Reihen n. Man benutzt letztere Schreibweise aber häufig auch zur Bezeichnung der Partialsummenfolge. konvergiert, die geometrische Reihe.

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1 Deftoe ud Aussge über Rehe Bchräume ud Hlberträume E vollstädger ormerter Vektorrum (sehe Bemerkuge zur Alyss) heßt Bchrum Stmmt de Norm vo eem Sklrprodukt v = <, >, so sprcht m vo eem Hlbertrum ZB sd de Räume ud ud hre Uterräume türlcher Wese Bch- bzw Hlberträume, ebeso de Mtrzeräume M m ( ) M m ( ) mt der Norm Rehe A m j= j = Dbe glt zusätzlch AB A B (S Aufgbebltt 7) ( ) ee Folge eem Bchrum, so betrchte wr de durch Prtlsummefolge ( s ) s : = gegebee Flls der Grezwert lm s estert, bezeche wr mt M beutzt letztere Schrebwese ber häufg uch zur Bezechug der Prtlsummefolge ( s ) selbst, ohe Rückscht druf, ob se kovergert, ud et heße Koeffzete oder Summde der Rehe ee Rehe; de ( ) I der Vorlesug wurde gezegt, dß de hrmosche Rehe dvergert, de kovergert, de geometrsche Rehe z bestzt für z, z < de Grezwert z =, währed se für z, z > z + ltererede hrmosche Rehe ( ) dvergert Geuso ht m ( ) Ee Rehe A = E A für Mtrze A < M ( ), M ( ) k türlch höchstes d kovergere, we lm = Absolute Kovergez Ee Rehe eer Rehe heßt bsolut koverget, we de reelle Rehe koverget st Be b mt postve reelle Koeffzete schrebt m be Kovergez uch b < ud b =, we se dvergert I desem Se st zb = Ee bsolut kovergete Rehe st koverget; dß de Umkehrug cht glt, seht m sofort m Bespel der ltererede hrmosche Rehe

2 Absolut kovergete Rehe k m umorde, ohe dß de Kovergez verloregeht oder sch der Grezwert ädert: Umordugsstz: ee bsolut kovergete Rehe eem Bchrum ud π : ud setze wr b : = π ( ), so st uch Doppelrehe b bsolut koverget, ud es glt bjektv, = Verwdt mt dem Umordugsstz st folgeder Stz über Doppelrehe: Se ( ) ee Fmle vo Elemete ees Bchrums Für lle se de Rehe j j j bsolut koverget, ußerdem se j= lle j de Rehe j ud sgesmt de Rehe glt j bsolut koverget D st uch für j= j bsolut koverget ud es j= j = j Häufg läßt m solche Ausdrücke de Klmmer weg j= j= Setzt m ußerdem bk : = j, lso zb b4 : = , so st ud es glt + j= k bk bsolut koverget k = bk = j Ohe de Vorussetzug der bsolute Kovergez würde k = j= solche Umorduge cht zu detsche Ergebsse führe b Kovergezkrtere Se ee Rehe eem Bchrum ud Zhle: b ee Rehe cht-egtver reeller Mjortekrterum b < ud b dher koverget M et, so st uch < ud dmt b ee Mjorte für bsolut koverget ud = { } :

3 Mortekrterum b = ud b M et, so st uch b ee Morte für = ud dmt cht bsolut koverget Beutzt m m Mjorte- bzw Mortekrterum de geometrsche Rehe ls Verglechsrehe, so erhält m für ee Rehe Quotetekrterum + ) lm <, so st b) + lm >, so st eem Bchrum ds bsolut koverget ud dmt koverget dverget Summe zweer Rehe Sd ud b Rehe eem Bchrum, so defere wr de Summerehe c durch de Koeffzete c : b uch c, ud es glt = + Sd c = + b ud b (bsolut) koverget, so Multplkto mt Sklr ee (bsolut) kovergete Rehe eem Bchrum ud λ e Sklr des zugrudelegede Körpers oder, so st uch de Rehe es glt λ = λ λ (bsolut) koverget, ud Im Fll ) läßt sch de Vorussetzug bschwäche zu + ε >, : ε + ε <, : ε, m Fll b) zu

4 Produktkrterum Sd bzw b Rehe oder oder eem der Mtrzeräume M m ( ) M k ( ) oder M m ( ) bzw M k ( ), so defere wr de Produktrehe Koeffzete es glt c : = b Sd ud c = b b (bsolut) koverget, so uch bzw c durch de c, ud De Folge-Räume l, l, l De obe etwckelte Theore erlubt es, ege wchtge eue (uedlchdmesole) Bch- bzw Hlberträume zu defere Se m folgede K der Körper der reelle oder komplee Zhle De Elemete des st K K + K sd -Tupel vo reelle bzw komplee Zhle I türlcher Wese, dem wr (,, ) mt (,,,) (,,, ) chts deres ls Folge ( ) K : = {( ) : K } ethält jede K ls Uterrum, dem we obe ds -Tupel ( ) ( ) detfzere Nu sd -Tupel mt Koeffzete K, m defert lso K st türlcher Wese e Vektorrum über K ud,, mt der Folge,,,,,, detfzert wrd M möchte jetzt de Norme : =, : =, : = m vo K uf K übertrge Dzu setze wr für Folge ( ) = : K { } : = sup = m : =, : = Ee Folge st lso geu d beschräkt, we < glt, ud für ee ubeschräkte Folge setzt m hlt = Nu wrd für vele Folge mdestes ee deser Norme glech se Wr soder lso dejege Telräume vo K us, für de ds cht der Fll st: = { < }, l : = { K < }, l : = { K < } l : K

5 M überlegt sch lecht, dß dese dre Vektorräume echte Uterräume vo K sd, ud se sd uch utereder verschede M zegt weterh lecht, dß l, l, l bezüglch der Norme,, vollstädg, lso Bchräume sd 3 Weterh st l sogr e Hlbertrum mt dem Sklrprodukt <, y > : = y m Fll K = bzw mmt her de Form <, y > : = y m Fll K = De Cuchy-Schwrzsche Uglechug, <, y > : = y y y = y < womt uch glech grtert st, dß de Rehe <, y > : = y kovergert für, y l De Räume l, l, l werde us zhlreche Bespele ud Aweduge weder begege