IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG

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1 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

2 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG. Überblck ) I desem Katel wede wr us der Aalyse der Verscherugsuterehmug zu; d.h. wr betrachte de Produzete ud Abeter des Produktes Verscherug. De Gegestad der Utersuchug bezechet ma auch als Verscherugsbetrebslehre. Das Produkt Verscherug besteht m allgemee Fall aus de folgede dre Komoete: Rsko-Komoete, Sar-Komoete, Destlestugs-Komoete. ) De Rsko-Komoete ud de Sar-Komoete setze sch bede sowohl aus eer abstrakte als auch aus eer kokrete Lestug zusamme. Dese Dualtät st tysch für das Produkt Verscherug. De abstrakte Lestuge sd bede Fälle de ermaet gewährte fazelle Garate. Des st letztedlch das wesetlche Charakterstkum des Produktes Verscherug. Be der Rsko- Komoete st es de Garate, m Verscherugsfall ee Geldzahlug zu erbrge; be der Sar-Komoete sd es m wesetlche de gewährte Mdestzsgarate ud de Ludttätsgarate. De zugehörge kokrete Lestug besteht bede Fälle m Erbrge eer kokrete Geldzahlug, falls das Verscherugseregs egetrete st. De Destlestugs-Komoete besteht m Wesetlche aus Tätgkete we z.b. Beratug, Vertragsbearbetug, Schadeabwcklug ud ählchem. Als Bass wrd auf folgede Lteratur zurückgegrffe: Albrecht, Peter: Zur Rskotrasformatostheore der Verscherug: Grudlage ud ökoomsche Koseueze, Karlsruhe 99 Ese, Rolad, Wolfgag Müller, Peter Zwefel: Uterehmersche Verscherugswrtschaft, Wesbade 990 Fary, Deter: Verscherugsbetrebslehre, Karlsruhe 989 Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

3 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG 3) De Herstellug deser dre Produkt-Komoete erfolgt durch zwe Arte vo Prozesse: de so geate betrebstechsche Prozesse ud de verscherugstechsche Prozesse. De betrebstechsche Prozesse bezehe sch auf de kokrete Ausräguge des Produktes. Zur Aalyse deser Prozesse lasse sch de üblche Methode der Betrebswrtschaftslehre awede uter Berückschtgug gewsser Produkt-Sezfka. Als Besel betrachte wr m Folgede recht kursorsch de fuktoale Verscherugsbetrebslehre mt folgeder klassscher Glederug: Beschaffug vo Produktosfaktore, Lestugserstellug der Verscherugsuterehmug, Absatz der Verscherugsrodukte, Fazerug der Aktvtäte der Verscherugsuterehmug, Verwaltug der Verscherugsuterehmug. I deser Vorlesug werde de betrebstechsche Asekte deser Fuktoe ur kurz m Abschtt 9 besroche. 4) Schwerukt der Betrachtuge blde dagege de verscherugstechsche Prozesse oder aders ausgedrückt de Verscherugstechk. Dese Prozesse bezehe sch auf de abstrakte Dmeso des Produktes Verscherug, d.h. es wrd versucht zu aalysere, we de Verscherugsuterehmug de vo hr ermaet gewährte Garate roduzert. Zur Realserug gewsser verscherugstechscher Prozesse st selbstverstädlch auf sezelle betrebstechsche Prozesse zurückzugrefe. Wesetlche Elemete der verscherugstechsche Prozesse sd: der Rskotrasfer vom Verscherugsehmer zur Verscherugsuterehmug gege Zahlug eer Präme, de Rskotrasformato durch de Verscherugsuterehmug, z.b. durch Realserug vo Rskoausglech m Kollektv, de Iformatostrasformato durch de Verscherugsuterehmug, z.b. durch Abletug vo uterehmugsegee Rskogrudlage, das Trage des verscherugstechsche Restrskos durch de Verscherugsuterehmug, das cht elmerbar bzw. rückverscherbar st. 5) I de folgede Abschtte IV.. bs IV.5. betrachte wr dese ver Elemete der Verscherugstechk ahad der Rskokom- Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

4 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG 3 oete, wobe der Schwerukt auf der Rskotrasfromato durch Ausglech m Kollektv Abschtt IV.3. legt. De aaloge Überleguge für de Sarkomoete dskutere wr Abschtt IV.6. I dese bede Abschtte 3 ud 6 aalysere wr de Produktosmethode der Garate durch de Verscherugsuterehmug. I Abschtt IV.7. gehe wr och auf de Presoltk e. Das Zusammewrke der verschedee verscherugstechsche Verfahre wr Abschtt IV.8. aalysert. Abschlessed gehe wr ur kurz we obe scho erwäht Abschtt IV.9. auf de betrebstechsche Asekte e. 6) Ee wetere Schwerukt der Aalyse der Verscherugsuterehmug blde de etsrechede fazwrtschaftlche Führugsformatoe. Aus Zetgrüde köe wr herauf erst Tel II des Vorlesugszyklus egehe. Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

5 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG 4. Rskotrasfer Mt dem Begrff Rskotrasfer wrd der folgede Vorgag umschrebe: E Verscherugsehmer tauscht bezoge auf ee fest verebarte Verscherugsdauer zufallsabhägge fazelle Belastuge aufgrud vo Schäde gege ee m voraus festgelegte Belastug Form der Rskoräme, de er a de Verscherugsuterehmug dafür zu etrchte hat, dass dese garatert, m Schadefall ee etsrechede Verscherugslestug zu erbrge. Ma ka auch sage, dass der Verscherugsehmer bezüglch seer Vermögesstuato Uscherhet gege Scherhet tauscht. De Uscherhet bezeht sch darauf, dass uscher st, ob überhaut e Schade etrtt ud we ja, we hoch der Schade st. Be vollem Verscherugsschutz besteht de Scherhet dar, dass e allfällger Schade vo der Verscherugsuterehmug vollkomme gedeckt wrd ud dass de m Voraus bestmmte Präme zu bezahle st. Ivolvert de Rskotrasfer sd also e Nachfrager (srch Verscherugsehmer) ud e Abeter (srch Verscherugsuterehmug). Im Folgede aalysere wr zuächst ahad ees Besels de Stuato des Verscherugsehmers, der de Verscherugsschutz achfragt... Besel zur Nachfrage ach Verscherugsschutz ) Um de Frage zu beatworte, warum e Idvduum Verscherugsschutz (Rskotrasfer) achfragt, mache wr folgede Modellbetrachtug: E Idvduum bestze zu Beg der Betrachtugserode [0, ] e Vermöge Vo. I der betrachtete Zeterode ka e Schade der Höhe X mt Wahrschelchket etrete, ud mt Wahrschelchket = - trete ke Schade e. Vo eer Vermögeserhöhug aufgrud vo Ersarsbldug oder Verzsug werde zur Verefachug der Darstellug abgesehe. Somt blebt das Vermöge m schadefree Fall kostat, währed es m Schadefall um X skt. Das Idvduum seht sch also der folgede Schadevertelugsfukto gegeübergestellt: Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

6 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG 5 Wahrschelchket 0 X Schade De Zufallsvarable X st userem Besel also bomal vertelt mt der Schade-Etreteswahrschelchket. Für de folgede charakterstsche Werte für X ergbt sch somt: Erwartugswert: E[X] = 0 + X Varaz: = X. D[X] = E[(X - E[X])] = E[X] - (E[X]) = 0 + X - (X ) = X (-) = X. Varatoskoeffzet (Streuugskoeffzet): S[X] = D E X X = X X Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

7 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG 6 =. Für das Vermöge V m Zetukt glt also: V V V 0 0 falls ke Schade et rtt; mt X falls e Schade e t rtt; mt Wahrschelcket Wahrschelchket Falls de Höhe des Schades ee stetge Zufallsgrösse st, geht ma mestes vo Vertelugsfuktoe aus, dere Dchte folgede Gestalt hat: Dchte der Schadevertelug 0 Schade Hohe Schäde werde gerge Etreteswahrschelchkete zugeordet, währed edrge Schäde häufg auftrete. Im Folgede betrachte wr möglche Reaktoe des Idvduums auf de obe geschlderte Stuato. ) Das Idvduum tut chts De erste Reakto, de wr aalysere, bestehe dar, dass das Idvduum chts tut. Für se Vermöge V bedeutet des: Im Zetukt t=0 st V ee schere Grösse ud beträgt V 0. Im Zetukt t= st V ee Zufallsvarable ud für V glt: Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

8 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG 7 V V V 0 0 falls ke Schadeet rtt; mt Wahrschelcket X falls e Schadeet rtt; mt Wahrschelchket Für de Erwartugswert vo V erhalte wr E[V] = V 0 + (V 0 -X) = V 0 (-) + (V 0 -X) = V 0 - X. Für X V 0 droht dem Idvduum der Ru. Falls zusätzlch de Etreteswahrschelchket des Schades so gross st, dass durchaus mt dem Etrtt zu reche st, so st ee adere Reakto als "Nchtstu" agezegt. Besel: Motorfahrzeug-Haftflchtverscherug Für vele (vermutlch de meste) Persoe st be grosse Motorfahrzeug-Haftflchtschäde de Schadesumme X grösser als das Vermöge V 0. Da zusätzlch de Etreteswahrschelchket ees solche Schadefalls als cht verachlässgbar kle zu betrachte st, st de meste westlche Staate de Motorfahrzeug-Haftflchtverscherug oblgatorsch. Durch dese Massahme wrd sowohl das Vermöge des Verursachers als auch das des Geschädgte geschützt. (I Kalfore gab es mal ee zetlag kee Verflchtug, ee Motorfahrzeug-Haftflchtverscherug abzuschlesse.) Be Bagatellschäde, d.h. falls X sehr kle st Relato zu V 0, st de Reakto "Nchtstu" möglcherwese agezegt; sbesodere we zusätzlch de Etreteswahrschelchket cht allzu gross st. Es stellt sch jedoch de Frage ach de Koste vo alteratvem Verhalte. (Verglech vo Alteratve ud de Oortutätskoste.) 3) Das Idvduum kauft Verscherugsschutz Als zwete Reakto betrachte wr de Fall, dem das Idvduum Verscherugsschutz be eer Verscherugsuterehmug kauft. Her fdet e Rskotrasfer statt. Das Idvduum gbt de Schadevertelug, mt der es kofrotert st, gege Zahlug eer m voraus festgelegte Verscherugsräme R a de Verscherugsuterehmug weter. De Schäde stelle ee zufällge Belastug des Vermöges dar, währed de Bezahlug der Präme ee schere Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

9 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG 8 Belastug st. Der Verscherugsehmer tauscht für ee fest verebarte Verscherugsdauer bezüglch seer Vermögesstuato Uscherhet gege Scherhet. Für das Vermöge des Idvduums glt u: Im Zetukt t=0 st V ee schere Grösse ud beträgt Vo. Auch m Zetukt t= st V jetzt ee schere Grösse ud beträgt R V V0. Herzu se darauf verwese, dass mt Verscherug für das Vermöge V glt: ohe Schade: mt Schade: V V V 0 R mt Wahrschelchket, R 0 V X VL mt Wahrschelchket, 0 R V be Vollverscherug mt X = VL. Mt R wrd herbe de Brutto-Rskoräme bezechet, de vom Verscherugsehmer a de Verscherugsuterehmug zu zahle st. Se setzt sch addtv zusamme aus dem Erwartugswert des Schades E X (der Netto-Rskoräme), gewsse Zuschläge wege des Zufalls-, Dagose- ud Progoserskos ud allfällge Gewzuschläge. Ma ka davo ausgehe, dass m allgemee glt. R E X Mt VL wrd de Verscherugslestug bezechet; ee Vollverscherug legt vor, falls X = VL glt. Für ee Vollverscherug glt also mt Scherhet, d.h. mt Wahrschelchket, V R V 0. Zur Abdeckug der Koste, de durch de Destlestugskomoete etstehe, wrd der Realtät zusätzlch och ee Kosteräme K erhobe. 4) Verglech der bede Stuatoe Der Verglech der bede möglche Hadlugsalteratve seht für de Verscherugsehmer also we folgt aus: Ohe Verscherug glt für das Vermöge m Zetukt : o E[V ] V0 EX. Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

10 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG 9 Mt Verscherug glt für das Vermöge m Zetukt : E[V m ] V0 R Grafsch lässt sch das we folgt veraschaulche: ohe Verscherug mt Verscherug Wahrschelchket Rskotrasfer Wahrschelchket 0 X Wahrschelchket Schäde R Wahrschelchket Vermögesvermderug durch Prämezahlug ("Schade") Rskotrasfer V o -X V o Vermöge m Zetukt t V o - R V o Vermöge m Zetukt t Für de allege Verglech der Erwartugswerte des Vermöges m Zetukt t ergbt sch Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

11 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG 0 o E V V X 0 V0 R V m E V m R sofer X EX. I Tel II der Vorlesug werde wr das Kozet des Erwartugsutzes ausführlch betrachte, mt desse Hlfe ma zege ka, dass es durchaus ratoal für de Verscherugsachfrager st, ee Rskoräme zu zahle, de grösser als der Erwartugswert des Schades st. De Zustad mt Verscherug ka ma als vo der "fazelle Realtät abgekoelt" terretere, da her das Vermöge m R Zetukt t glech V0 st, uabhägg davo, ob der Realtät der Schade etrtt oder cht. Bldlch gesroche wrd durch de Rskotrasfer für de Verscherugsehmer e "Lebe eer Modellwelt" möglch. Des st selbstverstädlch cht kostelos zu habe. Der Pres dafür st der Rskoräme R ethalte... Agebot vo Verscherugsschutz Her geht es um de Frage, warum es Uterehmuge gbt, de Verscherugsschutz abete bzw. zur Überahme vo Schadeverteluge beret sd. E wesetlches - we cht sogar das etschedede - Zel aller Uterehmuge st de Gewerzelug. Gew st ee Resdualgrösse ud ergbt sch aus de Erlöse durch Subtrakto des Aufwads. Bezoge auf de Rskotrasfer etsteht also Gew, falls de Prämeeahme de Aufweduge für de Schäde überstege. (Dese Darstellug st bewusst sehr verefacht.) Mttels des Kozetes des Erwartugsutzes lässt sch zege, dass rskoaverse Idvdue beret sd, für de Rskotrasfer Präme zu zahle, de grösser sd als der Erwartugswert der Verscherugslestuge. Da letztere der wesetlche Bestadtel der Koste des Rskoschutzes st, eröffet sch Verscherugsuterehmuge de Möglchket, Verscherugsschutz gewbrged zu verkaufe. Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

12 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG Dese Hwese bzgl. der Begrüdug ees Agebots vo Rskoschutz möge zuächst geüge. Im Laufe der folgede Ausführuge komme wr weder darauf zurück ud verwese auf de Möglchkete, Verscherugsschutz gewbrged azubete. Somt st aufgezegt, weso es Nachfrage ud Agebot zum Rskotrasfer gbt. Im folgede Abschtt gehe wr der Frage ach, we bzw. weso ee Verscherugsuterehmug Verscherugsschutz "roduzere" ka. Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

13 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG 3. Rskotrasformato durch Ausglech m Kollektv 3.. Grudmodell ) De älteste ud wohl mmer och wchtgste Methode zur Rskotrasformato st der Ausglech m Kollektv. Verkürzt gesagt, hadelt es sch herbe um Aweduge des Gesetzes der grosse Zahle (J. Beroull). Im Abschtt 3.5. weter ute gebe wr ee Herletug deser grudlegede mathematsche Aussage. Für das folgede uterstelle wr - we m Besel des vorge Abschtts -, dass das Dagose- ud Progosersko ausgeschaltet sd, d.h. de tatsächlche Schade-Vertelugsfukto st der Verscherugsuterehmug bekat. Es verblebt also ledglch das Zufallsrsko, das sch dar mafestert, dass de Realsatoe der ezele Schäde cht determstsch vorhersagbar sd. ) Wr grefe auf das Besel aus Abschtt zurück. Ausgagsukt st e Idvduum mt dem Vermöge Vo m Zetukt 0. Zusätzlch gbt es ee Zufallsvarable X, de mt Wahrschelchket = - de Wert 0 ammt ud mt Wahrschelchket de Wert X, der für das Idvduum ee Schade darstellt. Am Ede der Betrachtugserode st m schadefree Fall das Vermöge V o glech V o, ud m Schadefall glt X, falls kee Verscherug abgeschlosse wrd. o V Vo 3) Für das Idvduum betrachtet ergebe sch für de Zufallsvarable X de folgede charakterstsche Werte: X E D X, X SX X, X D X. EX X Der Varatoskoeffzet S (Streuugskoeffzet) st glech dem Quotete aus der Stadardabwechug D ud dem Erwartugswert E. Er st also e relatves Streuugsmass ud somt zum Vgl. Braess, Paul, Verscherug ud Rsko. Wesbade, 960 Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

14 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG 3 Verglech der Streuug vo Zufallsvarable mt verschedee Erwartugswerte geeget. 4) Ee Verscherugsuterehmug gewährt u cht eem Idvduum alle Verscherugsschutz, soder betet des eem möglchst grosse Bestad vo Verscherugsehmer a. Ageomme es gelgt hr, glechartge Verscherugsverträge der obge Art abzuschlesse ("Querschttsbetrachtug" orthogoal zur Zetachse). Das ezele Idvduum st ohe Verscherugsschutz der obge Schadevertelug der Zufallsvarable X gegeübergestellt. Für de Verscherugsuterehmug st dagege de Summe deser ezele Zufallsvarable relevat, d.h. se st mt der Zufallsvarable Z X kofrotert. Falls wr Uabhäggket der Zufallsvarable X ud X, aehme, ergbt sch für Z: E Z X, X für =,... D Z X, SZ D Z EZ X X. 5) Wchtg st de Feststellug, dass der Varatoskoeffzet S[Z] (Streuugskoeffzet) für de Verscherugsuterehmug abhägg st vo der Schade-Etreteswahrschelchket ud der Azahl der Verträge. Das Pedat S[X] für das ezele Idvduum west ledglch de gleche Abhäggket vo auf. Im Ezele glt für dese Abhäggkete: S Z;, = ( ) Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

15 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG 4 Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS = 0, S Z;, = = 0 3. Für de zugehörge Elastztäte ergbt sch: S S = = 0, S S = 3 = 0. Für 0 < < glt, woraus weter folgt S S S S. Das hesst: Mt wachseder Schade-Etreteswahrschelchket skt der Varatoskoeffzet S. Mt wachseder Azahl der Verscherugsehmer skt der Varatoskoeffzet S. Der Varatoskoeffzet S reagert auf ee roortoale Äderug der Etreteswahrschelchket stärker als auf ee glech hohe roortoale Äderug der Azahl der Verscherugsehmer.

16 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG 5 6) Für de Verscherugsuterehmug stellt sch de Stuato we folgt dar: De Netto-Rskoräme als Erwartugswert des Schades beträgt ro Verscherugsehmer E[X] = X. De kalkulatorsche Scherhet, dass für de Bestad de Netto-Rskoräme Höhe vo X für de tatsächlch egetretee Schäde ausrecht, mmt mt wachseder Schade-Etreteswahrschelchket ud wachseder Azahl verscherter Ehete zu. Herbe det der Varatoskoeffzet S als Massstab für de Uscherhet mt der Massgabe, dass mt skedem S de Uscherhet skt, was mlzert, dass mt skedem S de Scherhet stegt. I der Realtät etsrcht de dem Verscherugsehmer Rechug gestellte Rskoräme R eer Brutto-Rskoräme, de sch addtv zusammesetzt aus der Netto-Rskoräme Höhe des Erwartugswertes des Schades (her E[X] = X), gewsse Zuschläge zur Abdeckug des Zufalls-, Dagose- ud Progoserskos ud allfällge Gewzuschläge. Zur Abdeckug der Koste aus der Destlestugskomoete wrd zusätzlch ee Kosteräme K erhobe. Der Varatoskoeffzet S ka als Massstab für de Höhe des Zuschlages zur Abdeckug des Zufallsrskos heragezoge werde. 7) Mt dem folgede Besel eer ejährge Todesfallkatalverscherug mt Verscherugssumme verdeutlcht Braess we de Erhöhug der Etreteswahrschelchket des Schades de Rskostuato für de Verscherugsuterehmug verbessert, falls se der Lage st, ee dem erhöhte Rsko (d.h. dem erhöhte Erwartugswert) etsrechede Präme ezuehme: "Gesetzt, der Verscherer hat ur ee ezge Verscherugsehmer, ämlch ee Ma vo 50 Jahre, mt eer Sterbeswahrschelchket vo % (= Nettoräme). Strbt deser Verscherugsehmer, was ja durchaus möglch ud auch mt der etsrechede Wahrschelchket ekalkulert st, so etsteht e Verlust Höhe der 99fache Nettoräme. Hadelt es sch dagege um ee 90jährge Verscherugsehmer, so würde de Sterbeswahrschelchket 30% betrage ud demetsreched de Nettoräme 30 mal so hoch se. Der Tod deses Verscherugsehmers köte "ur" ee Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

17 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG 6 Verlust Höhe vo 70% = dem 3 fache der Nettoräme erzeuge3. Isowet st jetzt der Verscherer, ebe wel de Präme vo vorhere dem maxmale Auszahlugsbedarf sehr vel äher legt, zwefellos besser abgeschert. Ee Zusammefassug zahlrecher Verscheruge glecher Art (her 50-, dort 90-jährge) ädert a desem Tatbestad cht das gergste." 8) Um de Wrkugswese des Terms / der Formel für de Varatoskoeffzete S lastsch zu veraschaulche, fährt Braess auf Sete 8 we folgt fort: "Wr brge de Formel für S de Fassug: S Der Faktor uter der Wurzel bezeht sch auf de Effekt aus der Zahl der Verträge - das leuchtet ohe weteres e. Der zwete Faktor Gestalt des Quotete st der Ausdruck für de Rskolage erhalb jeder ezele Verscherug. Nehme wr u a, dass de - ud -Werte jewels Tausedstel gemesse werde beselswese = 0%o, = 990%o. Jetzt stelle wr us e Kollektv aus 000 "Fktv-Persoe" vor, dem wr rechersch Zähler ud Neer des Quotete mt 000 erweter. Deses Kollektv zerfällt da ee -Grue mt 0 ud ee -Grue mt 990 Persoe. Rsko-mässg st de -Grue völlg ugefährlch. Mt eem Ablebe (= Schade) hat der Verscherer vo vorhere gerechet ud ee etsrechede Präme erhalte, so dass sowet ulebsame Überraschuge auf jede Fall ausgeschlosse sd. Aders jedoch de - Grue (= 990 Persoe), de als vermutlch schadefre de Nettoräme ekalkulert worde st. I hr ud ur her lege de Überraschugsmöglchkete, de sofort akut werde, we durch de Efluss des Zufalls Persoe, de ach der Vorkalkulato des Verscherers zur -Grue gehöre solle, wder Erwarte de - Grue überwechsel. Ihre Asrüche würde cht durch ee 3 Das Besel st abschtlch sehr krass gewählt, um de Tedez möglchst deutlch hervortrete zu lasse. De absolute Verlustbeträge weche aturgemäss be wetem cht so stark voeader ab. Im erste Falle (50jährger Verscherugsehmer) beträgt der absolute Verlust 99% der Verscherugssumme, m zwete Falle 70%. Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

18 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG 7 etsrechede Nettoräme, soder allefalls durch ee zusätzlche "Scherhetszuschlag" zur Nettoräme gedeckt se. So betrachtet st der Quotet tatsächlch e sfällger oder doch zumdest verstädlcher Ausdruck für de Grösserelato zwsche der rskobehaftete Grue ud der rskofree Grue. Je grösser m Verhälts zu st, umso ausgerägter wrd das Zufallsrsko se. (Dass schlesslch aus dem Gesamtausdruck och de Quadratwurzel gezoge werde muss, wrd ma allerdgs ur och mathematsch aus der Defto vo S erkläre, cht aber aschaulch darstelle köe.)" 9) Ahad der Kostruktosrze der Sterbetafel für Todesfallkatalverscheruge möchte wr des och weter verdeutlche. Durch de Ebau vo Scherhetszuschläge ud Marge werde her de realstsche orgäre Sterbewahrschelchkete bewusst erhöht. Als Mass für de Scherhetszuschläge wrd oft der Varatoskoeffzet beutzt; herdurch soll Schutz gege das Zufallsrsko errecht werde. Gege das Dagose- ud Progosersko werde zusätzlch oft och Marge egebaut. Im Bld vo Braess führt des dazu, dass de -Grue vergrössert ud folglch de rskobehaftete -Grue verkleert wrd. Falls Mtgleder der -Grue sch aders verhalte als ageomme (d.h. desem Besel cht sterbe), so etsteht kee Lestugsflcht für de Verscherugsuterehmug, obwohl se mt eer solche gerechet hat. Falls Mtgleder der -Grue sch aders verhalte als ageomme (d.h. desem Besel sterbe), so etsteht für de Verscherugsuterehmug ee Lestugsflcht, obwohl se des cht egerechet hat. Durch de bewusste Verkleerug der - Grue errecht also de Verscherugsuterehmug ee Verbesserug hrer Rskostuato. Be gegebeem Todesfallkatal stegt herdurch der Erwartugswert der ach dem verscherugsmathematsche Modell zu erbrgede Verscherugslestuge ud damt de etsrechede Rskoräme. Des mlzert, dass de gemäss Modell berechete Rskoräme de realstscherwese zu erwartede Todesfallkatallestuge mt hoher Wahrschelchket überstege. Ma sagt, dass de Lebesverscherugsuterehmug da auf der "schere Sete" st. Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

19 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG 8 Grafsch lässt sch das we folgt veraschaulche CHF B A y % x % () () () Bestadtele der "Brutto-Rskoräme" () "Brutto-Rskoräme" A: gemäss realstsche Sterbewahrschelchkete erwartete Todesfalllestuge ("Netto-Rskoräme", erwarteter Aufwad) B: gemäss verscherugsmathematschem Modell berechete Rskoräme ("Brutto-Rskoräme", Ertrag) x: Scherhetszuschlag Höhe vo x % vo A, abgeletet aus dem Varatoskoeffzete (Schutz gege des Zufallsrsko) y: Marge Höhe vo y % vo A (Schutz gege das Dagose- ud Progosersko). De Dfferez aus de realserte Werte vo Ertrag ud Aufwad stellt de Rskoüberschuss dar. Be Lebesverscheruge werde de Aahme wege der lagfrstge Garate so gewählt, dass mest tatsächlch e ostver Rskoüberschuss vorlegt. Mttels der Überschussbetelgug erhält der Kude ee Atel hervo. Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

20 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG Zur Grösseordug der Uscherhet ) Der Varatoskoeffzet S mt S. wrd als Mass der Uscherhet terretert. Im Folgede gebe wr ahad vo Beselswerte ee Überblck über de Grösseordug vo S. Dazu betrachte wr zuächst S als Fukto der Etreteswahrschelchket des Verscherugsfalls ud der Azahl der Verträge. De Wahrschelchket ka ma auch terretere als Nettorämesatz oder als Nettoräme für de Verscherugssumme. S Abhäggket der Nettoräme ud der Azahl der Verträge: 4 =0% =.0% =.0%o =0.5%o ' ' "Daraus geht beselswese hervor, dass 0'000 Verträge be eem Nettorämesatz vo 0.5%o (letzte Salte) mt ee höhere Uscherhet behalte, als ur 00 Verträge be eem Nettorämesatz vo 0%, da her S = 0.3 glt." ) Für ege Besele lässt sch de Aussage der obge Tabelle we folgt grafsch darstelle: 4 Braess, Paul: Verscherug ud Rsko, 960, Sete 9 Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

21 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG 0 = Netto-Präme = Erwartugswert 0% % 0. =0'000 =00 =0'000 =00 Bestäde,,4 gbt de jewelge Stadardabwechug weder ausgedrückt als Velfaches der Netto-Präme, d.h. des Erwartugswertes. Der Proortoaltätsfaktor st gerade glech dem Varatoskoeffzete (oder Streuugskoeffzete). Herzu st zu beachte, dass deftosgemäss glt S tadardabwechug Varatoskoeffzet Erwartugswert S E 3) Für de Berechug der Werte glt m ezele: = 0.: S Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

22 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG 00' ; = 0.0: S = = : 9.95 = 9.95 ; S = = 44.7 ; ) Im Folgede betrachte wr das Verhalte vo S uter der Aahme, dass das Prämevolume kostat st. Für belebge Wahrschelchkete ud o sowe belebge Azahle ud o vo Verträge mt = oo ergbt sch zuächst S S o o o o. o Setze wr beselswese o = 0., so ergbt sch für das Verhälts S / S 0 uter de Aahme o o sowe stets glecher Verscherugssumme für verschedee folgedes: 5 S / S Braess kommt auf Sete 30 zu etwas adere Ergebsse. Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

23 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG Des besagt, dass z.b. be eem Bestad vo Verscheruge mt Nettorämesatz 0.00 de Uscherhet - gemesse durch S - ledglch um gut 5% grösser st als be eem Bestad vo /00 Verscheruge mt Nettorämesatz 0.. Im Wesetlche wrd also das Mass der Uscherhet durch das Prämevolume bestmmt. Es erschet recht ubedeuted zu se, ob das Prämevolume aus eer "relatv klee Zahl schwerer" Rske stammt oder eer "relatv grosse Zahl lechter" Rske. 5) Braess schrebt herzu: "De Koseuez würde also laute, dass uter de ageommee Voraussetzuge (gleche Verscherugssumme be alle Verträge, ur Totalschäde) de Uscherhet raktsch ausschlesslch vom Prämevolume abhägt, ud zwar ohe Rückscht darauf, ob de gesamte Prämeeahme aus eer relatv klee Zahl "schwerer" Wagsse oder eer etsreched grössere Zahl "lechter" Rske gewoe worde st. 6: Der Efluss der Nettoräme, sowet er cht berets m Prämevolume ethalte st, blebt dabe so gerg, dass er dem für de Verscherug relevate Berech verachlässgt werde ka 7. " 6) Abschlessed se ochmals darauf verwese, dass des uter der eschräkede Voraussetzug abgeletet wurde, dass alle Verscherugssumme glech sd, ud es wurde ledglch sezelle Relatoe der Etreteswahrschelchkete betrachtet. 6 Ma köte versucht se, de Satz och oterter zu formulere. Der Verscherer, der se Prämevolume vergrössert, verbessert damt automatsch see Scherhet, vorausgesetzt atürlch, dass jewels de rchtge Nettoräme erzelt wrd. I deser Form st de Behautug jedoch och cht bewese, wel her Probleme der Bestadeshomogetät mtsreche, de wr erst säter betrachte köe. 7 Zu rzell dem gleche Ergebs, we auch eer etwas abwechede Formulerug, kommt Gürtler (Das Rsko des Zufalls m Verscherugsbetreb, a.a.o., S.3). Es muss jedoch sehr achdrücklch betot werde, dass deses Ergebs ur uter de eschräkede Voraussetzuge glt, woach ausschlesslch Totalschäde vorkomme ud alle Verscherugssumme glech sd. Sobald auch ur ee der bede Voraussetzuge aufgegebe wrd, kommt ma alle mt de Nettoräme-Volume zur Charakterserug der Uscherhet cht mehr aus. (Näheres m füfte Katal.) Isowet hat also das her formulerte Ergebs ur ee gerge Bedeutug. Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

24 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG Auswrkug auf Prämekalkulato ud -oltk "Ege wetere ud sehr bedeutsame Frage, de mt userer Tabelle (obe uter Zff. 3...) m Zusammehag stehe, köe wr her leder ur am Rade strefe. Es hadelt sch vorehmlch um Frage der Prämekalkulato ud -oltk, de absets vo userem egetlche Thema lege: a) Welches Mass a Uscherhet st zulässg, we ma überhaut och ersthaft vo "Verscherug" sreche wll? Dass ee Uscherhet, de mehr als das Efache der gesamte Nettoräme beträgt, de Voraussetzug eer Verscherug cht erfülle ka, bedürfte kees wetere Beweses (De Tabelle lässt erkee, be welcher Zahl vo Verträge dese Greze errecht wrd.) Welcher Bruchtel aber soll m Ezele als Obergreze zuge-lasse werde? b) Etsreched dem Mass der Uscherhet wrd de ree Nettoräme um ee bestmmte Scherhetszuschlag erhöht werde müsse, für de wederum de Grösse S als der geegete Massstab dee ka 8. c) Auf de Verscherugsmärkte kokurrere Verscherugsuterehmuge mt jewels gaz verschedee Verscherugsbestäde, de je ach hrer Grösse ud Zusammesetzug ee stark abwechede Scherhetszuschlag bedge werde. Für de Presbldug massgeblch wrd häufg derjege Verscherer se, der uter sost gleche Voraussetzuge (sbesodere bezug auf de Verwaltugskoste) mt dem gergste Scherhetszuschlag auskommt 9. De übrge Wettbewerber werde sch auf ee solche Marktstuato estelle müsse, dem se gegebeefalls zumdest ee Tel des sost erforderlche Scherhetszuschlages durch ee Katalreserve ersetze, de m Falle vo techsche Verluste zur Deckug heragezoge werde ka." 8 De Frage, ob de efache Stadardabwechug ausrecht oder ob e Mehrfaches davo erforderlch st, ka her cht weter verfolgt werde. 9 P. Braess, Agebot ud Nachfrage der Verscherug, Wrtschaft ud Recht der Verscherug, Beheft /938. Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

25 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG We verhält sch de Praxs? "Wr habe also gesehe, dass ach dem "Gesetz der grosse Zahle" de Azahl der Verträge m gleche Se rskomderd wrkt we de "Schwere" der Ezelrske, ausgedrückt durch de Schadegrad. We hat de Praxs bsher auf dese Folgerug reagert? Im erste Falle (Zahl der Verträge) köe wr feststelle, dass de Kets deses Zusammehags egetlch set jeher zum absolut gescherte ud uumstösslche Wsse der Praxs gehört. Ma wrd sogar ohe Übertrebug behaute köe, dass de Praxs aus Istkt ud Erfahrug dese uas-gesetzmässge Zusammehag set de erste Afäge des Verscherugsweses scho sehr vel früher erkat hat als de säter esetzede theoretsche Forschug, de sowet das Erfahrugswsse aus der Praxs ur bestätgt hat. Gaz aders jedoch m zwete Falle, der sch auf de Schwere der Wagsse bezeht. De Praxs hat her ascheed kee Folgeruge aus dem theoretsch gewoee Ergebs gezoge, obwohl es cht gerade eu st. Ihre sketsche, we cht gar ablehede Haltug 0 mag dre verschedee Grüde habe. Der erste st sozusage techscher Art. Oft wrd für schwere Rske cht ee voll ausrechede oder doch cht so rech bemessee Präme we für lechte zu erzele se. Dar stecke Verlustgefahre, de aturgemäss mt wahrschelchketstheoretsche Überleguge chts zu tu habe, de es aber verstädlch mache, dass sch der Verscherer sezell auf dem Wege der Rückverscherug ud häufg auch auf dere Koste vo solche Rske zu etlaste sucht. Der zwete Grud hat systematsche Bedeutug ud st deshalb sehr vel teressater. Alle bsher gewoee Ergebsse gelte ur uter de eschräkede Prämsse, de m Ezele mehrfach geat worde sd. Dazu gehört her vor allem de Voraussetzug, dass m Verscherugsfalle jewels ur "Totalschäde" Frage 0 Das zegt sch sbesodere be der Frage, ob schwerere Rske höherem Masse summemässg rückzuverscher sd als lechte. Gürtler (Das Rsko des Zufalls m Verscherugsbetreb, a. a. O., S. 33) kommt auf Grud der theoretsche Abletug zum etgegegesetzte Ergebs, schwächt es da aber weder ab, dem er schwere ud lechte Rske glech behadelt wsse wll. De Praxs steht zemlch ehellg auf dem Stadukt, schwere Rske summemässg stärker rückzudecke als lechte, gorert sowet also de Theore. - Ezelhete zu desem Thema, sbesodere zur Frage des Rückverscherugsbedarfs, folge säter. Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

26 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG 5 komme. We dese Eschräkug aufgegebe wrd, äder sch de Asekte sehr wesetlch, we m füfte Katel zu zege se wrd. Drttes werde de sogeate schwere Rske häufg och deshalb als besoders gefährlch agesehe, wel se mest gergerer Zahl vorkomme ud somt " sch" kee geügede Rskoausglech bete. Mt desem - grudsätzlch verfehlte - Argumet köe wr us erst de ächste Katel auseadersetze." 3.5. Das Gesetz der grosse Zahle ) Grudlage für de Rskoausglech m Kollektv (bzw. de Rskotrasformato durch das Poolg) st das Gesetz der grosse Zahle vo Jakob Beroull ( ). Mttlerwele gbt es verschedee Formuleruge deses Gesetzes. E recht allgemee Form lautet we folgt: Gesetz der grosse Zahle: Se X,, X ee zufällge Stchrobe eer Zufallsvarable X mt edlchem Erwartugswert ud edlcher Varaz. Da glt lm Pr [ X ] für belebges > 0 ud X : X /. Mt Pr [ ] wrd das zugrude gelegte Wahrschelchketsmass bezechet. X gbt de Mttelwert der Stchrobe weder. De sd als zufällge Stchrobe der Zufallsvarable X X uabhägg ud detsch vertelt (eglsch: deedet ad detcal dstrbuted [d]). Das Gesetz der grosse Zahle besagt deser Varate, dass für de Wahrschelchket dafür gege strebt, dass - für belebg Vgl. Cumms, J. Davd, "Statstcal ad Facal Models of Isurace Prcg ad the Isurace Frm", Joural of Rsk ad Isurace, 99, Sete 6-30 Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

27 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG 6 vorgegebees > 0 - der Mttelwert der Stchrobe X um weger als vo dem Erwartugswert der Zufallsvarable abwecht. Oder etwas saloer formulert: für grosse st der Mttelwert X der Stchrobe X fast scher der Nähe des Erwartugswertes der Zufallsvarable X. Falls de Zufallsvarable X zählt, ob e gewsses Eregs etrtt oder cht, d.h. falls X bomal vertelt st mt de Werte 0 bzw., so sagt das Gesetz der grosse Zahle aus: Für strebt de Wahrschelchket dafür gege, dass de relatve Häufgket X : X / belebg ahe der theoretsche Etrttswahrschelchket des Eregsses st (X = ). ) De Gültgket des Gesetzes der grosse Zahle lässt sch lecht aus der Tschebyscheff'sche Uglechug ablete; de lautet we folgt: Tschebyscheff'sche Uglechug: Se X ee Zufallsvarable mt edlchem Erwartugswert ud edlcher Varaz. Da glt für jedes k > 0 Pr [ X k ]. k Dese Uglechug besagt, dass für jedes k > 0 de Wahrschelchket dafür, dass ee Realsato der Zufallsvarable X um weger als das k-fache der Stadardabwechug vom Erwartugswert abwecht, grösser st als. k Zur Veraschaulchug deser Abschätzug betrachte wr beselswese de Wahrschelchket dafür, dass ee Realsato der Zufallsvarable X um weger als de doelte Stadardabwechug vom Erwartugswert abwecht; d.h. wr betrachte de Fall k =. Gemäss der Tschebyscheff'sche Uglechug st dese Wahrschelchket grösser glech Für dese Abschätzug wrd ledglch vorausgesetzt, dass de Vertelug vo X ee edlche Erwartugswert ud ee edlche Varaz bestzt. Falls darüberhaus vorausgesetzt wrd, dass X ormal vertelt st, st dese Wahrschelchket Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

28 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG 7 sogar glech Der Wert der Tschebyscheff'sche Uglechug legt also eher theoretsche Aweduge als raktsche Abschätzuge vo Wahrschelchkete; herfür st de Abschätzug zu grob. Allerdgs erforder feere Abschätzuge mehr Iformato über de Vertelug. Deses "Problem" wrd mest vermutlch er Aahme "gelöst". 3) Als Hlfsmttel zum Bewes der Tschebyscheff'sche Uglechug bewese wr zuächst de Markov'sche Uglechug: Se X ee Zufallsvarable mt X 0 ud edlchem Erwartugswert E[X]. Da glt Pr [X Bewes: E[X] t] für t > 0. t Der Bewes wrd für ee stetge Zufallsvarable X mt Dchte f(x) geführt. E[X] = x f x d x = 0 t x f 0 x dx x f x d x t t f x d x t = t Pr [X t]. x f t x dx Also glt bzw. E[X] t Pr [X t] E[X] Pr [X t]. t Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

29 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG 8 4) Wr gehe jetzt über zum Bewes der Tschebyscheff'sche Uglechug: Wr setze Y : X E[X]. Da glt Y 0 ud E[Y] = Var[X]. Auf Y st somt de Markov'sche Uglechug awedbar. Se lefert für t > 0: Pr [ X E[X] t] = Pr [Y t ] = E[Y] t Var [X]. t Also glt Pr [ Var[X] X E[X] t ]. t Für t k k Var[X] folgt Pr [ Var[X] X E[X] k ]. t k 5) Aus der Tschebyscheff'sche Uglechug ergbt sch das Gesetz der grosse Zahle. Bewes des Gesetzes der grosse Zahle: Da de X uabhägg ud detsch vertelt sd, glt für de Zufallsvarable X : X : E [X] E[X ] = Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

30 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG 9 = Var [X] = Var [X ] = =. De Tschebyscheff'sche Uglechug lautet für X ud belebges k > 0 Pr [ X E[X] k Var [X] ]. k Setze wr u für belebges > 0. k Var[X] =, so folgt Pr [ X ] also lm Pr [ X ]. Womt der Bewes des Gesetzes der grosse Zahle abgeschlosse st. Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

31 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG Verallgemeeruge des Grudmodells Uterschedlche Verscherugssumme ) De erste Verallgemeerug besteht dar, dass wr uterschedlche Verscherugssumme VS ro Vertrag ( 0=,..., ) zulasse, Im folgede uterstelle wr weterh, dass ledglch Totalschäde auftrete, de auch voll etschädgt werde, so dass glt VS VL X ( =,..., ). (Verscherugssumme = Verscherugslestug = Schade) Weter se zuächst och alle Verträge de Schade-Etreteswahrschelchket kostat ud zwar glech. Für de Varatoskoeffzete S ergbt sch da SX,..., X;, = X = X s X,...,X = s s Mt X,...,X s := X X X Quadrat des Varatoskoeffzete der Verscherugssumme bzw. Totalschäde X : X Mttelwert der Verscherugssumme bzw. Totalschäde s (X,...,X ) st e Mass für de Ihomogetät der Verscherugssumme bzw. der Totalschade Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

32 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG 3 Es glt S s 0. De mlzert, dass - ceters arbus - de Uscherhet für de Verscherugsuterehmug stegt, falls de Verscherugssumme (Totalschäde) homogeer werde. De absolute Höhe der Verscherugssumme (Totalschäde) sd hgege herach für das Ausmass der Uscherhet rrelevat; se sd atürlch für de Höhe der Präme relevat. Zur Eordug deser bede Aussage st festzuhalte, dass mlzt uterstellt wrd, dass de Verscherugsuterehmug der Lage st, de Präme Höhe des Erwartugswertes des Schades am Markt durchzusetze. Ferer werde das Dagose- ud Progosersko er Aahme ausgeschaltet, so dass als Uscherhetsfaktor für de Verscherugsuterehmug ledglch das Zufallsrsko verblebt. Für deses Rsko wrd da der Varatoskoeffzet als adäuates Rskomass bzw. Mass für Uscherhet agesehe. ) E Mttel zur Vergrösserug der Homogetät der Verscherugssumme (Totalschäde) auf egee Rechug besteht für de Verscherugsuterehmug eer geegete Rückverscherugsoltk. Zur Veraschaulchug gebe wr folgedes (lecht abgeädertes) Besel aus dem obe zterte Buch vo Braess weder: "Herzu e theoretsch kostruertes Besel: E Verscherer bestzt ee Bestad vo 0'000 Verscheruge. De Nettoräme, ehetlch für alle Verscheruge, beträgt 5%o. 3) We alle Verscherugssumme glech wäre (ohe Rückscht auf de absolute Höhe), wäre S aus der Grudformel mt 995 0' ' 000 zu erreche, ud es ergäbe sch S = D.h. de Stadardabwechug beträgt 9.975% der jewelge Nettoräme. Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

33 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG 3 Herzu beachte ma de Defto des Streuugskoeffzete S als S. E Daraus folgt für de Stadardabwechug S E. Herbe st der Erwartugswert E als Nettoräme zu terretere. Das st der Mmalwert für ee "summehomogee" Bestad vo 0'000 Verträge be eer Nettoräme je 5%o. (Summehomogetät bedeutet, dass keerle Streuug der Verscherugssumme vorhade st.) 4) De Verscherugssumme möge sch jetzt we folgt zusammesetze: '000 Verträge je Verscherugssumme =, zusamme = '000 3'000 Verträge je Verscherugssumme =, zusamme = 6'000 0'000 Verträge je Verscherugssumme = 3, zusamme = 30'000 4'000 Verträge je Verscherugssumme = 5, zusamme = 0'000 '000 Verträge je Verscherugssumme = 0, zusamme = 0'000 '000 Verträge je Verscherugssumme = 0, zusamme = 0'000 0'000 Verträge mt sgesamt Verscherugssumme 87'000 De durchschttlche Verscherugssumme beträgt Be der gegebee Streuug der Verscherugssumme bereche wr S V ( ) ach der exlzte Formel auf S. 9, dem wr de jewels gleche Verscherugssumme stückzahlmässg zusammefasse: S V ' 3' 000 0' ' ' ' 0 ( ) ' S V ( ) = D.h. de Stadardabwechug beträgt 3.6% der gesamte Nettoräme. Gegeüber dem summehomogee Bestad st de "Uscherhet" um mehr als grösser geworde. 3 5) Der Verscherer ka de Scherhet verbesser, dem er beselswese alle Verscherugssumme, de über 3 hausgehe, Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

34 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG 33 Rückverscherug gbt (Summeexzedete-Rückverscherug). Se "Restbestad" für egee Rechug seht da so aus: '000 Verträge je Verscherugssumme =, zusamme = '000 3'000 Verträge je Verscherugssumme =, zusamme = 6'000 6'000 Verträge je Verscherugssumme = 3, zusamme = 48'000 0'000 Verträge mt sgesamt Verscherugssumme 55'000 De durchschttlche Verscherugssumme beträgt u.75 gegeüber Numehr wrd V S () ' 000 3' 000 6' ' 000 V S () = D.h. de Stadardabwechug beträgt 0.6% der gesamte Nettoräme. Das st ur och e gergfügger Utersched gegeüber dem Mmalwert vo 9.975%. Der ostve Effekt der Rückverscherug macht sch also sehr deutlch bemerkbar ud ka uattatv exakt gemesse werde. Ob der Erstverscherer desem Ausmasse tatsächlch vo der Rückverscherug Gebrauch mache wll, oder ob er sch mt eer gergere Stzeabdeckug begügt (etwa ur de Verscherugssumme, de über 5 oder 0 hausgehe), mag dahgestellt blebe. Her sele vor allem Frage der verfügbare Katalreserve ud schlesslch auch de Gewmöglchkete ee Rolle, de der Bruttoräme stecke." Zusammelegug vo Verscherugsbestäde ) Als ächstes Besel betrachte we de Fall, dem zwe Verscherugsbestäde zusammegefasst werde, ud versuche Aussage über Wrkuge auf de Streuugskoeffzet abzulete. Gegebe se e Verscherugsbestad bestehed aus Verscheruge mt glecher Verscherugssumme (Totalschade) X ud glecher Schade-Etreteswahrschelchket. Da glt für de Streuugskoeffzet S Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

35 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG 34 Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS S X X mt. Der eu hzu kommede Verscherugsbestad se charaktersert durch Verträge mt der Verscherugssumme (Totalschade) X ud der Schade-Etreteswahrschelchket. ) Wr betrachte u de Verscherugsbestad, der sch durch Zusammelege der bede Verscherugsbestäde ud ergbt ud dzere de etsrechede Grösse mt +. Falls wr Uabhäggket der Zufallsvarable X voraussetze, ergbt sch für de Streuugskoeffzete deses Gesamtbestades. X S = EX X D = X X X X = X X X X mt. I der Ausgagsstuato wrd de Uscherhetslage durch de Bestad festgelegt ud beträgt S. Falls durch de Hzuahme des Bestades de Uscherhetsstuato des Gesamtbestades + cht grösser se soll als de Uscherhetslage der Ausgags-stuato, muss gelte S S d.h. X X X X X X.

36 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG 35 Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS Durch (lagwerge) elemetare Umformuge erhält ma schlesslch X X. Zuächst aalysere wr das Verhalte des Faktors F F Abhäggket vo bzw.. Für = glt = ud somt F. Des wetere glt 0 F wege Somt folgt. Vgl. m obe agegebeem Buch vo P. Braess, S. 9, ff.

37 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG 36 Zur Iterretato deser Uglechug treffe wr achstehede Falluterschedug: 3) = Zuächst se, d.h. der eu hzugeommee Bestad hat de gleche Schade-Etreteswahrschelchket we der Ausgagsbestad. De obere Schrake für de Verscherugssumme (Totalschäde) des eue Bestades, de ezuhalte st, falls durch de Bestadeszusammelegug das Uscherhetsmass cht erhöht werde soll, lautet u X X. Für kle Relato zu ergbt sch kee Erhöhug des Uscherhetsausmasses, d.h. es gbt S S, solage de eue Verscherugssumme (Totalschade) kleer als das Doelte der alte Verscherugssumme st. Für ugefähr glech gross we ergbt sch, dass m Prz kee Beschräkug bzgl. der eu aufzuehmede Verscherugssumme (Totalschäde) zu beachte st. Aus dem obe agegebee Buch vo P. Braess ztere we zusätzlch zu desem Fall: "Aus der Bestmmugsglechug st weterh zu folger, dass de Aufahme euer Verscheruge mt kleere Summe als bsher das Rsko emals vergrössert. Vellecht erschet deser Schluss für de Praktker so selbstverstädlch, dass er h gar cht erwäheswert hält 3. Vom theoretsche Stadukt müsse wr jedoch auf de cht uwchtge Koseuez hwese, dass de Hereahme kleerer Verscherugssumme ee bsher summehomogee Bestad zwar de Streuug der Verscherugssumme vergrössert, dass deser Effekt aber jedem Falle durch de rskomderde Efluss des grössere absorbert ud überkomesert wrd 4. 3 Ma ka sch der Tat kaum vorstelle, dass e Verscherer, der bsher ur relatv grosse Verscherugssumme m Bestade hat, aus Rskogrüde auf de Überahme kleerer Verscherugssumme verzchte würde. 4 Herzu weder e kostruertes Besel: Alter Bestad = 0 Verscheruge je, Nettoräme = 5%o, S = Hzu kommt e Vertrag mt eer Verscherugssumme = /0, S = 4.49, also etwas kleer als S. Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

38 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG 37 Auf deser theoretsche Grudlage ka ma de Wadluge der Rskostuato bem allmählche Aufbau ees Verscherugsbestades aus klee Afäge heraus sehr gut demostrere. Solage der Verscherugsbestad och sehr kle st, wrd das Rsko gross se; see Vermderug muss das vorragge Zel der Gesellschaft se. Das gescheht zuächst durch möglchst wetgehede Nvellerug der Verscherugssumme m Wege der assve Rückverscherug. Etscheded st dabe cht so sehr de absolute Höhe der Verscherugssumme, we velmehr hre Streuug. Ethält der Verscherugsbestad Mehrzahl klee Verscherugssumme, so bedeutet das de Zwag zur Nvellerug der Egebehalte ach ute. De wetere Geschäftsoltk wrd alsda auf ee stückzahlmässge Vergrösserug des Bestades ausgerchtet se. We das gelgt, wrd das Rsko stetg zurückgehe, bs schlesslch de Rskogreze errecht wrd, de ach der Marktlage ud ach de sost och vorhadee Scherhetsmttel als age-messe emfude wrd ud sowet cht mehr uterschrtte zu werde braucht. Erst vo desem Pukt ab ka ebe dem extesve Wachstum durch Vermehrug der Verträge ee tesve Ausdehug durch allmählche Erhöhug der Egebehaltsverscherugssumme bege. We de Gesellschaft dabe de Norm zugrude legt, dass de zuwachsede Egebehalts-Verscherugssumme ohe Gefahr der Rskoverschlechterug das Doelte vom Durchschtt der bsherge Egebehalte ausmache darf, so wrd durch de Hereahme grösserer Summe allmählch auch der allgemee Durchschtt der Verscherugssumme astege ud somt stetg de atürlche Kaaztät zur Rskodeckug für egee Rechug awachse 5." 5 We wet de Praxs de Grudsätze eer derart "dyamsche" Geschäftsoltk mmer gerecht wrd, mag fraglch erschee. Ascheed wrd häufg ee mehr statsche Rückverscherugsoltk betrebe, dem de höchst zulässge Egebehaltssumme Form vo Maxmaltabelle festgelegt ud für lage Zet ohe Rückscht auf de wetere Etwcklug des Verscherugsbestades bebehalte werde. Dazu st zu sage, dass eersets selbst de Ehaltug vo Maxmaltabelle ee Rskoverschlechterug cht verhdert (de Hereahme kleer Verscherugssumme wrd ja u.u. de Streuug vergrösser), aderersets de Bebehaltug alter Tabelle erheblche Gewebusse verursache ka. Ee städge Überwachug des Verscherugsbestades ach seer jewelge Zusammesetzug erschet daher vo bede Sete aus erforderlch. Zutreffed fordert Gürtler (Rsko ud Rückverscherug, a.a.o., S. 45), dass das Egebehaltsmaxmum jewels das Doelte des durchschttlche Selbstbehaltes betrage soll. Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

39 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG 38 4) < Gelte u <, d.h. der eu hzugeommee Bestad hat ee höhere Schade-Etreteswahrschelchket als der Ausgagsbestad. Es werde - we ma sagt - schwerere Rske hzugeomme. Jetzt lautet de Bedgug X X mt > 0. Des mlzert, dass de obere Schrake für de Verscherugssumme (Totalschade) des eue Bestades grösser wrd mt wachsedem ( Relato zu ). D.h. je schwerer de eue Rske sd Relato zu de ursrüglche, desto grösser dürfe de Verscherugssumme se be gegebeer Azahl der eue Verscheruge, ohe das Uscherhetsmass zu erhöhe. 5) > De Schade-Etreteswahrschelchket der eue Verscheruge st also kleer als dejege des Ausgagsbestades. I Aaloge zu 4) folgt u X X X. Desmal besage dese Uglechuge, dass de eue Verscherugssumme (Totalschade) um so edrger se muss, je kleer hre Schade-Etrttswahrschelchket m Verhälts zu st, sofer das Uscherhetsmass sch cht erhöhe soll. Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

40 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG 39 Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS Uterschedlche Schade-Etreteswahrschelchkete ud uterschedlche Verscherugssumme ) I desem Abschtt see Verscheruge gegebe mt de Verscherugssumme VS,...,VS bzw. Totalschäde X,...,X ud de zugehörge Schade-Etreteswahrschelchkete,...,. Es gelte = - für =,...,. Für de Streuugskoeffzet als Mass der Uscherhet deses Verscherugsbestades glt da S = X X = s X X X mt X s := P P X, P := X. ) Für X = X ( =,..., ) ergbt sch mt o :=, s := o o für de Streuugskoeffzet S be gleche Totalschäde, jedoch uterschedlche Etreteswahrschelchkete:

41 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG 40 S = s = o o s = o s = o o s = mt o := -o. o o s 3) Zuächst zur Bezehug S = s o. o o bzw. o sd de durchschttlche Etretes- bzw. Nchtetreteswahrschelchkete des gesamte Bestades, defert als arthmetsches Mttel; s gbt de Streuug der Etreteswahrschelchkete weder. Der Streuugskoeffzet S hägt zuächst emal we m efache Ausgagsfall vo o, o ud ab, wobe u de Mttelwerte relevat sd. Zusätzlch st e mt egatvem Vorzeche verseheer Korrekturoste zu berückschtge, der vo der Streuug der - Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

42 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG 4 Werte abhägt. Falls alle -Werte glech sd, reduzert sch obge Glechug auf S =. Bemerkeswert st, dass be gleche Verscherugssumme der Korrekturoste aufgrud der Streuug der Etreteswahrschelchkete egatv auf de Streuugskoeffzet, d.h. auf das Mass der Uscherhet, wrkt. Be uterschedlche Totalschäde ud gleche Etreteswahrschelchkete führt de Streuug der Totalschäde dagege zu eer Erhöhug der Uterscherhet, der Streuugskoeffzet wrd her erhöht durch de etsrechede Korrekturterm. I desem Modellkotext ergbt sch also - jewels ceters arbus argumetert - dass ee Erhöhug der Streuug der Verscherugssumme (Totalschäde) de Uscherhet für de Verscherer erhöht, währed ee Erhöhug der Streuug der Schade-Etreteswahrschelchket de Uscherhet für de Verscherer vermdert. Im Buch vo Braess wrd ausdrücklch darauf hgewese, dass der letztgeate Effekt vom Ausmass her cht allzu gross st; e mathematscher Bewes m Rahme der Modellaahme wrd jedoch cht gelefert. Falls u de Schade-Etreteswahrschelchkete ud de Verscherugssumme (Totalschäde) dfferere, st wederum das Auftrete ees mt egatvem Vorzeche versehee Korrekturterm festzustelle. Her glt S X X s X. Auch her wrd darauf verwese, dass der Korrekturterm absolut kle st. Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

43 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG Homogee Etreteswahrschelchkete ud Maxmerug der Uscherhet I dem obe zterte Artkel vo Cumms wrd e Besel vo Feller wedergegebe, a dem sch lecht veraschaulche lässt, dass be homogee Etrttswahrschelchkete de Uscherhet für de Verscherugsuterehmug maxmert wrd. Ageomme, ma hat uabhägge Zufallsvarable X mt de,,. De Schadehöhe betrage Etrttswahrschelchkete jewels, d.h. für de Schadehöhe wrd maxmale Homogetät ageomme. Für,, glt E X = 0 = Var X = E X EX = Wr defere =. Z := X, 0 :=, d := 0 für,,. Da folgt wege der Uabhäggket der X Var Z = Var X = Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS

44 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG 43 = 0 = d d d Wege d 0 folgt Var Z = 0 0 d = 0 0 d. Das Maxmum der Varaz vo Z X ergbt sch für d = 0 für alle. Im Eklag mt der Aussage vo Braess wrd also de Uscherhet für de Verscherugsuterehmug desem Besel maxmert, we für de Etrttswahrschelchket Homogetät vorlegt. Des wetere glt, dass be gegebeem de Varaz für = ½ maxmert wrd, da da der Term 0( 0 ) maxmal wrd. Des besagt, dass (be gegebeem ) de Varaz der Zufallsvarable Z X maxmert wrd, falls erstes alle Etrttswahrschelchkete glech sd ud falls zwetes deser ehetlche Wert glech 0.5 st. De Uscherhet über de erwartete Schadebelastug st also maxmal, falls der Schade X mt Wahrschelchket ½ für,, etrtt. Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS