -perodge vorschüssge Rete der Höhe s : = r + r + + = r å = - = r - r - = = r- Edwert eer -perodge achschüssge Rete der Höhe r - r - s : = r + r + + r= r r r å = = r- Edwert eer -perodge vorschüssge Rete der Höhe Bar- ud Edwerte vo Retezahluge der Höhe R sd heraus etspreched durch Multplato der etsprechede Größe (für ee Rete der Höhe ) mt R zu erhalte. Hlfrech für ege Aweduge st de folgede Umrechugstabelle für dese Größe. 7

8 I Persoeverscherugsmathemat ä a s s v r ä = ra s + ds +s rs -v r - d rd a = vä vs + ds +s s -v r - r s = s = ä -dä vä -dä ra rs -a a -a vs -v r - vd d -v r - v v = - dä - a + ds +s r r = -dä -a + ds + s v Bespel. E Studereder, der heute see. Geburtstag feert, möchte durch ee Emalzahlug auf ee Sparvertrag ee Betrag zu seer Altersscherug leste. Gedacht st a ee 5- jährge moatlche vorschüssge Rete der Höhe,-, beged mt dem volledete 65. Lebesjahr. Welche Betrag muss er jetzt ezahle, we das Kredtsttut ee Jahreszs vo 4% für de gesamte Laufzet (also bs zum 9. Lebesjahr) garatert? Der Barwert der vorschüssge Rete (verefached ageomme: jährlche Höhe R = ) zum Abschluss des 65. Lebesjahres beträgt ach obgem ä v -/,4 R= = = 94963,56. -v -/,4 Für de otwedge Emalzahlug muss deser Betrag och über 45 Jahre dsotert werde, d.h. der etsprechede Barwert B ergbt sch zu 45 B= v ä R= 33377, (Dasselbe Ergebs hätte ma mt der zwete allgemee Bewertugsformel obe erhalte uter Zugrudelegug vo K = K = K 44 =, K 45 = K 46 = = K 69 =. ) Zur Fazerug des omale Gesamtbetrags aller zuüftge Retezahluge Höhe vo 5 = 3 st also heute (ur) e emalger fazeller Aufwad vo etwa % deser Summe erforderlch. 8

9 I Persoeverscherugsmathemat Natürlch spelt der garaterte Zssatz her ee wesetlche Rolle. De achfolgede Tabelle zegt, welche Barwerte (Emalzahluge) sch be uterschedlche Zssätze ergebe. Zssatz % 3% 4% 5% 6% Barwert B ( ) 983, , 33377, ,45 83, Hat ma umgeehrt ur ee bestmmte Betrag K für de Emalzahlug zur Verfügug, so a ma aus der Glechug K = R v v -v bzw K K v - v - v R + R = de Dsotfator v ud damt de otwedge Zssatz bereche. De folgede Tabelle zegt, welche Zssatz ma be verschedee Werte vo K (be R = ) beötgt. Emalzahlug K ( ) Zssatz ( %) 7,7 6,37 5,533 4,977 4,549 4, Bespel 3 (Autätetlgug eer Hypothe). De obge Formel öe auch dazu verwedet werde, um Tlgugspläe für Hypothee H mt ostater Autät A zu bereche. Dazu setze wr K =- H (Auszahlug der Hypothe H zur Zet ) ud K= K = = K = A (Ezahluge der Autät A am Ede der jewelge Perode). De Bedgug für de vollstädge Tlgug der Hypothe eschleßlch sämtlcher afalleder Zszahluge lautet da - r - = W =- r H + Aå r =- r H + A, also r - = r ( r-) r A= H = H. r - s De Autät a dabe je Perode zerlegt werde ee Tlgugsatel T ud ee Zsatel Z, für de aalog glt: mt der jewelge Restschuld T = r A= v A, Z = A- T = - v A, =,, H am Ede der Perode, gegebe durch r -r H = H, =,,. r - De folgede Tabelle gbt bespelhaft ee Tlgugspla weder für de Stuato H = be = Jahre Laufzet ud 4% Jahreszs, woraus sch ach obger Formel für de Autät der Wert A = 39, 9 ergbt. 9

10 I Persoeverscherugsmathemat Ede Jahr Vorschuld Autät Zsatel Tlgugsatel Restschuld, 39,9 4, 839,9 967,9 967,9 39,9 3666,84 866,6 838, ,65 39,9 33,35 98, , ,9 39,9 96, 9369, 6463, ,8 39,9 585,3 9743, , ,94 39,9 95,48 33, , ,3 39,9 79,3 538,96 344, ,36 39,9 368,57 96,5 353, ,84 39,9 93,5 398,94 854,9 854,9 39,9 474, 854,9, I.. Lebesdauerverteluge ud Sterbetafel Be Lebrete, dere Zahlug (erst) mt dem Tode der begüstgte Perso edet, lasse sch de obge efache Rechuge so cht durchführe, da de gesamte Zahlugsdauer her de Zufallsvarable K + st, wobe K de ach ute abgerudete (sog. gestutzte ) gazzahlge restlche Lebesdauer für de begüstgte Perso mt dem jetzge Alter st. Als fare Präme wrd ma her de Erwartugswert des Barwerts asehe (sog. Äquvalezprzp der Verscherug ), also etwa be vorschüssger Zahlugswese ud Auszahluge der Höhe de Größe K K+ K + E( v ) -v K+ + å ç å ( ) æ ö æ ö - ä : = E v = E = mt E v = v P K =, èç ø èç -v ø -v = = für dere Berechug de Kets der Wahrschelchetsvertelug vo Ausdruc E( v K + ) vo K otwedg st. Der stmmt dabe gerade mt der wahrschelchetserzeugede Futo j K + jk + () v = v jk (). v K a der Stelle v übere; es glt her och de Bezehug Ma beachte, dass de Azahl der Zahlperode tatsächlch K + beträgt. Ist z.b. K =, so überlebt de betreffede Perso das ächste Lebesjahr zwar cht, erhält aber zu Beg och ee Retezahlug, d.h. de Azahl der Zahlperode st her gerade. Des lässt sch durch das Gesetz der Große Zahle motvere: verauft e VU eem Portfolo ee große Zahl glechartger Lebrete, d.h. a Persoe mt demselbe Alter ud glechem Geschlecht, so stmme de durchschttlche dsoterte zufällge Koste des VU aus dem Gesamtportfolo mt dem zugehörge Erwartugswert, d.h. her ä, äherugswese übere. Das Äquvalezprzp etsprcht also eer Art Umlageverfahre, be dem de dsoterte Koste glechmäßg auf de VN umgelegt werde.

11 I Persoeverscherugsmathemat Bespel 4 (Fortsetzug vo Bespel ). We wr zuächst ftv aehme, dass de restlche (gestutzte) Lebesdauervertelug eer 65-jährge mälche Perso beschrebe werde a durch de abgeschttee geometrsche Vertelug -q P( K = ) = q, =,,,35 mt eem Parameter q Î (,), 36 -q d.h. das mamal errechbare Alter ( Edalter ) beträgt userer Bespelrechug v * =, so folgt weder mt dem Rechugszs = 4% - -q -q -( qv) E v = v P K = = v qv = v - K+ + å ( ) å, also = - q = qv - q q -( qv) K ( + - E v -v ) 36 -qv -q ä = ä( q) = = -v -v 36. De folgede Graph zegt de Verlauf des Barwerts B( q) = ä ( q) mt = 65, der für user Bespel relevat st, m Berech q Î (, ). Für de Erwartugswert der restlche gestutzte Lebesdauer erhalte wr userem Bespel ach eger Rechug de Wert E K q- 36q + 35q = 36 (-q)(-q ) De folgede Graph zegt de Abhägget des Retebarwerts vo deser erwartete restlche gestutzte Lebesdauer..

12 I Persoeverscherugsmathemat Be eer bespelhafte erwartete Restlebesdauer vo 6 Jahre be Mäer m Alter 65 (d.h. q =,9863 userem Modell) ergbt sch damt der Retebarwert Bq = 38684,7, also e etwas leerer Wert als be der erste determstsche Rechug über de ursprüglche Retephase vo 5 Jahre, obwohl userem Bespel sogar e Alter vo Jahre errecht werde a, de Retephase sch desem Fall also auf bs zu 35 Jahre verläger würde. Ma beachte, dass der Grezfall q zu eer dsrete Glechvertelug führt; des etsprcht geau dem Sterbegesetz vo de Movre (74). De erwartete Restlebesdauer ergbt sch her zu 7,5 E K = Jahre mt eem zugehörge Retebarwert vo Bq = 488,, was zuglech dem mamal errechbare Wert userem Vertelugsmodell etsprcht. Für de wetere Betrachtuge st es hlfrech, zuächst ee etwas allgemeere Darstellug vo Lebesdauer ud hre Verteluge zu betrachte. Dazu wolle wr mt T de otuerlche restlche Lebesdauer eer Perso mt dem jetzge (cht otwedg gazzahlge) Alter bezeche. T etsprcht somt der gesamte Lebesdauer eer eugeboree Perso (Alter ). Ferer wolle wr aehme, dass de Vertelug der Lebesdauer T ee Dchte f bestzt. Mt F werde de zugehörge Vertelugsfuto bezechet. Da Lebesdauer cht-egatve Zufallsgröße sd, öe wr o.b.d.a. aehme, dass Ft = ft = st für t. Mt v wolle wr schleßlch och de rechte Edput der Vertelug(sfuto) bezeche, d.h. es st { t F t } v : = sup Î <. Defto. Uter de obge Aahme heßt de Futo f() t m(): t =, t< v - Ft de Sterbetestät zur Vertelug der Lebesdauer T. P s< T < s+ h = ò f() t dt» h f() s für sh>, ud lee Werte vo h folgt heraus Wege sofort s+ h s

13 I Persoeverscherugsmathemat ( < < + ) P s T s h f() s P( s< T < s+ h T> s) =» h = h m() s PT> s -Fs für lee Werte vo h, d.h. für lee h st de Wahrschelchet, erhalb der Zetspae h zu sterbe, we ma bs zum Zetput s überlebt hat, äherugswese proportoal zu h, mt Proportoaltätsfator m (). s Ee alteratve Darstellug der Sterbetestät st deshalb für stetge Dchte möglch vermöge der Grezwertbezehug m() t = lm P( t< T < t+ h T> t), t< v. h h Ählch we Defto a ma auch ee Sterbetestät zur Vertelug der allgemeere Lebesdauer T defere, we dere Dchte ud Vertelugsfuto beat sd. Lemma. Uter de obge Voraussetzuge glt: a) De Vertelugsfuto F, Dchte f ud rechter Edput v der Lebesdauer T sd gegebe durch () F + t - F, () f + F t = f t = t,, t³, t< v = v- -F -F für < v; b) de Sterbetestät m zur Vertelug der Lebesdauer T st gegebe durch f() t f( + t) m(): t = = = m( + t), t< v = v-; -F ( t) - F( + t) c) æ t ö æ t ö F ( t) = -ep m ( s) ds ep m( s) ds ç- = - ç- +, t< v = v-. ò ò çè ç ø è ø Bewes: Es st ( ) P < T + t F( + t) - F f( + s) F() t = P( T t) = P( T + t T> ) = = = ds, PT> -F ò -F woraus Tel a) wege w ì F( + t) -F ü = sup { tî F( t) < } = supï ítî < ï ý= sup { tî F( + t) < } = v - ïî - F ïþ folgt. Tel b) ergbt sch umttelbar aus a) uter Beachtug vo F( + t) -F - F( + t) - F ( t) = - =. -F -F( ) t 3

14 I Persoeverscherugsmathemat Tel c) folgt aus der Glechug t m f() s () sds= ds=-l ( - F(), t ) t<. F ( s) v = v - - ò ò t Bemerug: Ee alteratve Darstellug der allgemee Sterbetestät st für stetge Dchte aalog zu obe möglch vermöge der Grezwertbezehuge m d () t = lm P( t< T < t+ h T > t) = (-l ( - F() t )), t<. h h dt v = v - Bezechet we obe T de otuerlche restlche Lebesdauer eer -jährge Perso, so heßt Alehug a de scho verwedete Begrffsbldug K : = ma{ Î T ³ } de gestutzte restlche Lebesdauer der -jährge Perso, wobe her svollerwese als gazzahlg ageomme werde soll. De gestutzte restlche Lebesdauer etsprcht also gerade dem gazzahlge Atel der otuerlche restlche Lebesdauer. Für hre Vertelug glt: P K = = P T < + = F ( + ) - F, =,, v -, < v mt v * = { mî m< v} * * * * : ma. (Falls v gazzahlg st, glt also spezell v = v- ; v heßt etspreched Edalter der gestutzte Lebesdauer K.) Ferer werde folgede Wahrschelchete atuareller Notato besoders geezechet: p : = P T > t, q : = - p = P T t, q : = P s< T s+ t, s, t³ t t t st sowe p : = p, q : = q, t³. t p heßt de t-jährge Überlebeswahrschelchet der -jährge Perso, t q de t-jährge Sterbewahrschelchet der -jährge Perso. Wetere wchtge Symbole sd: e : = E T ud e : = E K für de jewelge erwartete Restlebesdauer (restlche [gestutzte] Lebeserwartug). Zwsche dese Größe bestehe folgede Bezehuge: 4

15 I Persoeverscherugsmathemat Lemma. Uter de obge Voraussetzuge glt: a) s+ t p = s p t p+ s, st q = s p tq+ s, s, t, ³ ; - - b) + ( + ) p = p = - q, ³, Î mt p =, q = ; j j j= j= c) P K = = p q ud P K > = p,, ³ ; + + ò ò ò å å å d) e) e = t f () t dt = - F () t dt = p dt, e = P K = = P K > = p ; t = = = + e ' + e+ -e =, falls f stetg, ud q =, ³. e + e+ m Bewes: Es st ( ) ( ) ( > + + ) ( > + ) PT ( > + s) PT ( > ) PT> + s+ t - F( + s+ t) - F( + s+ t) - F( + s) p = P T > s+ t = = = PT> -F - F ( + s) -F s+ t PT s t PT s = = PT > t PT> s= p p ( > ) ( + < + + ) PT ( > + s) PT ( > ) st s P s T s t + s s t + s q P s< T s+ t P T > P + s< T + s+ t = = = p P T s PT> + s = PT t = q. + s t + s ud Heraus folge a) ud b) wege - p = p p = p p p = = p j j=. Ferer st ud somt ( > ) = ( ³ + ) = ( ³ + ) = P K P K P T p + = p ( - p ) = p q P K = = P K ³ - P K ³ + = p - p = p - p p für ³,, woraus sch Tel c) ergbt. 5

16 I Persoeverscherugsmathemat Tel d) folgt umttelbar aus Egeschafte des Erwartugswerts. 3 Der erste Tel vo e) folgt aus - F( + t) e = ò dt= -F( s) ds, -F -F ò also e - F = -F( s) ds; ò dfferezere ergbt: - f e + ( - F ) e =-( -F ) restlche Bezehug ergbt sch aus ', also f + e ' m = =. - F e De å å å qe = e - p p = e - p = e + p - p = - q + e -e = = = T Bespel 5. Es se T epoetalvertelt mt Parameter l >, Zeche: P = ( l). Da st v =, ud es glt: -lt -lt f() t f() t = le, F() t = - e, m() t = º l, t³ - Ft sowe m ( t ) = m ( + t ) º l,, t³, d.h. es st auch T epoetalvertelt mt (demselbe) Parameter l > ; ma sagt, de Epoetalvertelug se alterugsfre oder gedächtslos. De gestutzte (restlche) Lebesdauervertelug ergbt sch zu l l l l ( ) P K F F e e e - e pq + = = + - = - = - =, Î mt p = - e -l, d.h. K K st desem Fall geometrsch vertelt mt Parameter p, Zeche: P = ( p). Ferer st e -l q e =, e = = =. -l l l p -e e - (Achtug: p st her abweched vo der allgemee Notato de ejährge Sterbewahrschelchet!) Ee efache Varate des obge (für de Lebesverscherug urealstsche) Modells erhält ma durch das Abschede der Lebesdauer T bzw. der Vertelug a eem edlche Wert v > vermöge der Defto v f() t f (): t =, t v. F( v) (De abgeschttee Lebesdauer werde aalog mt T v bezechet.) I desem Fall st v atürlcherwese das Edalter, ud es glt 3 Mt Hlfe des Satzes vo Fub lässt sch etwa für ee cht-egatve Zufallsvarable Z mt Dchte h ud Vertelugsfuto H zege: z ò ò ò òò ò ò ò E( Z) = z h( z) dz = h( z) dwdz = h( z) dwdz = h( z) dz dw = ( -H ( z) ) dz. w z w 6

17 I Persoeverscherugsmathemat v v Ft () f () t f() t F () t = v, m () t, t v v F( v) = -F ( t) = F( v) -F( t) < sowe allgemeer v f( + t) v F( + t) -F f () t =, F () t =, F( v) -F F( v) -F v v f () t f( + t) m () t = =, t< v = v-, < v. v -F ( t) F( v) - F( + t) Für de restlche Lebeserwartug ergbt sch etspreched v v F( v) - F( + t) e = ò - F ( t) dt= ò dt, < v. F( v) - F Im Fall vo Epoetalverteluge lefert des spezell -lt -lt v f( + t) e v F( + t) -F -e f () t = = l, F (), t = = -l v- -l( v-) F( v) -F -e F( v) -F -e v v f () t l m () t = =, t< v, ( t) = v- v -l v- - -F ( t) -e e v v- = -, < v. lv ( -) l e - v Isbesodere mmt also de Sterbetestät m sowohl mt wachsedem Alter als auch mt der Zet t mooto zu. Etspreched lässt sch auch de geometrsche Vertelug ach obe abschede, etwa so we Bespel 4. Ma beachte, dass ach obger Bemerug de abgeschttee gestutzte Lebesdauer K v her rechersch ur de Edput v * = v- errecht, we v gazzahlg st. Es ergbt sch aalog: v v v F( + + ) - F( + ) P( K = ) = F ( + ) - F = F( v) - F -l - l( + ) e -e pq * * = =, =,, v -, v sowe -lv ( -) v- -e -q pq pq q -q p = P K ³ = = q =, =,, v -, v v v v * * v - j v -- v- v j ( ) j= -q -q j= -q å å * * v - v - v- v- v+ - v å å v- - = = -q p -q v * * q -q q-( v- ) q + ( v- -) q * ud e = p = =, v, Überestmmug mt Bespel 4 (dort st v- = v- 65 = 36, also v=, v * = ). 7

18 I Persoeverscherugsmathemat Bespel 6. Beate otuerlche Sterbegesetze sd:. De stetge Glechvertelug über dem Itervall [, v ] mt v > (de Movre 74) mt de Größe ì ì t, t v, t v f() t = ï v F() t í = ï ív m () t =, t v v-t, sost ïî ïî, t > v ud der daraus folgede dsrete Glechvertelug über der Mege {,,, v * = v-} be gazzahlgem v für de gestutzte Lebesdauer K ; de Verteluge der Restlebesdauer T bzw. K sd ebefalls Glechverteluge über dem Itervall [, v- ] bzw. über der Mege { v * - = v-- },,,. Ebeso folgt de be < v < v abgeschttee Lebesdauer T v eer Glechvertelug, ud zwar über dem Itervall [, v - ]; de zugehörge abgeschttee gestutzte Lebesdauer { v * - = v-- },,,. K v. De Gompertz-Vertelug (84) mt der Sterbetestät st etspreched weder glechvertelt über der Mege bt m () t = ae, t³ ( a, b> ); 3. de Maeham-Vertelug (86) mt der Sterbetestät bt m () t = c+ ae, t³ ( abc,, > ); 4. de Webull-Vertelug (939) mt der Sterbetestät b m () t = at, t³ ( a, b> ). Für rechersche Zwece werde de ejährge Überlebes- ud Sterbewahrschelchete üblcherwese sogeate Sterbetafel zusammegefasst. Dese reche ach Lemma ämlch aus, um de Vertelug vo K für alle relevate Alter vollstädg zu beschrebe. Nebe de Wahrschelchete p ud q ethalte solche Tafel der Regel auch de absolute Größe l (Azahl der Lebede (lvg) mt Alter ) ud d (Azahl der m Alter Gestorbee (dead)). Stadardmäßg bege dese Eträge m Alter = mt l =. Zwsche dese Größe besteht ferer (bs auf Ugeaugete durch Rudug) der Zusammehag d l-d q =, p = - q =, =,, v *. l l We ma vo eem (theoretsche) Sterbegesetz bzw. der Vertelugsfuto F der Gesamtlebesdauer ausgeht, a ma etwa 8

19 I Persoeverscherugsmathemat { } l = ê F ú mt êzú ë - û ë û : = ma Î z für zî wähle. De folgede Tabelle zegt de Allgemee Deutsche Sterbetafel aus de Jahre 986/88 für de mälche Bevölerug, de auf Auswertuge der damalge Volszählug beruht. 9

20 I Persoeverscherugsmathemat Quelle: Wrtschaft ud Statst 6 (99)

21 I Persoeverscherugsmathemat Ee ausführlche Dsusso über de statstsche Aspete der Erstellug ud Glättug vo Sterbetafel fdet ma z.b. GERBER (997) oder KAKIES ET AL. (985). De folgede Graphe zege de Etwclug vo Sterblchete de letzte 3 Jahre. Erläuterug: Halley: Sterbetafel vo 693, basered auf Bevölerugsdate der Stadt Breslau stm4: Sterbetafel der Jahre 94/6 (mälch) 4 stm86: de obe wedergegebee Sterbetafel der Jahre 986/88 (mälch) R94m: Rete-Sterbetafel der Deutsche Atuarveregug (DAV) vo 994 (mälch) 5 R94w: Rete-Sterbetafel der Deutsche Atuarveregug (DAV) vo 994 (weblch) 5 I alle Sterbetafel fällt e äherugswese learer Verlauf der ejährge Sterbewahrschelchete q logarthmscher Sala m Altersberech vo etwa 3 8 auf. Wege f( + t) f f q = P( T ) = ò dt» dt= = m -F ò -F -F b ergbt sch also desem Berech m» ae mt ab>,, was de Gompertz-Maeham sche Asatz gewsser Wese rechtfertgt. I. 3. Lebesverscherugspräme Der am Afag des vorge Abschtts betrachtete Lebretebarwert ä lässt sch mt Hlfe vo Lemma umehr recht efach darstelle, da her glt: K+ - E v ä E v v P K v p q : = K+ + + mt = å ( = ) = å -v = = - + = å v q+ ( -q+ j) + = j= 4 vgl. TOSBERG (957), S vgl. MILBRODT UND HELBIG (999).

22 I Persoeverscherugsmathemat (mt der üblche Koveto, das leere Produt als zu defere) ud de letzte Größe uter Verwedug vo geegete Sterbetafel lecht umersch ausgewertet werde a. Ee alteratve Darstellug für de Retebarwert erhalte wr, we wr de Idatorfutoe I,, falls de verscherte Perso m Verscherugsjahr dem Kolletv och agehört = ìï í ïî, sost der Kolletvzugehörget betrachte. Da st ämlch { I } { K } = mt I { K ³ }, = = ³ für, æ ä E I v ö P I v P K v p v = ç å, = (, = ) = ( ³ ) = å å å çè= ø = = = + Î bzw. (vgl. GERBER (986), Kaptel 4). Herbe bezechet we der Stochast üblch M de Idatorfuto eer Mege M, d.h. es st M ì, falls w Î M ( w) = ï í ï ïî, falls w Ï M. Bespel 7 (Fortsetzug vo Bespel 4). Be Zugrudelegug der Rete-Sterbetafel R94m der DAV (mälch) ergbt sch für de Stuato Bespel 4 mt dem Alter = 65 weder mt dem Rechugszs = 4% - der Wert ä = 58558,6, 6 be Zugrudelegug der für Verscheruge mt Todesfallcharater verwedete Sterbetafel T94m der DAV (mälch) dagege der leere Wert ä = 34,. Mt der abgeürzte Allgemee Sterbetafel vo 99 erhält ma alteratv de Wert ä = 86,54, also ee Wert, der äher a der etsprechede Größe aus T94m legt. Des legt dara, dass be verscherugsmathematsche Berechuge mt Retecharater aus Vorschtsgrüde mest ee Sterbetafel verwedet wrd, de cht de tatsächlche, soder geeget agepasste edrgere Sterbewahrschelchete ethält, wodurch de Retebarwerte ud damt auch evetuelle Prämezahluge a das VU höher ausfalle. De Grüde für solche Apassuge, ohe de e VU cht dauerhaft wrtschafte a, werde wr später m Abschtt Prämealulato geauer utersuche. Wr wolle us jetzt zuächst mt de sogeate Netto-Emalpräme für dre Grudtype vo Lebesverscherugsverträge befasse. Dese Grudtype sd de Todesfallverscherug (ubegrezter oder begrezter Dauer), de Erlebesfallverscherug sowe als Kombato vo bede de gemschte oder Kaptal-Lebesverscherug. Be der Todesfallverscherug ubegrezter Dauer (lebeslage Decug) zahlt das VU de verebarte Verscherugssumme am Ede des Jahres, dem der VN verstrbt. Be der Todesfallverscherug begrezter Dauer (temporäre Decug) st das VU ur erhalb eer verebarte Frst zu eer solche Zahlug verpflchtet. Strbt der VN ach Ablauf deser Frst, wrd also chts gezahlt. 6 Wr werde später sehe, we solche Berechuge mt Hlfe des Programms lebe.ee oder des Maple-Worsheets lebe.mws aus der Programmsammlug VMATH durchgeführt werde öe.