Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik. Sommersemester 2009/10

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1 Dt er Alyss er Se II Rolle er reelle Zhle Humbolt-Uverstät zu Berl, Isttut für Mthemt Abgeorete Lehrer: R.Gese, U.Hey, B.Mus Sommersemester 009/0 Iteretsete zur Vorlesug:

2 Dt er Alyss er Se II Rolle er reelle Zhle De erste Bewes für rrtole Größeverhältsse gb es er grechsche Ate m 5. Jhrhuert v. Chr. be e Pythgoreer (Pythgors ). Gruuffssug : Ntürlche Zhle s s Mß ller Dge, egeschlosse e Verhältsse eser Zhle. Hppsos vo Metpot Etecug er Irrtoltät erfolgte vermutlch m regelmäßge Füfec bzw. Petgrmm be er Wechselweghme vo Sete u Dgole. Wechselweghme st e Verfhre, be em mmer vo er lägere Strece e ürze Strece weggeomme wr, bs e ürzere gzzhlg er lägere ethlte st

3 Dt er Alyss er Se II Rolle er reelle Zhle Ahme : u hbe gemesme s Mß. D glt für geegete m u : e u me me e e mt belebg lee m De Fortsetzug es Verfhres lefert ee Folge vo mmer leer weree Qurte gemesme Mß e hbe. Deses e wr stets leer ls e belebg gewähltes e. u m e e ( m) e, e lle s

4 Dt er Alyss er Se II Rolle er reelle Zhle 5 mt ² ² u Dreec : - grües : u rotes Dreec x x x²

5 Dt er Alyss er Se II Rolle er reelle Zhle Nch Eul wr gezegt, ss ee Ahme rtole x p Zhl st : D x wetere Argumetto : Sowohl oer p. Prmftorzerlegug. Gerzhlget führe zum Werspruch!, st lso p Amerug: Hero-Verfhre mt GeoGebr bzw. mt futoler Progrmmerug

6 Dt er Alyss er Se II Rolle er reelle Zhle Dre Bespele us er Geometre zege, ss chtrtole Zhle exstere, e rrtole Zhle (Lüce uf Zhlegere). Notweget eer mthemtsch exte theoretsche Begrüug er Zhleberechserweterug. Methoe er Itervllschchtelug. Cuchy-Folge 3. Axomtsche Begrüug (Hlbert Körper) Tefgehee Auseersetzug mt em Begrff er reelle Zhl: Georg Ctor (845-98) u Rchr Dee(83-96)

7 Dt er Alyss er Se II Rolle er reelle Zhle De Vollstäget er Zhlegere wr egetlch stets (stllschwege) vorusgesetzt Seurstufe I Reelle Zhle ls Ee er Zhlberechserweteruge. Besoere Zhle we oer Itervllschchteluge Seurstufe II Kee präzse Eführug tutve Beutzug er Vollstäget u Lücelosget er Zhlegere Notweget be Zwschewertstz, Mttelwertstz, Stetget

8 Dt er Alyss er Se II Rolle er reelle Zhle Aus em Berler Rhmelehrpl (Letee Zhl, Klsse 9/0) Schülertätgete: Schlüssel uterschee rtole u rrtole Zhle, beschrebe e Mege er reelle Zhle, bestmme Qurtwurzel äherugswese mt em Tscherecher u rue stutosgemesse,... Schlüssel begrüe e Notweget, e Zhlberech um e rrtole Zhle zu erweter, stelle bbrechee u efche perosche Dezmlzhle ls Brüche r, ostruere ege Qurtwurzel geometrsch uch uf er Zhlegere, beschrebe Qurtwurzel Bespele urch e Näherugsverfhre (Itervllschchtelug),... 3 Schlüssel bewese e Irrtoltät eer Qurtwurzel (reter Bewes), beschrebe e Zhl P urch e Näherugsverfhre

9 Dt er Alyss er Se II Rolle er reelle Zhle Itervllschchtelug mt em Computer (Excel /Geogebr) sehe Tbellebltt bzw. Tbelle Geogebr Zehtelschchtelug:

10 Dt er Alyss er Se II Rolle er reelle Zhle Itervllschchteluge s cht eeutg: Bespel e Zhl 0,5 I 0,4;0,5 I 0,49;0,5 I 0,499;0,5 I 0,4999;0,5 3 4 oer I 0,5 ;0,5 I 0,5 3 ;0,5 3 I 3 0,5 4 ;0,

11 Dt er Alyss er Se II Rolle er reelle Zhle Cuchy-Folge Ee Folge, N heßt Cuchy - Folge, we es zu jeem ε 0 ee Iex N gbt, soss b esem Iex lle Folgegle er weger ls voeer etfert s. Es gbt m Berech er rtole Zhle Folge, ere Grezwert m Rtole cht exstert : Dese Folge rtoler Zhle ht ls Grezwert, ber ese Zhl rrtol st, overger t se cht m Berech er rtole Zhle, eoch bestzt ese Folge Cuchy - Egeschf te

12 Dt er Alyss er Se II Rolle er reelle Zhle Wr ee zwe Folge ( r De M ege er Äuvlezlsse bezeche wr mt R. Ato : [ ( r M ultplto [ ( r ) ~ ( s )] [(s )] [(s ) : r s )] : [(r )] : [(r s s r )] )] u s äuvlet : Wr bezeche uch s Nullelemet u Eseleme t R mt 0 bzw

13 Dt er Alyss er Se II Rolle er reelle Zhle Drstellug vo Dezmlzhle Eer Dezmlzhl lässt sch stets ee Zhlefolge zuore ,... für 9 0,, mt 0 bzw....) ( N N Cuchy - Folge ) st ee ( 0

14 Dt er Alyss er Se II Rolle er reelle Zhle Etelug er Dezmlzhle Besoerhet st e Neuerperoe elch rtole uelch perosch uelch chtperosch rrtole reelle Zhle Zwsche zwe rtole Zhle gbt es mestes e Mttelwert. Ble e Mttelwert vo u 0,

15 Dt er Alyss er Se II Rolle er reelle Zhle Ohe reelle Zhle st ee Alyss möglch bzw. ee rchtge Alyss uf Q Vollstäget er reelle Zhle uverzchtbre Vorussetzug für fumetle Sätze er Alyss u mt für e Rechtfertgug hezu ller er Schullyss (u.. be Kurvesussoe) uftretee Schlüsse. Nullstellestz vo Bolzo (Spezlfll es Zwschewertstzes): Wechselt ee eem bgeschlossee Itervll I stetge Futo ort hr Vorzeche, so ht se I wegstes ee Nullstelle. I Q glt eser Stz cht.se I [, ], f (x) x -. Mootoerterum: Ee uf eem Itervll I fferezerbre Futo mt überll uf I postver Abletug st ort überll streg mooto wchse. I Q glt uch eser Stz cht.se I [, ], f (x). - x

16 Dt er Alyss er Se II Rolle er reelle Zhle De Lücelosget er reelle Zhle (Axome lle glechwertg) Axom vo er obere Greze Jee cht leere, ch obe beschräte Telmege vo R bestzt ee obere Greze (leste obere Schre). Deesches Schttxom Jeer Deesche Schtt wr urch e Elemet vo R erzeugt. (Deescher Schtt: Zerlegug vo R sjute Telmege A u B mt < b für lle Au b B ) Axom vo er Lücelosget S A u B Telmege vo R mt b für lle A u bb, so gbt es ee reelle Zhlc mt c b für lle A u bb. Itervllschchtelugsxom Zu jeer Itervllschchtelug ([, b ]) c b für lle N. N, gbt es geu e cr mt